专题19 最值问题

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专题19 概率最值问题(解析版)

专题19 概率最值问题例1．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为<<(01)p p ，且相互独立． ①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；【解析】（1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A 则()==393122155C P A C 答：该盒芯片可出厂的概率为2155．(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率 ()()+++-⨯⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭129333123121212333(1)91131[]2712274p p p p f p C p pC C 当且仅当=-31p p ，即=14p 时取“=”号故()f p 的最大值点=014p ．②由题设知，==014p p设这箱芯片不合格品个数为n 则⎛⎫~ ⎪⎝⎭，1124n B 故()=⨯=11234E n 则()=---⨯=12012303272E X ∴这箱芯片最终利润X 的期望是72元．例2．绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为1Y 元，则1Y 是随机变量，其分布列为：115035071=⨯-⨯=()..E Y （元)，则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为030051008+⨯=...，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为2Y ，则2Y 是随机变量，其分布列为：25085023=⨯-⨯=()..E Y （元)，则5000个游客的平均利润为5000315000⨯=（元)，该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x 元，则015<x ，照片被带走的可能性为03005+..x ，不被带走的可能性为07005-..x ，设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：21503005507005005697=-⨯+-⨯-=--()()(..)(..).[()]E Y x x x x ，当7=x 时，()E Y 有最大值3.45元，∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为500034517250⨯=.元．例3．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的∈(*)n n N 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（2）当4=n 时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】解：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为3133111222+=()()C ．有3个坑需要补种的概率为：312⨯()n n C ，要使312⨯()n n C 最大，只须323411221122⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩()()()()n n n n n nn n C C C C ，解得57≤≤n ， ∈*n N ，故5=n ，6，7．35353556711513522162128==>=()()()C C C ，所以当n 为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大．最大概率为516．（2）4=n 时，要补播种的坑的个数X 的所有的取值分别为0，1，2，3，4，142~(,)X B ，044110216===()()P X C ，14411124===()()P X C ，24413228===()()P X C ， 34411324===()()P X C ，444114216===()()P X C ．所以X 的数学期望1422=⨯=()E X ．例4．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；【解析】解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，则00201010002==⨯⨯=()....P X ，10801020209010201090044==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()..........P X ， 20809010801090209090306==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()..........P X ， 30809090648==⨯⨯=()....P X ．（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为090105095+⨯=....， ∴一尾乙种鱼苗的平均收益为10095200594⨯-⨯=...元．设购买n 尾乙种鱼苗，()F n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则94376000=≥().F n n ，解得40000≥n ．所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．例5．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；（Ⅰ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X 的可能取值为0，1，2，3，()0355*******C C P X C ===，()12553105112C C P X C ===，()21553105212C C P X C ===，()30553101312C C P X C ===，所以X 的分布列为X 的数学期望()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅰ）设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得310,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()()1010370,1,2,3, (101010)kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1019110101011111010373710101010373710101010k k k kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得23331010k ≤≤，又*k N ∈，所以当3k =时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.例6．已知A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量1X 和2X .根据市场分析， 1X 和2X 的分布列如下.（1）在A ，B 两个项目上各投资100万元，1Y 和2Y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求()1D Y 和()2D Y ；（2）将x ()0100x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差之和.求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值.【解析】（1）15%1000.810%1000.26,EY =⨯⨯+⨯⨯=221(5%1006)0.8(10%1006)0.24DY =⨯-⨯+⨯-⨯= 22%1000.28%1000.512%1000.38,EY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2222(2%1008)0.2(8%1008)0.5(12%1008)0.312DY =⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=（2）221212100100()()()()()()()100100100100x x x x f x D Y D Y D Y D Y --=+=+22222244[3(100)](46003100)100100x x x x =+-=-+⨯, 当75x =时，()f x 取最小值3.例7．某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。

专题19 解三角形大题综合(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题19解三角形大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1求面积的值及范围或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷2015·山东卷掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。

考点2求边长、周长的值及范围或最值（10年8考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·山东卷2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷2015·山东卷考点3求角和三角函数的值及范围或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全国卷考点4求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长（10年几考）2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷2015·安徽卷、2015·全国卷考点5三角形中的证明问题（10年4考）2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷2015·湖南卷考点01求面积的值及范围或最值1．（2024·北京·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023·全国甲卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023·全国乙卷·高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．5．（2019·全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．6．（2017·全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,22A A a +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.7．（2016·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =332ABC S ∆=ABC ∆的周长.8．（2015·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积.9．（2015·全国·高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B （2）若90B = ，且2,a =求ABC ∆的面积．10．（2015·山东·高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.考点02求边长、周长的值及范围或最值1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 32A A +=．(1)求A ．(2)若2a =2sin sin 2b C c B =，求ABC 的周长．2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2C B =，2222a b c ab+-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为33c ．3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 3D 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ；(2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．5．（2022·全国乙卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．8．（2020·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C，求C .9．（2020·全国·高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.10．（2018·全国·高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .11．（2017·全国·高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.12．（2017·山东·高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .13．（2017·全国·高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ．14．（2016·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.15．（2015·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.16．（2015·山东·高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.考点03求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．3．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.4．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．9．（2019·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin(2B π+的值．10．（2019·北京·高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．11．（2019·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．12．（2018·天津·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.13．（2017·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.14．（2017·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.15．（2016·四川·高考真题）在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ；（Ⅱ）若，求tanB ．16．（2016·浙江·高考真题）在 ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c .已知b+c =2ac os B .（Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．17．（2016·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．18．（2016·天津·高考真题）在ABC 中，内角所对的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若1cos 3A =，求sinC 的值.19．（2016·北京·高考真题）在△ABC 中，222a c b +=+(1)求B 的大小；(2)A ＋cos C 的最大值．20．（2016·山东·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．21．（2016·四川·高考真题）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=.（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .22．（2016·江苏·高考真题）在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求(6cos A π-的值.23．（2015·江苏·高考真题）在中，已知.（1）求的长；（2）求的值.24．（2015·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为12,cos 4b c A -==-．(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos(2)6A π+的值．25．（2015·四川·高考真题）如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.26．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（Ⅰ）证明：sin cos B A =；（Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .27．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.28．（2015·全国·高考真题）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.考点04求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．2．（2018·北京·高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．3．（2018·全国·高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4．（2015·安徽·高考真题）在ABC 中，3,6,4A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.5．（2015·全国·高考真题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC BD 和AC 的长．考点05三角形中的证明问题1．（2022·全国乙卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.3．（2016·四川·高考真题）在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ；（Ⅱ）若，求tanB ．4．（2016·浙江·高考真题）在 ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c .已知b+c =2ac os B .（Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．5．（2016·山东·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．6．（2016·四川·高考真题）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=.（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .7．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（Ⅰ）证明：sin cos B A =；（Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .。

七年级数学专题19 最值问题_答案

专题19 最值问题例1 24 提示：,2,3a c b c d c =-==，原式324c ．例2 B 提示：()24422222219212248a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为2221ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190416ab ≤-≤⎛⎫ ⎪⎝⎭因此219902488ab ≤--+≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，即44908a ab b ≤++≤．例3 设12345x x x x x ≤≤≤≤，则23451345124512351234454545544545131111111111=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++≤++++于是得到45453x x x x ≤--．即()()45141x x -≤-．若41x =，则12341x x x x ====，与题设等式为554x x +=矛盾；若41x >，则514x -≤，即55x ≤，当55x =时，容易找到满足条件的数组(1，1，1，2，5)，所以5x 的最大值是5．例4 由1234x y z x y z +-=++=⎧⎨⎩，得5234x z y z=-=-⎧⎨⎩，由520340x z y z =-≥=-≥⎧⎨⎩得2354z ≤≤，则()()323522348x y z z z z z ω=++=-+-+=，当25z =时，ω有最小值165；当34z =时，ω有最大值6．例5 提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此，18根电线杆运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法：（1）四次个4根，一次2根；（2）三次各4根，二次各3根．（1）考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根． ①先送2根，再送4根，二次共走行驶：()()10001002110040025200+⨯++⨯=米；②先送4根，再送2根，二次共行驶：()()10003002130020025600+⨯++⨯=米；（2）两次各送3根时，所行路程为()()10002002120030025400+⨯++⨯=米.故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：()()()()()10001002110040021500400219004002230040019000+⨯++⨯++⨯++⨯++=米故所用最少油费为19000100019mn mn ÷=元例6 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13.点P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为123,,d d d ，连接PA ，PB ，PC ，由三角形的面积公式知：1231111512135122222d d d ⨯+⨯+⨯=⨯⨯. 即 1235121360d d d ++=.显然有()()12312312355121313d d d d d d d d d ++≤++≤++. 故()123601213d d d ≤++≤. 当230d d ==时，有12312d d d ++=，即123d d d ++取最大值时，P 与A 重合；当120d d ==时，有1236013d d d +++=，即123d d d ++取最小值时，P 与C 重合.A 级 1.27 原式=()()2222327a b c a b c ++-++≤2.63.15° 提示：()()()39023266A AB BC αααα︒-+-+-++=≤()270901566A B C ︒︒︒-++=== 4. 122c a -<<- 提示：,b a c a c b =----<，∴2,2ca c a>->-，又把b a c =--代入b c >中，得a c c --<，∴12c a <-.故122c a -<<-. 5.D 6.B 7.A 8.B 9.设123234x y z k ---===，则21,32,43x k y k z k =+=-+=+. ∴,,x y z 均为非负实数. ∴2103204k+30k k +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，解得：1223k -≤≤.故()()()3453214325431426x y z k k k k ω=++=++-+++=+. ∴1214261426142623k -⨯+≤+≤⨯+，即119353ω≤≤，所以ω的最小值是19，最大值是1353.10.20套. 1800元.提示：设生产L 型号的童装套数为x ，则生产M 型号的童装为()50x -套，所得利润()453050151500S x x x =+-=+.由()()0.50.950380.25026x x x x +-≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩得17.520x ≤≤，18,19,20x =.11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为179522mm ，图略. B 级 1.27 当2,25b a ==时，a b +的值最大. 2.102 提示：()1998,19980m n n n =--≥. 3.1157 提示：5864,,8525b b ba c d ===. 4.B ，D ，E 93.62百元5.13800元提示：设由甲库调运x 吨粮食到B 市，总运费为y 元，则()()()()56600680096002138000600y x x x x x x =+-+-++=+≤≤6.C 提示：a b c da b c d a b c d a b c d a b c d+++<++++++++++++a b c d M a b a b c d c d<+++++++. 故12M <<.7.B 提示：设AOD S x ∆=，则36BOC S x∆=.故36361313225S x x x x =++≥+=四边形ABCD . 8.（1）()2222122002122002220122a a a a a a m m +++=++++=+.()212200220122a a a m +++-=.当1220021a a a ====或1-时，m 取最大值2003001.当122002,,,a a a 中恰有1001个1，1001个1-时，m 取最小值1001-.（2）因为大于2002的最小完全平方数为2452025=，且122002a a a +++必为偶数，所以12200246a a a +++=或46-；即122002,,,a a a 中恰有1024个1，978个1-或1024个1-，978个1时，m 取得最小值()21462002572-=. 9.由条件得：2005222221211200620050,44,,44a a a a a a a ==++=++，以上各式相加，得()212200520064420050a a a a ++++⨯=≥，故1220052005a a a +++≥-.由已知122005,,,a a a 都是偶数，因此1220052004a a a +++≥-.另一方面，当1320050a a a ====，2420042a a a ====-时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值是2004-.10.仓库地址应选在C 处，假定仓库另选一地O ，设,,,,AB c BC a CA b AO x ====BO y CO z ==，（单位：千米），又假定A 厂产量为2m ，B 厂产量为3m ，C 厂产量为5m ，（单位：吨）.仓库在O 处的总运费可表示为235mx my mz ++；仓库在C 处的总运费可表示为2mb ＋3ma ．由于x ＋z ≥b ，y ＋z ≥a ，因此2mx ＋2mz ≥2mb ，3my ＋3mz ≥3ma ，两式相加得2mx ＋3my ＋5mz ≥2mb ＋3ma ，当且仅当O 与C 重合时等号成立，所以公用仓库选在C 处总运费最省．11．设巡逻车行到途中B 处用了x 天，从B 到最远处用y 天，则有2[3(x ＋y )＋2x ]＝14×5，即5x ＋3y ＝35．又由题意知，x ＞0，y ＞0，且14×5－(5＋2)x ≤14×3，即x ≥4，从而问题的本质即是在约束条件5335,4x yxy+=⎧⎪≥⎨⎪>⎩，下，求y的最大值，显然y＝5，这样200×(4＋5)＝1800千米，即为其他三辆车可行进的最远距离．7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。

2019中考数学专题复习《二次函数与线段最值问题》含解析

2019中考数学专题复习二次函数与线段最值问题含解析二次函数与线段最值问题一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PC∥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC，我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n，2n），若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2x+2与x轴交于B、C两点（点B 在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．12．如图，抛物线与直线相交于A，B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是（2，4），抛物线与x轴另一交点为D，并且△ABD的面积为6，直线AB与y轴的交点的坐标为（0，2）．点P是线段AB（不与A，B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q．（1）分别求出抛物线与直线的解析式；（2）求线段PQ长度的最大值；（3）当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y x2x﹣4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD于点M，求线段MQ长度的最大值．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P在线段EB上运动时，直线l与菱形BDEC的某一边交于点S，是否存在m 值，使得点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出m值，不存在，说明理由．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．15．（1）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），直线y＝x+1过点A，与抛物线交于点C，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．（2）在（1）条件下，过点P作y轴垂线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．16．如图1，抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；（2）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A、C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，PK，求线段OL+LK+PK的最小值，并求出此时点L的坐标．（3）如图2，点M（﹣2，﹣1）为抛物线对称轴上一点，点N（2，7）为直线AC上一点，点G为直线AC与抛物线对称轴的交点，连接MN，AM．点H是线段MN上的一个动点，连接GH，将△MGH沿GH翻折得到△M′GH（点M的对称点为M′），问是否存在点H，使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形，若存在，请求出NH的长，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的抛物线y x2+bx+c交直线AB另一点D，且点D到y轴的距离为8．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD上方的抛物线上一动点，（不与点A、D重合），过点P作PE⊥AD于E，过点P作PF∥y轴交AD于F，设△PEF的周长为L，点P的横坐标为m，求L与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在图（2）的条件下，当L最大时，连接PD．将△PED沿射线PE方向平移，点P、E、F的对应点分别为Q、M、N，当△QMN的顶点M在抛物线上时，求M点的横坐标，并判断此时点N是否在直线PF上．（参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）．当x时，y最大（小）值）19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，﹣3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．（1）求y＝ax2+bx+c解析式；（2）将y＝ax2+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y＝mx2+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P 作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；（直接写出结果，不写求解过程）．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设P点的横坐标为m．①求线段PE长度的最大值；②点P将线段AC分割成长、短两条线段PA、PC，如果较长线段与AC之比等于，则称P为线段AC的“黄金分割点”，请直接写出使得P为线段AC黄金分割点的m的值．25．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值．27．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，当点P运动到什么位置时，△ACE的面积最大？求出此时P点的坐标和S△ACE的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点．求线段PE 长度的最大值；（3）若点G是抛物线上的动点，点F是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．30．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交A、B两点（A点在B点右侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为﹣2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求当点P坐标为多少时，线段PE长度有最大值，最大值是多少？（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．二次函数与线段最值问题参考答案与试题解析一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　6　．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2，∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴当x＝1时，C最大值＝6，．即四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．【考点】F5：一次函数的性质；H7：二次函数的最值．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x，当2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣22，即﹣4＜k＜4时，把x，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得到关于m的方程，解方程求出m的值，再利用配方法将二次函数写成顶点式，即可求出顶点D的坐标；（2）先把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得到方程1x2+2x+3，解方程求出x1，x2，再利用二次函数的性质结合图象即可得出a，b应满足的条件；（3）先求出二次函数与y轴交点C的坐标，当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①当DC＝DP时，易求点P坐标为（2，3）；②当PC＝PD时，过点D 作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N．由HD＝HC，PC＝PD，根据线段垂直平分线的判定与等腰三角形的性质得出HP平分∠MHN，再由线段垂直平分线的性质得出PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解方程求出m的值，得出点P的坐标为或；③当CD＝CP时，不符合题意．【解答】解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3．则二次函数为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得1x2+2x+3，解得x1，x2，结合图象知a≤1．当a时，1≤b，当a≤1时，b；（3）x＝0时，y＝3，所以点C坐标为（0，3）．当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况：①如图1，当DC＝DP时，∵点P与点C关于抛物线的对称轴x＝1对称，∴点P坐标为（2，3）；②如图2，当PC＝PD时，过点D作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y 轴于点M，PN⊥DH于点N．∵HD＝HC＝1，PC＝PD，∴HP是线段CD的垂直平分线．∵HD＝HC，HP⊥CD，∴HP平分∠MHN，∵PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N，∴PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解得m，∴P的坐标为或；③如图3，当CD＝CP时，点P在y轴左侧，不符合题意．综上所述，所求点P的坐标为（2，3）或或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，二次函数的性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围x≤2，当x时，得到m，当x＝2时，得到n，即可得到结论．【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，∴，∴或；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x）2，∴对称轴为直线x，∵1≤a≤2，∴x2，∵x≤2，∴当x时，y＝ax2+bx+4的最大值为m，当x＝2时，n，∴m﹣n，∵1≤a≤2，∴当a＝2时，m﹣n的值最小，即m﹣n的最小值．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，因为对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，所以k，由此即可解决问题；（4）构建二次函数，利用二次函数的性质，解决最值问题；【解答】解：（1）当m＝n＝﹣1时，函数解析式为y＝﹣x2+2，顶点坐标为（0，2），函数最大值为2，∵﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y＝1，x＝3时，y＝﹣7．∴函数的最大值为2和最小值为﹣7．（2）n＝1时，函数解析式为y＝x2﹣2（m+1）x+m+3，∵顶点的纵坐标m2﹣m+2，∵﹣1＜0，∴m时，抛物线顶点的纵坐标最大，顶点最高．（3）∵n＝2m，∴抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，∵对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，∴k，∴k的最大整数为0．（4）∵m＝2n，∴抛物线的解析式为y＝nx2﹣2（2n+1）x+2n+3，设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则|x1﹣x2|，∴当时，抛物线与x轴两个交点之间的距离最短，最小值为．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，所以中考常考题型．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得二次函数解析式，化为顶点式可求得D的坐标；（2）利用两点间的距离公式可求得AC、CD、AD，可知△ACD为直角三角形，AD为斜边，可知E为AC的中点，可求得E的坐标及半径；（3）当x时，可求得y＝1，且当x＝1时y＝4，根据二次函数的对称性可求得n的范围．【解答】解：（1）∵抛物线过A点，∴代入二次函数解析式可得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3，∴二次函数为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）；（2）由（1）可求得C坐标为（0，3），∴AC3，CD，AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴E为AD的中点，∴E点坐标为（2，2），外接圆的半径r AD；（3）当x时，y＝1，当x＝1时，y＝4，∴当x≤1时，1y≤4，根据二次函数的对称性可知当1≤x时，1y≤4，∴1≤n．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标、增减性、及直角三角形的判定等知识的综合应用．在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键，在（2）中判定出△ACD为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用二次函数的对称性，结合二次函数在对称轴两侧的增减性可确定出n的范围．本题难度不大，注重基础知识的综合，较易得分．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，PC m2m+3．由PM，得到m2m+2，即m2＝3m+1，m，进而求出PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，矩形PMNQ的周长d＝﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长的最大值．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PM m2m+2，PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PM，∴m2m+2，整理，得m2﹣3m﹣1＝0，∴m2＝3m+1，m，∴PC m2m+3（3m+1）m+3＝m，∴当m时，PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，∴矩形PMNQ的周长d＝2（PM+MN）＝2（m2m+2+3﹣2m）＝﹣m2﹣m+10．∵﹣m2﹣m+10＝﹣（m）2，∴当m时，d有最大值．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，化成顶点式即可；（3）根据抛物线的对称轴和A的坐标，求得B的坐标，求得AB，从而求得三角形APB的面积，进而求得三角形ABQ的面积，得出Q的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得横坐标，从而求得Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PC m2m+3（m）2，所以，当m时，PC最长，此时P（，），AM；（3）存在；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴B（4，0）∴AB＝5，∵S△APB AB•PM5，∵，∴S△ABQ，设Q点纵坐标为n，∵S△ABQ AB•n，∴n，（或n这样计算比较方便），∴x2x+2，解得：x或x，∴Q（，）或（，）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．。

2020中考数学冲刺练习-第19讲线段的最值问题--含解析

2020数学中考冲刺专项练习专题19线段的最值问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创】如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于一点（-2+ 2，0），对称轴为直线x=﹣2，抛物线上存在B、C两点，点B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，BC=6且平行于x轴。

（1）求此抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积.（3）点P在x轴负半轴上，且PA+PB的最小值为，求点P的坐标．直线CP将线段AB分成1：3两部分，试求点P的坐标。

【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣2，b=4a，c=2，又∵过点（-2+2，0），代入y=ax 2+4ax+2，解得a=1，故b=4则此抛物线的解析式为y=x 2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6， ∴B 横坐标为﹣5，C 横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，又∵点A 的坐标为（0，2），故点A 到BC 的距离为7-2=5， ∴△ABC 的面积=5×6÷2=15. （3）由（2）题可知B （﹣5，7），C （1，7），设直线PC 解析式为y=kx+b ，交AB 与点D ，过点A 作AE//BC ，交PC 于点E ，① 当AD ：BD=1：3时，则有AE ：BC=1：3又∵BC=6，故AE=2，从而得到点E 的坐标为（-2，2）则代入PC 解析式可得：722k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：53163k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线PC 解析式为y=53x+163，则可得点P 的坐标为（0，165-） ②当AD ：BD=3：1时，则有AE ：BC=3：1 同理可得到点E 的坐标为（-18，2）则代入PC 解析式可得：7182k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：51912819k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线PC 解析式为y=519x+ 12819，则可得点P 的坐标为（0，1285-）综上所述可得点P 的坐标为（0，165-）或（0，1285-）.【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】如图1，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 、Q 、K 分别为线段B C 、CD 、BD 上的任意一点，求PK ＋QK 的最小值．图1【解析】如图2，点Q 关于直线BD 的对称点为Q ′，在△KPQ ′中，PK ＋QK 总是大于PQ ′的．如图3，当点K 落在PQ ′上时，PK ＋QK 的最小值为PQ ′．如图4，PQ ′的最小值为Q ′H ，Q ′H 就是菱形ABCD 的高，Q ′H＝3．这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．图2 图3 图4【例题2】如图1，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．图1【解析】在四边形ABEF 中，AB 、EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小．由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．图2 图3【例题3】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．∵点A（﹣2，0）点B（0，2），∴OA=OB=2．∵点E，点F分别为OA，OB的中点，∴OE=OF=1∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．在Rt△AE′O中，AE′=．在Rt△BOF′中，BF′=．∴AE′，BF′的长都等于．（Ⅱ）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°∴AE′⊥BF′．（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴点P、B、A、O四点共圆，∴当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大．∵OE′=1，∴点E′在以点O为圆心，1为半径的圆O上运动，∴当AP与⊙O相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大，此时∠AE′O=90°，点D′与点P重合，点P的纵坐标达到最大．过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，∴∠E′AO=30°，AE′=．∴AP=+1．∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，∴PH=AP=．∴点P的纵坐标的最大值为．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

九年级数学上册专题突破 19《二次函数和反比例函数》利用二次函数求最值 (新版)北京课改版-北京课

二次函数求最值二次函数求最值的一般步骤：（1）找等量：分析题目中的数量关系，（2）列式：列出函数关系式，（3）求最值的方法： ①配方法， ②公式法。

方法归纳：二次函数求最值的注意事项：①若自变量的取值X 围是全体实数，则函数在顶点处取得最值，即当x ＝－b 2a 时，y 最值＝4ac －b24a；②若自变量的取值X 围是x 1≤x ≤x 2，当－b 2a 在x 1≤x ≤x 2内时，有一个最值4ac －b 24a 在x ＝－b 2a时取得，另一个最值在两端点处取得；当－b2a 不在x 1≤x ≤x 2时，函数的最值在x ＝x 1和x ＝x 2时取得。

总结：1. 能根据实际问题的情境建立二次函数模型。

2. 会利用二次函数某某际问题的最值。

例题1在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝a2x －y ＝1中。

（1）若a ＝3，求方程组的解；（2）若S ＝a （3x ＋y ），当a 为何值时，S 有最值。

解析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到3x ＋y ，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答。

答案：（1）a ＝3时，方程组为⎩⎨⎧x ＋2y ＝32x －y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1。

（2）方程组的两个方程相加得，3x ＋y ＝a ＋1，所以S ＝a （3x ＋y ）＝a （a ＋1）＝a 2＋a ，所以，当a ＝－12×1＝－12时，S 有最小值。

点拨：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x ＋y 的表达式是解题的关键。

例题2便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足y ＝－2x 2＋80x ＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x ≤22，那么一周可获得的最大利润是多少？解析：先将二次函数变形，或利用公式求出此抛物线的顶点，再判断顶点是否在15≤x ≤22X 围内，最后根据二次函数的性质求出最大值。

2024年高考数学高频考点(新高考通用)等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。

专题19 利用导数求函数的最值(解析版)

专题19 利用导数求函数的最值一、单选题 1．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[-2，1]上的最大值为92，则m 等于（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．52【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案. 【详解】'2333(1)y x x x x =+=+，易知，当10x -<<时，'0y <，当21x -<<-或01x <<时，'0y >，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(2,1)--，(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又当1x =-时， 12y m =+，当1x =时，52y m =+，所以最大值为5922m +=，解得2m =.故选：C2．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 【答案】B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=，由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ，所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-，则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.3．已知函数()3232f x x x =-+，对于任意[]12,1,1x x ∈-都有()()12f x f x m -≤，则实数m 的最小值为（） A ．0 B ．2C ．4D ．6【答案】C 【分析】由题可得，只需满足()()max min f x f x m -≤即可. 【详解】对于任意[]12,1,1x x ∈-都有()()12f x f x m -≤，即()()max min f x f x m -≤，()()23632f x x x x x '=-=-当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；∴当0x =时，()()max 02f x f ==，()11322f -=--+=-，()11320f =-+=，()min 2f x ∴=-， ()()max min 4m f x f x ∴≥-=，即m 的最小值为4.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为()()max min f x f x m -≤，利用导数求最值即可.4．设函数()|ln |()f x x t x t R =++∈．当[1,e]x ∈时（e 为自然对数的底数），记()f x 的最大值为()g t ，则()g t 的最小值为（） A．1 B ．2eC ．eD ．【答案】C 【分析】由()ln ln ln ttx x tx e f x x t x x x tx e--++≥⎧=++=⎨--<⎩，分t e e -≥，1t e -≤，1t e e -<<三种情况分别讨论出函数()f x 在[1,]e 上的单调性，从而求出()f x 的最大值()g t ，再根据()g t 的解析式求()g t 的最小值.【详解】()ln ln ln ttx x tx e f x x t x x x tx e --++≥⎧=++=⎨--<⎩当t e e -≥，即1t ≤-时，在[1,e]x ∈时，()ln f x x x t =--，则()111x f x x x-'=-=此时，()10x f x x-'=≥在[1,e]x ∈上恒成立, 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，则()()1g t f e e t ==--当1t e -≤，即0t ≥时，在[1,e]x ∈时，()ln f x x x t =++，则()1110x f x x x+'=+=> 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，则()()1g t f e e t ==++当1t e e -<<，即10t -<<时，ln ()ln ln 1ttx x t e x e f x x t x x x t x e--++≤≤⎧=++=⎨--≤<⎩ 若t e x e -≤≤，则()ln f x x x t =++，()1110x f x x x +'=+=>，此时()f x 单调递增 1t x e-≤<，则()ln f x x x t =--，()1110x f x x x-'=-=≥，此时()f x 单调递增又t x e -=时，两段在t x e -=处的函数值相等，所以()f x 在[1,]e 上单调递增所以()()1g t f e e t ==++综上所述可得：11()11e t t g t e t t ++>-⎧=⎨--≤-⎩由一次函数的单调性可得当1t =-时，()g t 有最小值e 故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到ln ()ln ln ttx x tx e f x x t x x x tx e--++≥⎧=++⎨--<⎩，然后由t e e -≥时，()[]()ln 1,f x x x t x e =--∈，当1t e -≤时， ()ln f x x x t =++[]()1,x e ∈，t e x e -≤≤时，ln ()ln 1ttx x t e x e f x x x t x e --++≤≤⎧=⎨--≤<⎩，再由单调性得出最大值，属于中档题.5．函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．13π+ B ．4π+C ．6π+D ．2π 【答案】C 【分析】利用导数分析函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求得函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【详解】对于函数2cos y x x =+，12sin y x '=-. 当06x π<<时，12sin 0y x '=->；当62x ππ<<时，12sin 0y x '=-<.所以，函数2cos y x x =+在区间0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以，max 2cos666y πππ=+=故选：C. 【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．6．已知函数()31x f x e x =--(e 为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（） A ．函数()y f x =仅有一个零点，且在区间(,)-∞+∞上单调递增；B ．函数()y f x =仅有一个零点，且在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞递增；C ．函数()y f x =有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；D ．函数()y f x =有二个零点，且当ln3x =时，()y f x =取得最小值为23ln3-. 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点．【详解】()3x f x e '=-是增函数，∴ln3x <时，()0f x '<，()f x 递减，ln 3x >时，()0f x '>，()f x 递增，显然(0)0f =，∴(ln 3)23ln 30f =-<，又x →+∞时，()f x →+∞，∴()f x 在(ln3,)+∞上也有一个零点，因此共有两个零点．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值．解题方法是求出导函数，确定导函数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性． 7．函数3()12f x x x =-在区间[]3,1-上的最小值是（） A ．16- B ．18- C ．11 D ．9-【答案】A 【分析】先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果. 【详解】因为3()12f x x x =-，所以2()123f x x '=-，由()0f x '>得22x -<<，由()0f x '<得2x >或2x <-；又31x -≤≤，所以当32x -≤<-时，()0f x '<，函数3()12f x x x =-单调递减；当21x -≤≤时，()0f x '>，函数3()12f x x x =-单调递增；因此min ()(2)24816f x f =-=-+=-. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（） A ．1 BCD ．2【答案】C 【分析】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可. 【详解】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=，故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=，由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C . 【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题. 9．下列关于函数2()(3)x f x x e =-的结论中，正确结论的个数是（） ∴()0f x >的解集是{|x x <<；∴(3)f -是极大值，(1)f 是极小值； ∴()f x 没有最大值，也没有最小值； ∴()f x 有最大值，没有最小值； ∴()f x 有最小值，没有最大值. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】直接不等式()0f x >可判断∴∴对函数求导，求函数的极值，可判断∴∴利用导数求函数的最值可判断∴∴∴ 【详解】解：由()0f x >，得230x ->，即230x -<，解得x <()0f x >的解集是{|x x <<，所以∴正确；由2()(3)xf x x e =-，得'2()(23)xf x x x e =--+，令'()0f x =，则2x 2x 30--+=，解得3x =-或1x =，当3x <-或1x >时，'()0f x <，当31x -<<时，'()0f x >，所以(3)f -是极小值，(1)f 是极大值，所以∴错误；因为(3)f -是极小值，且当3x <-时，()0f x <恒成立，而(1)f 是极大值，所以()f x 有最大值，没有最小值，所以∴正确，∴∴错误，故选：B【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 10．函数()2sin sin 2f x x x =+的最小值是（）A ．3-B ．2-C ．D ．【答案】C 【分析】对函数求导分析单调性即可求出函数的最值．【详解】解：因为()2sin sin 2f x x x =+，2()2cos 2cos22cos 2(2cos 1)f x x x x x ∴'=+=+- 22(2cos cos 1)2(2cos 1)(cos 1)x x x x =+-=-+，cos 10x +，∴当1cos 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1cos 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1cos 2x =时，()f x 有最小值，又()2sin sin 22sin (1cos )f x x x x x =+=+，∴当sin x =时，()f x 有最小值，且1()2((1)2min f x =⨯⨯+= 故选：C 【点睛】本题解答的关键是利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值；二、多选题11．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =+⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=-，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>，所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x ，当0x <<时，()0'<G x ，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题. 三、解答题13．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=. （1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =. 【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；【详解】（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故 ()11ax g x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数. （2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3. 当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以 ()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去.当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2. 【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<∴对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可. 14．已知函数32()2+1f x x ax bx =++在x =1处取得极值-6. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f (x )在区间[]2,2-上的最大值和最小值.【答案】（1）3,12a b ==- ；（2）max min ()21,() 6.f x f x ==- 【分析】（1）求导()262f x x ax b =++'，根据函数()f x 在x =1处取得极值-6，由(1)6'(1)0f f =-⎧⎨=⎩求解.（2）由（1）知()()()26612612f x x x x x =+-=-+'，分别求得极值和端点的函数值求解.【详解】（1）由32()2+1f x x ax bx =++得：()262f x x ax b =++'.由题意知：()()1610f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩ 即926a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得：312a b =⎧⎨=-⎩经检验312a b =⎧⎨=-⎩符合题意.（2）由（1）知32()2+3121f x x x x =-+，()()()26612612f x x x x x =+-=-+'令()0f x '=得：2x =-或1x =，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由表可知：max min ()(2)21,()(1) 6.f x f f x f =-===- 【点睛】方法点睛：（1）导数法求函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，再列方程求解参数．15．已知函数()1x e f x x-=.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线2y kx =+与曲线xy e =交于P ，Q 两点，设点P 的横坐标为()0a a <，OPQ △的面积为S .（i ）求证：12S a ae e S ae--=；（ii ）当S 取得最小值时，求k 的值.【答案】（1）()f x 的增区间为(),0-∞和()0,∞+；（2）（i ）证明见解析；（ii ）2. 【分析】（1）求导()()211x e x f x x-+'=，令()()11xg x e x =-+，再利用导数法研究其正负即可. （2）（i ）设(),aP a e，(),bQ b e (其中0a b <<)，则OPQ △的面积()122S b a b a =⨯-=-，即S b a =-∴由2ae ka =+，得到2a e k a -=，然后再由(),a P a e 及(),bQ b e ，利用斜率公式得到b a e e k b a-=-求解；（ii ）由（1）得到()()10S e f S S S -=>为增函数，则S 最小()f S ⇔最小()20a a e a ae -⇔<最小，令()()20a a e h a a ae-=<，再利用导数法求解. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，.()()211x e x f x x-+'=，令()()11xg x ex =-+，则()x g x xe '=.因为()00g x x '>⇔>；()00g x x '<⇔<，所以()g x 在(),0-∞上为减函数，在()0,∞+上为增函数. 当0x >时，()()00g x g >=，即()()20g x f x x ='>，当0x <时，()()00g x g >=，即()()20g x f x x ='>.所以当()(),00,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间(),0-∞和()0,∞+上都是增函数. 因此()f x 的增区间为(),0-∞和()0,∞+，没有减区间. （2）（i ）证明：(),aP a e，设(),bQ b e (其中0a b <<)，由题意，得OPQ △的面积()122S b a b a =⨯-=-，即S b a =-. 由2ae ka =+，得2a e k a-=，由(),aP a e 及(),bQ b e ，得b ae e k b a-=-，所以()11112S b a b a b a a a aa a e e e e e e e k Sb a b a e b a e e ae ------===⋅=⋅=---，故12S a ae e S ae--=成立. （ii ）由（1），得()()10S e f S S S-=>为增函数，于是S 最小()f S ⇔最小()20a a e a ae -⇔<最小. 令()()20a a e h a a ae -=<，则()222a aa e h a a e+-'=，再令()()220aa a ea ϕ=+-<，则()()200aa e a ϕ'=-><，所以当0a <时，()a ϕ单调递增.又()110e ϕ--=-<，121102e ϕ-⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一的011,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00a ϕ=，即00220a a e +-=. 当0a a <时，()0a ϕ<，即()()20aa h a a eϕ'=<；当00a a <<时，()0a ϕ>，即()()20aa h a a eϕ'=>，所以0a a =是()h a 的极小值点，也()h a 的最小值点，所以当0a a =时，()f S 取得最小值，等价于S 最小，此时00220a a e+-=，所以0022a e k a -==. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.16．已知函数()cos ln f x x x ax =⋅-.（1）当0a =时，求函数()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）max ()0f x =；（2）2,ln π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）对函数进行求导得cos ()sin ln x f x x x x '=-⋅+，易得()0f x '<在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即可得答案；（2）由题意得：()0f x '≥恒成立，即cos sin ln x a x x x ≤-⋅+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立.构造函数 cos ()sin ln xh x x x x=-⋅+，利用导数求出函数的最小值即可；【详解】（1）当0a =时，cos ()sin ln xf x x x x'=-⋅+显然()0f x '<在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以max ()02f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭；（2）因为cos ()sin ln xf x x x a x'=-⋅+-，所以()0f x '≥恒成立，即cos sin ln x a x x x ≤-⋅+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立. 令cos ()sin ln ,0,2x h x x x x x π⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭；则212sin ()cos ln xh x x x x x'⎛⎫=-+-⎪⎝⎭当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ln 0,cos 0,sin 0x x x >>>，所以()0h x '< 当(0,1)x ∈时，令21()ln ,(0,1)x x x x ϕ=+∈，因为233122()0x x x x xϕ'-=-=<，所以()ϕx 在(0,1)x ∈ 单调递减，所以()(1)10x ϕϕ>=>，所以(0,1)x ∈时，()0h x '<综上，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<恒成立，所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2()ln 2h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以2,ln a π⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】根据导数的正负研究函数的单调性；不等式恒成立问题，常用参变分离进行求解. 17．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围.【答案】（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞. 【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231xf x exx a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311xx f x exx x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负， ∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231xf x exx x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞. 【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；∴利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法.18．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补．（∴）求k 的值．（∴）求PAB △面积的取值范围．【答案】（∴）2；（∴）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（∴）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，利用斜率公式得到直线PA 、PB 、AB 的斜率，根据直线PA 、PB 的倾斜角互补．得到01220y y y ++=，根据三角形的重心的坐标公式可得122y y +=，从而可得2k =；（∴）联立直线:2l y x b =+与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB ，利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可. 【详解】（∴）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则010*********444PA y y y y k y y x x y y --===-+-，同理可得021244,PB AB k k y y y y ==++，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以0102440y y y y +=++，即01220y y y ++=，又PAB △重心的纵坐标为13，根据三角形的重心的坐标公式可得0121y y y ++=，所以122y y +=，所以422AB k k ===．（∴）由（∴）知直线:2l y x b =+，与抛物线方程联立，并整理得2244(1)0x b x b +-+=，其判别式22116(1)1602b b b ∆=-->⇒<，所以102b <<．而212111,4b x x b x x +=-=，因此，||AB ===又由（∴）知，01y =-，所以200144y x ==，所以1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线:20l x y b -+=的距离为1|21|b d ⨯++==所以113||222PABS AB d b ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭△令231()(12),022f b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2333()2122(61)0222f b b b b b b ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=-++-⨯+=-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，故()f b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以9()(0,)4f b ∈，故30,4PAB S⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：∴三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭，∴弦长公式：||AB =. 19．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。

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专题19 最值问题
阅读与思考
在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：
1、通过枚举选取.
2、利用完全平方式性质.
3、运用不等式（组）逼近求解.
4、借用几何中的不等量性质、定理等.
解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.
例题与求解
【例1】若c 为正整数，且a b c +=，b c d +=，d a b +=，则（a b +）（b c +）（c d +）（d a +）的最小值是 .
（北京市竞赛试题）
解题思路：条件中关于C 的信息量最多，应突出C 的作用，把a ，b ，d 及待求式用c 的代数式表示.
【例2】已知实数a ，b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值是（） A. 1
8- B.0 C.1 D. 98
( 全国初中数学竞赛试题) 解题思路：对44a ab b ++进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.
【例3】如果正整数12345,,,,x x x x x 满足12345x x x x x ++++=12345x x x x x ，求5x 的最大值. 解题思路：不妨设12345x x x x x ≤≤≤≤，由题中条件可知
23451345124512351234
11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=1.结合题意进行分析.
【例4】已知,,x y z 都为非负数，满足1x y z +-=，234x y z ++=，记32w x y z =++，求w 的最大值与最小值.
（四川省竞赛试题）解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w .
【例5】某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m 升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n 元，求完成此项任务最低的耗油费用.
（湖北省竞赛试题）解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.
【例6】直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P 是三角形内或边界上的一点，P 到三边的距离分别为1d ，2d ，3d ，求1d +2d +3d 的最大值和最小值，并求当1d +2d +3d 取最大值和最小值时，P 点的位置.
（“创新杯”邀请赛试题）解题思路：连接P 点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.
能力训练
A 级
1.社a ，b ，c 满足2229a b c ++=，那么代数式222
()()()a b b c c a -+-+-的最大值是 . （全国初中数学联赛试题）
2.在满足23,0,0x y x y +≤≥≥的条件下，2x y +能达到的最大值是 .
（“希望杯”邀请赛试题）
3.已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＞B ＞C.用α表示A-B ，B-C ，以及90-A 中的最小值，则α的最大值是 .
（全国初中数学联赛试题）
4.已知有理数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，.那么c a
的取值范围是 . （数学夏令营竞赛试题）
5.在式子1234x x x x +++++++中，代入不同的x 值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）.
A.1
B.2
C.3
D.4
6.若a ，b ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足b c d +=，d c a +=，b a c +=，那么a b c d +++的最大值是（）.
A.-1
B.-5
C.0
D.1
(全国初中数学联赛试题)
7.已知,x y a -=10,z y -=则代数式222
x y z xy yz xz ++---的最小值是（）.
A.75
B.80
C.100
D.105
(江苏省竞赛试题)
8.已知x ，y ，z 均为非负数，且满足x y z ++=30， 350x y z +-=，又设542M x y Z =++，则M 的最小值与最大值分别为（）.
A.110，120
B.120，130
C.130，140
D.140，150
9.已知非负实数x，y，z满足
123
234
x y z
---
==，记345
w x y z
=++.求w的最大值和最小值
（“希望杯”邀请赛试题）
10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？
（江西省无锡市中考试题）。