第十三章动量矩定理
第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
动量矩定理
Lz mz (mi vi ) mi ri J z
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
其中，J z mi ri 2 , 称为刚体对z轴的转动惯量。
5
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3
21
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O'z'//Cz
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
分别代入质点系对固定点O动量矩表达式中，就有
rC mi υC rC mi υiC riC mi υiC riC mi υC rC mi υC rC mi υiC mi riC υC riC mi υiC
12
求 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2 g g 2 d r 2 P 由动量矩定理： [ ( PA PB )]( PA PB )r dt g 2
3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
23
例: 已知滑轮A的质量为m1，半径为R1，对转轴O的转动惯量为J1 ；滑轮B的
第13章 动量矩定理
的动量矩为常矢量（或常量）。这就是质点系的动 量矩守恒定理。 内力不影响动量矩的变化。例：人坐在转椅上， 双脚离地，则人自己不能将椅子转动。
例：均质鼓轮质量为m1，对中心轴的转动惯量为J，置 于摩擦系数为f的粗糙水平面上，并与光滑的铅垂墙接 触，重物A的质量为m2，不计绳质量。求：重物A下 落的加速度和鼓轮所受的约束力。
Lz
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。
二、质点系的动量矩定理
13.2
动 若 m ( F ) 0 ，则 量 L z 常量 矩 定 即：若作用在质点系上的作用力对某固定点（或固 理 定轴）之矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）
z
在特殊情况下，若 m O ( F ) 0 ，则 L O 常矢量
y
手法则来确定。动量矩是瞬时量。在国际单位制中， 动量矩的单位是 kg m 2 / s
二、质点系的动量矩
1、质点系对固定点的动量矩 13.1 设质点系由 n 个质点组成，其中第 i 个质点的 动量为 m i v i ，对任一固定点的动量矩为r m i v i ， 质 则质点系对固定点 O 的动量矩为 点
2
动 a 2 J m2R 量 若M m 2 g sin R ，则 a 0 ，小车的加速度沿轨道 矩 向上。 定 必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正 理
负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完 全一致。
sin
二、质点系的动量矩定理
13.2 例4 水平杆AB长为 2 a ，可绕铅垂轴 z 转 动，其两端各用铰链与长为 l 的杆AC及 a A BD相连，杆端各联结重为 P 的小球C和D。 起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均 l 为铅垂时，这系统绕 z 轴的角速度为 0 C （如图）。如某时此细线拉断后，杆AC 和BD各与铅垂线成 角。不计各杆的质 量，求这时系统的角速度 。 a A 解：以系统为研究对象，系统所 受的外力有小球的重力和轴承处的反 l 力，这些力对转轴之矩都等于零。所 C 以系统对转轴的动量矩守恒，即
动量矩定理的三个公式
动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。
这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。
咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。
这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。
比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。
这个小球的速度很快，质量也不小。
那它的动量就比较大。
如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。
再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。
这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。
就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。
这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。
最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。
这三个公式在实际应用中可是大显身手。
记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。
实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。
同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。
他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。
当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。
我就用动量矩定理的公式给他解释。
我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。
合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。
这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。
动量矩定理公式总结
动量矩定理公式总结
动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
在本文中，将介绍动量矩定理的概念和公式，并探讨其在物理学研究中的应用。
动量矩定理是指，物体在受到外力作用时，它的动量随时间的变化率等于作用在物体上的合外力矩。
换句话说，动量矩定理描述了物体受到外力矩作用时的转动运动状态变化。
动量矩定理的公式为：dL/dt = M，其中dL/dt表示物体动量的变化率，M表示作用在物体上的合外力矩。
这个公式可以用来计算物体运动时的动量变化情况，以及外力矩对运动状态的影响。
除了上述公式，动量矩定理还可以用向量形式表示。
具体而言，物体的角动量L等于它的动量p与位置向量r的叉积，即L = r × p。
在这种情况下，动量矩定理可以表示为dL/dt = M × r，其中M表示外力矩。
动量矩定理在物理学研究中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，动量矩定理可用于计算机械系统的运动状态，以及预测其运动轨迹。
在天体物理学中，动量矩定理可用于研究行星、恒星等天体的旋转运动状态。
总之，动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
通过了解动量矩定理的概念和公式以及其在物理学研究中的应用，我们可以更好地理解物体的运动状态变化和物理规律。
13动量矩定理
O
r1
M
B
m2 g
mg
A
m1 g
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
解:取系统为研究对象进行受力分析和运动分析 1、受力分析
2、运动分析
Foy
FN
B
v1 r1
v2 r2
v2
M
r2
O
r1
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO J O m1r12 m2 r22
F1 F1
解得主动轮与从动轮的角加速度分别为：
MR 2 1 J1 R 2 J 2 r 2
MRr 2 J1 R 2 J 2 r 2
理论力学 第十三章 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
理论力学
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
若平面运动刚体具有质量对称平面，且其运动平 面与该质量对称平面平行，则有:
第十三章
动量矩定理
三、质点系的动量矩定理
设质点系中有n个质点，其中第 i 个质点： d [M z mi vi ] = M z Fi e M z Fi i dt
n n d e [M z mi vi ] M z Fi M z Fi i dt i 1 i 1 i 1 n
O
A
B
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
FO y
O
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
FO x
M F m gr m gr
e z i 1 2
第12章 动量矩定理
M
i 1
n
o
( Fi ) 0
(e)
Lo (t ) Lo (t0 )
M
i 1
n
x
( Fi ) 0
(e)
Lx (t ) Lx (t0 )
质点系动量矩守恒举例：
O
若两猴等重 ，轮无 质量。谁爬得快？
离合器传动
图示为运送矿石的卷扬机系统。已知鼓轮的半径 例： 为R ，重量为 P mg ，绕轴 O 转动。小车和矿石总
LO l m v l m lω m l2 θ
v
只有 m g 对O点有矩
MO (F ) mgsin l
图中 角的正方向，便规定了取 矩的正方向。
根据动量矩定理列方程
d 2 ( ml ) mg sin l dt
l g sin 0
——线性化
第13章 动量矩定理
动量矩定理表达了动量矩（机械运动 的一种度量）与力矩之间的关系。
本章首先介绍动量矩定理。在引进 转动惯量的概念之后，将定理应用于研 究刚体的定轴转动，得出刚体定轴转动 的微分方程。最后，将相对质心的动量 矩定理与前述质心运动定理结合，给出 刚体的平面运动微分方程。
§13-1 动量矩定理
d( ri mi vi ) ri Fi (e) ri Fi (i) (i 1,2,, n) dt n n n d( ri mi vi ) (e) (i) ri Fi ri Fi 相加得 dt i 1 i 1 i 1
其中 ri Fi
重量为 P1 m1 g 。配重 P2 m2 g 。作用在鼓轮上的力 偶矩为 M ，鼓轮对转轴的转动惯量为 J ，轨道的倾角 为 。不计绳的质量及各处摩擦。求小车的加速度。
第十三章动量矩定理
，以供
3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
⑴ 定理
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
⑵ 证明
设质量为m的刚体，质心为C，
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
例如，对于例1中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
③运动学补充方程：
化简(2) 得： 化简(1) 得：
动量定理：
质点 质点系
§12-2 动量矩
动量的改变—外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）
若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于 某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
解：研究小球，将小球视为质点。受力如图示。
运动分析： 由动量矩定理
微幅摆动时，
并令
，则
微分方程的解为： 代入初始条件
则运动方程
，摆动周期
15
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正） ⒉ 质点动量矩定理的应用 (可求解质点动力学两类基本问题） ⑴ 已知作用于质点的力或力矩求质点的运动； ⑵ 已知质点的运动求作用于质点的力或力矩； ⑶ 已知质点在某一状态下的运动要素，求在另一状态下的运动要素（速度、位
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒw
由动量矩定理：
[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计）
解：
系统的动量矩守恒。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三章 动量矩定理§13-1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩含义：质点相对某点“转动”运动强度。
瞬时量。
二、质点系的动量矩 1.对定点：表征质系相对定点O 点“转动”运动强度的量。
2.对质点C绝对动量矩：相对动量矩：可证：3. 对定点O 与对质心动量矩的关系： 对质心的绝对动量矩＝相对动量矩 可证：4. 转动刚体的动量矩（角动量）：若任意瞬时的角速度为ω，则刚体对于固定轴z 轴的动量矩为22i i i i i i i z r m r m v m r L ∑=⋅∑=∑=ωω式中2i i z r m J ∑=称为刚体对z 轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对z 轴分布状态的一个物理量，是刚体转动惯性的度量。
代入后得 ωz z J L =即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
§13-2 动量矩定理一． 质点动量矩定理如图所示质点M 的动量对于O 点的矩，定义为质点对于O 点的动量矩，即v r v M m m O ⨯=)(质点对于O 点的动量矩为矢量，它垂直于矢径r 与动量mv 所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为 mvd OMD m O ==∆2)(v M 将上式对时间求一次导数，有 )()()(F M F r v r v r v M O O m dtd m dt d m dt d =⨯=⨯+⨯= 得)()(F M v M O O m dtd= 上式为质点的动量矩定理，即：质点对固定点O 的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩。
二．质系动量矩定理设质系内有n 个质点，对于任意质点M i 有n i m dtde i i i O i i O 1)()()()()(=+=F M F M v M O式中)()(,e i i i F F 分别为作用于质点上的内力和外力。
求n 个方程的矢量和有∑∑∑===+=ni e i O ni n i i i O i i O m dt d 1)(11)()()()(F M F M v M式中∑==ni i i O1)(0)(F M，∑∑===⨯=ni ni e O i e i O 11)()()(M F r F M (e)i 为作用于系统上的外力系对于O 点的主矩。
交换左端求和及求导的次序，有∑∑===ni ni i i O i i O m dt d m dt d 11)()(v M v M 令∑∑==⨯==ni ni i i i i OO m m 11)(i v r v MLO L 为质系中各质点的动量对O 点之矩的矢量和，或质系动量对于O 点的主矩，称为质系对O 点的动量矩。
由此得)(e O O dtd M L =上式为质系动量矩定理，即：质系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩。
（1）具体应用时，常取其在直角坐标系上的投影式⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(ezzeyyexxMdtdLMdtdLMdtdLFFF式中∑==niiixxmML1)(v，∑==niiiyymML1)(v，∑==niiizzmML1)(v分别表示质系中各点动量对于x，y，z轴动量矩的代数和。
（2）内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化。
在特殊情况下外力系对O点的主矩为零，则质系对O点的动量矩为一常矢量，即==OeOLM,0)(常矢量或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数，例如)()(=∑exM F，xL =常数质点在有心力F作用下的运动，此时0=OM，所以=⨯=vrL mO常矢量，即L O的大小和方向不变，所以质点动量矩守恒。
①L O方向不变，即质点在r与mv组成的平面内运动，且此平面在空间的方位不变；②L O大小不变，即==∆=⨯mvdOABm2vr常数，如图13-2(b)所示，得=θ 2mr常数，=θ 221r常数。
θ 221r为矢径在单位时间内扫过的面积，称为面积速度。
所以在有心力作用下质点的面积速度不变。
§13-3刚体绕定轴转动微分方程根据质点系动量矩定理可导出刚体定轴转动微分方程式：将：可得由运动学知因此得称为刚体定轴转动微分方程式。
它表明：刚体定轴转动时，刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体的外力对转轴之矩的代数和。
另外可见：在同样力的作用下，刚体的转动惯量J z愈大，则刚体的角加速度愈小，表明刚体的转动状态愈难变化；反之，J z愈小，则转动状态变化愈大。
这说明:转动惯量是转动刚体惯性大小的度量。
（质量m 是平动刚体惯性大小的度量。
）比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即与F a ∑=m 形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。
转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动时起作用。
例13-1 两个质量为m 1，m 2的重物分别系在绳子的两端，如图所示。
两绳分别绕在半径为1r ，2r 并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O 轴的转动惯量为J O ，重为W ，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。
解：1. 以整个系统为研究对象；2．系统所受外力的受力图如图13-6，其中g 1m ，g 2m ，W 为主动力，O X ，O Y 为约束力； 3．系统的动量矩为ω)(222211r m r m J L O O ++=4．应用动量矩定理 )(F O OM dtdL ∑= 有2211222211)(gr m gr m r m r m J O -=++ε所以鼓轮的角加速度为 g r m r m J r m r m O 2222112211++-=ε 5．应用动量定理X x m ∑=∑Y ym ∑=∑ 有 O X =0W g m g m Y r m r m O ---=+-212211εε 所以轴承约束力为0=O Xg r m r m J r m r m W g m m Y O O 2222112221121)()(++--++=6．讨论：解决问题的思路是以整个系统为研究对象，首先应用动量矩定理求解已知力求运动问题，然后用质心运动定理求解已知运动求力的问题。
所以联合应用动量定理和动量矩定理可求解动力学的两类问题。
§13-4刚体对轴的转动惯量由上节知，转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为2i i z r m J ∑=如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式⎰=m z dm r J 2在工程中，常将转动惯量表示为2z z m J ρ=式中m 为刚体的质量，z ρ称为回转半径，单位为m 或cm 。
回转半径的物理意义为：若将物体的质量集中在以z ρ为半径、Oz 为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。
1．简单形状的均质刚体转动惯量的计算（1）长为l ，质量为m 的均质细长杆，如图13-8（a ）所示，对于过质心C 且与杆的轴线相垂直的z 轴的转动惯量为⎰-==2222121l l z ml dx x l m J 回转半径为 l l m J z z 2887.063===ρ 如图13-8（b ）所示，对于过杆端A 且与z 轴平行的z 1轴的转动惯量为 ⎰==lz ml dx x l m J 022131 回转半径 l l z 5774.033==ρ（2）半径为R ，质量为m 的均质薄圆盘，如图所示，对于过中心O与圆盘平面相垂直的z 轴的转动惯量。
图中所示圆环的质量为rdr R m dm ππ22=rdr R m 22=，此圆环对于z 轴的转动惯量为dr r Rmdm r 3222=，于是整个圆盘对于z 轴的转动惯量为⎰==R z mR dr r R m J 0232212 回转半径 R R z 7071.022==ρ 一般简单形状的均质刚体的转动惯量可以从有关手册中查到，也可用上述方法计算。
表13-1列出常见均质物体的转动惯量和回转半径。
表13-1 均质物体的转动惯量形状 简 图 转动惯量 惯性半径体 积细直杆212l m J zC =23l m J z =l lzC 289.032==ρl l z 578.03==ρ薄壁圆筒2mR J z =R z =ρRlh π2圆柱221mR J z =()22312l R mJ J yx +== R Rz 707.02==ρ ()223121l R yx +==ρρl R 2π空心圆柱()222r R m J z +=()2221r R z +=ρ()22r R l -π薄壁空心球232mR J z =R R z 816.032==ρRh π23实心球252mR J z =R R z 632.052==ρ334R π圆锥体2103mr J z =()224803l r m J J yx +==r r z 548.0103==ρ ()224803l r yx +==ρρl r 23π2．转动惯量的平行轴定理定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。
即2md J J zC z +='证明：如图13-10所示，设C 为刚体的质心，刚体对于过质心的轴z 的转动惯量为)(222i i i i i zC y x m r m J +∑=∑=对于与z 轴平行的另一轴z '的转动惯量为)'(222i i i i i z y x m r m J '+∑='∑='由于d y y x x i i i i +='=',，于是上式变为[][]i i i i i i i i i i i i i z m d y m d y x m d dy y x m d y x m J ∑+∑++∑=+++∑=++∑='222222222)(2)(式中第二项0==∑C i i my y m ，于是得2md J J zC z +='定理证毕。
在应用时注意以下几点： （1）两轴互相平行； （2）其中一轴过质心；（3）过质心的轴的转动惯量最小。
3．求转动惯量的实验方法工程中对于几何形状复杂的刚体，常用实验的方法测定其转动惯量。
常用的方法有扭转振动法；复摆法；落体观测法等。
下面以复摆法为例加以说明。
例13-5复摆法测转动惯量。
如图13-11所示刚体在重力作用下绕水平轴O 转动，称为复摆或物理摆。
水平轴称为摆的悬挂轴（或悬点）。
设摆的质量为m ，质心为C ，s 为质心到悬挂轴的距离。
若已测得复摆绕其平衡位置摆动的周期T ，求刚体对通过质心并平行于悬挂轴的轴的转动惯量。
解：刚体在任意位置的受力图如图13-11所示，刚体绕定轴转动微分方程为ϕϕsin ⋅-=mgs J O 由平行轴定理知，式中)(22222s m ms m ms J J C C C O +=+=+=ρρ有ϕϕρsin )(22⋅-=+mgs s m C 或0sin 22=++ϕρϕsgsC若摆角ϕ很小，ϕϕ≈sin ，运动微分方程线性化为022=++ϕρϕsgsC 这与单摆的运动微分方程相似。