【初中数学同步练习】二次函数拓展(一)
人教版数学九年级上册二次函数专题训练
二次函数专题训练1．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．2．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．6. 如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线233y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．7. 如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．8. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1，0），C （3，0），D （3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax 2+bx+c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t 秒．过点P 作PE⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．9．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x=-与抛物线214y x bx c=-++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方．．的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.11.已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．（1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．12．如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（－3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．13. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？15. 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－b2a，4ac－b24a）16. 如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A （2，0），交y 轴于点B （0，25）．直线y=kx 过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ． （1）求抛物线y=x 2+bx+c与直线y=kx 的解析式；（2）设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A 、D 重合），过点P 作 y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，作DE ⊥y 轴于点E ．探究：是否存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，作PN ⊥AD 于点N ，设⊥PMN 的周长为L ，点P 的横坐标为x ，求l 与x 的函数关系式，并求出L 的最大值．17. 某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1（元）与国内销售数量x （千件）的关系为：()()1159002513026x x y x x ⎧+⎪=⎨-+⎪⎩＜≤≤＜ 若在国外销售，平均每件产品的利润y 2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系为：()()210002511026t y t t ⎧⎪=⎨-+⎪⎩＜≤≤＜ （1） 用x 的代数式表示t 为：t＝ ；当0＜x≤4时，y 2与x 的函数关系为y 2＝ ；当≤x＜ 时，y 2＝100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w （千元）与国内的销售数量x （千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？822--=x x y 交y 轴于点A ，交x 轴正18. 如图，抛物线半轴于点B.（1）求直线AB 对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于y 轴；在点A 、B 之间平行移动；直尺两边长所在直线被直线AB 和抛物线截得两线段MN 、PQ.设M 点的横坐标为m ；且30<<m .试比较线段MN 与PQ 的大小.线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－52）三19. 如图，抛物点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．20. 如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使⊥AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使⊥POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出⊥POB的面积；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与⊥BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，⊥PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）24.如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O 点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②⊥AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。
初中数学重点梳理：二次函数拓展
二次函数拓展知识定位本节主要内容有运用两点式求二次函数表达式，以及二次函数中一些技巧规律和方法，综合题函数与方程的转化思想，二次函数也一直都是高考和高中联赛一试的重要内容之一.本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.注意点：二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上； 当0<a 时，开口向下；当a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .注意点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 4.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点;②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）两点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121例题精讲【试题来源】1996年全国高中数学联赛【题目】如果在区间[1，2]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x 2在同一点取相同的最小值，求f (x )在该区间上的最大值 【答案】4－5232+34【解析】 解：由于g(x)= x +1x 2=12x +12x+1x 2≥3314=3232．当且仅当12x=1x 2，即x=32时等号成立． 由于32∈[1，2]，故x=32时g(x)取得最小值．因为f (x )=x 2+px +q =22()24p p x q ++-，所以－p 2=32且 4q －p 24=3232， 解得p =－232，q =3232+34． 由于32－1<2－32．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－5232+34．【知识点】二次函数拓展 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】1992年全国高中数学联赛【题目】求函数f (x )=x 4－3x 2－6x +13－x 4－x 2+1的最大值。
人教版九年级上数学《22.1.1二次函数》同步拓展(含答案)
22.1.1二次函数基础闯关全练拓展训练1.(2020湖北孝感孝南三校月考)对于y=ax2+bx+c,有以下四种说法,其中正确的是()A.当b=0时,二次函数是y=ax2+cB.当c=0时,二次函数是y=ax2+bxC.当a=0时,一次函数是y=bx+cD.以上说法都不对2.(2020北京昌平期末)已知y=(m-2)x|m|+2是关于x的二次函数,那么m的值为()A.-2B.2C.±2D.03.(2020山东潍坊昌乐期末)有长24m的篱笆,一面利用长为12m的围墙围成如图所示中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃垂直于墙的一边长为x m,面积为S m2,则S与x的函数关系式是,x的取值范围为.能力提升全练拓展训练1.已知函数y=(m-2)x m2-2+4x+7是二次函数,则代数式√m2+2m+8的值为()A.4B.2√2C.4或2√2D.±2√22.已知函数y=(m-1)x m2-5m+6+3x是关于x的二次函数,且等腰直角△ABC的一边长为m,则等腰直角△ABC的周长为.三年模拟全练拓展训练1.(2020河南漯河临颍期中,4,★★☆)如果函数y=(k-2)·x k2-2k+2+kx+1是关于x的二次函数,那么k的值是()A.1或2B.0或2C.2D.02.(2020云南红河弥勒江边中学月考,12,★☆☆)国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为36元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系式为()A.y=72(1-x)B.y=36(1-x)C.y=36(1-x2)D.y=36(1-x)2五年中考全练拓展训练(2020湖南怀化中考,3,★☆☆)下列函数是二次函数的为()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=1x-22核心素养全练拓展训练1.已知函数y=x k2-2k-1是关于x的二次函数,则一次函数y=kx的图象大致是()2.(2020湖北孝感孝南三校月考)已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3.(1)当时,x,y之间是二次函数关系;(2)当时,x,y之间是一次函数关系.22.1.1 二次函数基础闯关全练拓展训练1.答案 D 当b=0,a ≠0时,二次函数是y=ax 2+c,选项A 中缺少对a 的限制,不符合题意;当c=0,a ≠0时,二次函数是y=ax 2+bx,选项B 中缺少对a 的限制,不符合题意;当a=0,b ≠0时,一次函数是y=bx+c,选项C 中缺少对b 的限制,不符合题意;选项D,以上说法都不对,符合题意.故选D.2.答案 A 由y=(m-2)x |m|+2是关于x 的二次函数,得|m|=2且m-2≠0.解得m=-2.故选A.3.答案 S=(24-3x)x;4≤x<8解析 由题意得S=(24-3x)x,∵围墙长12 m,∴24-3x ≤12,解得x ≥4,∵3x<24,∴x<8,∴4≤x<8.能力提升全练拓展训练1.答案 B ∵函数y=(m-2)x m 2-2+4x+7是二次函数,∴{m 2-2=2,m -2≠0,解得{m =±2,m ≠2,∴m=-2.∴√m 2+2m +8=√(-2)2+2×(-2)+8=2√2. 2.答案 8+4√2或4√2+4解析 ∵函数y=(m-1)x m 2-5m+6+3x 是关于x 的二次函数,∴{m 2-5m +6=2,m -1≠0,解得{m =4或m =1,m ≠1,∴m=4.当等腰直角△ABC 的直角边长为4时,则斜边长为4√2,∴周长为4+4+4√2=8+4√2;当等腰直角△ABC 的斜边长为4时,则直角边长为2√2,∴周长为2√2+2√2+4=4√2+4.三年模拟全练拓展训练1.答案 D ∵函数y=(k-2)x k 2-2k+2+kx+1是关于x 的二次函数,∴{k 2-2k +2=2,k -2≠0,解得k=0.故选D.2.答案D因为该药品的原价为36元,所以第一次降价后的价格为36(1-x)元,第二次降价后的价格为36(1-x)(1-x)元,即y与x之间的函数关系式为y=36(1-x)2.故选D.五年中考全练拓展训练答案C选项A,B,D中的函数都是一次函数,只有选项C中的函数是二次函数.核心素养全练拓展训练1.答案B一次函数y=kx的图象是过原点的直线,故首先排除C;∵y=x k2-2k-1是关于x的二次函数,∴k2-2k-1=2,解得k1=3,k2=-1.当k=3时,一次函数y=kx的图象经过第一、三象限,且图象靠近y轴,选项B中图象相符;当k=-1时,一次函数y=kx的图象经过第二、四象限,且为第二、四象限的角平分线,无相符图象.故选B.2.答案(1)a≠2(2)a=2且b≠-2解析(1)当x,y之间是二次函数关系时,a-2≠0,即a≠2.(2)当x,y之间是一次函数关系时,a-2=0且b+2≠0,即a=2且b≠-2.。
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。
2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》拓展练习 学生版
2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》同步拓展一、选择题1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=42．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧3．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=55．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．6．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣7．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x18．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞49．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③ B．③④ C．①② D．①④10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x ﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x2二、填空题13．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．14．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．18．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．三、解答题19．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20.已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）21．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．22．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．23．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？24．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练(一)(含答案)
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练（一）（含答案）一．选择题（共10小题）1．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝x2﹣x（x+2）B．y＝x2﹣C．x＝y2 D．y＝（x﹣1）（x+3）2．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④当m＜﹣2时，am2+bm＞0．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．14．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+36．抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（）A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤37．如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限8．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上两点，若x1＜x2且x1+x2＝2﹣a．则（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1与y2大小不能确定10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．抛物线y＝2x2﹣ax+b与x轴相交于不同两点A（x1，0），B（x2，0），若存在整数a，b使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则ab＝．14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．17．如图，已知二次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求线段BC的长；（2）当0≤y≤3时，请直接写出x的范围；（3）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP，当∠BCP＝90°时，求点P的坐标．18．某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份，设该店每份套餐的售价为x元（x为正整数），每天的销售量为y份，每天的利润为w元．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）求出w与x的函数关系式；并求出利润w的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、y＝x2﹣x（x+2）＝﹣2x为一次函数；B、y＝x2﹣不是二次函数；C、x＝y2 不是函数；D、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3为二次函数．故选：D．2．解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．3．解：∵抛物线经过原点，∴c＝0，所以①正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以②正确；即x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+0＝3a，所以③错误；当x＜﹣2或x＞0时，y＞0，∴m＜﹣2时，am2+bm＞0．所以④正确．故选：B．4．解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a＞c＞b，故选：D．5．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．6．解：∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣，∵点A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，∴0＜|1+|≤，∴0＜≤，∴a≥1，把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：a+1﹣2a+3＝m，∴4﹣a＝m，∴a＝4﹣m，∴4﹣m≥1，∴m≤3，故选：D．7．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．8．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1＜x2且x1+x2＝2﹣a，∴＝1﹣a＜1，∴点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离，∴y1＞y2，故选：A．10．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：∵抛物线y＝2x2﹣ax+b，∴抛物线开口向上，∵1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，∴当x＝1时，y＞0；当x＝3时，y＞0；1＜对称轴x＜3；判别式△≥0．∴∴4＜a＜12，∵a是整数，则a＝5，6，7，8，9，10，11当a＝5时，无整数解；当a＝6时，无整数解；当a＝7时，b＝6；当a＝8时，b＝7；当a＝9时，无整数解；当a＝10时，b＝9；当a＝11时，无整数解，综上所述，整数a＝7，b＝6或a＝8，b＝7或a＝10，b＝9时，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立．故答案为：42或56或90．14．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y ＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在y＝（x﹣1）2﹣3中，∵a＝＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，当y＝0时，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△BOC中，BC＝＝5，（2）由（1）可知y＝0时，x＝﹣1或4，当y＝3时，x＝0或3，观察图象可得当0≤y≤3时，x的取值范围是：﹣1≤x≤0或3≤x≤4．（3）过点P作PD⊥y轴，设点P坐标为（x，），则点D坐标为（0，），∴PD＝x，CD＝﹣3＝，∵∠BCP＝90°，∴∠PCD+∠BCO＝90°，∵∠PCD+∠CPD＝90°，∴∠BCO＝∠CPD，∵∠PDC＝∠BOC＝90°，∴△PDC∽△COB，∴，∴，∴x＝或x＝0（舍去），当x＝时，y＝，∴点P坐标为（，）．18．解：（1）∵每份售价超过10元且每天的销售量不为负数，∴y＝300﹣30（x﹣10）＝﹣30x+600，∵﹣30x+600≥0，∴x≤20．（2）当7≤x≤10时，w＝300（x﹣7）﹣200＝300x﹣2300；当10＜x≤20时，w＝（﹣30x+600）（x﹣7）﹣200＝﹣30x2+810x﹣4400．∴w＝，∵当7≤x≤10时，∵k＝300＞0，y随x增大而增大，∴当x＝10时，w最大值＝700元；∵当10＜x≤20时，∵a＝﹣30＜0，w有最大值，∴当时，∵x取整数，∴x应取13或14，w最大，∴x＝13时，w取最大值：元．∵700＜1060，∴每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC＝AB•OC＝×6×16＝48．20．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），∴﹣＝1，＝2，解得m＝﹣2，n＝3；（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，∴﹣2≤x Q≤2，由图象可知，2≤y Q≤11即2≤b≤11．（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，∴n＝0，∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．。
人教版九年级数学上册22.3：实际问题与二次函数 拓展练习
22.3实际问题与二次函数拓展练习一、选择题1．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为A ．60元B ．70元C ．80元D ．90元2．某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m ．根据图象，当推出秋千3s 后，秋千的高度为（ ）A ．10mB ．15mC ．16mD ．18m 3．已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是（ ）． A ．当1a =时，函数图象经过点(1,1)-B ．当2a =-时，函数图象与x 轴有两个交点C ．若0a <，函数图象顶点始终在x 轴的下方D ．若0a >，当1x ≥时，y 随x 的增大而减小4．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为A．60元B．70元C．80元D．90元5．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（）A．m B．C mD m6．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）7．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t≤0B．﹣1≤t12≤-C．12t-≤≤D．t≤﹣1或t≥08．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是2y x2x3=-++，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球运动的时间为6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t ＝1.5s 时，小球的高度h ＝30m ．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②④ 10．小明研究二次函数2221y x mx m =-+-+（m 为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x 轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当12x -<<时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为2m ≥；④点()11,A x y 与点()22,B x y 在函数图象上，若12x x <，122x x m +>，则12y y >.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题11．如图，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.12．航天飞机从某个时间t 秒开始，其飞行高度为h ＝﹣10t 2+700t+21000（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒．13．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣232t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ． 14．某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A 、B 两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B 商品的数量比A 商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A 商品正打九折销售，而B 商品的价格提高了20%，小明决定将A 、B 产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．15．已知经过原点的抛物线y =−2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A ，现将抛物线向右平移m(m >0)个单位长度，所得抛物线与x 轴交于C,D ，与原抛物线交于点P ，设ΔPCD 的面积为S ，则用m 表示S =__________三、解答题16．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系y ＝﹣0.1x 2+2.6x+43（0≤x≤30）．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？17．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg ，每日销售量(kg)y 与销售单价x （元/kg ）满足关系式：1005000y x =-+．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg ．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W （元）．（1）请求出日获利W 与销售单价x 之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当40000W ≥元时，网络平台将向板栗公可收取a 元/kg(4)a <的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a 的值．18．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶E ，以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则此抛物线的表达式可设为20.9y ax bx =++.（1）求该抛物线的表达式；（2）求绳子甩到最高处时的最大高度；（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，求出t的取值范围.19．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点D．如图，若该抛物线经过原点O，且a＝－1 3 .(1)求点D的坐标及该抛物线的解析式；(2)连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A 和A1、点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．21．如图，抛物线()220y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点()0,4C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为()4,0．()1求该抛物线的解析式；()2抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK KN +最小，并求出点K 的坐标；()3点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；()4若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为()2,0．问：是否存在这样的直线l ，使得ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1． C2． B3． D4． C5． A6． A7． A8． D9． C10． D11． 412． 3013． 2414． 312.15． s ={−12m 2+2(0<m <2)12m 2−2(m >2) 16． 解：（1）∵y ＝﹣0.1（x 2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x ﹣13）2+59.9 ∴对称轴是：直线x ＝13即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；（2）当x ＝10时，y ＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．17． （1）22100550027000(610)100560032000(1030)x x x w x x x ⎧-+-≤≤=⎨-+-<≤⎩；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）2a =18． (1) 20.10.60.9y x x =-++;(2) 最大高度为1.8米;(3) 当 1.4y >时，15t <<.19． （1）D 点的坐标是(3，1)．y ＝－13x 2＋43x ；（2）在抛物线上存在点P 1(52，54)，P 2(112，－114)，使得∠POB 与∠BCD 互余． 20． （1）y ＝－132x 2＋8(－8≤x≤8)；（2）该货车能安全通过这个隧道．理由略. 21． （1）2142y x x =-++；（2）点K 的坐标为8,017⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）略。
新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2+bx+c的图象与性质(1)
优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2＋bx ＋c 的图象与性质(1)———提优清单———提优点1：二次函数y = ax 2＋bx ＋c 的图象 提优点2：二次函数y = ax 2＋bx ＋c 的性质———典型例题———【例1】（2014•福建厦门市二模）抛物线y =ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … － 2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法中错误的是（ ） A ．抛物线与x 轴的一个交点为（3，0） B ．函数y =ax 2＋bx ＋c 的最大值为6 C ．抛物线的对称轴是直线x ＝12D ．在对称轴左侧，y 随x 增大而增大【方法总结】（1）二次函数y =ax 2＋bx ＋c总可以化成y =a（x －h ）2＋k 的形式，故抛物线y =ax 2＋bx ＋c 也可以看作由抛物线y =ax 2平移得到的．（2）可以用配方法把y =ax 2＋bx ＋c 化为顶点式．因此，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－ab2，顶点坐标为（－ab2，a b ac 442-）．（3）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象可看作y =ax 2向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|a b ac 442-|个单位得到的．【例2】（2014•安徽省）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2－4mx ＋2m 2＋1，和y 2=ax 2＋bx ＋5，其中y 1的图象经过点A （1，1），若y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x ≤3时，y 2的最大值．【方法总结】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，二次函数的性质（开口方向、增减性），利用分类讨论的思想，阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．变式：（2014•浙江绍兴）如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y =x 2＋px ＋q ，我们称[p ，q ]为此函数的特征数，如函数y =x 2＋2x ＋3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？【例3】（2014•湖南邵阳）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2－（m ＋n ）x ＋mn （m ＞n ）与x 轴相交于A 、B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴相交于点C ． （1）若m =2，n =1，求A 、B 两点的坐标；（2）若A 、B 两点分别位于y 轴的两侧，C 点坐标是（0，－1），求∠ACB 的大小；（3）若m =2，△ABC 是等腰三角形，求n 的值．【方法总结】注意运用数形结合思想和分类讨论思想，结合因式分解、二次函数性质，利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识求解．———分层提优———复习巩固提优1．（☆2013•江苏徐州）二次函数y=ax2＋bx ＋c图象上部分点的坐标满足下表：x …－3 －2 －1 0 1 …y…－3 －2 －3 －6 －11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（－3，－3）B．（－2，－2）C．（－1，－3）D．（0，－6）2．（☆☆2013•内蒙古呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx＋m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A BC D3．（☆☆☆2014•广西南宁）如图，已知二次函数y=－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．－1＜a≤1C．a＞0 D．－1＜a＜2 4．（☆☆2012•江苏南京）已知下列函数①y=x2；②y=－x2；③y=（x－1）2＋2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2＋2x－3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．5．（☆2014•黑龙江牡丹江）抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A （－3，0），对称轴是直线x=－1，则a＋b＋c= ．6．（☆☆☆2014•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC 的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a 的式子表示）．7．（☆☆☆2014•浙江杭州）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2－（4kx＋1）x－k＋1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写道黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．8．（☆☆☆☆2014•河北省）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点，抛物线l的解析式为y=（－1）n x2＋bx＋c（n为整数）．（1）n为奇数且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点．（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上．（3）若l经过九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．综合运用提优9．（☆☆2014•普陀区一模）二次函数y=ax2－2x－3（a＜0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（☆☆2013•陕西省）已知两点A（－5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞－5 B．x0＞－1C．－5＜x0＜－1 D．－2＜x0＜311．（☆☆☆2013•新疆乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且m－k＋1=2k＋n=1，则代数式2k2－8k＋6的最小值为（）A．－2 B．0 C．2 D．2.5 12．（☆☆2014•河南省）已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2，0），抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为．13．（☆☆☆2014•武汉市江岸区二模）已知抛物线y=1 2 x2＋bx经过点A（4，0）．设点C（1，－3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD－CD|的值最大，则D 点的坐标为．14．（☆☆☆☆2014•浙江湖州）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=12x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．15．（☆☆☆☆2014•甘肃兰州）如图，抛物线y=－12x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（－1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．16．（☆☆☆☆浙江省竞赛题）已知二次函数y=ax2＋2（m ＋1）x－m＋1．（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x＋1经过二次函数y=x2＋2（m＋1）x －m＋1图象的顶点P，求此时m的值．拓广探究提优17．（☆☆☆☆☆2014•吉林省）如图①，直线l：y=mx＋n （m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=－2x＋2，则P表示的函数解析式为；若P：y=－x2－3x＋4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=－2x＋4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx－4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=10，直接写出l，P表示的函数解析式．———参考答案———例1．【答案】B【解析】根据表格数据知道：抛物线的开口方向向下，∵x=0，x=1的函数值相等，∴对称轴为x=12，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），在对称轴左侧，y随x增大而增大，最大值大于6．故错误的说法为B．例2．【解析】（1）答案不唯一，如y=2x2与y=x2，y=2（x－3）2＋4与y=3（x－3）2＋4等．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12－4×m×1＋2m2＋1=1．整理得m2－2m＋1=0，解得m1=m2=1．∴y1=2x2－4x＋3=2（x－1）2＋1，∴y1＋y2=2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5=（a＋2）x2＋（b－4）x＋8．∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1＋y2=（a＋2）（x－1）2＋1=（a＋2）x2－2（a＋2）x＋（a＋2）＋1．其中a＋2＞0，即a＞－2．∴42(2),8(2)1,b aa-=-+⎧⎨=++⎩解得5,10.ab=⎧⎨=-⎩∴函数y2的表达式为y2=5x2－10x＋5．∴y2=5x2－10x＋5=5（x－1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0－1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3－1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．变式：【解析】（1）由题意可得y=x2－2x＋1=（x－1）2，∴此函数图象的顶点坐标为（1，0）；（2）①由题意可得y=x2＋4x－1=（x＋2）2－5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到y=（x＋2－1）2－5＋1=（x＋1）2－4=x2＋2x－3，∴图象对应的函数的特征数为[2，－3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为y=x2＋2x＋3=（x＋1）2＋2．∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为y =x 2＋3x ＋4=（x ＋32）2＋74，∴原函数的图象向左平移12个单位，再向下平移14个单位得到． 例3．【解析】（1）∵y =x 2－（m ＋n ）x ＋mn =（x －m ）（x －n ），∴x =m 或x =n 时，y 都为0． ∵m ＞n ，且点A 位于点B 的右侧，∴A （m ，0），B （n ，0）． ∵m =2，n =1，∴A （2，0），B （1，0）．（2）∵抛物线y =x 2－（m ＋n ）x ＋mn （m ＞n ）过C （0，－1），∴－1=mn ，∴n =－1m． ∵B （n ，0），∴B （－1m，0）． ∵AO =m ，BO =1m，CO =1， ∴AC 22AO OC+21m +BC 22OB OC+21m +AB =AO ＋BO =m ＋1m， ∵（m ＋1m）2=21m +）2＋（21m m +）2，∴AB 2=AC 2＋BC 2，∴∠ACB =90°．（3）∵A （m ，0），B （n ，0），C （0，mn ），且m =2，∴A （2，0），B （n ，0），C （0，2n ）． ∴AO =2，BO =|n |，CO =|2n |， ∴AC 22AO OC +21n +，BC 22OB OC +5n |，AB =x A －x B =2－n ．①当AC =BC 时，21n +5n |，解得n =2（A 、B 两点重合，舍去）或n =－2；②当AC =AB 时，21n +=2－n ，解得n =0（B 、C 两点重合，舍去）或n =－43；③当BC =AB 时，5n |=2－n ，当n ＞0时，5=2－n ，解得n=512，当n ＜0时，5n =2－n ，解得n =－512． 综上所述，n =－2，－4351+51-时，△ABC 是等腰三角形．1．【答案】B【解析】∵x =－3和－1时的函数值都是－3相等，∴二次函数的对称轴为直线x =－2，∴顶点坐标为（－2，－2）． 2．【答案】D【解析】当二次函数开口向下时，－m ＜0，m ＞0，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，－m ＞0，m ＜0，对称轴x =22m =1m＜0，这时二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选D ． 3．【答案】B【解析】二次函数y =－x 2＋2x 的对称轴为直线x =1，∵－1＜x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，∴a ≤1，∴－1＜a ≤1． 4．【答案】①③【解析】原式可化为y =（x ＋1）2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y =x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y =（x ＋1）2－4，的图象，故①正确；函数y =（x ＋1）2－4的图象开口向上，函数y =－x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y =（x －1）2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y =（x ＋1）2－4的图象，故③正确． 5．【答案】0【解析】抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点为（1，0），∴a ＋b ＋c =0． 6．【答案】a ＋4【解析】∵对称轴为直线x =－2，抛物线经过原点、x 轴负半轴交于点B ，∴OB =4．∵由抛物线的对称性知AB =AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO ＋AC ＋BC ＋OB =△ABC 的周长＋OB =a ＋4．7．【解析】①真，将（1，0）代入，可得2k －（4k ＋1）－k ＋1=0，解得k =0．运用方程思想； ②假，反例：k =0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k =1，－2b a =54，当x ＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k =0时，函数无最大、最小值；k ≠0时，y 极值=244ac b a-=－22418k k+，∴当k ＞0时，有最小值，最小值为负；当k ＜0时，有最大值，最大值为正． 运用分类讨论思想．8．【解析】（1）n 为奇数，y =－x 2＋bx ＋c ．∵点A （1，0）和C （2，1）在抛物线上，∴21,221,c b c =⎧⎨-++=⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩由于y =－x 2＋2x ＋1=－（x －1）2＋2，顶点坐标为（1，2），∴格点E 是该抛物线的顶点． （2）n 为偶数，y =x 2＋bx ＋c ．∵点A （1，0）和B （2，0）在抛物线上，∴2210,220,b c b c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩解得3,2.b c =-⎧⎨=⎩∴y =x 2－3x ＋2． 当x =0时，y =2≠1．∴点F （0，2）在该抛物线上，而点H （0，1）不在这条抛物线上． （3）所有满足条件的抛物线共有8条．【提示】当n 为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得3条抛物线，如图1；当n 为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得3条抛物线，如图2．共8条．9．【答案】A【解析】∵二次函数y =ax 2－2x －3（a ＜0）的对称轴为直线x =－2b a =－22a =1a＜0，∴其顶点坐标在第二或第三象限， ∵当x =0时，y =－3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图象一定不经过第一象限． 10．【答案】B【解析】∵点C （x 0，y 0）是抛物线的顶点，y 1＞y 2≥y 0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a ＞0；∴25a －5b ＋c＞9a ＋3b ＋c ，∴2b a ＜1，∴－2ba＞－1，∴x 0＞－1，∴x 0的取值范围是x 0＞－1． 11．【答案】D【解析】∵m ，n ，k 为非负实数，且m －k ＋1=2k ＋n =1，∴m ，n ，k 最小为0，当n =0时，k 最大为12，∴0≤k ≤12．∵2k 2－8k ＋6=2（k －2）2－2，∴a =2＞0，∴k ≤2时，代数式2k 2－8k ＋6的值随k 的增大而减小，∴k =12时，代数式2k 2－8k＋6的最小值为2×（12）2－8×12＋6=2.5． 12．【答案】8【解析】根据抛物线的对称性，点A 到对称轴x =2的距离是4，又点A 、点B 关于x =2对称，∴AB =8． 13．【答案】（2，－6）【解析】∵抛物线y =12x 2＋bx 经过点A （4，0），∴12×42＋4b =0，∴b =－2，∴抛物线的解析式为y =12x 2－2x =12（x －2）2－2，∴抛物线的对称轴为直线x =2．∵点C （1，－3），∴作点C 关于x =2的对称点C′（3，－3），直线AC′与x =2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD －CD |＜AC′．所以最大值就是在D 是AC′延长线上的点的时候取到|AD －C′D |=AC′．把A ，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式为y =3x －12，当x =2时，y =－6，∴D 点的坐标为（2，－6）． 14．【答案】m ＞－52【解析】∵正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且a ＜b ＜c ，∴a 最小是2，∵y 1＜y 2＜y 3，∴－122m ⨯＜2.5，解得m ＞－52． 15．【解析】（1）∵抛物线y =－12x 2＋mx ＋n 经过A （－1，0），C （0，2）， ∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为y =－12x 2＋32x ＋2；（2）∵y =－12x 2＋32x ＋2，∴y =－12（x －32）2＋258，∴抛物线的对称轴是直线x =32． ∴OD =32． ∵C （0，2），∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD =52． ∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H ，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（32，4），P2（32，52），P3（32，－52）；（3）当y=0时，0=－12x2＋32x＋2，∴x1=－1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx＋b，由图象，得2,04,bk b=⎧⎨=+⎩解得1,22.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC的解析式为y=－12x＋2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，－12a＋2），F（a，－12a2＋32a＋2），∴EF=－12a2＋32a＋2－（－12a＋2）=－12a2＋2a（0≤a≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD＋S△CEF＋S△BEF=12BD•OC＋12EF•CM＋12EF•BN=12×52×2＋12a（－12a2＋2a）＋12（4－a）（－12a2＋2a）=－a2＋4a＋52=－（a－2）2＋132（0≤a≤4）．∴a=2时，四边形CDBF的面积S最大=132，∴E（2，1）．16．【解析】（1）该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上．求该抛物线的函数表达式如下： 利用配方，得y =（x ＋m ＋1）2－m 2－3m ，顶点坐标是P （－m －1，－m 2－3m ）．方法一：分别取m =0，－1，1，得到三个顶点坐标是P 1（－1，0）、P 2（0，2）、P 3（－2，－4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y =－x 2＋x ＋2．将顶点坐标P （－m －1，－m 2－3m ）代入y =－x 2＋x ＋2的左右两边，左边=－m 2－3m ， 右边=－（－m －1）2＋（－m －1）＋2=－m 2－3m ，∴左边=右边．即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y =－x 2＋x ＋2上． 即所求抛物线的函数表达式是y =－x 2＋x ＋2．方法二：令－m －1=x ，则m =－x －1，将其代入－m 2－3m ，得－（－x －1）2－3（－x －1）=－x 2＋x ＋2． 即所求抛物线的函数表达式是y =－x 2＋x ＋2上．（2）如果顶点P （－m －1，－m 2－3m ）在直线y =x ＋1上， 则－m 2－3m =－m －1＋1， 即m 2=－2m ，∴m =0或m =－2，∴当直线y =x ＋1经过二次函数y =x 2＋2（m ＋1）x －m ＋1图象的顶点P 时，m 的值是－2或0． 17．【解析】（1）若l ：y =－2x ＋2，则A （1，0），B （0，2）． ∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，∴D （－2，0）． 设P 表示的函数解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，将点A 、B 、D 坐标代入，得0,2,420,a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得1,1,2.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴P 表示的函数解析式为y =－x 2－x ＋2；若P ：y =－x 2－3x ＋4=－（x ＋4）（x －1），则D （－4，0），A （1，0）．∴B （0，4）． 设l 表示的函数解析式为y =kx ＋b ，将点A 、B 坐标代入，得0,4,k b b +=⎧⎨=⎩解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩ ∴l 表示的函数解析式为y =－4x ＋4．（2）直线l ：y =mx ＋n （m ＞0，n ＜0），令y =0，即mx ＋n =0，得x =－nm；令x =0，得y =n ． ∴A （－nm，0）、B （0，n ），∴D （－n ，0）． 设抛物线对称轴与x 轴的交点为N （x ，0）， ∵DN =AN ，∴－n m －x =x －（－n ），∴2x =－n －n m ， ∴P 的对称轴为x =－2mn nm+． （3）若l ：y =－2x ＋4，则A （2，0）、B （0，4），∴C （0，2）、D （－4，0）． 可求得直线CD 的解析式为y =12x ＋2．由（2）可知，P的对称轴为x=－1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为y=12x＋b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|x F－（－1）|=|x F＋1|=1，解得x F=0或x F=－2．∵点F在直线l l：y=－2x＋4上，∴点F坐标为（0，4）或（－2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为y=12x＋4，当x=－1时，y=72，∴Q1（－1，72）；若F（－2，8），则直线FQ的解析式为y=12x＋9，当x=－1时，y=172，∴Q2（－1，172）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（－1，72）、Q2（－1，172）．（4）如答图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG=12AB，OH=12CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG2OM2105，∴AB=2OG5∵l：y=mx－4m，∴A（4，0），B（0，－4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2=AB2，即：42＋（－4m）2=（52，解得m=－2或m=2．∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=－2．∴l表示的函数解析式为y=－2x＋8；∴B（0，8），D（－8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=－14x2－x＋8．16．【答案】【解析】17．【答案】【解析】18．【答案】【解析】19．【答案】【解析】。