随机过程补充例题
随机过程习题
随机过程习题一、判断题：5个，10分1、随机过程依照状态空间，可分为离散状态过程和连续状态过程。
2、非齐次泊松过程一定是独立增量过程。
3、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Tn是第n次更新发生的时刻，N(t)?n?Tn?t4、任意马尔可夫链都存在极限分布。
5、时齐的连续时间马尔可夫链的转移速率qij有qii?二、填空题：5个，15分?qj?iij。
1、若随机变量X的矩母函数为et2?2，则其期望E(X)为．2、设随机过程X(t)?R?t?C,t?(0,?),C为常数， R服从区间[0,1]上的均匀分布,则其均值函数为．3、设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次。
则它在使用期内只维修过一次的概率是．4、人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，若某人投保时健康, 3年后他仍处于健康状态的概率是．5、设时齐连续时间马尔可夫链{X(t),t?0}是正则的，由状态i经时间t后转移到状态j的概率为Pij(t)，则limP(t)? ．ijt?0三、计算题：5个，40分1、设数Y在区间(0,1)上随机地取值,当观察到Y=y(02求P{N(1)?2N(1)?1}。
4、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Xn是第n?1次更新和第n次更新相距的时间，且P(Xi?1)?1， 3P(Xi?2)?2，i?1,2,?，求P{N(2)?1}。
35、设马尔可夫链的状态空间S?{1,2,3,4}，转移概率矩阵为 ?1??4P??0?0??1?14000141001??4?0?， 1??0??试判断状态1是否是常返态。
四、应用题：2个，1题10,2题15分，共25分 1、一队同学顺次等候体检，设每人体检所需要的时间服从均值为2min的指数分布，并且与其他人所需时间是相互独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检？在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少？ 2、我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（1表示畅销，2表示滞销）： 112122111212112211212111 如该商品销售状态满足马尔可夫性和齐次性. 1)确定销售状态的转移概率矩阵； 2)如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售情况； 3)如果影响销售所有因素不变，预测长期的销售情况. 五、证明题：1个，10分将2个红球放入盒子甲，4个白球放入盒子乙，每次从两个盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后盒子甲中的红球数。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
应用随机过程习题
应用随机过程习题随机过程是概率论和统计学中的一种数学模型，用来描述随机事件在时间上的演化。
应用随机过程的习题有很多，可以涵盖多个领域，例如通信、金融、电力系统等。
下面我将给出一些应用随机过程的习题，并进行详细的解答。
习题1：航空公司的每小时飞行延误时间服从均值为2小时的指数分布。
计算飞行延误时间小于等于3小时的概率。
解答：首先，我们知道指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为参数。
延误时间小于等于3小时的概率可以表示为P(X≤3)，其中X为随机变量表示延误时间。
由于题目已经给出了参数λ=1/2小时^-1，我们可以直接代入计算概率。
P(X ≤ 3) = ∫[0, 3] λe^(-λx) dx= ∫[0, 3] (1/2)e^(-(1/2)x) dx=[-e^(-x/2)]，0,3=-(e^(-3/2)-1)≈0.7769所以飞行延误时间小于等于3小时的概率约为0.7769习题2：染料厂制造的染料每小时以恒定速率泄漏。
设染料从泄漏口出来的间隔时间服从均值为30分钟的指数分布。
求在1小时内泄漏从未中断的概率。
解答：设泄漏从未中断的概率为P(X>1)，其中X为随机变量表示泄漏中断的时间。
由于题目已经给出了参数λ=1/30分钟^-1，我们可以直接代入计算概率。
P(X>1)=1-P(X≤1)= 1 - ∫[0, 1] λe^(-λx) dx= 1 - ∫[0, 1] (1/30)e^(-(1/30)x) dx=1-[-e^(-x/30)]，0,1=1-(e^(-1/30)-1)≈0.0335所以在1小时内泄漏从未中断的概率约为0.0335习题3：商店的顾客到达服从均值为10分钟的指数分布，服务时间服从均值为8分钟的指数分布。
求平均每分钟服务完的顾客数。
解答：设顾客到达和服务完的速率为λ和μ，分别表示单位时间内到达和服务完的顾客数。
根据泊松过程的理论，平均每分钟服务完的顾客数为λ/μ。
随机过程部分试题
1，若从t=0开始每隔0.5秒抛一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程X(t)={cosπt,t时刻抛得正面2t, t时刻抛得反面求：（1）X(t)的一维分布函数F(12;x)和F(1;x)（2）X(t)的二维分布函数F(0.5,1;x1,x2)（2）X(t)的均值函数μx(t)和方差函数σX2(t)解：硬币出现正、反面得概率均为1/2F(0.5,1;x1,x2 )=F(0.5;x1)F(1;x2)={0,x1<0或x2<−112,0≤x1≤1或x2≥2或x1≥1，−1≤x2<214，0≤x1<1，−1≤x2<21，x1≥1，x2≥22，设为参数为σ2的维纳过程, 求积分过程的均值函数和相关函数。
解：设，由与的对称性维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方可积的二阶矩过程.假设乘客按照参数为λ的poisson过程来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t启程，试求在[0，t]内到达车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。
设在时间间隔[0，τ]内到达的乘客数为，则时间间隔[0，t]内乘客的总等待时间为某人备有r把伞用于上下班. 如果一天的开始他在家(一天的结束他在办公室)中而且天下雨,只要有伞可取到,他将拿一把到办公室(家)中. 若天不下雨那么他不带伞.假设每天的开始(结束)下雨的概率为p,且与之前下不下雨独立.(1)定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率;(2)计算极限分布;(3)这人被雨淋湿的平均次数,所占比率是多少(称天下雨而全部伞却在另一边为被淋湿)?设{Xn}为此人在第n天身边拥有的雨伞数,则I={0, 1,2,…,r},注意到下雨才用伞,而每天的开始下不下雨与之前独立,即知为Markov链.该链的一步转移概率为:于是计算极限分布的状态方程，记显然处于的极限状态才可能被淋湿,但每天的开始(结束)下雨的概率为p, 所以此人被雨淋湿的平均次数,所占比率即被淋湿的概率为某一个只有一名理发师的理发部，至多容纳4名顾客。
随机过程试题及解答
2016随机过程（A ）解答1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。
1) 求)(t X 的一维概率密度函数；2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故： (1) )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞(2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+（3）相关系数：(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。
问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。
数理统计与随机过程例题精选
例1：设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、 方差均为1的随机变量，令ζ（t）=ζ+ηt， 求ζ（t）的均值、方差和相关函数。
解：
1 (t ) E[ (t )] E ( ) tE() 0;
(t ) D[ (t )] D( t ) D( ) t D( ) 1 t ;
0 0 3 4 P 1 1 4 2 0 1
1 4 1 2 3 4
2 0 1 4 1 4
1 2 3
P X 0 0, X 2 1, X 4 1 P X 2 1, X 4 1| X 0 0 P X 1 0, X 2 0, X 3 0, X 4 0 | X 0 0
(4) E[N(5)]=5 , D N 5 5 , Cov[ N (5), N (12)] D N 5 5.
例3：证明:正弦波X (t ) Acos( t ) t , 2 x, 0 x 1 其中是常数, A与相互独立, A~f ( x) , 0, 其它 在(0, 2 )上均匀分布,是平稳过程; 并判断其是否为各态历经过程.
（2）ξt的均值函数;(3) ξt的相关函数。
解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”}
( t ) 2 ( t ) 4 p0 (t ) p2 (t ) e t {1 } 3 t cosht 2! 4!
（2）显然
E (t ) 1 e t cosht (1) e t sinh t e t (cosht sinh t ) e t e t e 2 t
3/4 1/4 0 3/4 1/4 0 0
应用随机过程第1章补充例题及作业
例 3 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：
e x f ( x, y ) 0
（1）问变量 X 与 Y 是否相互独立？ （2）求条件分布密度函数 fY | X ( y | x) ； （3）计算条件期望 E (Y | X ) 。
0 y x other
Y 0 1 2
X
0 0.25 0.05 0.05
10 0.05 0.15 0.10
20 0.05 0.05 0.25
（1）研究吸烟数量多与健康状态差有无关联？要求利用条件分布说明； （2） 研究每天吸 x 支烟 （x = 0,10,20） 的人的平均健康状态值， 并写出条件期望 E (Y | X ) 的分布律。 5. 已知 X
N (0,1) ，U 与 X 相互独立， P{U 0} P{U 1}
1 ，令 2
X Y X
证明： Y
U 0 U 1
。
N (0,1) ，但 ( X , Y ) 不服从二维正态分布。
isX itY
注：( X , Y ) 的二维特征函数为： XY ( s, t ) E (e 为： (t ) exp(i t
1 2
1
（3）计算 E ( X | X Y n) 。 ) 的二项分布。
4. 为研究吸烟与身体健康之间的关系，以 X 表示每人每天吸烟的数量，分为 3 类：0 支、10 支和 20 支；以 Y 表示人的健康状态，分为 3 等：好、中、差，分别表示为 Y=0、Y=1 和 Y=2。在某地区随机抽样调查得到 X 与 Y 的联合分布如下表所示。
1/ 2 1/ 6 1/ 3
2 / 6 1/ 3 0
则有：Y (Y1 , Y2 , Y3 ) K ( X1 , X 2 , X 3 ) KX ，其中 X ( X1 , X 2 , X 3 ) 是三维正态随 机变量。而正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量，即 Y (Y1,Y2,Y3) 是三维正态随机 变量，其均值向量与协方差矩阵为： Y K X (0,0,0) ， Y K Y K I 。 所以有 Y1 , Y2 , Y3 相互独立并且都服从标准正态分布。 例 5 假设 E ( X | Y ) EX ，证明随机变量 X 与 Y 不相关。
随机过程课后习地的题目
习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。
5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f tn e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
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随机过程补充例题
例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。
甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。
他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。
求甲输光的概率。
解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。
由题知，甲赢1元的概率为b p a b
=+，输1元的概率为
a q a b
=+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金，
inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ
表示最终摸球次数。
如果
inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。
设A =“第一局甲赢”，则()b
p A a b
=
+，()a
p A a b
=
+，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+
01f =，0m n f +=
解具有边界条件的差分方程 由特征方程
2()p q p q λλ+=+
（1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p
λλ==，所以差分方程的
通解为
212()n q
f c c p
=+
代入边界条件得
1()11()n
n n m
q p
f q p
+-=-
-
（2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为
12n f c c n =+
代入边界条件得
1n n
f n m
=-
+ 综合（1）（2）可得
1()11()
1n n m n q p p q
q f p n p q
n m +⎧
-⎪-
≠⎪⎪
-=⎨⎪
⎪-=⎪
+⎩
若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为
()
lim 1n jia
n m q p q p p f p q
→∞
⎧>⎪==⎨⎪≤⎩
由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时，
他以正的概率()n q p
输光，只是他的最初赌金n 越大输光的概率
越小。
然而一个赌徒他面临的对手是各个可能的赌场，他的赌金跟各个可能的赌场的赌金之和比起来是微不足道的，而且每一局他是占不到便宜的，即一般是p q ≤时，因此，最终他必将输光。
这也是俗话所说的“十赌九输”。
因此，奉劝大家远离赌博。
例2 在历史上有不少显赫的家族与民族消失了。
人们自然会问：一个群体最终灭绝的概率有多大？它与什么有关系？
解 设n X 为某群体第n 代的个体数，0n ≥，并设不同个体的“子
女”（直接后代）数是独立同分布的随机变量。
以n i Z 表示第n 代的第i 个成员的“子女”数，且设有
11n
X n
n i i X Z +==∑
上式表示第1n +代成员数是第n 所有成员的“子女”数之和。
显然，当n X 已知时，1n X +与1n X -，2n X -，3n X -，，0X 无关，所以是马尔科夫链，成为离散分支过程。
现在来讨论，当01X =时，该群体灭绝的概率。
为此，设 (){},,0,1,2,
k n p n p X k k n ===，则
011(1){}{}k k p p X k p Z k p =====
记1n X +的概率母函数（PGF ）为1()n A s +，即
1
110
()(){},||1n X k n n k A s E s
s p X k s +∞
++====≤∑
则
1
110
1()()(|){}
[()],0,1,2,
n n X X n n n k n A s E s
E s X k p X k A A s n ++∞
+=======
∑
设1
n Z 的概率母函数为()A s ，即1
()(),||1n Z k k k A s E s
p s s ∞
===≤∑，因为不
同个体的子女数独立同分布，且011X Z =，所以
11()()()Z A s E s A s ==
由上式递推得
1111112231()[()]{[()]}
[()][()][()]
n n n n n n A s A A s A A A s A A s A A s A A s +---======
=
因为第n 代成员数为0，则第1n +代成员数肯定也为0，即
1{0}{0}n n X X +=⊂=
所以000()(1)1p n p n ≤≤+≤，从而数列0{(),0}p n n ≥的极限存在，记
为0π，即00lim ()n p n π→∞
=。
由定理 当01X =时，上述群体最终灭绝的概率0π是方程()s A s =的最小正根。
其中()A s 为01Z 即1X 得概率母函数。
且该群体最终肯定灭绝的充分必要条件是一个成员的平均“子女”数不超过1，即
011πμ=⇔≤
其中011[]()(),1,2,3,;1,2,3,
n i E Z E X E Z n i μ=====。