2016-2017数学苏教版必修4 第2章2.4向量的数量积(二) 作业 Word版含解析
苏教版必修四第二章平面向量第四讲向量的数量积(习题+解析)
高中向量的数目积数学（答题时间： 40 分钟）1. 以下式子：① a 2b ＝ b； ② （ a ·b ） 2＝ a 2·b 2； ③ a ·a ·a ＝a 3 ；④ （ a ·b ） ·c ＝ a ·（b ·c ）aa此中错误的序号为 ________。
*2. （安徽高考）若非零向量 a ，b 知足 |a|＝ 3|b|＝ |a ＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _______。
**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知 OA ＝（－ 1， t ）， OB ＝（ 2，2），若∠ ABO ＝ 90°，则实数 t 的值为 ________。
*4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2 BD ，CA ＝ 3 CE ，则 AD ·BE ＝ ________。
**5. 已知向量 a ＝（ 1， 2）， b ＝（－ 2，－ 4），|c|＝ 5 ，若（ a ＋ b ） ·c ＝5，则 a 与 c 的2夹角是 ________。
**6.→ →已知向量 OA ＝（ 2，2）， OB ＝（ 4，1），O 为坐标原点， 在 x 轴上取一点 P 使AP ·BP 有最小值，则点 P 的坐标是 ________。
**7. 已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4，且 a 与 b 的夹角为60°，则当 k 为什么值时，向量 ka － b 与 a ＋ 2b 垂直？**8. 已知 |a|＝ 2 ， |b|＝ 3， a 和 b 的夹角为 45°，求当向量 a ＋λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角时 λ的取值范围。
***9.已知 a ＝（ 3 ，－ 1）， b ＝（ 1 ，3），且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝ a ＋（ t 2－ 3）k t 222的最小值。
苏教版2017高中数学(必修四)第2章2.4向量的数量积(二) PPT课件
第2章
平面向量
[解析 ]
(1)因为 2a＋b＝ (3，1)，所以与它同向的单位向量
3 10 10 的坐标是 ( ， )． 10 10 (2)b－3a＝ (－ 2， 1)，所以 (b－3a)· a＝－ 2， |b－3a|＝ 5， （ b－ 3a） · a －2 所以 b－ 3a 与 a 夹角的余弦值为 ＝ ＝－ |b－ 3a||a| 5 2 5 . 5
x2＋y2
____________．
第2章
平面向量
3．两点间距离公式 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
（x2－x1）2＋（y2－y1）2 → |AB|＝_______________________________．
4．向量的夹角公式 设 a＝ (x1，y1)，b＝ (x2，y2)，且 a≠0，b≠0，a 与 b 夹角为 θ， x1x2＋ y1y2 a· b 则 cos θ＝ ＝ 2 2 . 2 2 |a||b| x1＋ y1· x2＋ y2
第2章
平面向量
2．4 向量的数量积(二)
第2章
平面向量
学习导航
1.了解平面向量数量积的坐标表示． 学习 2．理解平面向量数量积的坐标运算．(重点) 目标 3．掌握利用平面向量的数量积求向量的夹角、平 行、垂直等问题．(重点、难点)
平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运 算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不 学法 同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时, 指导 平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥 梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
a a 2 2 解析：由于单位向量 a0＝ ，且 |a|＝ x ＋ y ，所以 a0＝ |a| |a| ＝ 1 x ＋y
苏教版高中数学必修4同步练测：第二章+2.4向量的数量积.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为.2. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为.3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有.（填正确的序号）○1a⊥b；○2a∥b；○3|a|=|b|；○4|a|≠|b|.4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= .5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.二、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围. 8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+λb，d=-a+2λb，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD 是什么图形？2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 19 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0， 即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2. 3π2-ϕ 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b=-2sinφ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ).∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. ○1 解析： f (x )=(x a+b )·(a-x b )=- a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .4. 4 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.二、解答题7.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5， 得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 8.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9， |b |=22(3)5-+=， ∴ |a |cos θ=∙a b b=93434. 9.解：因为c =2a +λb ，d =-a +2λb ，所以c -d =（2a +λb ）-（-a +2λb ）=3a -λb . 又a =（-4，-3），b =（-3，-2），所以c -d =3（-4，-3）-λ（-3，-2）=（-12+3λ，-9+2λ）.又（c -d ）⊥a ，所以（-12+3λ）×（-4）+（-9+2λ）×（-3）=0.解得λ=256. 10.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2. 即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |， 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ， 代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。
2016-2017数学苏教版必修4第2章2.4向量的数量积(一)作业Word版含解析
在学生用书中，此内客单独成册®［学业水平训练］1•若 |m |= 4, |n |= 6, m 与 n 的夹角 B 为 45 ° 则 m n = ______ .解析：m n = |m ||n |cos 0= 4X6Xcos 45° 12羽.答案：12 22. (2014 南通调研)在 △ABC 中，已知 AB AC = 4, AB BC = — 12,则 |AB|= ________ . 解析：将AB AC = 4, AB BC = — 12 两式相减得 AB (AC — BC) = AB = 16,则|AB = 4. 答案：43. __________________________________________________ 设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60 °则|a + b |= _____________________________________ .解析：|a + b |=” (a + b ) 2= 'a 2 + 2a b + b 2 = 42+ 2 >4 X 3 >Cos 60 +°2= ,37.答案：374若|a |= 1, |b |= 2, c = a + b ,且c ± a ,则向量a 与b 的夹角为 _______________ .解析：设向量a 与b 的夹角为0由题意知(a + b ) a = 0,二 a 2 + a b = 0,「.|a |2 + |a ||b |cos 0= 0,二1 + 2cos 0= 0,「. cos 0= — ?,又 0€ ［0 ° 180°, ••• 0= 120°答案：120°25.设向量 a , b , c 满足 a + b + c = 0，且 a 丄b , |a |= 1, |b |= 2,则 |c | = ___________ . 解析：■/ a + b + c = 0, • c =— (a + b ).又 T a 丄b ,• a b = 0.• |c |2= c 2 = (a + b )2= a 2 + 2a b + b 2= 5.答案：5P 1P 2 P 1P 3；② P 1P 2 P 1 P 4；③ P 1P 2 P 1 P 5；④ P 1P 2 P 1P 6.解析：根据正六边形的几何性质 ，得P ?P 2 P "1P 5= 0,卩鼻2 P ?P 6< 0, P 1P 2 P 1*3= |P 7P 2| • 3 |P 1P 2| cos^= 2尸1卩2| , P 1P 2 P 1P 4= |P 1P 2| 2|P 1P 2| COS? = IP 1P 2I ,经比较可知 P 1P 2 P 1P 3的数量积 最大.答案：①7.已知a |= 3, |b |= 4, a 与b 的夹角为节求：(1)(3a — 2b ) (a — 2b );(2)|a + b |.解：(1)(3a — 2b ) (a — 2b )= 3a 2— 8a b + 4b 2=3 >32— 8 X X lcos 3-+ 4 X 2= 91 + 4^2. 46.如图所示的是正六边形_________ .（只填序号）P 1P 2P 3P 4P 5P 6 ,则下列向量的数量积中最大的是-.a 2+ 2 a b + b 2+ 2 X 3 X cos 3j n+ 42= 寸25— 1208•已知a , b 是非零向量，且满足 (a — 2b )丄a , (b — 2a )丄b ,求a 与b 的夹角.解：•/ (a — 2b )丄 a ,•- (a — 2b ) a = 0,即 a 2 — 2a b = 0.•/ (b — 2a )丄 b,. (b — 2a ) b = 0,即 b 2— 2a b = 0.2 21 2 1 2• a = b ,即|a |= |b |.a b = a ,即 a b =』a | .1 2 口 ab 莎1 1 n•-cos 0=丽=肓=2.又氏［0 , n ，•归 3.［高考水平训练］1•如图，在 A ABC 中，/ BAC = 120 ° AB = 2, AC = 1 , D 是 BC 上一点，DC = 2BD ，则解析：AD = A B + B D = AB + 3BC = A B +3(A C — AB) = 1AC +^A B ,又••• BC = AC —AB , AC 2= 1, AB 2=4,且 ABAC = 2 xi >cos 120 =— 1, 曲 T 1 T 2 T T T 1 T 22 T 2 1 8• AD BC = (3AC + 3AB) (AC — AB)= 3AC — §AB + 3AC AB = —-. 答案：—8AB , AC 和BC 满足(詈+-A C-)Be = 0,且AC BC =彳，则MBC 的形状 |AB| |AC||AC||BC| 2AC 分别表示与AB 、AC 同向的单位向量，|AC|...以AB 、AC 为邻边的平行四边形为菱形.|AB| AC|AB AC•••表示向量 二 +二C 的有向线段在 / A 平分线上.|AB| |AC|AB AC•••由(=+ AC) BC = 0知/ A 的平分线垂直于 BC , AB| |AC|ABC 为等腰三角形.又^^C BC = cos C = W^,|AC||BC|•••/ C = n 从而可知，/ A =才• △ ABC 为等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形3•已知a 、b 是两个非零向量，同时满足 |a |=|b |=|a — b |,求a 与a + b 的夹角.解：根据|a |=|b |,有|a |2=|b |2,又|b |= |a — b |,得 |b |2= |a |2 — 2a b + |b |2,•••a b = 2|ai⑵ |a + b |= ' (a + b ) 2 AD BC =2•已知非零向量 解析：•/ AB-|AB|而|a + b f = |a |2+ 2a b+ |b|2= 3|a |2, •- |a + b|= 3|a|.设 a 与a+ b 的夹角为0,2 1 2a - ( a+ b) |a 1+ 2|a|J3则cos 0= = =^7，|a||a+ b| |a| • 3|a| 2又••• 0€ ［0 ；180 °. • 0= 30 :4•已知向量a, b满足：a2= 9, a b=—12,求|b|的取值范围. 解：法: T a = 9,「. |a|= 3.又a b=—12.• |a b|= 12.又••• |a b|呻||b|.「. 12<3|b|,解得|bR.故|b|的取值范围是［4 , +s).法二：•/ a b= |a||b|cos 0其中0为a与b的夹角).2又由 a = 9,得|a|= 3,由a b=—12,得0工90 °刖 a b —12―4即cos 0工•- |b|= = =|a |cos 0 3cos 0 cos 0■/ —1 <cos 0<0 , • |bR.故|b|的取值范围是［4 , +s).。
苏教版数学高一必修四 作业 2.4平面向量数量积的坐标表示(第二课时)
一、填空题1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________.解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a ＝(2,3)，∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.答案：122．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________.解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)．∴|3a －2b |＝42＋62＝52＝213.答案：2133．已知a ＝ (1，－1)，b ＝(－2,1)，如果(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ－2,1－λ)，a －λb ＝(1＋2λ，－1－λ)，由(λa ＋b )⊥(a －λb )，得(λ－2)(1＋2λ)＋(1－λ)(－1－λ)＝0，∴λ＝1±52. 答案：1±52 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.答案：π45．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，12，b ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，c ＝a ＋kb ，d ＝a －b ，c 与d 的夹角为π4，则k 等于________．解析：由条件得c ＝(1，12－12k )，d ＝(1,1)，从而c ·d ＝1＋12－12k ＝2·1＋(12－12k )2·cos π4， 解得k ＝1.答案：1二、解答题6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值：(1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)，∴(1)m ⊥n ⇒(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0⇒λ＝529； (2)m ∥n ⇒(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0⇒λ＝－12； (3)|m |＝5⇒(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5⇒5λ2－4λ＝0⇒λ＝0或45. 7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1，求向量n . 解：设n ＝(x ，y )．由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1.(1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4， 有m ·n ＝|m ||n |cos 3π4＝－1， 所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1. (2) 由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1，所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)．8．已知点A (2,2)、B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP ·BP 取最小值时，求向量PA 与PB 的夹角的余弦值．解：设点P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．∴AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.∴当x＝3时，AP·BP取最小值1.此时，PA＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)．PB＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)，∴|PA|＝5，|PB|＝2，∴cos∠APB＝PA→·PB|PA||PB|＝1010。
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积(2)课时训练(含解析)苏教版必修4
§2。
4 向量的数量积(二)课时目标1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2），则a·b＝____________.即两个向量的数量积等于它们________________________．2．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1,y1)，则｜a|＝________。
（2)两点间距离公式：若A（x1,y1），B（x2，y2），则|错误!|＝________________.3．向量的夹角公式设两非零向量a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2),a与b的夹角为θ，则cos θ＝________________＝________________________.4．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2)，则a⊥b⇔________________。
一、填空题1．已知向量a＝（1，n），b＝(－1，n），若2a－b与b垂直，则|a｜＝________。
2．已知a＝（3，错误!)，b＝（1,0)，则（a－2b）·b＝______.3．若平面向量a＝（1，－2)与b的夹角是180°，且｜b｜＝4错误!，则b＝________.4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2，0），|b|＝1，则|a＋2b|＝________.5．若a＝（2，3)，b＝（－4，7),则a在b方向上的投影为______．6．a,b为平面向量，已知a＝（4,3），2a＋b＝（3,18），则a，b夹角的余弦值为________．7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2,－3）．若向量c满足（c＋a)∥b,c⊥(a＋b），则c＝________.8．已知向量a＝(2，1），a·b＝10，|a＋b|＝5错误!，则|b｜＝________.9．已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．10．已知a＝(－2，－1），b＝(λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．二、解答题11．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.（1)求a的坐标；(2）若c＝(2，－1），求a(b·c)及(a·b）c.12．已知三个点A(2,1),B（3，2），D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；（2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a＝（1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在错误!变动时，a的范围是________．14．若等边三角形ABC的边长为2错误!,平面内一点M满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!·错误!＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．§2。
苏教版数学高二-16-17苏教版数学必修4检测 2.4向量的数量积
第2章 平面向量2.4 向量的数量积A 级 基础巩固1．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为( )A.332B.322C.12D.32解析：向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32. 答案：D2． (2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6，两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1.答案：A3．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：A4．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( )A ．－1B ．1C ．－92D ．－232解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，所以(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋72－2＝－92. 答案：C5．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.32解析：c ＝a ＋kb ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 答案：A6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝________． 解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0.所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)．所以|a －b |＝3 5.答案：3 57．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋mb ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________．解析：因为3a ＋mb ＋7c ＝0，所以3a ＋mb ＝－7c ，所以(3a ＋mb )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a·b ＝49.又a·b ＝|a ||b |cos 60°＝12， 所以m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.答案：5或－88．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎨⎧－2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6.所以点C 的坐标为(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知|a |＝1，|b |＝ 2.(1)若a ∥b 且同向，求a·b ；(2)若向量a·b 的夹角为135°，求|a ＋b |.解：(1)若a ∥b 且同向则a 与b 夹角为0°，此时a·b ＝|a ||b |＝ 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝ 1＋2＋22cos 135°＝1.10．设平面三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)．(1)试求向量2AB →＋AC →的模；(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ.解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，所以AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．所以2AB →＋AC →＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)．所以|2AB →＋AC →|＝ （－1）2＋72＝5 2.(2)由(1)知AB →＝(－1，1)，AC →＝(1，5)，所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313. B 级 能力提升11．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C12.如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM→＝3MA →，则CM →·CB →＝________．解析：CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4.答案：413．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0，则a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.答案：±314．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)．(1)求|a ＋b |的值；(2)若向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量ka ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以a ＋b ＝(3，4)．则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以ka ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)．因为向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12. (3)因为a ＝(2， 0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)．因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12.解得k >－92或k ≠12. 15．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.(1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b －b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56. 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203， 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439. 因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.。
16-17数学必修4 第2章2-4向量的数量积一 作业 含解析
[学业水平训练]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角θ为45°，则m ·n ＝________.解析：m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝12 2.答案：12 22.(2014·南通调研)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB →|＝________．解析：将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4.答案：43.设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |＝______.解析：|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×4×3×cos 60°＋32＝37.答案：374.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为__________． 解析：设向量a 与b 的夹角为θ，由题意知(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝0，∴|a |2＋|a ||b |cos θ＝0，∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°5.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2＝__________． 解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )．又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.∴|c |2＝c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5.答案：56.如图所示的是正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)① P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→；③P 1P 2→·P 1P 5→；④P 1P 2→·P 1P 6→.解析：根据正六边形的几何性质，得P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＜0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|·cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2|2，经比较可知P 1P 2→·P 1P 3→的数量积最大．答案：①7.已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为3π4. 求：(1)(3a －2b )·(a －2b )；(2)|a ＋b |.解：(1)(3a －2b )·(a －2b )＝3a 2－8a ·b ＋4b 2＝3×32－8×3×4cos 3π4＋4×42＝91＋48 2. (2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2＝32＋2×3×4cos 3π4＋42＝ 25－12 2.8.已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，求a 与b 的夹角． 解：∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即a 2－2a ·b ＝0.∵(b －2a )⊥b ，∴(b －2a )·b ＝0，即b 2－2a ·b ＝0.∴a 2＝b 2，即|a |＝|b |.a ·b ＝12a 2，即a ·b ＝12|a |2. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. [高考水平训练]1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →， 又∵BC →＝AC →－AB →，AC →2＝1，AB →2＝4，且AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1，∴AD →·BC →＝(13AC →＋23AB →)·(AC →－AB →)＝13AC →2－23AB →2＋13AC →·AB →＝－83. 答案：－832.已知非零向量AB →，AC →和BC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →||BC →|＝22，则△ABC 的形状为________．解析：∵AB →|AB →|、AC →|AC →|分别表示与AB →、AC →同向的单位向量， ∴以AB →|AB →|、AC →|AC →|为邻边的平行四边形为菱形． ∴表示向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|的有向线段在∠A 平分线上． ∴由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0知∠A 的平分线垂直于BC ， ∴△ABC 为等腰三角形．又AC →·BC →|AC →||BC →|＝cos C ＝22， ∴∠C ＝π4，从而可知，∠A ＝π2. ∴△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形3.已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32， 又∵θ∈[0°，180°]．∴θ＝30°.4．已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围．解：法一：∵a 2＝9，∴|a |＝3.又a ·b ＝－12.∴|a ·b |＝12.又∵|a ·b |≤|a ||b |.∴12≤3|b |，解得|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．法二：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．又由a 2＝9，得|a |＝3，由a ·b ＝－12，得θ≠90°.即cos θ≠0.∴|b |＝a ·b |a |cos θ＝－123cos θ＝－4cos θ. ∵－1≤cos θ<0，∴|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：由已知得|a|＝ （ 3）2＋（－1）2＝2， 2 1＋ 3 ＝1， |b|＝ 2 2
1 3 a· b＝ 3× －1× ＝0.∵x⊥y，∴x· y＝0， 2 2 ∴[a＋(t2－3)b]· (－ka＋tb)＝0. t3－3t 化简得 k＝ ， 4 k＋t2 1 2 1 7 ∴ ＝ (t ＋4t－3)＝ (t＋2)2－ ， t 4 4 4 2 k＋t 7 即当 t＝－2 时， 有最小值－ . t 4 4．已知 c＝ma＋nb＝(－2 3，2)，a 与 c 垂直，b 与 c 的夹角为 120° ，且 b· c＝－4，|a| ＝2 2，求实数 m，n 的值及 a 与 b 的夹角 θ. 解：∵a 与 c 垂直，∴a· c＝0. 又∵c＝ma＋nb，∴c· c＝ma· c＋nb· c， ∴12＋4＝－4n，∴n＝－4. ∵b· c＝|b||c|cos 120° ， 1 ∴－4＝|b|× 4× (－ )，∴|b|＝2. 2 2 又 a· c＝ma －4a· b，|a|＝2 2，∴a· b＝2m. 又 b· c＝m(a· b)－4b2， ∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m＝± 6. 当 m＝ 6时，a· b＝2 6. a· b 2 6 3 ∴cos θ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2× 2 2 π 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 6 当 m＝－ 6时，a· b＝－2 6. 3 5π ∴cos θ＝－ ，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 2 6 π 5π 因此 m＝ 6，n＝－4 时，θ＝ ；m＝－ 6，n＝－4 时，θ＝ . 6 6
解析：法一：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图 → → → 略)，则 A(0，0)，B( 2，0)，E( 2，1)，F(x，2)．故AB＝( 2，0)，AF＝(x，2)，AE＝( 2， → 1)，BF＝(x－ 2，2)， → → ∴AB· AF＝( 2，0)· (x，2)＝ 2x. → → → 又AB· AF＝ 2，∴x＝1.∴BF＝(1－ 2，2)． → → ∴AE· BF＝( 2，1)· (1－ 2，2)＝ 2－2＋2＝ 2. → → → → 法二：设DF＝xAB，则CF＝(x－1)AB. → → → → → → → → AB· AF＝AB· (AD＋DF)＝AB· (AD＋xAB) 2 → ＝xAB2＝2x，∴x＝ . 2 2 → → → → → ∴BF＝BC＋CF＝BC＋( －1)AB. 2 2 → → → →] 2 2 → 1→ → → ＝(AB＋ BC)[BC＋( －1)AB] 2 2 2 2 1 → 1→ ＝( －1)AB2＋ BC2＝( －1)× 2＋ × 4＝ 2. 2 2 2 2 答案： 2 6．设向量 a＝(1，2)，b＝(x, 1)，当向量 a＋2b 与 2a－b 平行时，a· b 等于__________． 解析：a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，∵a＋2b 与 2a－b 平行，∴(1＋2x)× 3－ 1 1 1 5 4× (2－x)＝0，∴x＝ ，a· b＝(1，2)· ( ，1)＝1× ＋2× 1＝ . 2 2 2 2
5 答案： 2 7.(2014· 大连高一检测)已知 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当 k 为何值时： (1)ka＋b 与 a－3b 垂直？ (2)ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们同向还是反向？ 解：(1)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10， －4)．当(ka＋b)· (a－3b)＝0 时，这两个向量垂直．由(k－3)× 10＋(2k＋2)× (－4)＝0.解得 k＝ 19，即当 k＝19 时，ka＋b 与 a－3b 垂直． (2)当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在惟一的实数 λ，使 ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋ 1 k＝－ ， k－3＝10λ， 3 2)＝λ(10，－4)，得： 解得 1 2k＋2＝－4λ. λ＝－ . 3 1 所以当 k＝－ 时，ka＋b 与 a－3b 平行， 3 因为 λ＜0，所以 ka＋b 与 a－3b 反向． 8．已知 a＝(2，－3)，求与 a 垂直的单位向量的坐标． 解：设单位向量为 e，其坐标为(x，y)． 2x－3y＝0， 根据题意有 2 2 x ＋y ＝1， 3 13 3 13 x1＝ x2＝－ 13 13 解得 或 ， 2 13 2 13 y1＝ y2＝－ 13 13 3 13 2 13 3 13 2 13 所以 e＝( ， )或(－ ，－ )． 13 13 13 13 [高考水平训练] → → → → 1．已知向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在 x 轴上有一点 P 使AP· BP有最小值，则点 P 的坐标是__________． → → → → 解析：设点 P 的坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1).AP· BP＝(x－2)(x → → －4)＋(－2)× (－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当 x＝3 时，AP· BP有最小值 1，此时点 P 的坐 标为(3，0)． 答案：(3，0) 2.如果向量 a 与 b 的夹角为 θ，那么我们称 a× b 为向量 a 与 b 的“向量积”，a× b 是一个 向量，它的长度为|a× b|＝|a|· |b|sin θ.如果|a|＝5，|b|＝1，a· b＝－3，则|a× b|＝________． 3 解析： 由于 a· b＝|a||b|cos θ＝－3，所以 cos θ＝－ . 5 4 又因为 θ 为向量 a 与 b 的夹角，所以 sin θ＝ ， 5 所以|a× b|＝|a||b|sin θ＝4. 答案：4 1 3 3.已知 a＝( 3，－1)，b＝ ， ，且存在实数 k 和 t，使得 x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka 2 2 k＋t2 ＋tb，且 x⊥y，试求 的最小值． t