6.9(3)二元一次方程组的解法(3)
二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）
⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。
4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。
加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。
二元一次方程组的解法(3
应用举例
应用举例
2x+y 5xห้องสมุดไป่ตู้2y
x+2y+1
已知 2 = 4 =1，求 2x-3y+7的值。
{ 2x+y=2
解原方程组变形为 5x+2y=4
解得x=？y=？
练习。用加减消元法解方程组 3x+2y 2x+y x-y+1
4 =5= 6
x+y x-y
例题2，解方程组4{ （2 x++3y）=6-5（x-y）=2
二元一次方程组的解法（3）
一。诊断测试
1。解二元一次方程组的基本思路是
2。用加减法解方程组{ 2x-5y=7① 由①与②——
直接消去——
2x+3y=2②
3①。与用②加—减—法，解可方直程接组消{去46—xx-+—55y—y==—1228②① 由
3x+4y=16①
4若。要用消加去减Y法，解则方应程由组①{×5x？-6，y②=3×3②，？ 再相
3x+2y=11
ax+by=-1
{ 2ax+3by=3
练习
• 已知方程组{ 3x+2y=k 的解中x与y的和 为8，求k的值2x。+3y=k+3
若|x-y-5| 与（2x+3y-15）2是相反数， 求x，y
作业
解原方程组变形为{ 5x+y=36① -x+9y=2②
x-y x+y 1 练习，解方程组{ 7 - 10 = 2
2（x-y）-5（x+y）+11=0
例3。已知关于X，Y的方程组 {a，2axx-+b3byy的==3-1值和。{32xa+x2+y3=b1y1=3的解相同，求
二元一次方程组的解法(代入消元法)教学设计
7．2二元一次方程组的解法（代入消元法）教学设计一、教学内容：初中数学华东师大2011课标版七年级下册第七章第二节二元一次方程组的解法。
二、教学目标1、使学生通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会消元的思想；2、了解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。
三、教学重难点：重点：用代入消元法解二元一次方程组的解题步骤；难点：如何正确消元。
四、教具、学具准备：教具：课件、电脑投影、导学案等；学具：签字笔、草稿纸、课本等。
五、设计理念这一堂课的学习目标是“探索二元一次方程组的解法”，通过学生身边熟悉的事情，建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的“最近发展区”，愉悦地接受教学活动．这是我备课时的设计意图。
六、教学流程（一）创设情境上课一开始，我就把学生学过的、熟悉的问题提出来，引导学生解答，说：“同学们，在生活中，我们时常遇到这样的问题，你能用前面我们学过的知识解决这个问题吗？问题1：小明到商店购买签字笔和作业本，签字笔价格是作业本价格的2倍，小明购买一支笔和一个作业本共花了6元钱，请你算一算签字笔和作业本的价格分别是多少元？学生活动：独立完成问题1的解答教师活动：通过巡视，发现问题的解答有可能会出现两种，一种是列一元一次方程解，另一种是列二元一次方程解，分别让学生将两种解法写在黑板上。
师：“同学们，黑板上两位同学用了不同的方法来解决这个问题，你认为哪一种方法是正确的呢？那我想请一位同学来说一说这两种方法分别是用到了前面我们学过的什么知识？那列出来的这个二元一次方程组和这个一元一次方程有没有什么联系呢，我们又该如何求解呢？这就是今天我们要一起探讨的内容，请同学们翻开书27页，并熟悉本节课的学习目标。
设计意图：当学生看到自己所学的知识与“现实世界”息息相关时，学习通常会更主动。
“与其拉马喝水，不如让它口渴”。
8.2 二元一次方程组的解法(3)同步练习(含答案)
8.2 二元一次方程组的解法(3)班级 姓名 座号 月 日主要内容:用加减消元法解二元一次方程组 一、课堂练习: 1.用加减法解方程组{34145x y x y +=-=可先消未知数______,消元后的一元一次方程是_________.2.用加减法解下列方程组: (1){29321x y x y +=-=-{52253415x y x y+=+=(3){258325x y x y +=+={236322x y x y +=-=-二、课后作业:3.用加减法解下列方程组: (1){3276211u t u t +=-=(2){2334a b a b +=+=(3){25343x y x y -=--+=- (4)3112223x y x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩4.解下列方程组:(1){3(1)55(1)3(5)x y y x -=+-=+(2)2313424575615u v u v ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩三、新课预习:5.加工某种零件,甲每小时做a 个,甲的工效是乙的工效的1.5倍,则乙每小时加工( ) A.12a 个B.23a 个 C.13a 个 D.32a 个 6.一批机器零件共150个,如果甲、乙两人合做正好10天完成；如果乙先做6天后,甲加入合做,再做8天也恰好完成,问两人每天各做多少零件?参考答案一、课堂练习: 1.用加减法解方程组{34145x y x y +=-=可先消未知数y ,消元后的一元一次方程是46x = .2.用加减法解下列方程组: (1){29321x y x y +=-=-{52253415x y xy +=+=解:①+②,得48x = 解得2x = 把2x =代入①,得229y += 解得 3.5y =∴原方程组的解为23.5x y =⎧⎨=⎩解:①2⨯-②,得735x = 解得5x = 把5x =代入①,得55225y ⨯+= 解得0y =∴原方程组的解为5x y =⎧⎨=⎩(3){258325x y x y +=+={236322x y x y +=-=-解:①3⨯,得61524x y += ③ ②2⨯,得6410x y += ④ ③-④,得1114y = 解得1411y =把1411y =代入①,得1425811x +⨯=解得911x = ∴原方程组的解为9111411x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解:①2⨯,得4612x y += ③ ②3⨯,得966x y -=- ④ ③+④,得136x = 解得613x =把613x =代入①,得623613y ⨯+=解得2213y = ∴所原方程组的解为6132213x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩二、课后作业:3.用加减法解下列方程组: (1){3276211u t u t +=-=(2){2334a b a b +=+=解:①+②,得918u = 解得2u = 把2u =代入①,得3227t ⨯+= 解得12t =∴原方程组的解是212u t =⎧⎪⎨=⎪⎩解:②-①,得1a =把1a =代入①,得213b ⨯+= 解得1b =∴原方程组的解是11a b =⎧⎨=⎩(3){25343x y x y -=--+=- (4)3112223x y x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩ 解:②5⨯,得20515x y -+=- ③ ①+③,得1818x -=- 解得1x =把1x =代入①,得2153y ⨯-=- 解得1y =∴原方程组的解是11x y =⎧⎨=⎩解:①4⨯,得264x y -=- ③ ②-③,得77y = 解得1y =把1y =代入②,得213x += 解得1x =∴原方程组的解是11x y =⎧⎨=⎩4.解下列方程组:(1){3(1)55(1)3(5)x y y x -=+-=+ (2)2313424575615u v u v ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解:原方程组可化为383520x y x y -=⎧⎨-=-⎩③-④,得428y = 解得7y =把7y =代入③,得378x -= 解得5x =∴原方程组的解是57x y =⎧⎨=⎩解:原方程组可化为896242514u v u v +=⎧⎨+=⎩③3⨯-④,得24v = 解得2v =把2v =代入④,得2425214u +⨯= 解得32u =-∴原方程组的解是322u v ⎧⎪=-⎨=⎪⎩三、新课预习:5.加工某种零件,甲每小时做a 个,甲的工效是乙的工效的1.5倍,则乙每小时加工( B ) A.12a 个B.23a 个 C.13a 个 D.32a 个 6.一批机器零件共150个,如果甲、乙两人合做正好10天完成；如果乙先做6天后,甲加入合做,再做8天也恰好完成,问两人每天各做多少零件? 解:设甲每天做x 个零件,乙每天做y 个零件.由题意,得 1010150814150x y x y +=⎧⎨+=⎩①4⨯-②5⨯,得30150y = 解得5y =把5y =代入①,得10105150x +⨯= 解得10x = ∴所列方程组的解为105x y =⎧⎨=⎩答:甲每天做10个零件,乙每天做5个零件.。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
2023-2024学年全国初中八年级下数学人教版期中考试试卷(含答案解析)
20232024学年全国初中八年级下数学人教版期中考试试卷(含答案解析)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=62. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=63. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=64. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8D. 4x2y=65. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=66. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=67. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=68. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=69. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10C. 5x+3y=15D. 4x2y=610. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=6二、填空题（每题2分，共20分）1. 2x+3y=6，求x的值。
2. 3x+5y=10，求y的值。
3. 4x2y=6，求x的值。
4. 5x+3y=15，求y的值。
5. 2x4y=8，求x的值。
6. 3x+5y=10，求y的值。
7. 4x2y=6，求x的值。
8. 5x+3y=15，求y的值。
9. 2x4y=8，求x的值。
10. 3x+5y=10，求y的值。
三、解答题（每题5分，共25分）1. 解方程组：2x+3y=63x+5y=102. 解方程组：5x+3y=153. 解方程组：2x4y=83x+5y=104. 解方程组：3x+5y=104x2y=65. 解方程组：5x+3y=152x4y=8四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算：2x+3y=63x+5y=102. 计算：4x2y=65x+3y=153. 计算：2x4y=83x+5y=10五、应用题（每题10分，共20分）1. 应用题：2x+3y=62. 应用题： 4x2y=6 5x+3y=15答案解析：一、选择题1. A2. B3. C4. D5. A6. B7. C8. D9. A10. B二、填空题1. x=12. y=23. x=24. y=35. x=26. y=27. x=28. y=39. x=210. y=2三、解答题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=24. x=2, y=35. x=2, y=2四、计算题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=2五、应用题1. x=1, y=22. x=2, y=38. 简答题（每题5分，共25分）1. 简述一元二次方程的一般形式。
数学三会的课堂教学实践(3篇)
第1篇一、背景数学三会是指在数学教学中，通过会学、会做、会用的教学方式，培养学生的数学思维、解决问题的能力和创新精神。
本文以一堂小学数学课为例，探讨数学三会在课堂教学实践中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握分数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用分数解决问题的能力。
3. 培养学生的合作意识和创新精神。
三、教学过程1. 导入新课教师通过生活中的实例引入新课，如：将一块蛋糕平均分成8份，每份占这块蛋糕的1/8。
通过这个问题，让学生初步感知分数的概念。
2. 新课讲解（1）分数的意义教师通过课件展示分数的定义：把一个整体平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。
（2）分数的性质教师引导学生观察分数的性质，如：分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变；分子和分母同时为0时，分数没有意义。
（3）分数的应用教师通过例题讲解分数的应用，如：求一个数的几分之几是多少，以及求一个数的几分之几与另一个数的几分之几的和或差。
3. 小组合作教师将学生分成若干小组，每组选取一个生活中的实际问题，运用分数知识进行解决。
例如，求某市居民用电量的平均数，需要将全市居民用电量总和除以居民总户数。
4. 学生展示各小组派代表展示解题过程，其他小组进行评价。
教师对学生的展示进行点评，总结优点和不足。
5. 课堂小结教师对本节课所学内容进行总结，强调分数的意义、性质和应用。
同时，鼓励学生在日常生活中运用分数知识解决实际问题。
四、教学反思1. 注重学生主体地位在课堂教学过程中，教师应充分尊重学生的主体地位，引导学生积极参与课堂活动，培养学生的自主学习能力。
2. 培养学生合作意识通过小组合作，让学生在解决问题的过程中学会沟通、协作，培养学生的团队精神。
3. 创设生活情境将数学知识与生活实际相结合，让学生在解决实际问题的过程中体会数学的价值。
4. 关注学生个体差异在课堂教学过程中，教师应关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行分层教学，确保每个学生都能有所收获。
8.二元一次方程组的解法3课件
2.思考题： 在解二元一次方程组中, 代入法 和加减法有什么异同点?
2.方程组
3x+2y=13
消去y后所得的方程是（B）
3x-2y=5
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
（三） 指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正：
7x－4y＝4 ①
5x－4y＝－4 ② 解:①－②，得
2x＝4－4， x＝0
解: ①－②，得 2x＝4＋4， x＝4
3x－4y＝14 ① 5x＋4y＝2 ② 解 ①－②，得
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
3x 5y 21 ① 2x 5 y -11 ②
把②变形得：x 5 y 11 2
x 代入①，不就消去 了！
小明
8.2二元一次方程组的解法3课件
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
把②变形得
5 y 2x 11
可以直接代入①呀！
－2x＝12 x ＝－6
解: ①＋②，得 8x＝16 x ＝2
四 小结
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 加减 求解
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写解
写出原方程组的解
五 作业
8.2 消元——二元一次方程组的解法
知识回顾
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2.用代入法解方程的步骤是什么？ 一元
主要步骤：
变形
用一个未知数解 分别求出两个未知数的值
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复习回顾
2 x my 8 六、 要使方程组 有正整数解， m 的 求 x 2y 0
值。
2 x 5 y 3 z 0 七、若 xyz>0, 求 x:y:z 的值. x 4 y 5z 0
畅所欲言
对自己说，你有什么收获？
对同学说，你有什么温馨提示？
对老师说，你还有什么困惑？
今日作业
1
订正 4.18练习题、学案6.9（3） 补充练习
2
3
学案6.１０
作业要求：请认真书写！
复习回顾
ax by 2 四、小雯与小辉同时解方程组 m x 7 y 8 x3 小辉解对了，得 ，小雯写错了 m ， y 2 x 2 得 ，求原方程组中 a, b, m 的值。 y2
复习回顾
2a 3b 7m 五、如果方程 的解也是方程 a 3 y 2 (3x 5 y 10) 0
2
求 (2x 1)
2011
( y 1)2011 的值。
3x 2 y 15 x y m 三、已知方程 和 有一 x 2y n 2 x 3 y 5
个公共解，求 m n 的值。
复习回顾
一、二元一次方程组的定义及特征 二、二元一次方程组解的定义及解的个数
三、解二元一次方程组的指导思想
二元方程
通过消元 转化为
一元方程
四、解二元一次方程组有哪些方法？ 1、代入消元法 2、加减消元法
复习回顾
一、用适当的方法解下列方程组
y 3 2x (1) 3x 2 y 8 2 x 3 y 2 0 (2) 4x 9 y 1 0
说一说：代入消元法、加减消元法解二元一次 方程组的适用范围
复习回顾
一、解下列二元一次方程组
6(2 x 3) 4( y 2) 3 (1) 3(2 x 3) 4( y 2) 6 5( x 2 y ) 4( x 2 y ) 1 (2) x 2 y x 2 y 1 3 2