人教版高中数学必修5数列练习题(有答案)

必修5 数列

2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3

a a a a a a a ++++=-则的值为

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．

解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>，

，又

4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ．

解：∵ ，，，

，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，

6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．

①求出公差d 的范围；

②指出1221S S S ，，

， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=36(27)0a d =+> ②

12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。

1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于( )

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

794121215a a a a a +=+∴= A

2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．

54

3． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ．

解：d n a a n )1(1-+=

5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分

钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?

故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1

-++=

n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列?

??

??

?

+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?

若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．

12122(1)(1)()

2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列．

②1)1(311-+==+n n a n na a ，

三、等比数列 知识要点

1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做

等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，． 2. 递推关系与通项公式

3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且ac b ac b =±=2

，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式

5. 等比数列的基本性质，),,,(*

∈N q p n m 其中

①q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若，反之不成立！ ②)(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()

*2n n N ∈，则

S q S =偶奇

．

⑤n

n m n m S S q S +=+?．

⑥ ，

，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列?{}

)10(≠>c c c

n

a ，是等比数列；

②{}n a 是正项等比数列?{}

)10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；

③{}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； ②中项法：?≠?=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

③通项公式法：??=为常数）q k q k a n

n ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：?-=为常数）

（q k q k S n

n ,)1({}n a 为等比数列． 性质运用

1．10310

7

4

22222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于

D

2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．

3．⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．

⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121

)29(*∈

成立． 解：⑴①由等比数列的性质可知：

②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为

⑵由题设可知，如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121

)12(*∈-

比数列{}n b ，则有q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若所以可以得出结论，若

n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-

1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{

n

a 1

}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 ( )

A ．1

B ．－

2

1 C ．1或－1 D ．－1或

2

1 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )

A ．4

B ．

2

3 C ．

9

16 D ．2

5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )

A ．x 2－6x ＋25=0

B ．x 2＋12x ＋25=0

C ．x 2＋6x －25=0

D ．x 2－12x ＋25=0

6．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )

A ．1.1 4 a

B ．1.1 5 a

C ．1.1 6 a

D ．(1＋1.1 5)a 7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( )

A ．89a

b

B ．(a

b )9

C ．910a

b

D ．(

a

b )10 8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )

A ．32

B ．313

C ．12

D ．15

9．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )

A ．

11

n

B ．11n

C ．112-n

D ．111-n

10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ???

?=，那么36930a a a a ????等于 ( )

A ．102

B ．202

C ．162

D ．152 11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )

A ．全体实数

B ．－1

C ．1

D ．3

12．某地每年消耗木材约20万3

m ，每3

m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 2

5

万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( )

A ．[1，3]

B ．[2，4]

C ．[3，5]

D ．[4，6]

一、选择题： BDCAD BACDB BC 13．在等比数列{a n }中，已知a 1=

2

3

，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___． 15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ． 16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (2

1=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．

二、填空题：13.2， 3·2n －

2． 14.

2

51+．15.512 ．16.1

23-n ． 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．

(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式． (1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴1

1

1+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．

(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n

－1

即a n =(a 1＋1)q n －

1－1=2·2n －

1－1=2n －1

18．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．

解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1

且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －

1－1 ②

由①－②得a n ＝2

n －1

，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2

n －1

，n ∈N *

212

2

2

1)

2()2(-+=n n n

n a a ＝4 即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝

)14(3

141)41(2

1-=--n

n a 19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．

解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1 根据已知条件121(1)

481(1)601n n

a q q

a q q ?-=?

-??-=??-?

①

②

②÷①得：1＋q n ＝

45

即q n ＝4

1 ③ ③代入①得q a -11＝64 ④

∴S 3n ＝

q a -11 (1－q 3n )＝64(1－34

1

)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )

∴S 3n ＝48

)4860()(2

2222-=

+-n n n n S S S S ＋60＝63 20．求和：S n ＝1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n

－1

(x ≠0)．

解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2

当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －

1， ①

等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②

21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．解析：∵a1a n=a2a n－1=128，又a1＋a n=66，

∴a1、a n是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，

∴a1=2，a n=64或a1=64，a n=2，显然q≠1．

22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)

解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11 则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，

又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11

∴b11=800＋10×30=1100(万米2)

因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)