FIR 滤波器和 IIR 滤波器的格型结构

4.3.5 全零点格型结构1973年，Gray 和Markel 提出一种新的系统结构形式，即格型结构（lattice structure ）。

这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。

这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。

这种结构有三种形式，即适用于FIR 系统的全极点格型结构和适用于IIR 系统的全极点和零极点格型结构。

下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。

其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。

格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。

图7.11 示出其中的第m 极。

与FIR 滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的，图7.10 全零点格型结构图7.11 全零点格型结构的基本单元让我们从一组FIR 滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。

图7.10 中，以)(n x 为输入序列，后接M 个格型级，这样就形成M 个滤波器：第m （M m ,...,2,1=）个滤波器有两个输出，即上输出)(n f m 和下输出)(n g m 。

以)(n f m 为输出的滤波器称为前向滤波器；以)(n g m 为输出的滤波器称为后向滤波器。

对于M 个前向FIR 滤波器，它们的系统函数为：,...,M ,m z A z H m m 21 ),()(== （18） 式中，)(z A m 是多项式： 1 ,)(1)(1M m z k az A kmk mm ≤≤+=-=∑ （19） 这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标m 代表滤波器序号，也代表滤波器的阶数，例如，给定 1)0(=a 以及)(),...,2(),1(M a a a ，则第4个滤波器的系统函数为 443424144)4()3()2()1(1)(----++++=z a z a z a z a z H设第m 个滤波器的输入、输出序列分别是)(n x 和)(n y ，则)()()()(1k n x k a n x n y mk m -+=∑= （21）其直接型实现如图12所示。

图7.12 FIR 滤波器的一种直接实现形式1=m 阶滤波器的输出可表示为)1()1()()(1-+=n x a n x n y （22） 该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。

图中，两个输入端联在一起，激励信号为)(n x 。

从两个输出端得到的信号分别为 )(1n f 和)(1n g ：⎩⎨⎧--=-+=)1()()()1()()(0101n x n x k n g n x k n x n f （23）其次我们考虑二阶FIR 滤波器，它的直接型结构输出为 )2()2()1()1()()(22-+-+=n x a n x a n x n yT22)]2( )1( 2)][1-( 1)-( )([a a n x n x n x = （24） 上式将输出)(n y 表示为两个向量的内积，T 表示向量转置。

相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元（图10 前面的两级）来实现。

，图中，第一级的输出为⎩⎨⎧--=-+=)1()()()1()()(1111n x n x k n g n x k n x n f （25）⎩⎨⎧-+=-+=)1()()()1()()(11221212n g n f k n g n g k n f n f （26） 将式（25）中的)(1n f 代入式（26）中，得)]2()1([)1()()(1212-+-+-+=n x n x k k n x k n x n f)2()1()1()(221-+-++=n x k n x k k n x （27） 现在令式（24）和式（27）的系数相等，即)1()1( ,)2(21222k k a k a +== （28） 于是，得二阶格型结构的参数 )2(1)1( ),2(22122a a k a k +== （29）其中，)2(22a k =这个结果是很容易理解的。

从图7.12 看，如果滤波器阶数2=m ，则时延为2的输入输出传输值为)2(2a ，而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路，而其中时延为2的支路传输值为1k 。

如果这两个流图等效，则应有)2(22a k =。

因此可以推论，若有m 个格型级，则其最右边的支路m k 与直接型结构的参数)(m a m 相等： )(m a k m m = （30） 为了得到其它支路传输值121,...,,k k k m m --与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10 所示的M 阶格型结构的最右边做起：根据M 阶滤波器的直接型参数，依次求1-M ，1,...,3,2--M M 阶滤波器的直接型参数。

这是降阶递推。

只要求出m 阶滤波器的系数组},...,2,1),({m k k a m =，则格型结构的支路传输)(m a k m m =。

式（29）表明，二阶格型结构的两个参数1k 和2k 可以根据直接型结构的参数求出。

继续这个过程，可以得到一个m 阶直接型FIR 滤波器和一个m 阶或m 级格型滤波器之间的等效性。

按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为)()()(00n x n g n f == （31）121 ),1()()(11,...,M-, m n g k n f n f m m m m =-+=-- （32）121 ),1()()(11,...,M-, m n g n f k n g m m m m =-+=-- （33） 因此，第1M-级滤波器的输出相当于1M- 阶FIR 滤波器的输出，即(n)f y(n)M 1-= （34）因为FIR 滤波器和格型滤波器的输出)(n f m 可以表示为1)0( )()()(0=-=∑=m mk mm a k n x k an f （35）而这个式子是两个序列的卷积和，所以它遵从z 变换关系 )()()(z X z A z F m m = 故)()()()()(0z F z F z X z F z A m m m ==（36） 现在我们来看二级格型滤波器的另一个输出)(2n g 。

由图7.10得 )1()()(1122-+=n g n f k n g)2()1()]1()([112-+-+-+=n x n x k n x k n x k )2()1()1()(212-+--+=n x n x k k n x k )2()1()1()()2(22-+-+=n x n x a n x aT 221] )1( )2()][2( )1( )([a a n x n x n x --= （37） 可见，对于)(2n g 为输出的后向滤波器，滤波系数组为1] )1( )2([22a a ，而对于以)(2n f 为输出的滤波器，滤波系数组按相反次序排列，为])2( )1( 1[22a a 。

根据以上分析。

可见m 级格型滤波器的输出)(n g m 可以用卷积和形式表示为 ∑=-=mk mm k n x k n g 0)()()(β（38）式中，滤波系数)(k m β与产生输出y(n)(n)f m =的另一滤波器有关，只不过操作次序相反。

例如，如果6=m ，6)6(,3)5(,5)4(,7)3(,4)2(,2)1(,1)0(6666666=======a a a a a a a ，则6)0(,3)1(,5)2(,7)3(,4)4(,2)5(,1)6(6666666=======βββββββ故⎩⎨⎧==-=1)( 10),()(m m m ,...,m ,k k m a k m ββ （39） 在z 域中，式（38）变为(z)X(z)B (z)G m m = （40） 即X(z)(z)G (z)B m m =（41） 这里，(z)B m 是下输出端相对于输入端的系统函数； k mk mm z k (z)B -=∑=)(0β（42）因为)()(m k m a k m -=β，故 kmk mm zk m a(z)B -=-=∑)(0mj mj m zj a -=∑=)(0j mj mmz j az)(0∑=-=)(1--=z A z m m （43） 这个式子描述前、后向滤波器系统函数之间的关系。

现在我们回到式（31）~（33）的递推方程组，并把它们变换到z 域，得 )()()(00z X z G z F == （44） ,...,M-,m z G z k z F z F m m m m 121 ),()()(111=+=--- （45） 121 ),()()(111,...,M-,m z G z z F k z G m m m m =+=--- （46） 各式除以X(z)并利用前面的关系式，可得100==(z)B (z)A （47） 121 ,111,...,M-,m (z)B z k (z)A (z)A m m m m =+=--- （48） 121 ,111,...,M-,m (z)B z (z)A k (z)B m m m m =+=--- （49） 因此，在z 域，一个格型级可用矩阵方程描述为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---(z)B z z A k k (z)B z A m m m m m m 111)(1 1)( （50）利用式（47）~（49）可以根据格型滤波器系数，从1=m 开始按升阶递推法求出直接型滤波器系数。

例 给定三级格型滤波器如图13所示。

确定与之等效的直接型结构的FIR 滤波器系数。

图13 给定三级格型滤波器 解 根据式（48），得)()()(01101z B z k z A z A -+=1114111--+=+=z zk 因此，对应于单级格型的FIR 滤波器系数为1)0(1=a 。

41)1(11==k a ，因)(z B m 是)(z A m 的反转多项式，故 1141)(-+=z z B其次，对于2=m 得格型滤波器，根据式（48）得)()()(11112z B z k z A z A -+=2121831--++=z z 因此，对应于二级格型的FIR 滤波器系数为 1)0(2=a ，21)2(,83)1(22==a a 。

此外 3228321)(--++=z z z B 最后，添上第三个格型级，得出多项式 )()()(21323z B z k z A z A -+= 321318524131---+++=z z z因此，与给定三级格型滤波器等效的直接型FIR 滤波器系数为 31)3(,85)2(,2413)1(,1)0(3333====a a a a 31)3(,85)2(,2413)1(,1)0(3333====a a a a假定已知M 阶直接型FIR 滤波器的系数或者多项式)(z A M ，我们希望确定相应的格型滤波器的系数组},...,2,1,{M i k i =。