2007年高考试题——数学文(辽宁卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（文科）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C p p -=- 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A =，，{234}B =，，，则A B = （ ） A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1234}，，， 解析：A B = {1，3}∩{2，3，4}={3}，选C2．若函数()y f x =的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(51)，B ．(15)，C ．(11)，D ．(55)，解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选A3．双曲线221169x y -=的焦点坐标为（ ）A ．(，B ．(0，(0C ．(50)-，，(50)，D ．(05)-，，(05)， 解析：因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为(50)-，，(50)，，选C 4．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫- ⎪⎝⎭a a c =ab a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．0B ．π6C ．π3D ．π2解析：因为0)(22=⋅⋅-=⋅→→→→→→→→b a ba aa c a ，所以向量a 与c 垂直，选D5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27解析：由等差数列性质知S 3、S 6-S 3、S 9-S 6成等差数列，即9，27，S 成等差，所以S=45，选B6．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ= ，n βγ= ，m n ∥，则αβ∥解析：由有关性质排除A 、C 、D ，选B7．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ）A ．(12)-，B ．(12)，C ．(12)-，D ．(12)-， 解析：函数(1)2y f x =--为)1(2-=+x f y ，令2,1''+=-=y y x x 得平移公式，所以向量a =(12)-，，选C 8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C ．(][)36-∞+∞ ，，D ．[36]，解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（29,25），yx表示可行域内的点（x ，y ）与原点（0，0）连线的斜率，当（x ，y ）=（1，6）时取最大值6，当（x ，y ）=（29,25）时取最小值59，选A9．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，解析：定义域为(2)-∞，∪(3)+∞，，排除A 、C ，根据复合函数的单调性知212log (56)y x x =-+的单调增区间为(2)-∞，，选D 10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ） A ．122B ．111C ．322D ．211解析：从中任取两个球共有66212=C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有122326=-C C 种取法，概率为1126612=，选D 11．设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ：),3()3,(+∞--∞ ，q ：),21()31,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）A ．18B ．30C ．36D ．48解析：分两步：（1）先排531,,a a a ，1a =2，有2种；1a =3有2种；1a =4有1种，共有5种；（2）再排642,,a a a ，共有633=A 种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 解析：由函数()y f x =为奇函数得(2)(3)f f ---=(3)(2)1f f -=，填114．x展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）．解析：2488481)1()(--+==r r rrr r xC xx C T ，当r=0，4，8时为含x 的整数次幂的项，所以展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为72884808=++C C C ，填7215．若一个底面边长为2的体积为 ．解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由12)6()6()2(222=+=R 得R=3，球体积为ππ34343=R16．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+ ，则||OM =．解析：椭圆2212516x y +=左准线为325-=x ，左焦点为（-3，0），P （)328,35±，由已知M 为PF 中点，M （)324,32±-，所以||OM = 2)324()32(22=±+-三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：（I ）将各组的频率填入表中；（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．····································································································································· 4分（II ）解：由（I ）可得0.0480.1210.2080.2230.6+++=，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6． ················································································································· 8分 （III ）解：由（II ）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率0.6P =，根据在n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率公式可得223333(2)(3)C 0.60.40.60.648P P +=+=． 所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． ···································· 12分 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30 ．（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．（I ）证明：连结CD ， 三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∴CD 为1C D 在平面ABC 内的射影． ABC △中，AC BC =，D 为AB 中点， ∴AB CD ⊥， ∴1AB C D ⊥． 11A B AB ∥， ∴111A B C D ⊥．1A 1C1BCBAMDE 1A 1C1BCBAMDE F G（II ）解法一：过点A 作CE 的平行线， 交ED 的延长线于F ，连结MF ． D E ，分别为AB BC ，的中点， DE AC ∴⊥．又 AF CE ∥，CE AC ⊥． ∴AF DE ⊥．MA ⊥平面ABC ，∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影． ∴MF DE ⊥．MFA ∴∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠= ．在Rt MAF △中，122aAF BC ==，30MFA ∠= ，6AM a ∴=． 作AG MF ⊥，垂足为G ， MF DE ⊥，AF DE ⊥， ∴DE ⊥平面DMF ，平面MDE ⊥平面AMF ， ∴AG ⊥平面MDE ．在Rt GAF △中，30GFA ∠=，2a AF =， ∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4a．CA DE ∥，∴CA ∥平面MDE ，∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等，为4a．解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF ． D E ，分别为AB BC ，的中点， ∴DE AC ∥．又 AF CE ∥，CE DE ⊥ ∴AF DE ⊥．MA ⊥平面ABC ，∴AF 是MF 在平面ABC 内的射影， ∴MF DE ⊥．∴MFA ∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠= ．在Rt MAF △中，122aAF BC ==，30MFA ∠= ，∴AM =． ··················································································································· 8分设C 到平面MDE 的距离为h ，∴M CDE C MDE V V --=．∴1133CDE MDE S MA S h = △2128CDEa S CE DE == △，6MA =，21122cos3012MDE AF S DE MF DE === △，∴2211383a h ⨯=⨯， ∴4a h =，即C 到平面MDE 的距离为4a． ······································································ 12分19．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．（I ）解：11()cos cos (cos 1)22f x x x x x x ωωωωω=++--+12cos 12x x ωω⎫=--⎪⎪⎝⎭π2sin 16x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ·········································································································· 5分 由π1sin 16x ω⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤，得π32sin 116x ω⎛⎫--- ⎪⎝⎭≤≤，可知函数()f x 的值域为[31]-，． ·························································································· 7分（II ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，又由0ω>，得2ππω=，即得2ω=． ········································································································· 9分于是有π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再由πππ2π22π()262k x k k --+∈Z ≤≤，解得 ππππ()63k x k k -+∈Z ≤≤． 所以()y f x =的单调增区间为ππππ63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ·············································· 12分 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力． （Ｉ）解：由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥）易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+． ·························································································································· 4分 （II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则 11(2)2n n d d n -=≥． 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为 112n n d -=． ···························································································································· 8分 由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1122n n a n =++， ················································································································ 10分求和得21122n n n S n =-+++． ·························································································· 12分21．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF，的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知= 解得221212y y ==，所以(6A ，(6B -，或(6A -，，(6B ．设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为 22(4)16x y -+=． ·············································································································· 4分 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知22221122x y x y +=+． 又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即 1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为322r r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，于是有23222r r ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． ··············································································· 4分（II ）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos216cos232cos 16CE CF CE CF ααα===-． ············································ 8分 在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥， 所以12cos 23α≤≤，由此可得 1689CE CF -- ≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．22．（本小题满分12分）已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围．。