计算传热学-传热基本原理及其有限元应用

1. 传热学的发展概述18世纪30年代首先从英国开始的工业革命促进了生产力的空前发展。

生产力的发展为自然科学的发展成长开辟了广阔的道路。

传热学这一门学科就是在这种大背景下发展成长起来的。

导热和对流两种基本热量传递方式早为人们所认识，第三种热量传递方式则是在1803年发现了红外线才确认的，它就是热辐射方式。

在批判“热素说”确认热是一种运动的过程中，科学史上的两个著名实验起着关键作用。

其一是1798年伦福特(B ．T ．Rumford)钻炮筒大量发热的实验，其二是 1799年戴维(H ．Davy)两块冰块摩擦生热化为水的实验。

确认热来源于物体本身内部的运动开辟了探求导热规律的途径。

1804年毕渥根据实验提出了一个公式，认为每单位时间通过每单位面积的导热热量正比例于两侧表面温差，反比例于壁厚，比例系数是材料的物理性质。

傅里叶于1822年发表了他的著名论著“热的解析理论”，成功地完成了创建导热理论的任务。

他提出的导热定律正确概括了导热实验的结果，现称为傅里叶定律，奠定了导热理论的基础。

他从傅里叶定律和能量守恒定律推出的导热微分方程是导热问题正确的数学描写，成为求解大多数工程导热问题的出发点。

他所提出的采用无穷级数表示理论解的方法开辟了数学求解的新途径。

傅里叶被公认为导热理论的奠基人。

在傅里叶之后，导热理论求解的领域不断扩大。

同样，自1823年M. Navier 提出流动方程以来，通过1845 年 G.G. Stokes 的改进，完成了流体流动基本方程的创建任务。

流体流动理论是更加复杂的对流换热理论的必要前提，1909和1915年W. Nusselt 开辟了在无量纲数原则关系正确指导下，通过实验研究对流换热问题的一种基本方法。

1904 年，L. Prandtl 提出的对流边界层理论使流动微分方程得到了简化，1921年 E. Pohlhausen 基于流动边界层理论引进了热边界层的概念，为对流传热微分方程的理论求解建立了基础。

在辐射传热研究方面，19世纪J. Stefan 根据实验确定了黑体辐射力正比于它的绝对温度的四次方的规律，1900年M.Planck 提出的量子假说奠定了热辐射传热理论基础。

上述传热理论为传热分析解析、数值以及实验研究奠定了理论基础。

还要特别提到的是，由于计算机的迅速发展，用数值方法对传热问题的分析研究取得了重大进展，在20世纪70年代已经形成一个新兴分支—数值传热学。

近年来，数值传热学得到了蓬勃的发展[2-4]。

2. 传热分析计算理论热量传递主要有三种传递形式，分别是热传导、热对流和热辐射。

热传导是指两个相互接触良好的物体之间的能量交换或一个物体由于其自身温度梯度而引起的内部能量的传递。

其遵循傅里叶定律[5]：dT q dxλ=-，其中λ是热导率， dT dx是温度梯度，q 是热流密度。

热对流是指在物体与其周围介质之间发生的热量交换。

热对流分为自然对流和强制对流，用牛顿冷却方程描述为()w f q h t t =-，其中h 为表面传热系数，w t 为物体表面的温度，f t 为物体周围流体的温度。

一个物体或两个物体之间通过电磁波形式进行的能量传递交换称为热辐射，通常由斯忒藩-波尔兹曼定律计算。

就物体温度与时间的变化关系而言，热量的传递过程可以区分为稳态过程（又称定常过程）与非稳态过程（又称非定常过程）两类。

凡是物体的各点温度不随时间而变化的热量传递过程都称为稳态热传递过程，反之温度随时间变化的热量传递过程则称为非稳态传热过程。

2.1 基本方程在进行传热分析时，主要用到的定律方程有能量守恒定律、动量守恒方程和质量守恒方程。

能量守恒定律也是热力学第一定律，它是自然界基本的一个定律。

它指出能量是不能消灭，也不能创造的，只能从一种能量形式转化为另一种能量形式，或者由一种物质传递到另一种物质，并且在这种能量转化和能量传递过程中其总量保持不变。

同时，对流传热的描述还会用到动量守恒方程和质量守恒方程，动量守恒方程是描述粘性流体流动过程的控制方程。

在数值模拟计算中，这些方程采用的是时均形式的微分方程。

能量守恒方程()p D c T T q Dtρφλρ=+∆+质量守恒方程 ()0U t ρρ∂+∇=∂ 动量守恒方程()D UF p U Dt ρρμ=-∇+∆式中： ρ为流体压力；T 为流体温度；q 为流体所吸收的热量；U 为速度矢量；μ为流体的动力粘度；F 为作用在流体上的质量力，在重力场中F g =；λ为导热系数；p c 为流体的比热容；φ为能量耗散函数：[]22φμε=其中[]ε为流体的变形张量，代表流体克服粘性所消耗的机械能，他将不可逆转化为热而耗散掉；在充分发展的湍流区域，反映湍流脉动量对流场影响的湍流动能方程和湍流应力方程可以通过标准k ε-方程得到，其形式为： t k b i ki dk k G G dt x x μρμρεσ⎡⎤⎛⎫∂∂=+++-⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦式中：t μ为湍流粘度，2t k C μμρε=； k 为湍流动能； ε为湍流动能耗散率。

2.2 基本控制方程求解的数值方法在利用数学方法进行热传递分析时，首先假定研究对象内各点的密度、温度、速度等都是空间坐标的连续函数。

基本控制方程数值方法求解的基本思想是：把原来在时间和空间坐标中连续的物理场比如速度场、温度场等，用有限个一系列的离散点也就是节点上的值的集合来替代，再利用一定合理的原则建立这些有关离散点的表达变量值之间关系的代数方程即为离散方程，利用数学方法来求解所建立起来的这些代数方程并求得所求解变量的近似值。

图2-1表示了基本控制方程的典型求解流程。

图2-1 控制方程数值求解流程计算流动传热常用到的数值方法主要包括：有限分析法、有限差分法、有限元法以及有限容积法。

在有限元分析软件ANSYS 中的有限容积法是指将计算区域划分成很多不互相重叠的网格，并且围绕每个网格节点都有一个控制体，再将每一个控制方程都在控制体上进行积分求解，可以得到包含一组节点计算变量值的离散化方程，可以保证具有守恒性，而且离散方程系数的物理意义明确，是目前流动与传热问题的数值计算中应用得最广的一种方法。

3.有限元概述有限元分析方法是对真实的物理系统进行近似的数学模拟，用有限个单元去逼近无限未知量的过程。

有限元的概念第一次提出是1943 年Courant 为研究St.Venant 的扭转问题采用了三角形分片上的连续函数和运用最小势能的原理。

有限元方法发展相当缓慢，直到1956 年，Turner，Clough，Martin 和Topp 等人第一次真正通过运用直接刚度法来确定由弹性理论的方程求出三角单元特性解决平面应力问题，并且将其写入论文进行发表。

由于计算机的出现，使得复杂的平面弹性问题求解更加容易，形成了新的研究方法。

“有限元法”这个名称，是1960 年Clough 发表的一篇平面弹性问题的论文中真正第一次出现。

至此，工程师们开始注意到有限元法的作用，并把它进行广泛地应用。

随着1970 年代以后，计算机技术的飞速发展，也带来了有限元法的迅速发展进步，大量相关的学术论文相继发表，并且出现了更多相关专著，进入了有限元的全盛发展时期。

迄今为止，有限元法主要被应用于流体力学、固体力学、电磁学、声学、热导学等各个领域；可以求解杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性的问题；能计算温度场、电磁场、流体场等场分布问题的稳态和瞬态问题；还能求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题[6]。

有限元分析是建立真实的物理系统，包括几何条件和载荷工况，然后利用数学近似的方法进行数值模拟。

有限元方法的主要基本思路是：“化整为零，积零为整”。

它的求解步骤包括：①将一个整体结构看作是由若干个单个的结构元件构成，并且通过有限个连接点连接。

单个的结构元件为“有限元”或“单元”，连接点为“节点”。

②在各单元上进行力学分析，并由相关力平衡条件建立相应的节点位移关系式及相关的节点力或节点位移的系列方程式。

③求解得到的方程组，获得问题的解。

如果形函数满足一定要求，解的精度会随着单元数目的增加而不断提高并且收敛于问题的精确解。

如果无限制地增加单元的数目将会却增加计算机计算所耗费的时间。

因此，在实际工程应用中，只要所得的数据能够满足工程需要就足够了。

3.1 有限元法的基本原理对于某些因为自身结构形状复杂或者具有非线性问题的工程实际问题，由于其边界值获得较为困难，解析解求解也很困难。

这类问题主要可以由下面两种方法来解决，其一是把问题的连续体进行离散化处理，然后利用结构矩阵分析的方法进行处理，最后通过数值法进行求解；二是可以把实际问题进行相关简化处理，也就是进行简化问题的方程和边界条件，使其能够进行计算，进而求得它在简化状态下的解，但是过多的简化又可能造成求得的解不正确甚至是错误的。

有限元法的基本思想是人为地把连续体的求解域划分成若干单元，单元与单元之间只是通过节点相互连接，用构成一个单元的集合来替代本身的连续体。

通过选定适当的插值函数求解单元内部各点的求解量。

通过相关平衡关系或者能量关系来建立节点量相互之间的方程式，然后再将各个单元“集合”在一块而形成总体的代数方程组，进行边界条件的求解。

它是一种近似求解一般连续性问题的数值方法。

3.2 有限元法分析的步骤利用有限元法分析求解问题的基本步骤通常为：①明确问题，定义求解域：根据实际问题近似确定求解域的几何区域和物理性质；②有限元网络划分：将求解域近似划分为有限个具有不同形状和大小而且彼此相互连接的单元组成的离散域；③确定状态变量和控制方程：即用包含问题状态变量边界条件的微分方程来表示一个具体的物理问题，并且将其转化为等价的泛函形式进行有限元分析。

④单元的推导：推导有限单元的列式指对单元构造一个适合的近似解，包括选择建立单元试函数和合理的单元坐标系，并且用某种合适方法定义单元各状态变量的离散关系形成单元矩阵；⑤总矩阵方程求解：将单元总体组装成离散域的联合方程组，并且要满足一定的连续条件；⑥求解联立方程组：有限元法联立方程组的求解可用随机法、选代法和直接法。

有限单元法分析从使用有限元程序的角度来分，又可以分成三大步骤，如图3－1所示。

图3－1 利用有限元程序进行分析的三个基本步骤前处理是指对研究对象进行网格划分并且形成计算模型的过程，主要包括选择计算单元类型、确定节点和单元网格及约束载荷的位移等。

求解是指在得到总体刚度方程并进行约束处理后，联立线性方程组的求解，并且最后得到节点位移的总过程。

后处理是指对计算结果的处理和有关数据的输出过程，包括各种温度、应变、应力或位移的整理，形成温度场分布图、应力图、变形图等[7]。

3.3 热传导问题的有限元描述从上述基本理论可以建立起热传导问题[8-9]的有限元描述方法。