最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
乘法公式综合-拓展篇
【答案】a = 2, b = -1 【解析】由已知可得 : a + b - 1 2 + 2a - 2 2 < 1， ∵ a、b 为整数，∴ 0 ≤ a + b - 1 2 + 2a - 2 2 < 1， ∴ a + b - 1 2+ 2a - 2 2= 0， ∴ a = 2，b = -1. 例 2 - 2.已知 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 8，b - c = 3，求 (b - a) (c - a) 的值.
乘法公式综合拓展
【必记公式】
1.平方差公式：(a + b) (a - b) = a2 - b2；
2.完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，(a - b)2 = a2 - 2ab + b2；
公式推广：(x1 + x2 +⋯ +xn)2 = x12 + x22 +⋯ +xn2 + 2x1x2 + x1x3 +⋯ +x1xn + x2x3 +⋯ +xn-1xn ； 3.完全立方：(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3；
4.立方和公式：a + b a2 - ab + b2 = a3 + b3；
5.立方差公式：a - b a2 + ab + b2 = a3 - b3；
6.大立方公式：a3 + b3 + c3 - 3abc = a + b + c a2 + b2 + c2 - ab - bc - + c = 0 时，a3 + b3 + c3 = 3abc；
14.2乘法公式及拓展(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解乘法公式的基本概念。乘法公式是指在特定条件下，两个数相乘的简化表达形式。它是数学运算中的重要工具，可以帮助我们快速准确地解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算正方形的面积，展示完全平方公式的应用，并解释它如何简化计算过程。
-对于高级乘法运算，教师需要教授学生如何利用乘法公式分解因式，简化计算过程，例如将x⁴-16分解为(x²+4)(x²-4)。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“14.2乘法公式及拓展”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要快速计算平方或立方的问题？”（如计算正方形的面积或体积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索乘法公式的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的推导与应用：使学生理解并掌握(a+b)²和(a-b)²的展开形式，能熟练运用到实际计算中。
-立方公式的推导与应用：让学生掌握(a+b)³和(a-b)³的展开形式，并能应用于计算。
-乘法公式的实际应用：培养学生将乘法公式应用于解决实际问题，如面积、体积等计算。
14.2乘法公式及拓展（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十四章第二节“乘法公式及拓展”。教学内容主要包括以下两部分：
1.完全平方公式：a² = (a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²。
2.立方公式：a³ = (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³。
七年级数学乘法公式及应用
乘法公式的应用与拓展【基础知识概述】一、 基本公式：平方差公式：(a +b )(a －b )=a 2—b 2完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2(a －b )2=a 2－2ab +b 2变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+-（2）()2222a b a b ab +=-+（3） ()()222222a b a b a b ++-=+（4） ()()224a b a b ab +--=二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、基础练习：1.填空：(1)平方差公式(a +b )(a －b )= ；(2)完全平方公式(a +b )2= ，(a －b )2= .2.运用公式计算：(1) (2x －3)2 (2) (－2x +3y )(－2x －3y ) (3) (12m －3)(12m +3)(4) (13x +6y )2 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a +b )2=a 2+b 2； （ ） (2)(a －b )2=a 2－b 2； （ ）(3)(a +b )2=(－a －b )2； （ ） (4)(a －b )2=(b －a )2. （ ）6.运用乘法公式计算：(1) (a +2b －1)2 (2) )132)(132(++--y x y x四、典型问题分析：1、顺用公式：计算下列各题：① ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1求：（）（）的值。
11212244x x x x ++2、逆用公式： ①1949²－1950²+1951²－1952²+……+2011²－2012²②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655【变式练习】填空题：① 26a a ++＿＿= 2__a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+②241x ++＿＿=（ 2)○3x 2+ax +121是一个完全平方式，则a 为（ ） A ．22 B ．－22 C ．±22 D ．03、配方法：已知：x ²+y ²+4x －2y +5=0，求x +y 的值。
乘法公式 题型及拓展
乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，?x ?y ???y ?x ??x 2?y 2② 符号变化，??x ?y ???x ?y ????x ?2?y 2? x 2?y 2③ 指数变化，?x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4④ 系数变化，?2a ?b ??2a ?b ??4a 2?b 2⑤ 换式变化，?xy ??z ?m ???xy ??z ?m ????xy ?2??z ?m ?2?x 2y 2??z ?m ??z ?m ??x 2y 2??z 2?zm ?zm ?m 2??x 2y 2?z 2?2zm ?m 2⑥ 增项变化，?x ?y ?z ??x ?y ?z ???x ?y ?2?z 2??x ?y ??x ?y ??z 2?x 2?xy ?xy ?y 2?z 2?x 2?2xy ?y 2?z 2⑦ 连用公式变化，?x ?y ??x ?y ??x 2?y 2???x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4⑧ 逆用公式变化，?x ?y ?z ?2??x ?y ?z ?2???x ?y ?z ???x ?y ?z ????x ?y ?z ???x ?y ?z ???2x ??2y ?2z ???4xy ?4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
第1讲 乘法公式的综合应用(学生版)
知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教学设计3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教学设计3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够进一步理解和掌握乘法公式的运用，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析面对的是一群已经掌握了基本乘法公式的七年级学生。
他们在之前的数学学习中，已经具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但是，对于乘法公式的综合运用，可能还存在一些困难，需要通过老师的引导和讲解，进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解并掌握乘法公式的综合运用方法。
2.能够运用乘法公式解决实际问题。
3.提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的综合运用方法。
2.难点：如何运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，通过案例分析和小组讨论，让学生在实践中理解和掌握乘法公式的综合运用。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和问题。
3.小组合作学习的准备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考和探索乘法公式的综合运用。
例如，一个长方形的长是10cm，宽是6cm，求长方形的对角线的长度。
2.呈现（10分钟）呈现乘法公式的综合运用方法，包括平方差公式和完全平方公式的运用。
通过PPT课件和讲解，让学生理解和掌握这些方法。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用乘法公式解决实际问题。
可以设置一些选择题和填空题，让学生在实践中掌握乘法公式的综合运用。
4.巩固（10分钟）通过一些案例分析，让学生进一步巩固乘法公式的综合运用。
可以设置一些小组讨论题，让学生在小组合作中，共同解决问题。
5.拓展（10分钟）通过一些拓展问题，提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
可以设置一些思考题，让学生在思考中，提高自己的数学素养。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
5.教师及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
d.总结：引导学生总结乘法公式的特点、应用规律和注意事项。
e.作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
4.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
b.终结性评价：通过课后作业和阶段测试，评价学生对乘法公式的掌握程度。
c.个性化评价：针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和鼓励。
2.完全平方公式：继续采用具体数字，让学生观察并归纳出完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。同时，引导学生了解完全平方公式的变式，如a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.公式的推导与应用：通过几何图形、实际例题等方式，讲解乘法公式的推导过程和应用方法，让学生理解乘法公式的实际意义。
2.情境导入：展示一个与学生生活相关的实际问题，如计算一个正方形与一个长方形的面积差，引发学生思考如何简化计算过程，从而引出乘法公式的学习。
（二）讲授新知
1.平方差公式：以具体的数字为例，引导学生观察并发现两个数的平方差与这两个数的和与差之间的关系。通过实际计算，总结出平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握乘法公式的综合运用，包括平方差公式、完全平方公式以及它们的变式。
2.培养学生运用乘法公式进行简便计算的能力，提高运算速度和准确性。
3.通过对乘法公式的运用，使学生能够解决一些实际问题，如面积计算、速度问题等。
最经典的乘法公式综合应用与拓展分析
最经典的乘法公式综合应用与拓展分析乘法公式是数学中常用的公式之一，它们在各个数学领域中都有广泛的应用。
本文将从学生和教师两个角度综合分析乘法公式的最经典的应用与拓展。
首先，对于学生而言，乘法公式是他们掌握数学知识的基础。
学生在学习数学的过程中，会接触到很多与乘法相关的知识，如乘法口诀、乘法逆元等。
通过乘法公式的学习，学生可以更好地理解和应用乘法的原理和方法。
比如，在解决乘法运算中的复杂问题时，学生可以灵活运用乘法公式，提高解题的效率和准确性。
其次，对于教师而言，乘法公式是他们教学的重要工具。
教师在教授数学知识时，可以通过乘法公式来引导学生掌握乘法的基本操作和运算规则。
此外，乘法公式还可以作为教师讲解和解决数学问题的案例，帮助学生从实践中理解乘法的原理和应用。
例如，在教授高中数学中的二次方程时，教师可以通过乘法公式来引导学生求解方程的根，帮助学生加深对乘法公式的理解和运用。
乘法公式还有很多拓展应用，以下是一些经典的拓展案例：1.方阵乘法：方阵乘法是线性代数中的常用运算，通过乘法公式可以方便地计算两个方阵的乘积。
在实际应用中，方阵乘法广泛用于图像处理、数据压缩等领域。
2.应用于几何图形：通过乘法公式可以计算图形的面积和周长。
例如，计算矩形的面积可以使用乘法公式的形式：面积=长度x宽度。
3.二项式展开：二项式展开是代数中常用的运算，通过乘法公式可以方便地展开一个二项式。
在高中数学中，二项式展开广泛应用于排列组合、概率等问题的求解中。
4.概率与统计：乘法公式在概率和统计中有广泛的应用。
例如，计算多事件的概率时，可以使用乘法公式计算独立事件的联合概率。
此外，在统计学中，乘法公式也被用于计算随机变量的期望和方差等。
总而言之，乘法公式作为数学中的重要工具，在学生和教师的学习和教学中都起到了至关重要的作用。
通过乘法公式的学习和应用，学生可以提高解题的效率和准确性，教师可以引导学生更好地掌握乘法的原理和应用。
此外，乘法公式还有许多拓展应用，可以在其他数学领域中发挥重要作用。
乘法公式拓展与常见题型整理
乘法公式的拓展及常见题型整理2 >2例题：已知 a + b=4,求"一；二+ “。
⑴如果a-b = 3,(t-c = l.那么("一b)2+(b-c)2+(c-a)2的值是__________________________⑵x + y = 1,则一x2 +xy + -y2 = _________________________ (3)已知x(x-l)-(x2-y) = 一2，则"• 一xy = __________________________2 2 2⑴若则cr -+^r = __________ , cb= ___________⑵设(5a+3b) 2= (5a-3b) 2+A,则A= __________________ ⑶若则a 为 __________⑷如果(X-y)2 +M =(x + y)\那么M等于___________________ ⑸已知(a+b)'m・ (a-b)2=n>则ab等于________________⑹若G 一3疔=(2a + 3b)2 + N ,则N的代数式是__________________ ⑺已知(a + b)2 = 7,(a-b)2 = 3,求a2+b2 + ab的值为_。
⑻已知实数a,b,c,d满足ac+bd = 3, ad —be = 5.求(a2 +b2)(c2 + J2)例题：已知(a+b)—7, 求值：⑴齐F (2)ab例2：已叫-x+20. b—x+.9,计+21,求屮—ac的值⑴若x-3y = 7,x2 -9y2 =49 ,则x + 3y = ______________________(2)_____________________________________ 若a+b = 2,则a2-Z?2+4Z?= _______________________ 若a + 5b = 6・则+5oZ? + 30Z?= ______________________________________⑶已知a'+bJGab且a>b>0・求匕二2的值为________________a -b⑷已知a = 2005x + 2004, b = 2005x4-2006 , c = 2OO5x + 200& 则代数式/ +b2 +c2 -ab-be-ca的值是.(四)步步为营例题：3X (22 +1) x (24 +1) x (2”和)x ( 2,6+1)6X (7 + 1) X(7 2 +1) X (74+1)X (78+1)+1 (a-/?)(a + Z?)(a，+b‘)(十+//)(“' + b")(2 +1) x (22 +1)X(24+1)X(28+1)X (216 +l)x (232 +1) + 12012? JOllSOlO 2-2009?+……+22-!2 （冷加扛冷）…卜縞（五）分类配方例题：已知一6〃? + 10〃 + 34 = 0,求〃7 +n 的值。
人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设有利于学生思考和探究的情境，激发学生的学习兴趣。如：购物时如何计算价格、装修房屋时如何计算材料用量等。
2.故事情境：通过生动有趣的故事，引出乘法公式，使学生在轻松愉快的氛围中学习。如：讲述古代数学家发现乘法公式的故事。
3.竞赛情境：组织学生进行小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队合作精神，提高他们的学习积极性。如：平方差公式接龙游戏。
1.组织学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。如：小组内讨论如何运用乘法公式解决实际问题。
2.鼓励学生发表自己的观点和见解，培养他们的创新意识和批判性思维。如：小组内成员互相评价对方解题方法的可行性和优缺点。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对学习过程进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。如：让学生回顾学习乘法公式时的困难和对策，分享心得体会。
人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用优秀教学案例
一、案例背景
在我国基础教育课程改革背景下，人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用作为数学学科的重要内容，旨在帮助学生理解和掌握乘法公式的本质，提高他们在实际问题中的应用能力。本章节内容涉及平方差公式、完全平方公式等，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
2.采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高他们的自信心和自我价值感。如：以小组为单位进行评价，侧重于团队合作、创新能力和解决问题能力的评价。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：教师通过展示一组实际生活中的图片，如购物、装修等，引导学生观察和思考其中的数学问题。如：展示一张购物小票，让学生计进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。同时，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高了他们的自信心和自我价值感。
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八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
已知(a4bj=7,(a_bj/，求 a^b 2, ab 的值。
已知a a_l-ab 的值。
(3)完全平方公式变用 3:几个数的和的平方推广几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
2 2 2 2(a +b P )=a+b*c +2ab+2bc+2ac公式的证明：(a 命弋j 彳a 杭产了 弋a^b ”2(a 4b )c +c 2=a 22ab b 22ac 2bc c 2-a 2b 2c 22ab 2bc 2ac例.计算 (1) x 2)14. 立方和与立方差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3+b 33 2 2 2 2 3=a +a b-a b-ab +ab +b2(2)(3m+n-p j3 3(a-b)(a2+ab+b2)= a-b=a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 33 3a +b根据原式各项负号的异同 (看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体， 据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想例 1.计算：（a_b c_d ）（_a_b_c_d ）例 2 计算（2x +y -z +5）（2 x -y +z +5）.2 2例 4.计算：(a+b + c — d ) +(b + c + d —a)例 5.计算：3x 2y-5z 1 ]-3x 2y-5z -12 2 2 2例 6 计算(a +b +c ) +(a +b - c ) +(a - b +c ) +( b - a +c ).例7.四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么?3. 公式的逆用』 2 』 2例 1.计算：5a 7b - 8c ]〔5a - 7b 8c例 2 计算(2a+3b)2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2(2)例3•计算（1）4. 公式的连用 例 1.计算：x y x_y x 2y 2例2•计算：1 -a a 1 a2 1 a 4 1例3.计算：2 2 2 2(a-1/2) (a +1/4)(a+1/2)5. 创造条件后用公式（1）通过变形，创造条件后用公式1）改变顺序：调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显 例1、 运用乘法公式计算：11 1a2（1）怎呻）（-即-3）；（ 2）（x-1/2）（x +1/4）（x+1/2）2）提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
如（—2m-7n ） （2m-7n ）变为（2m + 7n ） （7n — 2m ）后就可用平方差公式求解了4）项数变化 将某一项（某个数）变形：一分为二，通过创造条件分组。
例 3 计算：（2x — 3y — 1）（ — 2x — 3y + 5）分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符•于是可 创造条件一数：— 1=2— 3, 5=2 + 3,使用公式巧解 例 4.计算：2x 3y 2 2x - 3y • 6又如：(x +3y +2z ) (x — 3y +6z )变为(x +3y +4z — 2z ) (x — 3y +4z +2z )后再适当分组 就例2. 练习：(1) (-1+3x)(-1-3x) ; (2) (-2m-1)(4m +- )(2m —-)变为 2(2n+-442m--)4例4.计算:3）先提公因数（式），再用公式求: (1)可以用乘法公式来解了.5) .先整体展开，再用公式例 5.计算：(a 2b)(a -2b 1)简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
解：原式=6) 其它变形技巧例6:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
因为x-y=2 , y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x -z = (x+z) (x-z)=14 X 4=56。
常见的变形技巧(2)通过草船借箭后创造条件用公式2 4 8例 1 (3)计算(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1).分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项( 式，使问题化繁为简.2 4 8解：原式=(2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)2 2 4 8=(2 -1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)4 4 8=(2 -1)(2 +1)(2 +1)= (28-1 )( 28+1)16=2 -1例 2.计算：3 (381)(341)(321)(3 1)例3:判断(2+1 ) ( 22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几?(3)乘法公式交替用例试证：(x z)(x2_2xz z2)(x _ z)(x22xz z2) = (x2_ z2)3[(a - 2b) 11，再2-1 )，则可运用公八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(教师版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b22例：计算1999 -2000 X 19982 2 2 2 2 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) =a -2ab+b例：运用公式简便计算(1) 1032 (2) 19822 2 2 2(1) 103弋100七)=100 +2x100x3 七=106092 2 2 2(2) 198 弋200-2)=200_2X200汉2 七=392043. 完全平方公式(1) 完全平方公式变用1:利用已知的两项求第三项a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项①a2 b2= (a b)2- 2ab a2 b2= (a-b) 2+2ab②(a-b) 2=(a+b) 2-4ab (a+b)2=(a-b) 2+4ab(2) 完全平方公式变用2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a2 b2的值。
a2 b2=(a b)2-2ab = 22 -2 1=2例2•已知a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)2的值。
(a -b)2= (a b)2 - 4ab =82 -4 2 = 562 2例3.已知a-b=4, ab = 5，求a b的值。
a2+b2=(a_bf+2ab = 42+2P = 26例 4 .已知m+n=7, mn= —18,求m i-mn+ n2的值.2 2 2 2m-mn+ n= (m+n) —3m=7 —3X(—18) =103.例 5 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2的值.(x-2 y) 2=( x+2y) 2-8 xy=72-8 X 6=1 .例 6.已知a+ 1 =5，求(1) a2+ ! , (2) (a- 1) 2的值.a a a答案：(1) 23; (2) 21 .)1 1例7.已知x -丄=3，求x4• J的值。
x x即x2 12-^9x=11即x4 2 =121xAx4— =119x由x 1 x几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ac22 22公式的证明： a b c L . a b c ^ab 2abcc2 2 22 2 *2=a 2ab b 2ac 2bc c a b c 2ab 2bc 2ac例.计算 (1) (x 2$比 j(2) (3mn-p f4. 立方和与立方差公式(a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3+b 3(a-b)(a2+ab+b2)= a 3-b 33 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3=a +a b-a b-ab +ab +b= a -a b+a b-ab +ab -b3.33.3=a +b = a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 2 2(1)位置变化，x y -y x -x -y(2)符号变化，(彳勺)("-y 片—x y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数” 例 1 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， _______ 就是公式中的a, ______ 就是公式中的b ;若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 _______ 是公式中的a ,而 ______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习 2.计算：(x —y 七][x-y —z )千 x —y )_z练习 3.计算： Ixy z m Hxy- z m I - xy ] [ z m^2/-Z-2zmm 练习 4.计算：x ' y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。