优先队列及其应用
队列的思想大总结
队列的思想大总结队列是一种常见的数据结构，它按照先进先出的原则进行操作。
队列具有很多应用场景，例如任务调度、缓存管理、消息传递等。
本文将对队列的思想进行大总结。
首先，队列的特点是先进先出。
这意味着队列中的元素在被插入时将排在队尾，而在被删除时将从队首删除。
这种特点与现实生活中排队等待的情况非常类似。
队列的这种特点使得它在很多实际问题中具有较好的应用性能。
其次，队列的实现可以采用数组或链表。
使用数组实现队列时，我们需要定义一个固定长度的数组，并使用两个指针front和rear来分别指向队首和队尾。
插入元素时，将元素插入rear指针指向的位置，并将rear指针后移一位；删除元素时，将front指针指向的元素删除，并将front指针后移一位。
使用链表实现队列时，我们只需要定义一个头指针front和一个尾指针rear即可，插入和删除元素时只需操作头指针和尾指针即可。
队列具有一些基本操作，包括入队、出队和获取队首元素。
入队操作将一个元素插入到队尾，出队操作将队首元素删除并返回其值，获取队首元素操作则只返回队首元素的值而不删除它。
这些基本操作能够满足大部分对队列的需求。
队列的优势主要体现在两个方面。
首先，队列可以实现任务的调度。
通过将任务按照到达的先后顺序插入到队列中，并由管理者按照一定规则选择任务进行处理，可以有效地实现任务的调度。
其次，队列还可以实现缓存的管理。
缓存是一种存储数据的高速访问的存储器，使用队列可以实现缓存的淘汰策略，即当缓存容量达到上限时，将最先进入缓存的数据删除，从而保证缓存中的数据始终是最新访问的数据。
队列的扩展还包括双向队列和优先队列。
双向队列是一种可以在队首和队尾都可以进行插入和删除操作的队列。
它可以更加灵活地满足不同情况下的需求。
优先队列是一种按照元素的优先级进行插入和删除的队列。
通过为每个元素指定一个优先级，使得具有较高优先级的元素排在队列前面，从而能够更加高效地处理具有不同优先级的任务。
优先队列及其应用场景
优先队列及其应用场景优先队列是一种常见的数据结构，它在很多应用场景中都有广泛的应用。
本文将介绍优先队列的基本概念、实现方式以及一些常见的应用场景。
一、优先队列的基本概念优先队列是一种特殊的队列，其中每个元素都有一个与之关联的优先级。
在优先队列中，元素的出队顺序不仅取决于它们进入队列的顺序，还取决于它们的优先级。
具有较高优先级的元素会被先出队列，而具有较低优先级的元素会被后出队列。
二、优先队列的实现方式实现优先队列的方法有多种，常见的有两种：基于堆和基于有序数组。
1. 基于堆的优先队列：堆是一种满足堆性质的完全二叉树，可以用数组实现。
在基于堆的优先队列中，堆顶元素具有最高的优先级，每次出队列时都会选择堆中优先级最高的元素。
插入和删除操作的时间复杂度都是O(log n)。
2. 基于有序数组的优先队列：在基于有序数组的优先队列中，元素按照优先级有序排列。
插入操作时，需要找到合适的位置将元素插入到有序数组中；删除操作时，从有序数组中删除优先级最高的元素。
插入的时间复杂度为O(n)，删除的时间复杂度为O(1)。
三、优先队列的应用场景优先队列在很多实际问题中都有重要的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 任务调度：在操作系统中，有很多任务需要按照优先级进行调度。
优先队列可以用来存储这些任务，每次选择优先级最高的任务进行调度。
通过合理设置任务的优先级，可以实现高效的任务调度。
2. 模拟系统：在模拟系统中，需要对事件按照发生的顺序进行处理。
优先队列可以用来存储待处理的事件，每次选择发生时间最早的事件进行处理。
通过使用优先队列，可以模拟实际系统中的事件处理过程。
3. 图算法：在图算法中，优先队列可以用来存储待访问的节点或边。
每次选择优先级最高的节点或边进行访问，可以实现一些基于优先级的图算法，如最短路径算法、最小生成树算法等。
4. 哈夫曼编码：哈夫曼编码是一种常见的无损压缩算法，可以将原始数据编码为较短的二进制串。
选择排序算法优化方法
选择排序算法优化方法选择排序是一种简单但效率较低的排序算法，它的时间复杂度为O(n^2)。
在实际应用中，我们可以通过一些优化方法来提高选择排序的性能。
一、减少交换次数在选择排序中，每次找到最小元素后都会将其与当前位置进行交换。
如果经过比较后发现最小元素就是当前位置的元素，那么就没有必要进行交换操作。
我们可以通过设置一个标记来记录最小元素的下标，最后再进行一次交换操作，从而减少交换的次数。
二、减少比较次数在选择排序的过程中，每次找到最小元素后都需要与其他元素进行比较。
我们可以通过记录最小元素的下标，然后直接与最后一个元素进行交换，这样可以减少比较的次数。
三、使用二元选择排序在传统的选择排序中，每次都需要找到最小元素和最大元素，然后分别进行交换。
而在二元选择排序中，我们每次找到最小元素和最大元素后，可以同时进行交换，从而减少了交换的次数。
四、使用堆排序堆排序是一种高效的排序算法，可以在O(nlogn)的时间复杂度下完成排序。
在堆排序中，我们可以使用堆数据结构来进行选择操作。
通过建立最小堆或最大堆，每次从堆中取出根节点，即为最小或最大元素，然后进行交换。
这样可以减少比较和交换的次数。
五、使用插入排序的思想在选择排序中，每次找到最小元素后都需要进行交换操作。
我们可以使用插入排序的思想，将最小元素插入到已排序序列的合适位置，而不是直接进行交换。
这样可以减少交换的次数，提高排序的效率。
六、使用并行化技术在现代计算机中，我们可以使用并行化技术来加速排序算法的执行。
在选择排序中，我们可以将待排序序列分成多个子序列，然后分别进行选择排序操作。
最后再将子序列合并成一个有序序列。
通过并行化技术，可以同时进行多个选择操作，从而提高选择排序的效率。
七、使用优先队列优先队列是一种特殊的队列，可以根据元素的优先级进行插入和删除操作。
在选择排序中，我们可以使用优先队列来存储待排序的元素。
每次从优先队列中取出最小元素，即为选择排序的结果。
堆的原理和应用
堆的原理和应用1. 堆的定义和特点堆（Heap）是一种特殊的数据结构，它是一种完全二叉树，并且满足堆特性：对于最大堆，父节点的值大于或等于子节点的值；对于最小堆，父节点的值小于或等于子节点的值。
堆最常见的应用就是优先队列，能够高效地找到最大或最小元素。
堆具有以下特点： - 堆是一棵完全二叉树，节点顺序从上到下、从左到右； - 最大堆（或最小堆）的父节点的值大于等于（或小于等于）子节点的值； - 堆的根节点是整个堆中最大（或最小）的元素。
2. 堆的实现和操作堆可以使用数组来实现，通过满足以下规则： - 对于节点i，其左子节点的索引是2i+1，右子节点的索引是2i+2； - 对于节点i，其父节点的索引是(i-1)/2。
常用的堆操作包括插入元素、删除堆顶元素、堆元素的上浮和下沉。
•插入元素：将元素插入到堆的尾部，然后依次与父节点进行比较，若满足堆特性，则停止比较；否则继续交换位置。
•删除堆顶元素：将堆的尾部元素替换到堆顶，然后依次与子节点进行比较，交换位置直到满足堆特性。
•堆元素的上浮：将该元素与父节点进行比较，若满足堆特性，则停止比较；否则继续交换位置。
•堆元素的下沉：将该元素与子节点进行比较，交换位置直到满足堆特性。
3. 优先队列的实现优先队列是堆的一种常见应用，它能够高效地找到最大（或最小）元素。
优先队列可以支持插入操作和获取最大（或最小）元素操作。
使用堆实现优先队列的步骤如下： 1. 创建一个空的堆作为优先队列。
2. 将元素依次插入到堆中。
3. 获取堆顶元素并删除。
4. 执行上述操作，直到堆为空。
优先队列的应用非常广泛，例如任务调度、数据压缩、图像处理等领域。
4. 堆排序算法堆排序是一种基于堆的排序算法，它可以在O(nlogn)的时间复杂度下完成排序操作。
堆排序的基本思想是： 1. 将待排序的序列构建成一个最大堆。
2. 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
3. 将根节点与最后一个节点交换，然后对前面n-1个节点进行堆调整。
数据结构在人工智能和机器学习中的应用
数据结构在人工智能和机器学习中的应用1.引言人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）和机器学习（Machine Learning，简称ML）是当今科技领域的热门话题。
随着计算机技术的发展，数据成为了AI和ML的关键资源，而数据结构则扮演了重要的角色。
本文将探讨数据结构在人工智能和机器学习中的应用。
2.树结构在决策树算法中的应用决策树是一种常见的机器学习算法，用于解决分类和回归问题。
决策树可以通过树结构表示数据和决策过程。
树的每个节点代表一个特征属性，而边表示属性值的选择。
利用树结构可以实现高效的特征选择和分类过程。
3.图结构在图神经网络中的应用图神经网络（Graph Neural Networks，简称GNN）是一种在图数据上进行学习和推理的深度学习模型。
图数据通常由节点和边构成，而图结构可以帮助模型捕捉节点之间以及节点与边之间的关系。
通过合理的图数据表示和图结构的建模，GNN 可以提高对图数据的学习能力。
4.队列和栈在搜索算法中的应用搜索算法是AI中常用的技术之一，用于寻找最优解或近似最优解。
在搜索过程中，队列和栈结构常被用来保存待搜索的节点或状态。
队列（先进先出）常用于广度优先搜索算法，而栈（后进先出）通常用于深度优先搜索算法。
这些数据结构能够有效地组织搜索过程，提高搜索效率。
5.哈希表在模式识别中的应用哈希表是一种高效的数据结构，用于将键值对存储和查询。
在模式识别任务中，哈希表可以帮助我们快速检索特征向量或图片等数据。
通过将数据映射到哈希表的键，我们可以快速地查找并匹配输入数据与已有的模式。
6.链表在数据预处理中的应用数据预处理是机器学习中常用的步骤之一，用于清洗、转换和归一化原始数据。
链表是一种常见的数据结构，可以帮助我们处理和组织数据。
例如，在数据清洗过程中，我们可以使用链表来删除无效或重复的数据项，同时保持数据的有序性。
7.堆和优先队列在排序算法中的应用排序算法是数据结构中的经典问题，也是机器学习中常用的操作之一。
1-优先队列
最小优先队列（ min priority queue）:查找操作 queue）
用来搜索优先权最小的元素， 用来搜索优先权最小的元素，删除操作用来删除该元素
最大优先队列（max priority queue）:查找操作 queue）
用来搜索优先权最大的元素，删除操作用来删除该元素。 用来搜索优先权最大的元素，删除操作用来删除该元素。
4 左高树
高度与宽度优先的最大及最小左高树 一棵二叉树，它有一类特殊的节点叫做外部节点 外部节点（ 一棵二叉树，它有一类特殊的节点叫做外部节点（ external node），用来代替树中的空子树，其余节点叫做内部节点 ），用来代替树中的空子树，其余节点叫做内部节点 ），用来代替树中的空子树 ）。增加了外部节点的二叉树被称为 （ internal node）。增加了外部节点的二叉树被称为扩充二叉 ）。增加了外部节点的二叉树被称为扩充二叉 树（extended binary tree）， ）， 为从节点x 令s (x) 为从节点 到它的子树的外部节点的所有路径中最短 的一条，根据s(x)的定义可知，若x 是外部节点，则s 的值为 ， 的定义可知， 是外部节点， 的值为0， 的一条，根据 的定义可知 为内部节点，则它的s 值是： 若x 为内部节点，则它的 值是：min {s (L ), s (R) } + 1 其中L与 分别为 的左右孩子。 分别为x 其中 与R分别为 的左右孩子。
每个节点的值都大于（小于）或等于其 每个节点的值都大于（小于） 子节点（如果有的话）值的树。 子节点（如果有的话）值的树。
3 堆
定义[最大堆（最小堆） 定义[最大堆（最小堆）] 最大（最小）的完全二叉树。 最大（最小）的完全二叉树
3 堆 最大堆的插入
优先级队列的说法
优先级队列的说法优先级队列是一种常用的数据结构，它可以用来解决许多实际问题。
本文将介绍优先级队列的原理、应用场景以及实现方式。
一、优先级队列的原理优先级队列是一种特殊的队列，其中每个元素都有一个优先级。
当我们插入一个元素时，它会根据优先级的大小被放置在合适的位置上。
而在删除元素时，会删除具有最高优先级的元素。
二、优先级队列的应用场景1.任务调度：在操作系统中，优先级队列可以用来调度各种任务。
例如，当多个进程需要同时执行时，可以根据进程的优先级来确定执行顺序。
2.事件处理：在事件驱动的系统中，可以使用优先级队列来处理各种事件。
例如，在一个多线程的服务器中，可以根据客户端请求的优先级来处理请求。
3.搜索算法：在一些搜索算法中，优先级队列可以用来确定下一个要扩展的节点。
例如，在A*算法中，可以根据节点的估计成本来确定下一个要扩展的节点。
4.模拟系统：在一些模拟系统中，可以使用优先级队列来模拟实际事件的发生顺序。
例如，在一个银行模拟系统中，可以根据客户的到达时间和服务时间来确定下一个要处理的客户。
三、优先级队列的实现方式1.使用堆：堆是一种完全二叉树，可以用来实现优先级队列。
在堆中，每个节点都比其子节点的优先级要高。
插入和删除操作的时间复杂度都是O(log n)。
2.使用有序数组：有序数组是一种有序存储结构，可以用来实现优先级队列。
在有序数组中，插入操作的时间复杂度是O(n)，删除操作的时间复杂度是O(1)。
3.使用二叉搜索树：二叉搜索树是一种有序存储结构，可以用来实现优先级队列。
在二叉搜索树中，插入和删除操作的时间复杂度都是O(log n)。
四、总结优先级队列是一种常用的数据结构，可以用来解决许多实际问题。
它可以通过堆、有序数组或二叉搜索树来实现。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求来选择适合的实现方式。
无论是任务调度、事件处理、搜索算法还是模拟系统，优先级队列都能提供高效的解决方案。
希望通过本文的介绍，读者对优先级队列有更深入的了解，并能在实际应用中灵活运用。
优先级队列几个应用详解
优先级队列几个应用详解优先级队列区别于普通队列的一点是：优先级队列如果插入的节点是结构体类型，则要在结构体中重载比较操作符函数。
示例代码如下：//优先级队列的使用测试//优先级队列跟对列的使用方式的区别是优先级队列在插入元素时//在将元素插入队尾后还要根据比较值对该元素进行位置的调整#include<iostream>#include<queue>using namespace std;struct Node{int key;char ch;//只有<重载操作符函数时，如果将<改为>为什么不行，出现error C2784的错误friend bool operator <(Node node1,Node node2){//<为从大到小排列，>为从小到大排列return node1.key<node2.key;}friend bool operator >(Node node1,Node node2){return node1.key<node2.key;}};int main(){//对于优先队列中包含结构体或者类的类型，该结构体或者类必须包含比较操作符的重载//因为优先级队列在插入时，是按照结构体中的某一个元素进行比较，如果//不重载比较操作符，优先级队列比较的是结构体，而我们知道结构体是无法直接进行比较的。
//如下定义优先级队列qu，less表示按照递减的顺序插入元素，换成greater则表示按照递增的//方式插入元素priority_queue<int,vector<int>,less<int>>qu;//定义如下的que优先级队列，会默认按照从大到小对插入元素进行排列//所以在没有定义<时，会出现错误priority_queue<Node>que;priority_queue<Node,vector<Node>,less<Node>>qe;Node node[10];int i;int a[10]={4,2,1,3,6,8,7,9,10,5};char b[10]={'a','b','c','d','e','f','g','h','i','j'};//从小到大插入元素for(i=0;i<10;i++){qu.push(a[i]);}for(i=0;i<10;i++){cout<<qu.top()<<endl;qu.pop();}cout<<endl;//默认从大到小插入元素for(i=0;i<10;i++){node[i].key=a[i];node[i].ch=b[i];que.push(node[i]);}for(i=0;i<10;i++){cout<<que.top().key<<" "<<que.top().ch<<endl;que.pop();}cout<<endl;//利用了priority_queue<Node,vector<Node>,less<Node>>qe;这个定义后可以//将元素从大到小插入元素，但是注意的是结构体中必须重载<操作符，不然会出错for(i=0;i<10;i++){node[i].key=a[i];node[i].ch=b[i];qe.push(node[i]);}for(i=0;i<10;i++){cout<<qe.top().key<<" "<<qe.top().ch<<endl;qe.pop();}return 0;}疑问解答：在编写代码的时候，在只有一个重载操作符函数<时，我们将<改为>，que.push(node)，出错，错误代号是：C2784.后来发现原因是：我们如下定义的que, priority_queue<Node>que;而默认的que插入是从大到小，所以在结构体中要重载<,如果我们将其<修gai为>则que的push函数找不到相应的操作符，就会出错。
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引例2 工厂仿真
对其事件队列所执行的操作 1) 查找最小完成时间的机器 2) 改变机器的完成时间 构造构造一个最小优先队列，队列中的元素即为机 器，元素的优先权为该机器的完成时间。 当机器可用，选择优先级最大的任务执行，任务队 列操作： 1) 新任务到达，插入最大优先队列 2) 一旦机器可以开始运行一个新任务，将具有最大 优先权的任务从该机器的队列中删除，并开始执 行它。
扩充二叉树
内部节点 外部节点
函数s(x)的定义
s(x)：x到其子树外部节点 路径长度最短值
外部节点：s(x)=0
内部节点： s(x)=min{s(L), s(R)}+1 L、R——x的左右孩子
左高树定义
• 定义[高度优先左高树]： 当且仅当一棵二叉树的任一内部节点， 其左孩子的s 值大于等于右孩子的s 值， 该二叉树为高度优先左高树（heightbiased leftist tree, HBLT）
n n n i O ( 2 * 3 * ) O (n i ) O ( n ) 2 4 8 2
斜堆（skew heap）
• 斜堆可递归的定义如下： ● 只有一个元素的堆是斜堆。 ● 两个斜堆通过斜堆的合并操作，得到的结果 仍是斜堆 • 与左高树类似，但无“左高”这一限制 • 各种操作与左高树类似，也是以合并为基础 • 但递归合并过程中，左右孩子的交换不是以达到“ 左高”为目的，而是无条件的，只有最后（右）节 点例外（递归停止）
在堆中删除任意一个元素
• 这里说指的删除任意一个元素，是指在当 前堆中位置为w的元素。过程如下：首先把 位置w的元素和最后一个位置的元素交换， 然后删去最后一个位置，这样w上的元素就 被删除了。接着把位置w上的新元素不断下 调，直到满足堆的性质。
1 2 5 4
1 5
3
5
7
8
3
5
7
8
6
4
6
2
(1)当前要删除的节点是根节点的左儿子 1
斜堆合并示例（非递归实现）
Байду номын сангаас
斜堆合并示例（递归实现）
斜堆的摊还分析
• 证明斜堆合并的摊还时间为O(logN) • 定义：一个节点p，若其右子树的后裔数至少是p的后裔 数的一般，则称p是重节点，否则称为轻节点 • 位势的选取：右路径上重节点的数目
斜堆的摊还分析
证明： 令H1和H2为两个斜堆，节点数为N1和N2，右路径上轻重节点数目 分别为l1和h1、 l2和h2 若合并代价定义为右路径上节点总数，则代价为l1+h1+l2+h2 合并操作的重要特性：右路径上的重节点肯定变为轻节点；而轻节 点可能不变，也可能变为重节点。 考虑最坏情况，当然是所有轻节点均变为重节点 则位势（重节点数）的变化为l1+l2-h1-h2 平均摊还时间=代价+位势变化=2(l1+l2) 现在只需证明l1+l2=O(logN) 而l1和l2是原右路径上的轻节点数目，而轻节点左子树重、右子树 轻，因此l1+l2至多为logN1+logN2，即O(logN) 而初始位势为0，始终非负，命题得证。
定理
• 定理: 令x为一个HBLT的内部节点，则
1) 以x为根的子树的节点数目至少为2s(x)-1。 2) 若子树x有m个节点，s(x)最多为log2(m+1)。 3) 通过最右路径（即，此路径是从x开始沿右孩 子移动）从x到达外部节点的路径长度为s(x)
证明
由s(x) 定义从x向下的s(x)-1层内没有外部节点 （否则s(x) 将更小） 子树第一层只有x，下一层有两个，...， 第s (x)-1 层有个2s (x) - 1，节点数目至少为
子节点的值。
9
87
17
65
78
53
23
45
78
87
45
65
9
31
53
9 17 65
31
23
ki≤k2i且ki≤k2i+1
45 78 87 53 31 87
17
78 53
23
45
ki≥k2i且ki≥k2i+1
65 9 31 17 23
最小堆（MinHeap）
最大堆（MaxHeap）
• 最小（大）堆：位于堆顶（即完全二叉树的根节点位 置）的节点的值是整个序列中最小（大）的。
优先队列的线性表实现
无序顺序表 • 插入在表的末尾，Θ(1) • 删除时先查找优先权最大的元素，Θ(n)。
无序链表 • 插入在链头，Θ(1) • 删除时先查找优先权最大的元素，Θ(n)。 有序线性表 • 插入时间，Θ(n) • 删除时间，Θ(1)。 • 优先队列的另一种实现方式——堆（Heap）。
一个基本问题
• • • • • 写一种数据结构，完成以下3种操作： (操作的总次数不超过100000) 1、插入一个数 2、询问最小值 3、删除最小值
• 要求是这3种操作都要快。。。
输入输出
输入 每行一次操作，有如下三种： 1 x：表示插入X这个数 2 ：表示询问当前最小值 3： 表示删除最小值 输出 对于每个询问最小值操作，输出一行，每 行仅一个数，表示当前的最小值。
优先队列及其应用
雅礼 朱全民
优先队列的基本概念
队列：FIFO（按元素进入队列的次序）； 优先队列（Priority Queue）：出队列的顺序由元 素的优先级决定，如： • 医院中的急诊处理； • 操作系统中使用优先队列进行作业调度； • 事件驱动模拟处理。
优先队列的基本操作
ADT MaxPriorityQueue { 实例 有限的元素集合，每个元素都有一个优先权操作 Create( )：创建一个空的优先队列 Size( )：返回队列中的元素数目 Max( )：返回具有最大优先权的元素 Insert(x)：将x插入队列 DeleteMax(x)：从队列中给删除具有最大优先权的元素， 并将该元素返回至x }
插入操作实例1
A B
插入操作实例2
A B
插入操作实例3
A B
插入操作实例4
A B
初始化最大HBLT
• n个元素依次插入空HBLT：O(nlogn) • 线性时间算法
– 构造n个单元素的HBLTFIFO队列 – 删除队列前两个HBLT合并，加入队尾 – 重复，直至只剩一个HBLT
初始化实例
堆的构造就是不断插入到堆的过程
6 2 3 5 1 分别插入权为6,2,3,5,1的元素 2 2
6 (1) 6
6 (2) (3) 1
3
2
5
3
2
3
6 (4)
6
5
(5)
堆的插入.删除
PROC add(x:longint); {添加一个值为x的元素} begin inc(n); st[n]:=x; up(n) end; PROC del(x:longint); {删除一个值为x的元素} begin a[n]:=a[x]; down(x) end;
在堆中插入元素x
• 首先将元素x放到堆中的最后一个位置（即最 底层最右边的位置），然后不断地把x往上调 整，直到x调不动为止（即大于它现在的父亲， 或者x处于根结点）。
定义一个堆: Var st:array[1..maxn] of longint; //存储堆 n:longint; //堆中元素个数
HBLT和WBLT的操作
• 查找、插入、删除与堆一样 • 初始化也可在线性时间内完成 • 两个优先队列合并：对数时间,这是堆达不 到的
最大HBLT的插入、删除操作
• 插入操作可借助合并操作
– 元素x插入到名为H的最大HBLT
• 构造只有一个元素x的最大HBLT H’ • H’与H合并
• 删除操作也可借助合并操作
– 删除根节点
• 两个子树L、R均为最大HBLT • 合并L、R
最大HBLT的合并操作
• 遍历右路径——O(logn) • 递归，合并A、B
– 若一个为空，则另一个为合并结果 – 若都不空
• • • • 比较两个根节点，较大者为新的根 假定A较大，左子树为L，右子树为R 递归方法将R与B合并为C 最终合并结果：A的根为根；L、C的s值较大者为 左子树，另一个为右子树
堆（Heap）
堆的定义
设有n个数据元素的值为（k1,k2,…,kn），如果它们满足
以下的关系：ki≤k2i且ki≤k2i+1（或ki≥k2i且ki≥k2i+1）（i=1,…,
n/2），则称之为堆（Heap）。 如果将此数据元素序列用一维数组存储，并将此数组对 应一棵完全二叉树，则堆的含义可以理解为：在完全二叉 树中任何非终端节点的值均不大于（或小于）其左、右孩
样例
输入： 9 ----1 20 2 1 30 1 10 2 3 2 3 2
9次操作 输出： 20 10 20 30
用线性表作为数据结构
• 无序表：
– 插入操作 – 询问最小值 – 删除最小值 O（1） O（n） O（n） O（n） O（1） O（1）
• 有序表：
– 插入操作 – 询问最小值 – 删除最小值
– 外部节点：w(x)=0 – 内部节点：w(x)=w(L)+w(R)+1
重量优先左高树
• 定义[重量优先左高树]： 当且仅当一棵二叉树的任一内部节点， 其左孩子的w值大于等于右孩子的w值，该 二叉树为重量优先左高树（weight-biased leftist tree, WBLT） [最大（小）WBLT]： 即同时又是最大（小）树的WBLT
1 3 5 3
1 5
4
5
7
8
2
5
7
8
6
2 (1)将新节点插到最后 1 2 5