迭代法的基本理论
高斯—塞德尔迭代法
上式至少有一个不等号严格成立。
*定义 每行每列只有一个元素是1,其余 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).
定理8(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优 或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。
定理9 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列) 对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都 收敛。
高斯—塞德尔迭代法又等价于：对k=0,1,…,
三、逐次超松驰(SOR)迭代法
SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,
说明:1)ω=1,GS; 2)ω>1超松驰,ω<1低松驰;
3)控制迭代终止的条件: 例3 用上述迭代法解线性代数方程组
初值x(0)=0，写出计算格式。
四、三种迭代法的收敛性
定理7 对线性方程组Ax=b，A，D非奇异，则 Jacobi迭代法收敛的充要条件是 GS迭代法收敛的充要条件是 SOR迭代法收敛的充要条件是 定义6 （1）按行严格对角占优：
证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可
则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征 值λ使得|λ|≥1，并且
类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不
可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ 的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且
定理10 对线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则 1）GS迭代法收敛. 2）若2D-A也是对称正定矩阵，则Jacobi迭代法收敛。
例8 见书上
定理12 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则
当0<ω<2时，SOR迭代收敛. 证明 只需证明λ<1（其中λ为Lω的任一特征值） .
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是一种求解函数零点的迭代方法，具有快速收敛、精度高等优点，被广泛应用于计算机、数学、物理等领域。
本文将从理论和实际应用两方面介绍牛顿迭代法，并对其应用进行探讨。
一、理论基础牛顿迭代法是通过一点处的切线来逼近函数零点的方法。
设$f(x)$在$x_0$点有一个零点，且其导数$f'(x_0)$存在且不为零，那么该零点可以通过一点$(x_0,f(x_0))$处的切线与$x$轴的交点来逐步逼近。
假设切线的方程为$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$，则其中$x$轴上的交点为$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，这是零点的一个更好的近似值。
用$x_1$代替$x_0$，再利用同样的方法得到$x_2$，不断重复这个过程，即可逐步逼近零点。
这个过程可以用下面的公式表示：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$这就是牛顿迭代法的基本公式。
从初始值$x_0$开始迭代，不断利用公式进行逼近，直到找到满足$f(x_n)=0$的解。
二、实际应用牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，比如在计算机图形学中，通过牛顿迭代法可以精确计算出圆的周长、面积等参数，也可以实现快速的路径追踪和光线追踪。
在金融领域中，牛顿迭代法可以用来计算隐含波动率，即在期权定价模型中，寻找满足期权定价公式的波动率。
由于这个过程中往往要用到反函数，所以牛顿迭代法可以快速找到隐含波动率。
另外，在机器学习、神经网络中，多次用到牛顿迭代法进行梯度下降，智能化运用牛顿迭代法可以提高计算效率，降低误差。
三、应用探讨牛顿迭代法的应用范围较广，但在实际应用中也存在一些问题。
如何避免迭代过程中出现抖动、越界、阻尼等现象，可以通过设置收敛条件、调整步长等方式进行优化。
此外，当函数的导数存在零点或迭代公式不存在时，牛顿迭代法也会失效。
因此，在选择牛顿迭代法时，需要了解函数特性，根据情况选择适合的迭代方法。
牛顿拉夫逊迭代法,fortran -回复
牛顿拉夫逊迭代法,fortran -回复牛顿拉夫逊迭代法，在数值计算中是一种用于求方程根的迭代算法。
它属于一种高度有效且理论上被广泛接受的数值方法，被广泛应用于科学与工程领域。
本文将以牛顿拉夫逊迭代法为主题，一步一步地解释该算法的原理与使用。
在开始介绍牛顿拉夫逊迭代法之前，我们首先来了解一下什么是迭代法。
迭代法是一种通过不断迭代逼近解的方法。
这种方法通常适用于无法通过解析方法求得解的问题，或者解析方法过于复杂的问题。
迭代法的基本思想是从一个初始解开始，通过不断逼近，使得每一步的解越来越接近真实解。
而牛顿拉夫逊迭代法就是其中一种常用的迭代算法。
牛顿拉夫逊迭代法是基于牛顿法和拉夫逊法的一个改进算法。
牛顿法是一种求解方程根的数值方法，通过利用函数的导数来逼近方程的解。
而拉夫逊法是一种解非线性方程的迭代算法，通过多项式插值来逼近方程的解。
牛顿拉夫逊迭代法综合了这两种方法的优点，在求解非线性方程时表现出了良好的效果。
牛顿拉夫逊迭代法的基本思想是通过不断迭代的方式，使用切线来逼近方程的根。
具体来说，从一个初始猜测值开始，计算函数在该点的导数，然后使用切线方程求出下一个近似解。
这个过程将一直持续，直到找到足够精确的解。
下面我们以一个简单的非线性方程进行示例，来演示牛顿拉夫逊迭代法的步骤。
假设我们要解方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0。
第一步，选择一个初始猜测值x0。
这个初值可以是任意的，但最好选择一个离方程根比较近的值，以便迭代过程更快收敛。
我们选取x0 = 2作为初始猜测值。
第二步，计算方程在x0处的导数f'(x0)。
在本例中，f'(x) = 3x^2 - 2。
将x0 = 2带入方程得到f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 10。
第三步，计算切线方程的解。
切线方程的表达式为y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)。
将x0 = 2和f'(2) = 10带入切线方程，得到y = 10(x - 2) + f(2)。
steffenson迭代法
Steffensen迭代法是一种重要的数值计算方法，它在数值分析领域有着广泛的应用。
该方法通过迭代逼近函数的根，是一种高效、稳定的求解非线性方程的工具。
Steffensen迭代法基于不动点理论，通过构造一个逐步逼近根的序列来求解方程。
它的基本思想是利用函数在某一点的局部线性逼近来逼近根的位置。
具体来说，我们从一个初始值开始，通过对函数进行局部线性逼近，计算出一个新的逼近值。
然后，我们再次对函数进行局部线性逼近，得到一个更接近根的新的逼近值。
通过不断迭代，我们可以逐步逼近方程的根。
Steffensen迭代法的迭代公式为：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{{(f(x_n))^2}}{{f(x_n+f(x_n))-f(x_n)}} \]其中，\( x_n \) 是第n次迭代的逼近值，\( f(x) \) 是需要求根的函数。
与其他迭代方法相比，Steffensen迭代法具有较快的收敛速度和较高的精度。
它适用于求解各种非线性方程，包括多项式方程、三角函数方程、指数函数方程等。
在实际应用中，Steffensen迭代法常被用于求解方程的根，特别是当方程的根位于某一区间内时，该方法的效果更加显著。
然而，Steffensen迭代法也存在一些限制。
首先，该方法对初始值的选择较为敏感，不同的初始值可能导致迭代结果的差异。
其次，当方程的根位于奇点附近时，该方法可能出现发散现象。
因此，在应用Steffensen迭代法时，我们需要对问题进行合理的分析和判断，选择合适的初始值，以获得准确的迭代结果。
总之，Steffensen迭代法是一种重要的数值计算方法，它通过逐步逼近函数的根，高效、稳定地求解非线性方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的初始值和迭代次数，以获得较为精确的解。
迭代法
取 x(0)=(0,0,0)T 计算结果如下：
k
x1(k)
1 0.72
x2(k) 0.83
x3(k) 0.84
2 0.971 1.07
1.15
……
…
…
11 1.099993 1.199993 1.299991
12 1.099998 1.199998 1.299997
上页 下页
例2 用Gauss—Seidel 迭代法解上题.
x (0 ) (初 始 向 量)，
x
(
k
1
)
Bx (k)
f
(k 0,1, , ),
( 2 .7 )
其中B=I-(D-L)-1A= (D-L)-1U=G, f=(D-L)-1b. 称矩 阵G=(D-L)-1U为解Ax=b的高斯—塞德尔迭代法的迭 代矩阵.
上页 下页
由高斯—塞德尔迭代法(2.7)有
(k j
)
)
/
a
i
i
,
j1
ji1
x (k 1) i
(1
)
x
( i
k
)
x~
( i
k
1
)
x(k) i
( x~i(k 1)
x
( i
k
)
),
( i 1 ,2 , , n ).
即
i1
n
x ( k 1) i
x
(k i
)
(bi
a
i
j
x
( j
k
1
)
a
i
j
x
( j
k
)
)
/
a
i
i
迭代法的基本理论
证毕.
10
L1 定理1指出, 只要构造的迭代函数满足 | ( x)|
迭代法xk 1 ( xk )就收敛, L或| ( x)|在[a , b]上越小,
迭代法收敛就越快。
对于预先给定的误差限 即要求|xk x*|
由(3)式,只要
L xk xk 1 1 L 1 L xk xk 1 L
9
L xk x * xk xk 1 1 L
L2 xk 1 xk 2 1 L
Lk x1 x0 1 L
由于L 1,
lim( xk x *) 0
k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
本题迭代函数有两种构造形式
2 ex x 2 ( x) ln( 2 10x) x 1 ( x) 10 10 ex e0.2 5 ( x)| ( x)| 1 |2 由于 |1 2 10 x 10 10 2 ex x 1 ( x) 因此采用迭代函数 12 华长生制作 10
3
( x)在x * 附近较平缓
y ( x)
yx
yx
发散
y ( x)
O
x2
x1
x0 x *
O
x3 x1 x * x0 x2
( x)在x * 附近较陡峭
2 x3 x 1 0 例1. 用迭代法求解方程
解:
(1) 将原方程化为等价方程
x 2 x3 1
如果取初值x0 0,由迭代法(2), 得
任取一个初值x0 , 代入(1)式的右端, 得 x1 ( x0 ) x2 ( x1 )
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取初值x0 0
2 e x0 x1 10
d1 = d2 = d3 = d4 = d5 = d6 = d7 =
0 .1
0.1000000 -0.0105171 0.1156e-002 -0.1265e-003 0.1390e-004 -0.1500e-005 0.1000e-006
x1 = 0.1000000 x2 = 0.0894829 x3 = 0.0906391 x4 = 0.0905126 x5 = 0.0905265 x6 = 0.0905250 x7 = 0.0905251
i 2 ,3 , , n
7.2 迭代法的基本理论
Ax b
不动点迭代法
将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程
x ( x)
--------(1)
设 ( x)为连续函数,若x满足f (x ) 0, 则x 也满足x x , 反之亦然,称x 是函数 x 的一个不动点，于是求f(x )的零点 问题等价转化为求不动点的问题。
华长生制作
( p ) ( x*)
p!
( x x*) p
18
xk 1 ( xk ) ( x*)
( p ) ( x*)
p!
( xk x*) p
( p) ( p 1) ( x *) ( x*) p xk 1 x * ( xk x*) ( xk x*) p 1 p! ( p 1)!
p 1时称为超线性收敛, p 2时称为平方收敛
华长生制作
16
上式表明，当k 时，ek 1是ek的p阶无穷小量
阶数p越大，收敛越快
如果在[a,b]或x的邻域有 '( x* ) 0, 则
* 对 x0 x ，必有 xk x*,k=1,2,…，而且
ek 1 xk 1 x ( xk ) ( x ) (k )ek
x*的一个闭邻域 [ x* , x* ], 在其上 ' ( x) L 1, 并且有 ( x) x* ( x) ( x ) L x x* ,
即对一切x [ x* , x* ]，有 x [ x* , x* ]。 从而对任意x0 [ x* , x* ], 迭代法收敛。
11
因此,当
迭代就可以终止, xk可以作为方程的近似解
华长生制作
例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位
e x 10x 2 0
解:
由于e x 0,
则2 10x 0
x 0 .2
x 0时, 0 e x 1, 2 10 x 2
因此[0,0.2]为有根区间
p阶导数连续,则迭代法p阶收敛的充要条件是
( x*) x, ( x*)
( p 1) ( x*) 0,
( p ) ( x*) 0
19
且有
华长生制作
lim
ek 1 1 p x 0 k e p p! k
9
L xk x * xk xk 1 1 L
L2 xk 1 xk 2 1 L
Lk x1 x0 1 L
由于L 1,
lim( xk x *) 0
k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L Lk xk x * xk何确定 p, 从而确定收敛阶呢？ 不可能直接确定
如果迭代函数 ( x)在精确解x * 处充分光滑,即处处可导 将( x)在x * 作Taylor 展开, 有
( x ) ( x *) ( x *)( x x *)
( x *)
2!
( x x *)2
不动点迭代法的一般理论
定理1. 设迭代函数 ( x)在[a, b]上连续, 且满足
(1) 当x [a , b]时, a ( x) b; (2) 存在一正数 L, 满足0 L 1, 且x [a, b],有
| ( x )| L
则 1o. x ( x)在[a, b] 内有唯一解x*,即有唯一不动点
由于|d7| =0.1000e-006<1e-6
因此原方程的解为
华长生制作
x * x7 = 0.090525
13
局部收敛性和收敛阶
一般讨论[a,b]上的全局收敛性比较困难，可转向讨 论在 x 附近的收敛性。
x 定义 若存在 的不动点 的一个闭邻 域 N (x ) [x , x ] 0 ，对任意的 x N x ，由x
由于| ( x)| L
xk 1 xk L xk xk 1
xk 1 x * L xk x * L xk 1 x * ( xk 1 xk )
L xk 1 x * L ( xk 1 xk )
xk 1
华长生制作
L x* xk 1 xk 1 L
华长生制作
证毕.
10
L1 定理1指出, 只要构造的迭代函数满足 | ( x)|
迭代法xk 1 ( xk )就收敛, L或| ( x)|在[a , b]上越小,
迭代法收敛就越快。
对于预先给定的误差限 即要求|xk x*|
由(3)式,只要
L xk xk 1 1 L 1 L xk xk 1 L
2o.对于任意初值 x0 [a, b],迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L 3 . xk x * xk xk 1 1 L k L 4 o. xk x * x1 x0 1 L
o
华长生制作
(局部收敛性)
--------(3)
7
证:
设f ( x) x ( x), 则f ( x)在[a , b]上连续可导
华长生制作 4
x0 0
3 x1 2 x0 1 1
3 x2 2 x1 1 3
3 x3 2 x2 1 55
显然迭代法发散
(2) 如果将原方程化为等价方程
x3
华长生制作
x1 2
5
仍取初值
x0 0
x1
3
x2 3
x0 1 1 3 0.7937 2 2 x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
本题迭代函数有两种构造形式
2 ex x 2 ( x) ln( 2 10x) x 1 ( x) 10 10 ex e0.2 5 ( x)| ( x)| 1 |2 由于 |1 2 10 x 10 10 2 ex x 1 ( x) 因此采用迭代函数 12 华长生制作 10
任取一个初值x0 , 代入(1)式的右端, 得 x1 ( x0 ) x2 ( x1 )
继续
xk 1 ( xk )
( k 0 ,1,2 ,) --------(2)
2
称(2)式为求解非线性方程(1)的不动点迭代法
华长生制作
称( x)为迭代函数 , 称xk为第k步迭代值
依此类推,得 x2 = 0.9644
x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果 迭代函数的构造有关
什么形式的迭代法 能够收敛呢?
6
已经收敛,故原方程的解为
华长生制作
x 1.0000
( p 1) ( x*)
( p 1)!
( x x*) p 1
( p ) ( x*)
p!
( x x*) p
如果 ( x*) ( x*) ( p 1) ( x*) 0
而 ( p ) ( x*) 0
( x) ( x*)
上述定理称为局部收敛定理，它给出了局部收敛的一个
充分条件。
华长生制作 15
下面讨论迭代法的阶，它是度量一种迭代法收 敛快慢的标志。
设ek xk x
定义1.
若存在实数 p 1和c 0满足 ek 1 lim p c k ek 则称迭代法(或序列 xk ) p阶收敛,当p 1时称为线性收敛,
所以 1o. 方程x ( x)在[a, b] 内有唯一解 x*
华长生制作 8
2o. 对于迭代法 xk 1 ( xk ),
由微分中值定理
xk 1 x * ( xk ) ( x*) ( )(xk x*) xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 ) ( )(xk xk 1 )
如果存在一点 x*, 使得迭代序列 { xk } 0 满足
lim xk x *
k
则称迭代法收敛,否则称为发散 如果将(1)式表示为
yx
yx y ( x)
yx
y ( x) y ( x)
收敛
O x * x2
华长生制作
x1
x0
O
x1
x3 x * x2
x0
f (a) a (a) 0 f (b) b (b) 0
由条件(1)
由根的存在定理, 方程f ( x) 0在[a, b]上至少有一个根
由
| ( x)| L1 f ( x) 1 ( x) 0
则f ( x)在[a, b]上单调递增 , f ( x) 0在[a, b]上仅有一个根
* * '
其中在 k与 x*之间。于是
ek 1 lim lim ' ( k ) ' ( x* ) 0。 k e k k