高中数学选修4-4_1.1平面直角坐标系ppt课件
y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为
x 1 x
2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的
一个坐标伸缩变换。
.
16
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
在变换:xy''xy
(0) (0)
4
的作用下，点P(x,y)对应 px, y称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
y=sin2x
2
O
x
.
y=sinx 11
将在横正坐弦标曲x线缩y为=s原in来x上的任取，一就1 点得P到(x正,y)弦，曲保线持y纵=s坐in标2x不. 变， 2
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标
不变பைடு நூலகம்将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 px, y
注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形 的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变， 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
.
17
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过
伸缩变换 x 2 x
y
3y
后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
.
14
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y
y=3sin2x
y=sinx
2
O
x
.
15
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标将不纵变坐，标将变横为坐原标来x的缩3为倍原，来就的得到12 正，弦在曲此线基础上，
因 整 为 理 得 u B u E u v 2 (x x 2 c 2 ,y y ) 2 , C u u 2 F u v c 2 (c 5 c x x , 0 y .),
所 以 u B u E u vC u u F u v(x2 c)(c2 x)y22 0.因此，BE与CF互相垂直.
2 2 .2
坐标对应关系为：
2
x
1
x
2
1
y y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
.
12
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
y
y=3sinx
y=sinx
O
2 x
.
13
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
.
20
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
.
21
.
22
8
.
9
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
.
10
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
.
xxz1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别
为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
究BE与CF的位置关系。
y
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
C
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
E
坐标分别为
解： 1由伸缩变换xy23xy 得
代入2x+3y=0 得x+y=0
x
y
1 2 1 3
x y
2由伸缩变换xy 23xy得xy
1 2 1 3
x y
x2
代入x2+y2=1得4.
+
y 2 9
=1
18
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解 ： 设 伸 缩 变 换 x y xy， 0
代入x2+y2=1得2x22y2 1
又4x29y236 则
1 3 1
2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
.
19
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y
3x y
后，
曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入 x2-9y2=9
得9x2-9y2=9 即x2 -y2=1
c
设 由 A点 b (2 0C ,的 c 02 坐 ) ,5 标 Ba 2 为 ， ( c( 可 x ,0, 得 y )) 到 ,, F则 |A (点 C 2 E |2 ,的 0 坐 | ).A 标 B O |为 2 (A ) （ 5 |x 2 B ， FC y 2 |） 2 ， .B x
即 x 2 y 2 c 2 5 [(x c )2 y 2 ].
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高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
§一 平面直角坐标系
x′＝ λx（ λ>0）， 其中区分变换的前后方向是关键． y′＝ μy（μ>0）
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一 运用坐标法解决解析几何问题 例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过 动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为 切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸 缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的 方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′， 解 (1)①由伸缩变换 得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0， 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将 代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 ＋ ＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一 运用坐标法解决解析几何问题 例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过 动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为 切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸 缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的 方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′， 解 (1)①由伸缩变换 得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0， 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将 代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 ＋ ＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．
湘教版高中数学选修4-4课件--1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
解:
因为点在第三象限， 所以 因此， 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标， 求它们 的极坐标.
例3 已知两点(2，π )，(3，π )
求两点间的距离.3 B 2
解：∠AOB = π
用余弦定理求6
A
AB的长即可.
o
推广：在极坐标下，任意两点P1(1,1
),
其中
2、点 M(ρ，θ) 关于极点的对称点的一个坐标为(-ρ， θ) 或(ρ，π+θ) ；
3、点 M(ρ，θ) 关于极轴的对称点的一个坐标为(ρ， -θ) 或(-ρ，π-θ) ；
4、点 M(ρ，θ) 关于直线
的对称点的一个
坐标为(-ρ，-θ) 或(ρ，π-θ) ；
极坐标系与直角坐标的互化
问题：若点M的直角坐标为
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
高中数学选修4-4坐标系
1 3 1 2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y3x yFra bibliotek后，曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入x2 9y2 9
得9x29y2 9即x2 y2 1
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程 再确定其中的基本量．
3．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注 意：
(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解 题过程简化，减少计算量．
(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的 基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而 没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后 的结论是不完备的．
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系
思考:
思考:
思考:
探究
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
返回
(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
返回
4．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 2 所以 AD2＋BD2 a＋b2 c2 a－b2 c2 ＝ ＋ ＋ ＋ 4 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
返回
坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
2014年人教A版选修4-4课件 1.平面直角坐标系
问题2. 上述思考充分体现了坐标法的思想. 其结 果有如下的两种表述, 各种表述由哪几个元素确定? 你认为各种表述有什么意义? 表述 1: 巨响位于 P(-680 5, 680 5 ) 处. 表述 2: 巨响位于信息中心北偏西45, 相距信息 中心 680 10 米处. 表述 1 用 x、y 的坐标这两个元素确定位置. 表述 2 用相对于信息中心的方位角和距离这两个 元素确定位置. 表述 1 便于书面和图纸上的标注. 这样的表述在 语言的传递中缺了坐标系, 点的坐标就显得无意义. 表述 2 便于语言传递和描述, 是相对于参照位置 的描述, 易于理解和想像.
O 设点 C 的坐标为 C (x, y), 由中点坐标求得 E ( x , y ), F ( c , 0). 2 2 2 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 代入坐标整理得 2x2+2y2+2c2-5cx=0. (A) F B x
O F B 设点 C 的坐标为 C (x, y), 2+c2=5a2, y x c 例 1. 已知△ ABC 的三边 a , b , 满足 b 由中点坐标求得 E ( , ), F ( , 0). 2 上的中线 2 2, 建立适当的平 BE, CE 分别为边 AC , AB 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系. 代入坐标整理得 解: 以△ ABC 的顶点 A= 为原点 , AB 所在直线 2+2y2 2x +2c2-5cx 0. y 为 x 轴, 建立平面直角坐标系 . x y C BE = ( - c, ), 2 2 则各点的坐标为 c E CF = ( x , y ), A(0, 0), B(c, 20), 2 y x c O(A) F B x 则 BE CF = ( - c )((xx )设点 C 的坐标为 C , y ), 2 2 2 y2 x c 1 2 2 由中点坐标求得 E F ).) = 0, = - (2 x( 2 +,2 2 y ), +2 c(2 - ,50 cx 4 2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 由 b ∴BF 与 CE 互相垂直. 代入坐标整理得 (请同学们用斜率试一试) 2x2+2y2+2c2-5cx=0.
高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.