九年级数学几何模型压轴题单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学几何模型压轴题单元综合测试（Word版含答案）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．

（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．

【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝5

3

．

【解析】

【分析】

（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

【详解】

解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADC+∠ADG＝90°

∴F、D、G共线，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，

即∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，

故答案为：EF＝BE+DF；

②成立，

理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC+∠ADG＝180°，

∴C、D、G在一条直线上，

与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝BE+DF；

（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

由勾股定理得：BC22

AB AC

+4，

如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，

则AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，

∵∠DAE ＝45°，

∴∠FAD ＝∠FAB +∠BAD ＝∠CAE +∠BAD ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝90°﹣45°＝45°，

∴∠FAD ＝∠DAE ＝45°，

在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△FAD ≌△EAD （SAS ），

∴DF ＝DE ，

设DE ＝x ，则DF ＝x ，

∵BC ＝4，

∴BF ＝CE ＝4﹣1﹣x ＝3﹣x ，

∵∠FBA ＝45°，∠ABC ＝45°，

∴∠FBD ＝90°，

由勾股定理得：DF 2＝BF 2+BD 2，

x 2＝（3﹣x ）2+12，

解得：x ＝

53， 即DE ＝53

． 【点睛】

本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．

2．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；

（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC

=，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，