三角函数图像与性质练习题及答案

三角函数的图像与性质练习题一 选择题1.把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+2.函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）A ．π8B ．π4C ．π2D ．π3.函数21cos ()cos xf x x-=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增4.下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23xy π=+B ．sin()23x y π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-5.函数231sin 232y x x =的最小正周期等于（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π6.“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是xyO π2π1-1 （ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+8.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是 （ ） 第6题图（ ）A ．41sin(2)55y x =+B ．31sin(2)25y x =+C ．441sin()555y x =-D ．441sin()555y x =+9.(2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )10.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为 ( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]11.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3二 填空题12.函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．定义一种运算,令,且,则函数的最大值是______15．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6π个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断: ①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π+=; ②该函数图象关于点)0,3(π对称; ③该函数在]6,0[π上是增函数;④函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a .其中,正确判断的序号是________________________ 16.设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 三 解答题17. 已知函数2()3cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．18. 已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.19. 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间. 20. 已知函数()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f .(I)求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值;(II)求函数()x f 的最小正周期及单调递减区间. 21. 已知向量()()3cos ,0,0,sin a x b x ==,记函数()()23sin 2f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合; (II)函数()f x 的单调递增区间.22. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式,并写出其单调递增区间;(Ⅱ)设函数()()2cos 2g x f x x =+,求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.答案1. A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A.4 C32π6πo2x2-y5. A【解析】11cos 2=sin 222x y x ++1=sin 22sin(2)23x x x π=+,所以函数的周期222T πππω===,选A. 6. A ϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案.7. 【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

所以2sin(2)y x ϕ=+，又()2sin(2)288y f ππϕ==⨯+=，所以sin()14πϕ+=，即2,42k k Z ππϕπ+=+∈，所以24k πϕπ=+，所以2sin(2)4y x π=+，选B.8. D 9. B 10. C由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.12. {x |－3≤x <－π2或0<x <π2} 13. 【答案】1[,1]2-，[,]62ππ 14.54 15. ②④16. 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 17.（Ⅰ）1cos 2()22x f x x a +=++ 1sin(2)62x a π=+++.……………………………………………3分所以T =π．……………………………………………………………4分 由3222262k x k πππ+π≤+≤+π，得263k x k ππ+π≤≤+π．故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππ+π+π（k ∈Z ）．…………………7分 （Ⅱ）因为63x ππ-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤．所以1sin(2)126x π-≤+≤．…………………………………………………………10分因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和1113(1)()2222a a +++-++=，所以0a =．…………………………………………………………………………13分 18. (I)()x x x x x x f ωπωπωπωπω2cos 6sin2sin 6cos2cos 6sin2sin 6cos2cos +⋅+⋅-⋅+⋅=x x ωω2cos 2sin += ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2πωx因为()x f 是最小正周期为π, 所以πωπ=22, 因此1=ω (II)由(I)可知,()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2πx x f , 因为34ππ≤≤-x ,所以1211424πππ≤+≤-x 于是当242ππ=+x ,即8π=x 时,()x f 取得最大值2; 当442ππ-=+x ,即4π-=x 时,()x f 取得最小值1-19. （1）)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅= =1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x所以函数)(x f 的值域为[]1,3- （2）由2221πωπ=⋅ 得2=ω 所以1)62sin(2)(--=πx x f 由πππππk x k 226222+≤-≤+-得ππππk x k +≤≤+-36所以函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 3,6)(Z k ∈.20. (I)=⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf 213cos 232sin3sin3cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ212122323213+⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=210+=21= (II)0cos ≠x ,得()Z ∈+≠k k x 2ππ故()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x ,2ππ. 因为()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f ()21sin cos 3sin +-=x x x21sin 2sin 232+-=x x 2122cos 12sin 23+--=x x x x 2cos 212sin 23+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx , 所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . 因为函数x y sin =的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 232,22ππππ, 由()Z ∈+≠+≤+≤+k k x k x k 2,2326222πππππππ, 得()Z ∈+≠+≤≤+k k x k x k 2,326ππππππ, 所以()x f 的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++k k k k k 32,2,2,6ππππππππ 21. (Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=++ =2)6π2sin(2++x ,当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min ,此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|(Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k -22. (Ⅰ)由图可得2A =,22362T πππ=-=,所以T =π,所以2ω=当6x π=时,()2f x =,可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=, 因为||2ϕπ<,所以6ϕπ=.所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+.函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z(Ⅱ)因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++3sin 23cos 2x x =+23sin(2)3x π=+因为[,]64x ππ∈-,所以50236x ππ≤+≤.当232x ππ+=,即12x π=时,函数()g x 有最大值为23;当203x π+=,即6x π=-时,函数()g x 有最小值0。