第二节_最优化原理与动态规划
动态规划解决最优化问题的高效算法
动态规划解决最优化问题的高效算法动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
它通过将问题划分为多个子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的原理和应用。
一、动态规划的原理动态规划的基本思想是将原问题拆解为多个子问题，然后通过递推公式求解子问题的最优解，最后得到原问题的最优解。
其核心是利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
动态规划的求解过程分为三个步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为多个子问题，并定义子问题的状态。
2. 确定递推关系：确定子问题之间的递推关系，即子问题之间的重叠性质。
3. 求解最优解：使用递推公式从子问题的最优解中求解原问题的最优解。
二、动态规划的应用动态规划广泛应用于最优化问题的求解，包括线性规划、背包问题、最长公共子序列等。
下面以背包问题为例，介绍动态规划的应用过程。
背包问题是指在给定容量的背包和一组具有重量和价值的物品中，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
动态规划可以通过以下步骤求解背包问题：1. 定义子问题：定义子问题的状态为背包容量和可选择的物品数量。
2. 确定递推关系：通过递推公式将子问题和原问题联系起来，递推公式为dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中的最大价值，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
3. 求解最优解：通过递推公式，计算dp[i][j]的值，最后得到背包问题的最大价值。
三、动态规划算法的优势动态规划算法在解决最优化问题时具有以下优势：1. 高效性：动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，避免了重复计算，从而提高了求解效率。
2. 最优性：动态规划算法可以保证求解出的最优解是全局最优解。
3. 可行性：动态规划算法使用递推公式进行求解，因此可以确保求解过程是可行的。
综上所述，动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
动态规划算法的原理与优化
动态规划算法的原理与优化动态规划算法是一种优化问题求解的算法，它的基本思想是将问题分解为更小的子问题，通过求解子问题得到原问题的最优解。
1. 原理动态规划算法的基本原理是“最优子结构”。
也就是说，一个问题的最优解可由其子问题的最优解推导出。
因此，动态规划算法可以通过求解子问题来推导出整个问题的最优解。
另一个基本原理是“子问题重叠性”。
也就是说，与分治算法不同，同样的子问题可能会被多次求解。
因此，为了避免重复计算，动态规划算法可以用一个表格来存储已解决的子问题的结果。
动态规划算法的基本流程为：(1) 定义状态：定义比较小的子问题，以便于求解原问题。
(2) 描述状态转移：将原问题分解为若干个子问题，并制定状态转移方程。
(3) 边界条件：指定最小的问题的解。
(4) 递推计算：按照状态转移方程，通过已求解的子问题求解出当前问题的解。
2. 优化虽然动态规划算法可以解决很多优化问题，但在实际应用中，它也面临着一些问题。
其中最主要的问题就是时间复杂度。
由于动态规划算法需要存储已解决的子问题的结果，所以空间复杂度也可能很高。
为了避免这些问题，动态规划算法可以进行一些优化。
以下是一些常见的优化方法：(1) 状态压缩状态压缩是一种常见的空间优化方法。
当一个状态只与前一步的状态相关时，可以将状态的存储空间从二维降为一维。
这样可以大大减少存储空间，提高空间效率。
(2) 记忆化搜索动态规划算法中的状态转移方程可能会重复计算同一个子问题。
为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，将子问题的结果保存在一个数组中，每次需要计算子问题时先判断结果是否已经被计算过，如果已经计算过，直接取结果，否则进行计算，并将结果保存在数组中。
(3) 剪枝动态规划算法中可能存在一些无用的计算，通过一些剪枝技巧，可以在计算中跳过这些无用的步骤，从而减少计算量，提高效率。
以上是动态规划算法的原理与优化。
在实际应用中，通过不同的优化方法，可以进一步提高算法的效率。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划-动态规划-美国数学家贝尔曼-动态规划领域
物品
1 2 … j …n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an
每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
类似问题：工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳 生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度 地根据库存和需求决定生产计划。
描述状态的变量称为状态变量，它可用一个数、 一组数或一向量（多维情形）来描述，第k阶段 的状态变量常用sk表示，通常一个阶段有若干个 状态。
第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合， 用Sk表示。在第1阶段状态变量s1是确定的，称初 始状态。如引例中:
S1 A，S2 B1, B2, B3，S3 C1,C2,C3，S4 D1, D2
min
4
9
12
决策点为B3
AB3
f2
B3
3 9*
f1(A)=12说明从A到E的最短距离为12，最短路 线的确定可按计算顺序反推而得。即
A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图
形直观的表示出来：
12 2 A4
3
11
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
6
C1 3
多阶段决策过程特点：
（1）根据过程的特性可以将过程按空 间、时间等标志分为若干个互相联系又互相 区别的阶段。
（2）在每一个阶段都需要做出决策，从 而使整个过程达到最好的效果。
（3）在处理各阶段决策的选取上，不仅只 依赖于当前面临的状态，而且还要注意对以后 的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的 问题。
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。
它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。
动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。
这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。
其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。
首先，我们需要确定问题的状态。
状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。
在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。
接着，我们需要设计状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。
它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。
通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。
最后，我们需要确定边界条件。
边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。
边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。
通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。
因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。
优化原理与动态规划
优化原理与动态规划优化原理是通过改进算法或者改变计算模型来提高计算效率和性能的一门学科。
而动态规划是一种常见的优化原理，通过将问题划分为子问题，并将子问题的解保存在一个表格中，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
本文将重点介绍动态规划及其相关的优化原理。
动态规划是处理最优化问题的一种常见方法，它适用于那些具有重叠子问题和具有最优子结构的问题。
具有重叠子问题意味着原问题的解可以通过解决更小的子问题来计算得到。
具有最优子结构意味着问题的最优解包含了其子问题的最优解。
动态规划的核心思想就是将原问题划分为子问题，并将子问题的解保存在一个表格中，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
在应用动态规划之前，需要明确问题的状态和状态转移方程。
状态是问题的局部解，是解决问题的关键。
状态转移方程描述了问题的最优解与其子问题的最优解之间的关系。
动态规划的思路就是通过计算子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划常用于求解最优解问题，比如背包问题、最长递增子序列问题、矩阵链乘法问题等。
以背包问题为例，假设有一组物品，每个物品有重量和价值，并且有一个给定的容量的背包。
要求在不超过背包容量的情况下，装入物品的总价值最大。
解决这个问题的关键是构建状态数组和状态转移方程。
状态数组可以表示背包容量和拿到的物品个数两个维度，状态数组的值表示在当前状态下所能装入的物品的最大总价值。
状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中dp[i][j]表示在i个物品，容量为j的背包容量下的最大总价值，w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。
动态规划的核心就是填充状态数组。
我们可以从dp[0][0]开始填充数组，逐行逐列地计算dp[i][j]的值，直到填充完整个状态数组。
最后，dp[n][m]即为所求的最优解，其中n表示物品个数，m表示背包的容量。
动态规划是一种高效的计算方法，其时间复杂度和空间复杂度都与子问题的个数成正比。
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
动态规划-最优化原理和无后效性
动态规划-最优化啊原理和无后效性上面已经介绍了动态规划模型的基本组成，现在需要解决的问题是：什么样的“多阶段决策问题”才可以采用动态规划的方法求解?一般来说，能够采用动态规划方法求解的问题必须满足.最优化原理和.无后效性原则。
(1)动态规划的最优化原理。
作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，非最优解对问题的求解没有影响。
在例题1最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。
下面来讨论另外一个问题。
【例题2】余数最少的路径。
如图所示，有4个点，分别是A、B、C、D，相邻两点用两条连线C2k，C2k-1(1≤k≤3)表示两条通行的道路。
连线上的数字表示道路的长度。
定义从A到D的所有路径中，长度除以4所得余数最小的路径为最优路径。
求一条最优路径。
【分析】在这个问题中，如果还按照例题1中的方法去求解就会发生错误。
按照例题1的思想，A的最优取值可以由B的最优取值来确定，而B的最优取值为(1+3) mod 4 = 0，所以A的最优值应为2，而实际上，路径C1－C3－C5可得最优值为(2+1+1) mod 4 = 0，所以，B的最优路径并不是A的最优路径的子路径，也就是说，A的最优取值不是由B的最优取值决定的，即其不满足最优化原理，问题不具有最优子结构的性质。
由此可见，并不是所有的“决策问题”都可以用“动态规划”来解决，运用“动态规划”来处理问题必须满足最优化原理。
(2)动态规划的无后效性原则。
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。
也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。
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则 最优化原理 ：作为整个过程的最优策略具有这样
的性质，无论过去的状态和决策如何，对先前决 策
2.动态规划的数学模型(逆序法时)
(8.3a) (8.3b)
或
(8.3c) (8.3d)
(8.3b)和(8.3d)称为边界条件。
五、动态规划方法的基本步骤 1. 阶段的划分 2.正确地定义状态变量sk
A1
2 Q 4 3 7 4
B1
4 B2
1 C1 3 T C2 4
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
6 3
3 B3
3
4.策略和子策略(Policy) （1）全过程策略指具有n个阶段全部过程，简 称策略。表示为 {x1(s1),x2(s1),…,xn(sn)}。
k后部子过程策略,表示为pk(xk)
二、动态规划解题 标号法：
11,B1 ,B2
4,C1 7 4
A1
11,A3 Q 2 4 3
B1
4 7,C2 B2
1
3,T C1 3 0， T T 4,T C2
8,B1 6 4 A2 2 4 8,B1 4 2 A3 5
阶段1 阶段2
6 3
6,C1 3 B3 3
阶段3
4
阶段4
最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T
◆动态规划求解的问题的过程指标函数(指 标函数)，必须具有关于阶段指标的可分离 形式(和、积或其他形式) ：
表示某种运算，可为加、减、乘、除、开方 等。
◆常见有:
和
7.最优指标函数：fk(sk)
相应的子策略称为 sk状态下的最优子策略， 记为pk*(sk) ；而构成该子策略的各段决策称 为该过程上的最优决策，记为
阶段数k的编号法有两种： (1)顺序编号；(2)逆序编号法。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T 6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
4
3
2.状态(state)、状态变量和可能状态集 (1)状态与状态变量。表示每个阶段开始所 处的自然状况或客观条件。
3.决策(decision)、决策变量和允许决策集合 (1)决策。表示当过程处于某一阶段的某个状 态，可以作出不同的决定（选择），从而确 定下一阶段的状态。
A1 2 Q 4 3 7 4 B1 4 B2 1
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
C1 3
T C2 4
6
3 3
B3
3
(2)决策变量:xk=xk(sk) 决策ห้องสมุดไป่ตู้量 xk(sk) 的允许决策集用 Dk(sk) 表示 , xk(sk)∈Dk(sk) 允许决策集合实际是决策的约 束条件。
2.“局部最优路径”法：选择当前最短途径， “逢近便走”。 所取决策必是Q→ A1→ B2→ C2→T，全程长度 是13。 7 A B 1
1
4
1
2
Q 4 3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
4 B2 6 3
C1 3 T C2 4
3 B3
3
◆全枚举法计算工作量将会十分庞大。
◆局部最优求出的解不一定是最优解。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
(2)动态规划维数。 (3)可能状态集：用S(sk)表示。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
三、动态规划的基本概念。 1.阶段(stage)和阶段变量。 把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有 区别的子问题，称之为多段决策问题的阶段。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
用以描述阶段的变量叫作阶段变量，一般以 k表示阶段量．
离散 决策过程
连续 决策过程
离散确定性 决策过程
连续确定性 决策过程
离散随机性 决策过程
连续随机性 决策过程
七、学习方法建议 第一步 先看问题，充分理解问题的条件、 情况及求解目标。
第二步 分析针对该动态规划问题的“四大 要素、一个方程”。 第三步 动手把求解思路整理出来，或者 说，把该问题作为习题独立的来做。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T 6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
4
3
(2)允许策略集合记作P。 最优策略:从允许策略集中，找出的具有最 优效果的策略。
A1
2 Q 4 3 7 4
B1
4 B2
1 C1 3 T C2 4
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
6 3
3 B3
3
5.状态转移方程(状态转移律) ：多阶段决策 过程的发展就是用阶段状态的相继演变来描 述的。
从上阶段的某一状态值到下阶段某一状态值 的转移规律成为状态转移律
或简写为
6.指标函数 (1)阶段指标函数(也称阶段收益)（是对应某一 阶段状态和从该状态出发的一个阶段的决策的 某种效益度量。）vk(sk,xk) 简记为vk 。 (2)过程指标函数(指标函数)。(它所包含的 各阶段指标函数的函数。） Vk,n(sk,xk, sk+1,xk+1,…, sn,xn)。简记为Vk,n 。
有 简记为
8. 概念的关系。
决策xk(sk)
状态 sk
决策xk+1(sk+1) 阶段k+1 状态 T(sk+1,xk+1) sk+2
vk+1(sk+1,xk+1)
阶段k 状态 T(sk,xk) sk+1
vk(sk,xk)
四、最优化原理与动态规划的数学模型 1.最优化原理 (贝尔曼最优化原理) 若某一全过程最优策略为：
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)包含到达这个状态前的足够信息，且满足 无后效性。 (3)要满足可知性。
3.正确地定义决策变量及各阶段的允许决策 集合Dk(sk)
4. 能够正确地写出状态转移方程，至少要 能正确反映状态转移规律。
5.根据题意,正确地构造出指标函数，应满 足下列性质： (1)可分性， (2)为了进行动态规划计算满足递推性，
第二节 最优化原理与动态规划的数学模型
◆理解动态规划的基本概念和基本原理
一、动态规划方法导引 1. 全枚举法或穷举法。共有 18 条可能路线， 进行比较，求得最优路线Q→ A3→ B1→ C1→T。
A1 2 Q 7 4 B1 4 B2 6 3 3 B3 3 C2 4 1 C1 3 T
4
3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
或
6.确立边界条件写出动态规划函数基本方程。
决 策 x1 状态S1
决 策 x2 状态S2
决 策 xk 状态S3
决 策 xk+1 状态Sk+1
决 策 xn
阶段1
阶段2
… 阶段k
阶段k+1
… 阶段n
v1
v2
vk
寻求最优解的方向
vk+1
vn
六、动态规划的分类
根据多阶段决策过程的 时间参量
根据决策过程的 演变 确定性 决策过程 随机性 决策过程
第四步 把自己的求解放到一边，看书中的 求解方法，要充分理解教材中的论述。 第五步 对照自己的求解，分析成败。 ◆动态规划的四大要素 ① 状态变量及其可能集合 sk Sk ② 决策变量及其允许集合 xk Dk ③ 状态转移方程 sk+1= Tk (sk ,xk ) ④ 阶段收益 vk ( sk , xk )
3.动态规划方法就是从终点逐段向始点方向寻 找最短路线的方法。解题步骤如下： ●把问题划分为几个阶段。 ●按阶段顺序首先考虑最后阶段如第四阶段
的最优决策，也就是走哪条路线最短。
●按阶段顺序依次考虑第三、第二，第一阶 段的最优决策，为此只需确定每一阶段上 各初始点的最优决策即可。
◆用动态规划方法逐段求解时，每个阶段上 的求优方法基本相同，而且比较简单，每 一阶段的计算都要利用上一阶段的计算结 果，因而减少了很多计算量。阶段数愈多， 这种效果愈明显。