2015-2016学年浙江杭州高级中学高一(上)分班考试数学试题(解析版)
高一数学上学期期中期末考试精选50题基础解析版
期中解答题精选50题（基础版）1．（2020·新疆巴州第一中学）设函数221()1x f x x +=-求证：1()()f f x x =- 【分析】直接将1x代入函数化简即可. 【详解】221()1x f x x +=-，()22221111111x x f f x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭∴===- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，即得证. 2．（2020·宾县第一中学）已知函数()2f x 3x 5x 2=+-.（1）求()3f ，()1f a +的值； （2）若()4f a =-，求a 的值.【答案】（1）40，23116a a ++；（2）23a =-，或1a =- 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）令()4f a =-，解出即可. 【详解】解：（1）()2352f x x x =+-，()233353240f ∴=⨯+⨯-=，()()()221315123116f a a a a a +=⨯++⨯+-=++；（2）令()4f a =-，即()23524f a a a =+-=-，解得：23a =-，或1a =-.3．（2020·济南市济阳区第一中学高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--．（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间(不需要证明）【答案】（1）()222.02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）(),1-∞-和()1,+∞．【分析】（1）当0x >时，0x -<，根据()()f x f x =--可得函数解析式； （2）根据二次函数的性质可得答案． 【详解】()1函数()f x 是定义在R 上的函数∴当0x >时，0x -<，()()f x f x ∴=--又当0x ≤时，()22f x x x =--()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤∴=--=-----=-⎣⎦∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222.02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；()2由二次函数的性质可知函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．4．（2020·大同市第四中学校）已知函数22()1x f x x =+．（1）求11(2),(3)23f f f f ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）求证：1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值． 【答案】（1）1，1；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解.【详解】（1）因为()221x f x x =+，所以()2222112221212112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值． 5．（2020·拉萨市第四高级中学高一期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足(0)(1)0f f ==，且()f x 的最小值是14-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()52g x x x =+-，函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间[2,5]-上的最值. 【答案】（1）2()f x x x =-；（2）最大值14，最小值28-.【分析】（1）由已知条件列方程组，可求出,,a b c 的值，从而可得,,a b c ； （2）由题意得()62h x x =-+，再利用其单调性可求出其在[2,5]-上的最值 【详解】（1）因为(0)(1)0f f ==， 所以(0)0,(1)0f c f a b c ===++=，由二次函数的性质得11112424f a b c ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，解得，1,1,0a b c ==-= 所以2()f x x x =-（2）依题得：()62h x x =-+ 函数()h x 在区间内[2,5]-单调递减 当2x =-时，()h x 有最大值14 当5x =时，()h x 有最小值28-6．（2020·南宁市第十九中学）已知函数()26x f x x +=-． （1）点()86,在()f x 的图像上吗？ （2）当3x =时，求()f x 的值； （3）当()8f x =时，求x 的值．【答案】（1）不在，（2）53-，（3）507【分析】（1）将点的坐标代入解析式中验证即可； （2）将3x =代入函数中直接求解； （3）由()8f x =，可得286x x +=-，从而可求出x 的值 【详解】解：（1）因为()8285686f +==≠-，所以点()86,不在()f x 的图像上， （2）()3253363f +==--， （3）由()8f x =，得286x x +=-，解得507x =7．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）判断下列函数的奇偶性． （1）21()f x x =； （2）()31f x x =-+；【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.【分析】先求函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可 【详解】（1）因为定义域为：{}0x x ≠ 所以定义域关于原点对称， 又因为2211()()()f x f x x x -===-，所以函数f （x ）是偶函数； （2）因为定义域为R ，关于原点对称又因为()31f x x =-+，则()31()f x x f x -=+≠，()31()f x x f x -=+≠-， 所以()f x 是非奇非偶函数；8．（2019·广东高一期中）已知函数f (x 12x +． （1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (23)的值；（3）当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．【答案】（1）[3,2)(2,)---+∞；（2）()31f -=-；23()38f =；（3）()12f a a +；()111f a a -=+ 【分析】（1）由平方根被开方数大于等于0,分母不为零,同时成立求出定义域; （2）代入解析式,求出()3f -,23f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;（3）代入解析式,即可求出结果. 【详解】（1）要使函数有意义,须3033202x x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⇒-≤⎨⎨+≠≠-⎩⎩且2x ≠-， 所以函数的定义域为[3,2)(2,)---+∞（2）()12f x x =+,所以()1301,32f -=+=--+213()23823f ==+ （3）0,11a a >∴->-,()12f a a =+ ()111f a a -=+ 9．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）（1）求解：2340x x --=； （2）解不等式的解集：(9)0x x -> ； 【答案】（1）124,-1x x ==；（2）{}|09x x <<. 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）直接解一元二次不等式即可 【详解】(1)2340x x --=(4)(1)0x x -+= 124,-1x x ==(2)不等式化为(9)0x x -<， 09x ∴<<，∴不等式的解集为{}|09x x <<；10．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知0x >，求函数4y x x=+的最小值，并说明当x 为何值时y 取得最小值.【答案】最小值为4，当2x =时y 取得最小值【分析】根据基本不等式求得函数的最小值，且求得此时x 的值. 【详解】因为0x >，所以4224y x x =+≥⨯=. 当且仅当4x x=时取等号.24x =.因为0x >，所以2x =. 所以2x =为何值时y 取得最小值4.11．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x .求值：（1）2212x x +； （2）1211+x x . 【答案】（1）174；（2）32.【分析】利用韦达定理可得12123,12x x x x +=-⋅=-，再对所求式子进行变行，即222121212()2x x x x x x +=+-；12121211x x x x x x ++=⋅；两根和与积代入式子，即可得到答案； 【详解】解：因为一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x ，所以由根与系数关系可知12123,12x x x x +=-⋅=-.（1）222121212()2x x x x x x +=+-9172(1)44=-⨯-=；（2）1212123113212x x x x x x -++===⋅-.12．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）解一元二次不等式：2560x x -+>. 【答案】(,2)(3,)-∞⋃+∞.【分析】对多项式进行因式分解得256(2)(3)x x x x -+=--，再利用大于取两边，即可得到答案；【详解】解：因为256(2)(3)x x x x -+=--， 所以原不等式等价于(2)(3)0x x -->. 所以所求不等式的解集为(,2)(3,)-∞⋃+∞.13．（2020·河北英才国际学校高一期中）已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围. 【答案】225a b <+<【分析】根据不等式的性质可得出答案. 【详解】解：23a <<，426a ∴<<，又21b -<<-， 225a b ∴<+<.14．（2021·四川省武胜烈面中学校高一期中）（1）解不等式2210x x --+<. （2）若不等式20ax x b -+<的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，求实数a ，b 的值； 【答案】（1）不等式的解集为{|1x x <-或12x ⎫>⎬⎭;（2）23a =,13b =.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求出； （2）根据函数与方程的思想即可求出.【详解】（1）2210x x --+<即为2210x x +->,而2210x x +-=的两根为11,2-,所以不等式的解集为{|1x x <-或12x ⎫>⎬⎭.（2）由题意可知20ax x b -+=的两根为1,12,所以,1112112a ba⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩,解得23a =,13b =. 15．（2019·福建高一期中）若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1. （1）求f （x ）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）m <－1.【分析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则由f （0）＝1可求出c ，由f （x ＋1）－f （x ）＝2x 可求出,a b ，从而可求出函数的解析式，（2）将问题转化为x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，构造函数g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m 的取值范围 【详解】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由f （0）＝1， ∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2＋bx ＋1. ∵f （x ＋1）－f （x ）＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴f （x ）＝x 2－x ＋1.（2）由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立.令g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ＝3()2x -2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g （x ）在区间[－1，1]上是减函数， ∴g （x ）min ＝g （1）＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.16．（2021·巴楚县第一中学高一期中）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --； 【答案】（1）2256259x x x x ++<++；（2）2(3)(2)(4)x x x ->-- 【分析】利用作差法，分析两式之差的正负判定即可【详解】（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，故2256259x x x x ++<++； （2）因为()()2220(63)(2)(4)9681x x x x x x x --=--++---=>，故2(3)(2)(4)x x x ->--【点睛】本题主要考查了作差法判定两式大小的问题，属于基础题17．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）若x ∈R ，试比较26x x +3与24216x x -+的大小. 【答案】2264216.x x x x +≤-+3 【分析】利用作差法比较即可.【详解】因为()()()22226421681640x x x x x x x +--+=-+-=--≤3，所以2264216.x x x x +≤-+318．（2020·咸阳百灵学校）已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a +1}，若N M ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】34a -≤≤【分析】先分析集合N ≠∅，再根据N M ⊆建立不等式然后解之即可. 【详解】因为1a a <+，所以集合N ≠∅.因此，N M ⊆时，应满足315a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得34a -≤≤.19．（2020·大同市第四中学校）设集合{|12}A x x =-≤≤，集合{|21}B x m x =<<．若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围；【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件有B A ⊆，讨论12m <、12m ≥满足条件时m 的范围，最后求并集即可.【详解】若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆， {}2|1A x x =-≤≤，①当12m <时，{|21}B x m x =<<，此时121m -≤<，即1122m -≤<；②当12m ≥时，B =∅，有B A ⊆成立；∴综上所述，所求m 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．20．（2020·南宁市第十九中学）已知{}10A x x =-=，{}210B x x =-=．求：（1）A B ； （2）A B 【答案】（1）{}1；（2）{}1,1-【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集并集的定义即可求出. 【详解】{}{}101A x x =-==，{}{}2101,1B x x =-==-，∴（1）{}1A B ⋂=；（2）{}1,1A B =-.21．（2020·桂林市临桂区五通中学高一期中）奇函数2()1ax bf x x +=+是定义在区间[]1,1-上的增函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求()f x 解析式；（2）求不等式(1)()0f x f x -+<的解集． 【答案】（1）()21x f x x =+；（2）10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）先根据奇函数可求0b =，再利用1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求1a =，进而可得解析式；（2）根据奇函数和增函数把不等式(1)()0f x f x -+<进行转化，结合定义域可求答案. 【详解】（1）∵函数2()1ax bf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， ∴()00001bf +==+，即0b =， ∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2112225121a f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫ +⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21xf x x =+. 经验证知，()21x f x x =+是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()21xf x x =+.（2）∵函数()f x 在[]1,1-上为奇函数，且(1)()f x f x -<-，∴(1)()f x f x -<-，又∵函数()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，∴111111x x x x-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得102x ≤<.故不等式(1)()0f x f x -+<的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．（2019·福建高一期中）已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且3(3)10f =.（1）确定函数()f x 的解析式；（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明；（3）解不等式1(1)()02f x f x -+<. 【答案】（1）2()1x f x x =+；（2）()f x 在区间()1,1-上是增函数，证明见解析；（3）20,3⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）由奇函数的概念可得b 的值，根据()3310f =可得a 的值，进而得结果； （2）设1211x x -<<<，用作差法分析可得可得()()12f x f x <，由函数单调性的定义即可得证明； （3）将奇偶性和单调性相结合列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）∵()()f x f x -=-， ∴221()1ax b ax bx x -+--=+-+，即b b -=，∴0b =.∴2()1axf x x =+， 又()3310f =，1a =， ∴2()1xf x x =+. （2）对区间()1,1-上得任意两个值1x ，2x ，且12x x <，22121221121212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>，∴12())0(f x f x -<，∴12()()f x f x <， ∴()f x 在区间()1,1-上是增函数. （3）∵1(1)()02f x f x -+<， ∴1(1)()2f x f x -<-，1111211211x x x x ⎧-<-<⎪⎪⎪-<-⎨⎪-<<⎪⎪⎩，解得203x <<，∴实数x 得取值范围为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.23．（2019·陕西镇安中学高一期中）函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数. 【答案】（1）()21xf x x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，则()00f =，解得b 的值，再根据1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a 的值从而求得()f x 的解析式； （2）设1211x x -<<<，化简可得()()120f x f x -<，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果．【详解】解：（1）依题意得()00,12,25ff ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩∴20,1022,1514bab ⎧=⎪+⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎪⎩∴1,0,a b =⎧⎨=⎩∴()21x f x x =+ （2）证明：任取1211x x -<<<，∴()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2210x +>，由1211x x -<<<知，1211x x -<<，∴1210x x ->. ∴()()120f x f x -<.∴()f x 在()1,1-上单调递增.24．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）画出当0x <时，()f x 函数图象； （2）求出()f x 解析式.【答案】（1）见解析；（2）()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ .【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可画出当0x <时，函数()f x 的函数图象； （2）根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式. 【详解】解：（1）()f x 是奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-．∴函数()f x 的函数图象关于原点对称，则当0x <时，()f x 函数图象：；（2）若0x <，则0x ->， 当0x ≥时，2()2f x x x =-．()()2()2()f x x x f x ∴-=---=-，则当0x <时，2()2f x x x =--．即()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ .25．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数1()f x x x=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （2）用定义证明函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数.【分析】（1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可； （2）作差判断符号，利用函数的单调性的定义证明即可. 【详解】解：（1）()f x 是奇函数，理由如下：函数1()f x x x=-的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，关于原点对称， 且11()()()f x x x f x xx-=-+=--=-，()f x ∴是奇函数；证明：（2）任取1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x <，则1212121211()()()()f x f x x x x x x x -=---=-12121x x x x +，120x x -<，1210x x +>，120x x >12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．()f x ∴在[1，)+∞上单调递增.26．（2019·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中）若0,0a b >>，试比较33+a b 与22a b b a +的大小.【答案】3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立.【分析】运用作差法求出两式的差，结合题意将两式的差与0进行比较即可. 【详解】由题意得,3333222222222))()()()()()()()(()(a b b a a b b a a a b b b a a b a b a b a b a b a b +==-+-=+-=+----+-因为0,0a b >>,所以20,()0a b a b +>-≥，当且仅当a b =时取等号， 所以2()()0a b a b -+≥，即32320())(a a b b b a +-≥+，当且仅当a b =时取等号， 故3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立.27．（2021·安徽池州市·高一期中）已知函数()231f ax x ax =+-，a R ∈.（1）当4a =时，求不等式()0f x >的解集； （2）若()0f x ≤在R 上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{12x x <-或16x ⎫>⎬⎭；（2）[]12,0-.【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可求出结果；（2）二次函数的恒成立问题需要对二次项系数是否为0进行分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）当4a =时，()212410x f x x =+->，即()()21610x x +->，解得12x <-或16x >， 所以，解集为{12x x <-或16x ⎫>⎬⎭.（2）因为()2310f x ax ax =+-≤在R 上恒成立，①当0a =时，()10f x =-≤恒成立；②当0a ≠时，2120a a a <⎧⎨∆=+≤⎩，解得120a -<≤， 综上，a 的取值范围为[]12,0-.28．（2010·辽宁大连市·）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【分析】根据二次函数开口方向和一元二次方程的根的大小，分0,0,01,1,1,a a a a a <=<<=>讨论求解.【详解】①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1.②当a <0时，原不等式化为()11x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>0，解得1x a <或x >1.③当a >0时，原不等式化为()11x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<0.若a ＝1，即1a＝1时，不等式无解；若a >1，即1a <1时，解得1a<x <1； 若0<a <1，即1a>1时，解得1<x <1a.综上可知，当a <0时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a ＝1时，不等式的解集为Ø；当a >1时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.29．（2020·江苏泰州·）已知关于x 的不等式()2220x a x a -++<．（1）当3a =时，解关于x 的不等式； （2）当a R ∈时，解关于x 的不等式．【答案】（1）{}23x x <<；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）直接求解一元二次不等式即可，（2）原不等式化为()()20x x a --<，然后分2a <，2a =和2a >三种情况解不等式【详解】解：（1）因为不等式为()2220x a x a -++<，所以当3a =时，不等式为2560x x -+<，即()()230x x --<， 则23x <<，故原不等式的解集为{}23x x <<． （2）原不等式为()()20x x a --<， 当2a <时，不等式解集为{}2x a x <<； 当2a =时，不等式解集为∅；当2a >时，不等式解集为{}2x x a <<．综上所述：当2a <时，不等式解集为{}2x a x <<； 当2a =时，不等式解集为∅；当2a >时，不等式解集为{}2x x a <<．30．（2020·杭州之江高级中学高一期中）设函数()()222,f x x ax a a =++-∈R ． （1）当1a =时，解关于x 的不等式()()215f x a x a >--+；（2）若[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）(,3)(1,)-∞-⋃+∞；（2）(3,)-+∞．【分析】（1）当1a =时，不等式可化简为()()310x x +->，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（2）[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，列出方程组，可求得a 的范围，进而可得答案.【详解】（1）当1a =时，()()215f x a x a >--+，整理可得2214x x ++>所以()()310x x +->，解得3x <-或1x >， 故原不等式的解集为(,3)(1,)-∞-⋃+∞．（2）命题：[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得3a ≤-， 若原命题成立，则a 的取值范围为(3,)-+∞．31．（2020·江苏）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >. （1）求a ，b 的值；（2）当2c ≠时，解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<.【答案】（1）12.a b =⎧⎨=⎩，；（2）答案见解析.【分析】（1）根据二次不等式的解集得到1和b 是方程2320ax x -+=的两根，利用韦达定理得到方程组求解；（2）根据（1）的结论不等式2()0ax ac b x bc -++<化为(2)()0x x c --<，分类讨论得到不等式的解集.【详解】解：（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则312b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得12.a b =⎧⎨=⎩，（2）不等式2()0ax ac b x bc -++<， 即为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<. ①当2>c 时，解集为{}2x x c <<； ②当2c <时，解集为{}2x c x <<；综上，当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<； 当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；32．（2021·云南砚山县第三高级中学高一期中）已知函数()()()236f x x a x =-+-. （1）若1a =-，求()f x 在[]3,0-上的最大值和最小值；（2）若关于x 的方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最大值是0，最小值是498-；（2）58,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由1a =-，得到()2253f x x x =+-，再利用二次函数的性质求解；（2）将方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，转化为方程()2232380x a x a +--+=有两个不相等正实根求解.【详解】（1）当1a =-时，()()()1236f x x x =++-2253x x =+-2549248x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为54x =-，又因为()f x 在5[3,)4--上递减，在5(,0]4-上递增， 所以()min 54948f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又()()30,03f f -==-， 所以()()max 30f x f =-=；（2）因为方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，所以方程()2232380x a x a +--+=有两个不相等正实根，则()()232838032023802a a aa ⎧⎪∆=---+>⎪-⎪->⎨⎪-+⎪>⎪⎩， 解得5823a <<，所以实数a 的取值范围是58,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.33．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为242m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？【答案】（1）当长为9m 2，宽为3m 时，面积最大，最大面积为227m 2；（2）当长为6m ，宽为4m 时，钢筋网总长最小，最小值为48m .【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值. （2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为ab ，则463623181823a b a b a b +=⇒+=⇒=+≥ 则272ab ≤，所以每间虎笼面积ab 的最大值为227m 2，当且仅当23a b =即9m,3m 2a b ==时等号成立.（2）设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为24ab =，则钢筋网总长为4648a b +≥===，所以钢筋网总长最小为48m ，当且仅当46,23,6m,4m a b a b a b ====等号成立.34．（2020·上海市第三女子中学高一期中）已知a R ∈，求证：“102a <<”是“111a a>+-”的充分非必要条件.【分析】从充分性和必要性两个方面去进行说明即可.【详解】解：充分性：当102a <<时，()()21111a a a -=-+<，且10a ->，则111a a>+-， 故充分性满足；必要性：当111a a >+-时，()1101a a -+>-，即201a a>-，可得1a <，且0a ≠，故必要性不满足；则“102a <<”是“111a a>+-”的充分非必要条件 35．（2020·福建厦门一中高一期中）已知20:{|}100x p x x +≥⎧⎨-≤⎩，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．（1）若m ＝1，则p 是q 的什么条件？（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）p 是q 的必要不充分条件；（2）m ∈[9，＋∞)．【分析】（1）分别求出p 、q 对应的集合，根据集合间的关系即可得出答案；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，列出不等式组，解得即可得出答案.【详解】(1)因为20:{|}100x p x x +≥⎧⎨-≤⎩＝{x |－2≤x ≤10}， 若m ＝1，则q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}＝{x |0≤x ≤2}， 显然{x |0≤x ≤2}≠⊂{x |－2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)由(1)，知p ：{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以}{}{21011x x x m x m ≠-≤≤⊂-≤≤+∣∣， 所以012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，且12m -≤-和110m +≥不同时取等号，解得m ≥9，即m ∈[9，＋∞)．36．（2020·玉林市育才中学高一期中）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【答案】{m |m ≤3}．【分析】由B ＝∅和B ≠∅分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得． 【详解】解：A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A . ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ⊆A ，得212215m m m ≥⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m ≤3.由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．37．（2019·福建高一期中）（1）设{}22,2,6A a a =-，{}22,2,36B a a =-，若{}2,3A B ⋂=，求A B .（2）已知{}26A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}2,3,6,18A B =；（2）{}1a a >.【分析】（1）由交集的概念可得223a a -=，求出a 代入验证，再求并集即可； （2）分为B =∅和B ≠∅两种情形，列出不等式解出即可. 【详解】（1）由{}2,3A B ⋂=，∴223a a -=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，{}2,3,18B =，此时{}2,3,6,18A B =， 当1a =-时，不合题意. ∴{}2,3,6,18A B =. （2）∵B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，∴3a >，当B ≠∅时，222336a a a a ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≤⎩，∴13a .综上，{}1a a a ∈>.38．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M={x| -2≤x ≤5}， N={x| a+1≤x≤2a -1}.（1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； （2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）空集；（2）{}3a a ≤.【分析】（1）根据子集的性质进行求解即可；（2）根据子集的性质，结合N =∅和N ≠∅两种情况分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由M N ⊆得：12321531212a a a a a a a +≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒-≥≥⎨⎨⎪⎪+≤-≥⎩⎩无解； 故实数a 的取值范围为空集； （2）由M N ⊇得： 当N =∅时，即1212a a a +>-⇒<； 当N ≠∅时，12121232153a a a a a a a +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩， 故23a ≤≤；综上实数a 的取值范围为{}3a a ≤.39．（2019·陕西镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-． （1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.【分析】（1）当4m =时，求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A B ；（2）分B =∅、B ≠∅两种情况讨论，结合A B =∅可得出关于实数m 的不等式，综合可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤； （2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅； 当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，因为A B =∅，则212m -<-或15m +>，解得12m <-或4m >，此时有4m >.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.40．（2019·广西大学附属中学高一期中）设全集U =R ，集合{}14A x x =≤<，{}23B x a x a =≤<-．（1）若2a =-，求B A ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) {}|14x x ≤<；(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】(1)利用集合间的交集运算求解； (2)由A B A ⋃=得B A ⊆，再分B φ=和B φ≠讨论.【详解】(1) 若2a =-，则{}45B x x =-≤<，又{}14A x x =≤<，所以{}|14B A x x =≤<. (2) 若A B A ⋃=，则B A ⊆. 当B φ=时，23a a ≥-，1a ≥； 当B φ≠时，由1,21,34a a a <⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，解得112a ≤<.综上可知，实数a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.41．（2020·吉林江城中学）已知集合{}12A x x =-≤＜，集合B ={}12x a x a -≤<，（1）B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|011a a a ≤≤≤-或；（2）1|32a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.【分析】（1）（2）都是根据题意讨论B φ=和B φ≠两种情况，从而列出关于a 的不等式组，进而求实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为B A ⊆，所以当B φ=时，12a a -≥，解得1a ≤-，此时满足题意；当B φ≠时，由题意得112212a a a a -≥-⎧⎪≤⎨⎪-<⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为{}|011a a a ≤≤≤-或. （2）因为A B =∅，所以当B φ=时满足题意，即12a a -≥，解得1a ≤-；当B φ≠时，由题意得2112a a a ≤-⎧⎨-<⎩或1212a a a-≥⎧⎨-<⎩，解得112a -<≤-或3a ≥，所以实数a 的取值范围为1|32a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.42．（2019·浙江高一期中）已知602x A xx ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}110B x x a x a =---+≤． （1）当2a =时，求A B ；（2）当0a >时，若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}23A B x x ⋂=<≤；（2）[)5,+∞.【分析】（1）解不等式求得集合,A B ，由并集定义可求得结果； （2）由并集结果可确定A B ⊆，根据包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由602xx ->-得：26x <<，则{}26A x x =<<； 当2a =时，由()()110x a x a ---+≤得：()()310x x -+≤，则{}13B x x =-≤≤；{}23A B x x ∴⋂=<≤；（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆，当0a >时，{}11B x a x a =-≤≤+，又{}26A x x =<<，则1216a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得：5a ≥，∴实数a 的取值范围为[)5,+∞.43．（2019·甘肃兰州市·兰州五十一中高一期中）已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，求m 的取值范围 【答案】(,1]-∞．【分析】分类讨论：0m ≤和0m >，前者由子集定义即得，后者由包含关系得不等关系后可得．【详解】当0m ≤时，B A =∅⊆， 当0m >时，则13m m -≥-⎧⎨≤⎩，解得01m <≤．综上，m 的取值范围是(,1]-∞．44．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）若x ∈R ，不等式2680mx mx m -++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】[0,1)【分析】根据x ∈R 时，不等式2680mx mx m -++>恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，利用判别式法求解.【详解】因为x ∈R 时，不等式2680mx mx m -++>恒成立， 当0m =时，80>成立，当0m ≠时，则2364(8)0m m m m >⎧⎨∆=-+<⎩， 解得01m <<， 综上：01m ≤<. 则实数m 的取值范围[0,1).45．（2021·乌苏市第一中学高一期中）解下列不等式：（1）2440x x -+-< （2）()210x a x a +-->【答案】（1）{}|2x x ≠；（2）当1a =-时原不等式的解集为{|1}x x ≠，当1a >-时原不等式的解集为{|x x a <-，或1}x >，当1a <时原不等式的解集为{|x x a >-，或1}x <．【分析】（1）将一元二次不等式化简，将左边配成完全平方式，即可得出不等式的解集； （2）由题意，一元二次不等式所对应的一元二次方程的两个根为a - 和1，分类讨论a -和1的大小，从而求得它的解集．【详解】解：（1）因为2440x x -+-<，所以2440x x -+>，即()220x ->，所以2x ≠，即原不等式的解集为{}|2x x ≠（2）x 的不等式：2(1)0x a x a +-->，即()(1)0x a x +->，此不等式所对应的一元二次方程2(1)0x a x a +--=的两个根为a -和1． 当1a -=，即1a =-时，此时不等式即2(1)0x ->，它的解集为{|1}x x ≠； 当<1a -，即1a >-时，它的解集为{|x x a <-或1}x >；当1a ->，即1a <时，它的解集为{|x x a >-或1}x <．综上可得：当1a =-时原不等式的解集为{|1}x x ≠，当1a >-时原不等式的解集为{|x x a <-或1}x >，当1a <时原不等式的解集为{|x x a >-或1}x <．46．（2021·乌苏市第一中学高一期中）解下列不等式： （1）23710x x -≤ （2）(1)()0x x a --> 【答案】（1）10{|1}3x x -≤≤；（2）1a ≥时，解集为(,1)(,)a -∞+∞，1a <时，解集为(,)(1,)a -∞+∞．【分析】（1）不等式变形为一边为0，一边二次系数为正，分解因式确定相应二次方程的根后结论二次函数性质得解；（2）根据a 和1的大小分类讨论得解．【详解】（1）不等式化为237100x x --≤，即(1)(310)0x x +-≤，解集为10{|1}3x x -≤≤； （2）当1a ≥时，不等式的解为1x <或x a >，解集为(,1)(,)a -∞+∞； 当1a <时，不等式的解为x a <或1x >，解集为(,)(1,)a -∞+∞．47．（2020·吉林江城中学）（1）若不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<，求不等式20cx bx a ++>的解集；（2）已知不等式210kx kx ++>恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1|2x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭；（2）{}|04k k ≤<.【分析】（1）根据不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<，得到0a <，=-b a ，6c a =-，代入20cx bx a ++>即可求解；（2）通过讨论0k =和0k >两种情况来求解.【详解】（1）因为不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<， 所以2-和3是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以23,23b ca a-+=--⨯=，即=-b a ，6c a =-，代入不等式20cx bx a ++>得260ax ax a --+>， 因为0a <，所以2610x x +->，解得12x <-或13x >， 所以不等式20cx bx a ++>的解集为1|2x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭. （2）当0k =时，不等式为10>，恒成立，满足题意； 当0k ≠时，要满足题意，需2040k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得04k <<，所以实数k 的取值范围为{}|04k k ≤<48．（2018·天津河东·高一期中）已知函数()af x x x=+． （1）当a R ∈时，用定义证明()f x 为奇函数．（2）当0a <时，用定义证明()f x 在()0,∞+上单调递增． 【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明即可； （2）根据函数的单调性进行证明即可.【详解】（1）定义域：{}|0x x ≠，关于原点对称，()a a f x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭()f x =-，∴()f x 为奇函数； （2）0a <时，设12,x x 是()0,∞+上任意两个实数，且120x x <<， 则()()12f x f x -1212a a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212a a x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()211212a x x x x x x -=-+()12121a x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，而0a <，所以120ax x ->， ∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+单调递增．49．（2020·河南郑州·高一期中）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-.（1）求出函数()f x 在R 上的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并根据图象写出()f x 的单调区间； （3）求使()1f x =时的x 的值.【答案】（1）222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩；（2）函数图象见解析，单调增区间为(],1-∞-和[)1,+∞，单调减区间为(1,1)-．（3）1x =或1x =-【分析】（1）通过①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则(0)0f =；②当0x <时，0x ->，利用()f x 是奇函数，()()f x f x -=-．求出解析式即可．（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间． （3）利用当0x >时，221x x -=，当0x <时，221x x --=，分别求解方程即可． 【详解】解：（1）①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则(0)0f =； ②当0x <时，0x ->，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-． 所以22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=----=--．综上：222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩．（2）函数图象如下所示：由函数图象可知，函数的单调增区间为(],1-∞-和[)1,+∞，单调减区间为(1,1)-． （3）当0x >时，221x x -=解得1x =或1x =因为0x >，所以1x =当0x <时，221x x --= 解得1x =-综上所述，1x =+或1x =-50．（2019·云南昭通市第一中学高一期中）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数100=-+y x 的关系．设商店获得的利润（利润=销售总收入-总成本）为S 元． （1）试用销售单价x 表示利润S ；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】（1）()214040004080S x x x =-+-≤≤；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【分析】（1）由利润=销售总收入-总成本可得答案；（2）对于()()()2709004080S x x x =--+≤≤配方法即可求得最大值． 【详解】（1）()()()()404040100S x xy y x y x x =-=-=--+ ()214040004080x x x =-+-≤≤.（2）()()()2709004080S x x x =--+≤≤，∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．。
第五章：三角函数 章末测试(解析版)
第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误 对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=， 即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=， 解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===， 由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位 【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=， 所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦， 结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（ ）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ， 所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（ ） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确． 假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=， 由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴 【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈， 由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=， 所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=， 则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >， 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。
浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
6．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种
方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次
加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A．பைடு நூலகம்方案
B．乙方案
C．一样
D．无法确定
7．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 , 0 上单调递减，定义在 R 上的偶函数 g(x) 在
, 0 上单调递增，且 f 1 g 1 0 ，则满足 f (x)g(x) 0 的 x 的取值范围是（ ）
A． , 1 U 1,0
B． 0,1 1,
C． 1, 0 1,
D． , 1 1,1
试卷第 1页，共 4页
8．已知函数 f (x) 2x2 1, g(x) ax, x R ，用 M x 表示 f x, g x 中的较大者，记为
七、应用题 19．老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究， 预测第一年鱼重量增长率 200% ，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半， 但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只 要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为 8 个单位，经科技人 员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为 4.5 个单位，含氧量 y 与年份 x 的函数 模型为 y ka x (k 0，0 a 1) ，当含氧量少于 81 个单位，鱼虽然依然生长，但会损失 5%
15．已知函数 f x ax2 2 a x 1， g x x ，若对于任意实数 x， f x 与 g x 至
少有一个为正数，则实数 a 的取值范围是
.
2025届杭州高级中学高一化学第一学期期中学业水平测试试题含解析
2025届杭州高级中学高一化学第一学期期中学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、用N A 表示阿伏加德罗常数的值，下列说法中正确的是A ．2.4g 金属镁变为镁离子时得到的电子数为0.2N AB ．常温常压下，11.2LC 2H 4含有2N A 个碳原子C ．标准状况下，11.2LH 2O 含有的分子数为0.5N AD ．常温常压下，32gO 2和O 3的混合气体所含原子数为2N A2、给出下列条件，无法确定该物质摩尔质量的是( )A ．已知气体在标准状况时的密度B ．已知物质的体积和质量C ．已知一定量物质的质量和物质的量D ．已知物质一个分子的实际质量 3、下列叙述正确的是（ ）A ．1 mol O 2的质量为32 g·mol -1B ．1 mol 物质的质量等于该物质的式量C ．2-4SO 的摩尔质量为96 g·mol -1D ．CO 2的摩尔质量为44 g4、某元素离子R 2+核外有23个电子，其质量数为55，则原子核内中子数是A ．30B ．55C ．23D ．325、闪电时空气中有臭氧生成。
下列说法正确的是( )A ．3O 和2O 互为同位素B ．3O 与2O 的相互转变是物理变化C ．相同状况下,等体积3O 和2O 含有相同质子数D ．3O 比2O 氧化性更强6、下图表示1gO 2与1gX 气体在相同容积的密闭容器中压强(p)与温度(T)的关系，则X 气体可能是A．N2B．CH4C．CO2D．NO7、下列说法正确的是A．电解饱和食盐水可制得金属钠和氯气B．通过化学反应从海水中可提取氯化钠、溴、碘等物质C．为了增强高锰酸钾溶液的氧化性可用盐酸酸化D．ClO2是一种有刺激性气味的黄绿色气体，除用于杀菌消毒外，还广泛用于环保、漂白、除臭等方面。
2015-2016学年杭州高级中学高一分班考试数学答案解析
y 4 得 x 1 ，即 G 的坐标是 (1, 4) ，所以 CG 2 ，所以 a 2 ，故选 B． x
【考点】1、正方形的性质；2、反比例函数；3、全等三角形的判定与性质；4、待定系
一段时间，修理好继续以相同的速度运动到 A 点停止，设运动时间为 t ，点 B 到直线 OC
的距离为 d ，则下列图象能大致刻画 d 与 t 之间的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题分析：设运动员 C 的速度为 v ，则运动了 t 的路程为 vt ，设 BOC ，
当C
运动到
M
【答案】D
【解析】试题分析：A 中艺术字是轴对称图形，不是中心对称图形；B 中艺术字是轴对
称图形，不是中心对称图形；C 中艺术字不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D 中
艺术字是轴对称图形，也是中心对称图形，故选 D．
【考点】1、中心对称图形；2、轴对称图形．
3．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展
即 4a 2b c 0 ，故③错；因为当 x 1 时， y 0 ，所以 a b c 0 ，把 b 2a
代入得 3a c 0 ，故④正确，故填①④．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【技巧点睛】利用图象判断解析式中 a, b, c 的正负及它们之间的关系：(1)开口方向判
4．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”.某村小为了了解各年级留守儿童的数量，
对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为
2025届杭州高级中学高三一诊考试数学试卷含解析
2025届杭州高级中学高三一诊考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．2．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<5．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S6．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．87．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞8． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20B ．24C ．25D ．2610．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 11．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,212．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
20152016学年浙江杭州高级中学高一上分班考试数学试题解析版
2015-2016学年浙江杭州高级中学高一（上）分班考试数学试题一、选择题1．下列结论正确的是（ ）A ．2232a b a b -=B ．单项式2x -的系数是-1C ．使式子2x +有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式211a a -+的值等于0，则1a =± 【答案】B【解析】试题分析：A 中，22232a b a b a b -=，故A 错；B 中，单项式2x -的系数是1-，正确；C 中，使式子2+x 有意义的x x 的取值范围是2x ≥-，故C 错；D 中，若分式112+-a a 的值等于0，则21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故D 错，故选B ．【考点】1、同类项；2、单项式；3、分式；4、二次根式．【知识点睛】求函数自变量的取值范围，一般有以下几种情况：（1）当函数解析式为整式时，取全体实数；（2）当函数解析式为分式时，要保证分母不为0；（3）当函数解析式为二次根式时，要保证被开方数是非负数；（4）当函数解析式为复合式时，自变量的取值要同时满足多个条件．2．在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】D【解析】试题分析：A中艺术字是轴对称图形，不是中心对称图形；B中艺术字是轴对称图形，不是中心对称图形；C中艺术字不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D中艺术字是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【考点】1、中心对称图形；2、轴对称图形．3．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）【答案】A【解析】试题分析：该正方形纸片对折三次后共有8层，中心处剪掉一下等腰直角三角形，展开后纸片中心缺失的角度为︒⨯=︒，排除C、D；剪切线AB不平行于纸片边缘，则展开后458360也一定不平行于纸片边缘，排除B，故选A．【考点】图形的轴对称．4．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”.某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,20，对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10C ．中位数是17D ．方差是443 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，知平均数为101510171856012+++++=，众数是10，中位数是1517162+=，方差为22222144[2(1015)(1515)(1715)(1815)(2015)]63-+-+-+-+-=，故A 、B 、D 正确，C 错误，故选C ．【考点】数据的收集和处理5．如图，,,A B C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''AC B ∆，则'tan B 的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．24【答案】B 【解析】试题分析：过C 点作CD AB ⊥，垂足为D ，则根据旋转性质可知，B B ∠'=∠．在Rt BCD ∆中，1tan 3CD B BD ==t ，所以1tan tan 3B B '==，故选B ．【考点】1、旋转的性质；2、锐角三角函数的定义．6．如图是自行车骑车训练场地的一部分，半圆O 的直径100AB =，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止，设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 及t 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：设运动员C 的速度为v ，则运动了t 的路程为vt ，设BOC α∠=，当C 运动到M 时，因为50180vt απ⋅==518πα，所以185vt απ=，在直角三角形中，因为50sin 50sin 185vt d πα==，所以在运动员到M 点之前，其d 及t 的关系并不是一次函数，同理可得，运动员从M 点到A 点的过程中，其d 及t 的关系也不是一次函数，只有C 符合题意，故选C ．【考点】函数图象．【方法点睛】根据几何动点问题判断出函数图象的题目，一般解题思路为：设时间为t ，找出因变量及t 之间存在的函数关系式，并用含t 的式子表示出来，再找相对应的函数图象，需要注意是否需要对自变量的取值范围进行分类讨论．7．如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =-+及x 轴、y 轴分别交于,A B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线(0) ky kx=≠上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C 恰好落在该双曲线上，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：作CE y⊥轴于点E，交双曲线于点G，作DF x⊥轴于点F，在33y x=-+中，令0x=，得3y=，即(0,3)B．令0y=，得1x=，即(1,0)A，所以31OB OA==，．因为90BAD∠=︒，所以90BAO DAF∠+∠=︒，又因为Rt ABO∆中，90BAO OBA∠+∠=︒，所以DAF OBA∠=∠．在OAB∆和FDA∆中，DAF OBABOA AFDAD AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以OAB FDA∆∆≌．同理可证得，OAB FDA BEC∆∆∆≌≌，所以3AF OB EC===，1DF OA BE===，故(4,1)D，(3,4)C，代入kyx=得4k=，则函数的解析式是4yx=，所以4OE=，则C的纵坐标是4，把4y=代入4yx=得1x=，即G的坐标是(1,4)，所以2CG=，所以2a=，故选B．【考点】1、正方形的性质；2、反比例函数；3、全等三角形的判定及性质；4、待定系数法求函数的解析式．【方法点睛】（1）由于反比例函数的表达式kyx=中只有一个未知数k，因此只需已知一组对应值就可以求出其解析式；（2）用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数．8．如图，分别过点(,0)(1,2,,)iP i i n=作x轴的垂线，交212y x=的图象于点iA，交直线12y x=-于点i B，则1122111n nA B A B A B+++的值为（）A．21nn+B．2 C．2(1)n n+D．21n+【答案】A【解析】试题分析：由题意，得2111()(1)222i iA B x x x x=--=+，所以12112()(1)1i iA B x x x x==-++，所以1122111n nA B A B A B+++＝11111122(1)2(1)223111nn n n n-+-++-=-=+++，故选A．【考点】1、二次函数的图象；2、裂项求和法；3、规律探究．二、填空题9．如图，AB AC=，120BAC∠=︒，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC ∠= ．【答案】60︒【解析】试题分析：因为AB AC =，120BAC ∠=︒，所以30B C ∠=∠=︒．因为AB 的垂直平分线交BC 于点D ，所以DB DA =，所以30BAD B ∠=∠=︒，所以60BAD B ADC ∠+∠=∠=︒．【考点】1、线段垂直平分线的性质；2、等腰三角形的性质；3、三角形内角及外角和定理．10．对实数,a b 定义新运算“”如下：,*,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，如3*23=，(5)*22=210x x +-=的两根为12,x x ，则12*x x = ． 51- 【解析】试题分析：因为方程210x x +-=的根为2114(1)152x -±-⨯--==，又因为,*,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，所以1251*x x -=． 【考点】1、一元二次方程的解法；2、新定义．【方法点睛】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②24b ac =；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）【答案】①④【解析】试题分析：由图象知0a >，0c <，=12b a-，即20a b +=，所以0b <，所以0abc >，故①正确；因为二次函数图象及x 轴有两个交点，所以240b ac ∆=->，即24b ac >，故②错；因为原点O 及对称轴的对应点为(20)，，所以2x =时，0y <，即420a b c ++<，故③错；因为当1x =-时，0y >，所以0a b c -+>，把2b a =-代入得30a c +>，故④正确，故填①④．【考点】二次函数图象及系数的关系．【技巧点睛】利用图象判断解析式中,,a b c 的正负及它们之间的关系：(1)开口方向判断a 的正负；(2) 及y 轴交点位置判断c 的正负；(3) 对称轴位置判断b 的正负 (左同右异）；(4) 及x 轴交点个数判断24b ac -的正负；(5) 图象上特殊点的位置判断一些函数值正负；(6) 对称轴判断2a b +和2a b -的正负．12．已知两个正数,a b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c 在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若1,3a b ==，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则m n +的值为 .【答案】255，21【解析】试题分析：（1）第一次，13137c =⨯++=；第二次，373731c =⨯++=；第三次，317731c =⨯++＝255；（2）第一次，(1)(1)1c pq q p p q =++=++-；第二次，[(1)(1)11](1)1c p q p =++-++-＝2(1)(1)1p q ++-；第三次，2[(1)(1)11][(1)(1)11]1c p q p q =++-+++-+-＝32(1)(1)1p q ++-；第四次，53(1)(1)1c p q =++-；第五次，85(1)(1)1c p q =++-；第六次，138(1)(1)1c p q =++-，所以13821m n +=+=．【考点】推理及证明．三、解答题13．（1）先化简，再求值：222()111a a a a a ++÷+--，其中1a =. （2）已知关于,x y 的二元一次方程2231x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩的解满足x y <，求m 的取值范围.【答案】（1）原式31a =+，2；（2）17m <-． 【解析】试题分析：（1）首先利用平方差公式将21a -进行因式分解，然后通分化简，最后代值求值；（2）首先通过解二元一次方程组用m 表示出x ，然后根据x y <求出m 的取值范围．试题解析：（1）原式2212(1)(2)1()1(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a +--++-=+⨯=⨯++-+-31a =+．当21a =-时，原式322211==-+． （2）解二元一次方程组2231x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩，得1727x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∵x y <，∴1277m -<-，∴17m <-，所以n 的取值范围是17m <-．【考点】1、因式分解；2、分式的运算；3、二元一次方程组的解法；4、不等式的解法．14．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价，评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图.根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ；补全统计直方图；（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行，在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率.【答案】（1）030,144；（2）2P=．5【解析】试题分析：（1）首先根据用3－4小时的人数所占比例，求出总人数，然后根据总人数求出2－3小时的人数，从而求出圆心角度数；（2）根据题意列出所有等可能事件，找出两人分在一组的可能情况，从而求出概率．试题解析：（1）620%30÷=，----÷⨯=÷⨯=，(303762)30360123026144答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144；故答案为：030,144；补全统计图如图所示：（2）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，小红12345小花1（2,1） （3,1） （4,1） （5,1） 2（1,2） （3,2） （4,2） （5,2） 3（1,3） （2,3） （4,3） （5,3） 4（1,4） （2,4） （3,4） （5,4） 5 （1,5） （2,5） （3,5） （4,5）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A ，∴82()205P A ==. 【考点】1、统计图；2、等可能事件的概率．【方法点睛】对于随机事件的概率问题，常用方法有列举法、列表法、树状图等．一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 中包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为()A m P A n=包含的基本事件的＝基本事件的个数总数． 15．已知，如图，AB 是圆O 的直径，点C 为圆O 上一点，OF BC ⊥于点F ，交圆O 于点E ，AE 及BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且ODB AEC ∠=∠.（1）求证：BD 是圆O 的切线；（2）求证：2CE EH EA =⋅；（3）若圆O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）152． 【解析】试题分析：（1）首先根据OF BC ⊥及直角三角形的概念结合圆周角定理推出90ODB DBF ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理得到90OBD ∠=︒，从而使问题得证；（2）连接AC ，然后利用周角定理推出CEH AEC ∆∆，从而根据相似三角形的性质使问题得证；（3）连接BE ，然后根据三角形函数和勾股定理求出Rt ABE ∆的各个边长，再由等腰三角形的性质推出BE CE =，从而由（2）中的结论可求出EH ，进而用勾股定理求解即可．试题解析：（1）证明：∵ODB AEC ∠=∠，AEC ABC ∠=∠，∴ODB ABC ∠=∠，∵OF BC ⊥，∴90BFD ∠=，∴90ODB DBF ∠+∠=，∴90ABC DBF ∠+∠=，即90OBD ∠=，∴BD OB ⊥，∴BD 是圆O 的切线．（2）证明：连接AC ，如图1所示：∵OF BC ⊥，∴弧BE =弧CE ，∴CAE ECB ∠=∠，∵CEA HEC ∠=∠，∴CEH ∆∽AEC ∆，∴CE EA EH CE=，∴2CE EH EA =⋅. （3）连接BE ，如图2所示，∵AB 是圆O 的直径，∴90AEB ∠=．∵圆O 的半径为5，3sin 5BAE ∠=， ∴310,sin 1065AB BE AB BAE ==⋅∠=⨯=， ∴22221068EA AB BE =--=．∵弧BE =弧CE ，∴6BE CE ==，∵2CE EH EA =⋅，∴26982EH ==． 在Rt BEH ∆中，22229156()22BH BE EH =+=+=. 【考点】1、切线的性质；2、直径的性质；3、勾股定理；4、相似三角形的判定及性质．16．大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月多卖20件，为获得更大的利润，现将饰品售价调整为60x +（元/件）（0x >即售价上涨，0x <即售价下降），每月饰品销售为y （件），月利润为w （元）.（1）直接写出y 及x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？【答案】（1）30010,03030020,200x x y x x -≤≤⎧=⎨--≤<⎩；（2）当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）销售价格控制在55元到70元之间才能使每月利润不少于6000元．【解析】试题分析：（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案． 试题解析：（1）由题意可得，30010,03030020,200x x y x x -≤≤⎧=⎨--≤<⎩．（2）由题意可得：(20)(30010),030(20)(30020),200x x x w x x x +-≤≤⎧=⎨+--≤<⎩， 化简得：22101006000,030201006000,200x x x w x x x ⎧-++≤≤=⎨--+-≤<⎩， 即2210(5)6250,030520()6125,2002x x w x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-++-≤<⎪⎩， 由题意可知x 应取整数，故当2x =-或3x =-时，61256250w <<， 故当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元.（3）由题意6000w ≥，如图，令6000w =，即2600010(5)6250x =--+，25600020()61252x =-++，解得：15x=-，20x=，310x=，510x-≤≤，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．【考点】二次函数的应用．【方法点睛】利用二次函数解决实际问题的解题步骤为：（1）分析题意，把实际问题转化为数学问题；（2）根据已知列出适当的二次函数的解析式（并注意自变量的取值范围）；（3）根据二次函数的解析式解决具体的实际问题在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．17．如图，把两个全等的Rt AOB∆和Rt COD∆分别置于平面直角坐标系中，使直角边,OB OD在x轴上，已知点(1,2)A，过,A C两点的直线分别交x轴、y轴于点,E F. 抛物线2y ax bx c=++经过,,O A C三点.（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB ∆沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不及点C 重合），AOB ∆在平移的过程中及COD ∆重叠部分的面积记为S ，试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）23722y x x =-+；（2）21(,)33P ；（3）38．【解析】试题分析：（1）由抛物线经过点,,O A C 即可根据待定系数法求得抛物线解析式；（2）首先分别作过点,P M 分别作梯形ABPM 的高，将问题转化为''A B M P y y y y -=-，然后设出点,P M 的坐标，由此通过建立方程求得点P 的坐标；（3）作EK OD ⊥于k ，设点'A 移动的水平距离为m ，由此得到线段,OG GB '的长度，从而通过解直角三角形得到S 关于m 的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求得结果．试题解析：（1）将(1,2),(0,0),(2,1)A O C 分别代入2y ax bx c =++， 得20421a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：37,,022a b c =-==，所以23722y x x =-+. （2）如图1，过点,P M 分别作梯形ABPM 的高'',PP MM ，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么''AM BP =因此，''A B M P y y y y -=-， 直线OC 的解析式为12y x =，设点P 的坐标为1(,)2x x ，那么237(,)22M x x x -+. 解方程23712()222x x x --+=，得122,23x x ==， 2x =的几何意义是P 及C 重合，此时梯形不存在，所以21(,)33P .（3）如图2，AOB ∆及COD ∆重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK OD ⊥于k ，设点'A 移动的水平距离为m ，那么1OG m =+，'GB m =， 在Rt OFG ∆中，11(1)22FG OG m ==+，所以21(1)4OFG S m ∆=+.在'Rt A HG ∆中，'2AG m =-，所以'111(2)1222HG AG m m ==-=-， 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=，在Rt OEK ∆中，2OK EK =；在Rt EHK ∆中，2EK HK =；所以4OK HK =. 因此4432332OK OH m m ==⨯=，所以12EK OK m ==， 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=. 于是222213111113(1)()44224228OFG OEH S S S m m m m m ∆∆=-=+-=-++=--+， 因为01m <<，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38. 【考点】1、二次函数的图象及性质；2、直线及抛物线的位置关系．【方法点睛】若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x 、y 的对应数值时，可选用2()0y ax bx c a =++≠求解．因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，所以将已知三点的坐标分别代入2()0、、的值，y ax bx c a=++≠构成三元一次方程组，解方程组得a b c即可求二次函数解析式．。
浙江杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设全集，集合，则（ ） {}0,1,2,3,4U ={}12A x U x =∈-<U A =ðA ． B ．C ．D ．{}13x x -<<{}13x x -≤≤{}3,4{}0,1,2【答案】C【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解 A 【详解】由可得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<因为全集，所以， {}0,1,2,3,4U ={}{}12{|13}0,1,2A x U x x U x =∈-<=∈-<<=所以. {}3,4U A =ð故选：C.2．命题“，”的否定是（ ） 0x ∀>2230x x ++>A ．， B ．， 0x ∀>2230x x ++<0x ∃>2230x x ++≤C ．， D ．，0x ∃<2230x x ++<0x ∀>2230x x ++≤【答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定即可得到结果.【详解】因为命题为全称命题，则其否定为: ，. 0x ∃>2230x x ++≤故选:B3．不等式的解集为（ ）2210x x +-<A ．B ．或C ．D ．或112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12x x ⎧<-⎨⎩}1x >112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{1x x <-12x ⎫>⎬⎭【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由， 2210x x +-<即，得， ()()2110x x -+<112x -<<所以不等式的解集为. 2210x x +-<112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.4．已知，，则（ ）π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭2sin 2cos 21αα=+tan α=A ．B ．C ．D 131214【答案】B【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.【详解】因为，则，且，则，2sin 2cos 21αα=+24sin cos 2cos ααα=π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭cos 0α≠12sin cos tan 2ααα=⇒=故选:B5．已知幂函数在上是减函数，则n 的值为（ ）()()22222nnf x n n x-=+-⋅()0,∞+A ． B ．1C ．3D ．1或3-3-【答案】B【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的3n =-1n =()0,∞+条件.【详解】因为函数是幂函数，则， ()f x 2221+-=n n 所以或.3n =-1n =当时，在上是增函数，不合题意.3n =-()15f x x =()0,∞+当时在上是减函数，成立.1n =()1f x x -=()0,∞+故选：B.6．若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ） ()f x ()0,∞+()30f -=()0xf x <A ． B ． C ． D ．()()3,01,-+∞ ()(),30,3-∞-⋃()(),33,-∞-+∞ ()()3,00,3- 【答案】D【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得()30f =()f x (),0∞-()0x f x ⋅<出且或且，最后取并集． 0x <()0f x >0x >()0f x <【详解】解：函数为奇函数， ()f x ，，()()330f f ∴-=-=()30f ∴=函数在上是增函数，函数在上是增函数，()0,∞+∴(),0∞-所以当或时，当或时，3x >30x -<<()0f x >3x <-03x <<()0f x <对于，∴()0x f x ⋅<则或，()00x f x <⎧⎨>⎩()00x f x >⎧⎨<⎩解得或30x -<<03x <<的取值范围是．x ∴()()3,00,3- 故选：D ．7．已知函数关于对称，当时，恒成立，设()f x 1x =121x x <<()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3c f =A ． B ．C ．D ．b ac <<c b a <<b<c<a a b c <<【答案】A【分析】由条件关于对称可得，再判断函数的单调性，利用单调性比较()f x 1x =1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小即可.【详解】因为函数关于对称， ()f x 1x =所以函数的图象关于对称， ()1f x +0x =即函数为偶函数， ()1f x +所以，()()11f x f x +=-+所以，1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为当时，恒成立， 121x x <<()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦所以函数在上单调递增， ()f x ()1+∞，又，所以， 35322<<()35322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， b a c <<故选：A.8．若，，且，则的最小值为（ ） 0x >0y >11112x x y+=++42x y +A ．4B ．C ．D ．1+4+【答案】C【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再1,2x a x y b +=+=111a b+=()411a b a -+-+结合基本不等式可求最小值.【详解】设，则，且，1,2x a x y b +=+=1,21x a y b a =-=-+0,0a b >>题目转化为已知，求的最小值， 111a b+=()411a b a -+-+即，()4241133x y a b a a b +=-+-+=+-而， ()11333444a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即时等式成立. 3a b b a =1a b ==所以. 4233431x y a b +=+-≥+-=+故选：C.二、多选题9．将函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数的图象，若函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x ()g x 为奇函数，则φ的可能值为（ ） A ． B ．C ．D ．12π-6π512π23π【答案】AC【分析】先由平移变换得到，再根据函数为奇函数，由()226g x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()g x 求解.2,Z 6k k πϕπ--=∈【详解】解：函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，()()22266g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数为奇函数， ()g x 所以，解得， 2,Z 6k k πϕπ--=∈,Z 212k k ππϕ=--∈所以φ的可能值为或， 12π-512π故选：AC10．已知实数a ，b 满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） 1a b >>A ． B ．C ．D ．23ab b >11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 1b a >【答案】ABD【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用作差法判断；C.利用在上递减判12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞断；D.利用对数函数的单调性判断.【详解】对于A ，因为实数a ，b 满足， 1a b >>所以，则，故A 正确； 21b >23ab b >对于B ，由可得，所以，故B 正确； 1a b >>1ab >()11110a b a b a b ab ⎛⎫+--=--> ⎪⎝⎭对于C ，由在上递减，所以，故C 错误；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，由在上递增，所以，故D 正确， log b y x =()0,∞+log log 1b b a b >=故选：ABD11．狄里克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于1837年提出函数是x 与y 之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄里克雷函数”为，下列叙述中正确的是（ ）()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数A ．是偶函数B ．C ．D ．()D x ()()2D x D x +=(()D x D x =()()1D D x =【答案】ABD【分析】A. 分x 是有理数和x 是无理数讨论求解判断；B. 分x 是有理数和x 是无理数讨论求解判断；C.由 D. 分x 是有理数和无理数讨论求解判断.x =【详解】A. 当x 是有理数，则-x 是有理数，当x 是无理数，则-x 是无理数，所以，()()D x D x -=则是偶函数，故正确；()D x B. 当x 是有理数，则x +2有理数，当x 是无理数，则x +2是无理数，所以，故正()()2D x D x +=确；C.当 ， ，故错误；x =(()01D x D +==()(0D x D ==D. 当x 是有理数时，，当x 是无理数时，，故正确， ()()()11D D x D ==()()()01D D x D ==故选：ABD12．已知函数，若关于x 的方程有5个不同的224,0()21,0x x x x f x x -⎧+<=⎨-≥⎩()()244230f x a f x a -⋅++=实根，则实数a 的取值可以为（ ）A ．B ．C ．D ． 76-1712-54-3730-【答案】ABCD【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根()f x ()f x 的分布列出不等式求解即可．【详解】作出函数的图象如下：224,0()21,0x x x xf x x -⎧+<=⎨-≥⎩因为关于的方程有5个不同的实根， x 24()4()230f x a f x a -⋅++=令，则方程有2个不同的实根， ()t f x =244230t at a -++=12,t t 则，解得或， 21616(23)0a a ∆=-+>1a <-3a >若，则或， 12t t <12210t t -<≤-<<1210t t -<<=令，2()4423g t t at a =-++或， ()()()21910017600230g a g a g a ⎧-=+>⎪∴-=+≤⎨⎪=+>⎩230a +=解得，得；()()()21910017600230g a g a g a ⎧-=+>⎪-=+≤⎨⎪=+>⎩3726a -<≤-当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去； 230a +=32a =-2460t t +=20t =132t =-综上可得. 3726a -<≤-故选：ABCD.三、填空题13．已知，则的最小值是______________．0x >14x x+【答案】4【分析】利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为，0x >所以，144x x +≥=当且仅当，即时等号成立，14x x =12x =所以的最小值为，14x x+4故答案为：. 414______________．=【答案】4-【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.. ()2sin 10302sin 20411sin 20sin 2022︒-︒-︒===-︒︒故答案为：.4-15．若，则函数在上的值域是______________．()221x f x x =+[]0,1x ∈【答案】[]0,1【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.[]0,1【详解】， ()()()()222141222214111x x x f x x x x x +-++===++-+++任取，，且，1x []20,1x ∈12x x <则， ()()()()()()221212121222111222201111x x x x x x x x f x x x x x f x -++-=<+-+=++所以，()()12f x f x <所以函数在上单调递增， ()f x []0,1则，， ()()min 00f x f ==()()max 11f x f ==所以函数在上的值域是. []0,1x ∈[]0,1故答案为：.[]0,116．定义在R 上的单调函数满足：，若()f u ()()()f u v f u f v +=+在上有零点，则a 的取值范围是______________()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-()π,0-【答案】4a ≤-【分析】利用是奇函数且在R 上的单调，转化为在上有解，()f u 2sin sin cos 3a u u u =--+()π,0-再进行参数分离求解即可.【详解】令,则,则； 0u v ==(0)2(0)f f =(0)0f =再令,则有v u =-，且定义域为R . ()()()0f u u f u f u -=+-=()f x 是奇函数.()f x ∴在上有零点.()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-()π,0-在上有解；()()2sin sin cos 30f a u f u u ∴++-=()π,0-在上有解； ()()()22sin sin cos 3sin cos 3f a u f u u f u u ∴=-+-=--+()π,0-又∵函数是R 上的单调函数,()f x 在上有解. 2sin sin cos 3a u u u ∴=--+()π,0-，；()π,0u ∈- sin 0;u ∴≠；22sin cos 3sin sin 22sin 1sin sin sin u u u u a u u u u --+-++∴===+-令, [)sin ,1,0t u t =∈-则； 21a t t=+-在上单调递减, 2y t t=+[)1,0-，.3y ∴≤-4a ≤-故答案为：.4a ≤-四、解答题 17．计算：(1))()10211610.259-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)．25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+【答案】(1)23-(2) 6【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可.【详解】（1）原式 4214333=--+=-（2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+3222log 813log 26=++=+=18．已知．()2ππ22sin 1224f x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的周期；()f x (2)求在区间上的最小值；()f x 3π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1) π(2) 3-【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再结合周期的公式求解即可； ()f x （2）利用三角函数的图象及性质求解即可.【详解】（1），()2ππππ22sin 2cos 2112241212f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，()πππ2sin 212sin 211264f x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由，3π3π,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，所以，3π3π2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π7π5π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当，[]π24sin 1,1x ⎛⎫- ⎪⎝∈-⎭则，[]π2sin 213,14x ⎛⎫---∈- ⎪⎝⎭即在区间上的最小值为.()f x 3π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3-19．已知集合，．{}2340A x x x =--<{}2B x a x a =<<+(1)若时，求，；2a =-A B ⋃()U A B ⋂ð(2)若是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． x B ∈x A ∈【答案】(1)；； {}24A B x x ⋃=-<<(){}R 21A B x x ⋂=-<≤-ð(2) []1,2-【分析】（1）解二次不等式化简集合A ，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即得； 2a =-B （2）由题设条件得到是A 的真子集，列不等式组即可求得结果. B 【详解】（1）因为，所以，2a =-{}{}220B x a x a x x =<<+=-<<又因为，{}{}234014A x x x x x =--<=-<<所以，或， {}24A B x x ⋃=-<<{R 1A x x =≤-ð}4x ≥故；(){}R 21A B x x ⋂=-<≤-ð（2）因为是的充分不必要条件，所以是A 的真子集， x B ∈x A ∈B 因为，{}2B x a x a =<<+≠∅所以或，124a a ≥-⎧⎨+<⎩124a a >-⎧⎨+≤⎩解得， 12a -≤≤所以.[]1,2a ∈-20．如图所示，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．(1)试确定点P 距离地面的高度h （单位：m ）关于旋转时间t （单位：min ）的函数关系式； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70m ？【答案】(1)π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)min 43【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min 内转过的角度为，OP t π2t 再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，可得，即可求得结果. π5040cos 702h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>()2244Z 33k t k k -++∈<<【详解】（1）建立如题所示的平面直角坐标系，根据题意可得在 min 内转过的角度为， OP t 2ππ42t t =设为点在时间内转过的角度，所以； αP t π2t α=以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为， x 1OP 1OP ππ22t +因此点的纵坐标为， 1P ππ40sin 22t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为， ππ5040sin 22h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化简得 π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）当时， π5040cos 702h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>解得， ()2244Z 33k t k k -++∈<<又在一圈内，所以符合题意i 的时间段为或， 04t ≤≤203t ≤<1043t <≤即在摩天轮转动一圈内，有min 点距离地面超过70m. 43P 21．已知是偶函数，是奇函数．()()ln e 1x f x mx =++()e e x x g x n -=-(1)求，的值；m n (2)用定义证明的在上单调递增；()g x (),-∞+∞(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．()()()g f x g a x >-[)1,+∞a【答案】(1)， 12m =-1n =(2)证明见解析(3) ()1ln 1e 2⎪-+⎛⎫ ⎝∞+⎭,【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；m n （2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数()()()g f x g a x >-[)1,+∞a 的取值范围．【详解】（1）解：因为是偶函数，()()ln e 1x f x mx =++所以，即，()()f x f x -=()()0f x f x --=则，即，()()ln e 1ln e 10x x mx mx -+--+-=()()ln e 12ln e 10x x x mx +---+=所以，即，解得． ()210m x --=210m --=12m =-若是奇函数，()e e x x g x n -=-又定义域为，则，即，解得；()e e x x g x n -=-(),-∞+∞()00g =10n -=1n =此时，则，符合题意； ()e e x x g x -=-()()()e e e e x x x x g x g x ---=-=--=-（2）设任意的且，12,R x x ∈12x x <则 ()()()1122112212e e e e e e e e x x x x x x x x g x g x -----=----+=- 12121e e e1e x x x x +--= ()1212e e e 1e 1x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝-⎭= ()211212e e e e e ex x x x x x --=-， ()()1212121212e e e e e e e e e 11e 1x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭+⎝--⎭+因为，所以，所以，则，12x x <120e e x x <<12e e 0x x -<()()120g x g x -<所以，()()12g x g x <即的在上单调递增.()g x (),-∞+∞（3）解：由（2）知单调递增，()g x 则不等式在上恒成立，()()()g f x g a x >-[)1,+∞等价于在上恒成立，()f x a x >-[)1,∞＋即在上恒成立， ()1ln e 12x x a x +->-[)1,+∞则， ()1ln e 12x a x <++设，，因为、、在定义域上单调递增， ()()1ln e 12x m x x =++[)1,x ∞∈+e 1x y =+ln y x =12y x =所以在上单调递增，()m x [)1,+∞∴， ()()()11ln 1e 2m x m ≥=++则， ()1ln 1e 2a <++所以实数的取值范围是． a ()1ln 1e 2⎪-+⎛⎫ ⎝∞+⎭,22．如图，已知△ABC 中，，，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做10AB AC ==16BC =BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为（如图阴影部分），设，的面积为，ΩBP x =Ω()S xΩ的周长为．()L x(1)求和的解析式；()S x ()L x (2)记，求的最大值．()()()S x F x L x =()F x 【答案】(1)，； ()223,08831248,8168x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩()3,08312,8162x x L x x x <≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩(2)的最大值为．()F x 12-【分析】（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长； 08x <≤816x <≤（2）求出，分，两种情况，求出每种情况下的最大值即可.()F x 08x <≤816x <≤【详解】（1）设垂线l 与相交于点，,AB AC M 作△ABC 的高AD ，，，则，10AB AC ==16BC =6AD =当，，所以，，，08x <≤~ABD MBP A A 54MB x =3=4PM x 21133()2248S x BP MP x x x =⋅=⋅=. 35()++344L x x x x x ==当，，所以，816x <≤~ADC MPC A A 3=(16)4PM x -510(16)4AM x =--， 2213()616(1683824218)S x x x x -==⨯---⨯+； 533()1010(16)(16)12442x L x x x x ⎡⎤=++--+-=+⎢⎥⎣⎦所以， ()223,08831248,8168x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩； ()3,08312,8162x x L x x x <≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）当时，，的最大值． 08x <≤()1()1()8S x F x x L x ==≤()F x 1当时，， 816x <≤22()3963821296432128(4))3(S x x x x x F L x x x x +-+-+-==+-= ()()222488888448131281()44x x x x F x x x ++++=-⨯=--+-+⨯()()1481448()84812484F x x x ⎣-⎡⎤=-++≤-=⎥+-⎢⎦当且仅当时等号成立；有最大值，8x =()Fx 12-又，121->故的最大值为．()F x 12-。
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2015-2016学年浙江杭州高级中学高一（上）分班考试数学试题一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．2232a b a b -= B ．单项式2x -的系数是-1C ．使式子2x +有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式211a a -+的值等于0，则1a =±【答案】B【解析】试题分析：A 中，22232a b a b a b -=，故A 错；B 中，单项式2x -的系数是1-，正确；C 中，使式子2+x 有意义的x x 的取值范围是2x ≥-，故C 错；D 中，若分式112+-a a 的值等于0，则21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故D 错，故选B ． 【考点】1、同类项；2、单项式；3、分式；4、二次根式． 【知识点睛】求函数自变量的取值范围，一般有以下几种情况：（1）当函数解析式为整式时，取全体实数；（2）当函数解析式为分式时，要保证分母不为0；（3）当函数解析式为二次根式时，要保证被开方数是非负数；（4）当函数解析式为复合式时，自变量的取值要同时满足多个条件．2．在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】D【解析】试题分析：A 中艺术字是轴对称图形，不是中心对称图形；B 中艺术字是轴对称图形，不是中心对称图形；C 中艺术字不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D 中艺术字是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D ． 【考点】1、中心对称图形；2、轴对称图形．3．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）【答案】A【解析】试题分析：该正方形纸片对折三次后共有8层，中心处剪掉一下等腰直角三角形，展开后纸片中心缺失的角度为458360︒⨯=︒，排除C 、D ；剪切线AB 不平行于纸片边缘，则展开后也一定不平行于纸片边缘，排除B ，故选A ． 【考点】图形的轴对称．4．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”.某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,20，对于这组数据，下列说法错误的是（ ） A ．平均数是15 B ．众数是10 C ．中位数是17 D ．方差是443【答案】C【解析】试题分析：由题意，知平均数为10151017185612+++++=，众数是10，中位数是1517162+=，方差为22222144[2(1015)(1515)(1715)(1815)(2015)]63-+-+-+-+-=，故A 、B 、D 正确，C 错误，故选C ．【考点】数据的收集和处理5．如图，,,A B C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''AC B ∆，则'tan B 的值为（ ）A ．12 B ．13 C ．14D ．24【答案】B【解析】试题分析：过C 点作CD AB ⊥，垂足为D ，则根据旋转性质可知，B B ∠'=∠．在Rt BCD ∆中，1tan 3CD B BD ==t ，所以1tan tan 3B B '==，故选B ．【考点】1、旋转的性质；2、锐角三角函数的定义．6．如图是自行车骑车训练场地的一部分，半圆O 的直径100AB =，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止，设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：设运动员C 的速度为v ，则运动了t 的路程为vt ，设BOC α∠=，当C 运动到M 时，因为50180vt απ⋅==518πα，所以185vtαπ=，在直角三角形中，因为50sin 50sin185vtd πα==，所以在运动员到M 点之前，其d 与t 的关系并不是一次函数，同理可得，运动员从M 点到A 点的过程中，其d 与t 的关系也不是一次函数，只有C 符合题意，故选C ． 【考点】函数图象．【方法点睛】根据几何动点问题判断出函数图象的题目，一般解题思路为：设时间为t ，找出因变量与t 之间存在的函数关系式，并用含t 的式子表示出来，再找相对应的函数图象，需要注意是否需要对自变量的取值范围进行分类讨论．7．如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线(0)ky k x=≠上，将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在该双曲线上，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：作CE y ⊥轴于点E ，交双曲线于点G ，作DF x ⊥轴于点F ，在33y x =-+中，令0x =，得3y =，即(0,3)B ．令0y =，得1x =，即(1,0)A ，所以31OB OA ==，．因为90BAD ∠=︒，所以90BAO DAF ∠+∠=︒，又因为Rt ABO ∆中，90BAO OBA ∠+∠=︒，所以DAF OBA ∠=∠．在OAB ∆和FDA ∆中，DAF OBA BOA AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以OAB FDA ∆∆≌．同理可证得，OAB FDA BEC ∆∆∆≌≌，所以3AF OB EC ===，1DF OA BE ===，故(4,1)D ，(3,4)C ，代入k y x=得4k =，则函数的解析式是4y x=，所以4OE =，则C 的纵坐标是4，把4y =代入4y x=得1x =，即G 的坐标是(1,4)，所以2CG =，所以2a =，故选B ．【考点】1、正方形的性质；2、反比例函数；3、全等三角形的判定与性质；4、待定系数法求函数的解析式．【方法点睛】（1）由于反比例函数的表达式ky x=中只有一个未知数k ，因此只需已知一组对应值就可以求出其解析式；（2）用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数． 8．如图，分别过点(,0)(1,2,,)i P i i n =作x 轴的垂线，交212y x =的图象于点i A ，交直线12y x =-于点i B ，则1122111n nA B A B A B +++的值为（ ）A ．21n n + B ．2 C ．2(1)n n + D ．21n +【答案】A【解析】试题分析：由题意，得2111()(1)222i i A B x x x x =--=+，所以12112()(1)1i i A B x x x x ==-++，所以1122111n nA B A B A B +++＝11111122(1)2(1)223111nn n n n -+-++-=-=+++，故选A ． 【考点】1、二次函数的图象；2、裂项求和法；3、规律探究．二、填空题9．如图，AB AC =，120BAC ∠=︒，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么ADC ∠= ．【答案】60︒ 【解析】试题分析：因为AB AC =，120BAC ∠=︒，所以30B C ∠=∠=︒．因为AB 的垂直平分线交BC 于点D ，所以DB DA =，所以30BAD B ∠=∠=︒，所以60BAD B ADC ∠+∠=∠=︒．【考点】1、线段垂直平分线的性质；2、等腰三角形的性质；3、三角形内角与外角和定理．10．对实数,a b 定义新运算“”如下：,*,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，如3*23=，(5)*22=若210x x +-=的两根为12,x x ，则12*x x = ．51- 【解析】试题分析：因为方程210x x +-=的根为2114(1)15x -±-⨯--±==又因为,*,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，所以1251*2x x -=．【考点】1、一元二次方程的解法；2、新定义．【方法点睛】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②24b ac =；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）【答案】①④【解析】试题分析：由图象知0a >，0c <，=12ba-，即20a b +=，所以0b <，所以0abc >，故①正确；因为二次函数图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ∆=->，即24b ac >，故②错；因为原点O 与对称轴的对应点为(20)，，所以2x =时，0y <，即420a b c ++<，故③错；因为当1x =-时，0y >，所以0a b c -+>，把2b a =-代入得30a c +>，故④正确，故填①④． 【考点】二次函数图象与系数的关系．【技巧点睛】利用图象判断解析式中,,a b c 的正负及它们之间的关系：(1)开口方向判断a 的正负；(2) 与y 轴交点位置判断c 的正负；(3) 对称轴位置判断b 的正负 (左同右异）；(4) 与x 轴交点个数判断24b ac -的正负；(5) 图象上特殊点的位置判断一些函数值正负；(6) 对称轴判断2a b +和2a b -的正负．12．已知两个正数,a b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c 在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若1,3a b ==，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（,m n 为正整数），则m n +的值为 . 【答案】255，21【解析】试题分析：（1）第一次，13137c =⨯++=；第二次，373731c =⨯++=；第三次，317731c =⨯++＝255；（2）第一次，(1)(1)1c pq q p p q =++=++-；第二次，[(1)(1)11](1)1c p q p =++-++-＝2(1)(1)1p q ++-；第三次，2[(1)(1)11][(1)(1)11]1c p q p q =++-+++-+-＝32(1)(1)1p q ++-；第四次，53(1)(1)1c p q =++-；第五次，85(1)(1)1c p q =++-；第六次，138(1)(1)1c p q =++-，所以13821m n +=+=．【考点】推理与证明．三、解答题13．（1）先化简，再求值：222()111a aa a a ++÷+--，其中1a =. （2）已知关于,x y 的二元一次方程2231x y mx y m -=⎧⎨+=-⎩的解满足x y <，求m 的取值范围.【答案】（1）原式31a =+，2；（2）17m <-．【解析】试题分析：（1）首先利用平方差公式将21a -进行因式分解，然后通分化简，最后代值求值；（2）首先通过解二元一次方程组用m 表示出x ，然后根据x y <求出m 的取值范围． 试题解析：（1）原式2212(1)(2)1()1(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a +--++-=+⨯=⨯++-+-31a =+．当1a =时，原式2==． （2）解二元一次方程组2231x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩，得1727x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∵x y <，∴1277m -<-， ∴17m <-，所以n 的取值范围是17m <-． 【考点】1、因式分解；2、分式的运算；3、二元一次方程组的解法；4、不等式的解法． 14．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价，评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图.根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ；补全统计直方图； （2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行，在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率.【答案】（1）030,144；（2）25P =． 【解析】试题分析：（1）首先根据用3－4小时的人数所占比例，求出总人数，然后根据总人数求出2－3小时的人数，从而求出圆心角度数；（2）根据题意列出所有等可能事件，找出两人分在一组的可能情况，从而求出概率．试题解析：（1）620%30÷=，0(303762)30360123026144----÷⨯=÷⨯=， 答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144； 故答案为：030,144； 补全统计图如图所示：小红 小花 1 2 3 4 5 1 （2,1） （3,1） （4,1） （5,1） 2（1,2）（3,2）（4,2）（5,2）3 （1,3） （2,3） （4,3） （5,3）4 （1,4） （2,4） （3,4） （5,4） 5（1,5）（2,5）（3,5）（4,5）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A ， ∴82()205P A ==. 【考点】1、统计图；2、等可能事件的概率．【方法点睛】对于随机事件的概率问题，常用方法有列举法、列表法、树状图等．一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 中包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为()A mP A n=包含的基本事件的＝基本事件的个数总数．15．已知，如图，AB 是圆O 的直径，点C 为圆O 上一点，OF BC ⊥于点F ，交圆O于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且ODB AEC ∠=∠.（1）求证：BD 是圆O 的切线； （2）求证：2CE EH EA =⋅；（3）若圆O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）152．【解析】试题分析：（1）首先根据OF BC ⊥与直角三角形的概念结合圆周角定理推出90ODB DBF ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理得到90OBD ∠=︒，从而使问题得证；（2）连接AC ，然后利用周角定理推出CEH AEC ∆∆，从而根据相似三角形的性质使问题得证；（3）连接BE ，然后根据三角形函数和勾股定理求出Rt ABE ∆的各个边长，再由等腰三角形的性质推出BE CE =，从而由（2）中的结论可求出EH ，进而用勾股定理求解即可．试题解析：（1）证明：∵ODB AEC ∠=∠，AEC ABC ∠=∠，∴ODB ABC ∠=∠， ∵OF BC ⊥，∴90BFD ∠=，∴90ODB DBF ∠+∠=， ∴90ABC DBF ∠+∠=，即90OBD ∠=， ∴BD OB ⊥，∴BD 是圆O 的切线． （2）证明：连接AC ，如图1所示：∵OF BC ⊥，∴弧BE =弧CE ，∴CAE ECB ∠=∠， ∵CEA HEC ∠=∠，∴CEH ∆∽AEC ∆，∴CE EAEH CE=，∴2CE EH EA =⋅. （3）连接BE ，如图2所示，∵AB 是圆O 的直径，∴90AEB ∠=． ∵圆O 的半径为5，3sin 5BAE ∠=， ∴310,sin 1065AB BE AB BAE ==⋅∠=⨯=， ∴22221068EA AB BE =-=-=．∵弧BE =弧CE ，∴6BE CE ==，∵2CE EH EA =⋅，∴26982EH ==． 在Rt BEH ∆中，22229156()22BH BE EH =+=+=.【考点】1、切线的性质；2、直径的性质；3、勾股定理；4、相似三角形的判定与性质．16．大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月多卖20件，为获得更大的利润，现将饰品售价调整为60x +（元/件）（0x >即售价上涨，0x <即售价下降），每月饰品销售为y （件），月利润为w （元）.（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？【答案】（1）30010,03030020,200x x y x x -≤≤⎧=⎨--≤<⎩；（2）当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）销售价格控制在55元到70元之间才能使每月利润不少于6000元．【解析】试题分析：（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案． 试题解析：（1）由题意可得，30010,03030020,200x x y x x -≤≤⎧=⎨--≤<⎩．（2）由题意可得：(20)(30010),030(20)(30020),200x x x w x x x +-≤≤⎧=⎨+--≤<⎩， 化简得：22101006000,030201006000,200x x x w x x x ⎧-++≤≤=⎨--+-≤<⎩， 即2210(5)6250,030520()6125,2002x x w x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-++-≤<⎪⎩， 由题意可知x 应取整数，故当2x =-或3x =-时，61256250w <<，故当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元.（3）由题意6000w ≥，如图，令6000w =，即2600010(5)6250x =--+，25600020()61252x =-++，解得：15x =-，20x =，310x =， 510x -≤≤，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．【考点】二次函数的应用．【方法点睛】利用二次函数解决实际问题的解题步骤为：（1）分析题意，把实际问题转化为数学问题；（2）根据已知列出适当的二次函数的解析式（并注意自变量的取值范围）；（3）根据二次函数的解析式解决具体的实际问题在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．17．如图，把两个全等的Rt AOB ∆和Rt COD ∆分别置于平面直角坐标系中，使直角边,OB OD 在x 轴上，已知点(1,2)A ，过,A C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点,E F . 抛物线2y ax bx c =++经过,,O A C 三点.（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB ∆沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），AOB ∆在平移的过程中与COD ∆重叠部分的面积记为S ，试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）23722y x x =-+；（2）21(,)33P ；（3）38． 【解析】试题分析：（1）由抛物线经过点,,O A C 即可根据待定系数法求得抛物线解析式；（2）首先分别作过点,P M 分别作梯形ABPM 的高，将问题转化为''A B M P y y y y -=-，然后设出点,P M 的坐标，由此通过建立方程求得点P 的坐标；（3）作EK OD ⊥于k ，设点'A 移动的水平距离为m ，由此得到线段,OG GB '的长度，从而通过解直角三角形得到S 关于m 的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求得结果．试题解析：（1）将(1,2),(0,0),(2,1)A O C 分别代入2y ax bx c =++， 得20421a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：37,,022a b c =-==，所以23722y x x =-+. （2）如图1，过点,P M 分别作梯形ABPM 的高'',PP MM ，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么''AM BP =因此，''A B M P y y y y -=-， 直线OC 的解析式为12y x =，设点P 的坐标为1(,)2x x ，那么237(,)22M x x x -+.解方程23712()222x x x --+=，得122,23x x ==， 2x =的几何意义是P 与C 重合，此时梯形不存在，所以21(,)33P .（3）如图2，AOB ∆与COD ∆重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK OD ⊥于k ， 设点'A 移动的水平距离为m ，那么1OG m =+，'GB m =， 在Rt OFG ∆中，11(1)22FG OG m ==+，所以21(1)4OFG S m ∆=+. 在'Rt A HG ∆中，'2AG m =-，所以'111(2)1222HG AG m m ==-=-， 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=， 在Rt OEK ∆中，2OK EK =； 在Rt EHK ∆中，2EK HK =；所以4OK HK =.因此4432332OK OH m m ==⨯=，所以12EK OK m ==， 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=. 于是222213111113(1)()44224228OFG OEH S S S m m m m m ∆∆=-=+-=-++=--+， 因为01m <<，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38. 【考点】1、二次函数的图象与性质；2、直线与抛物线的位置关系．【方法点睛】若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x 、y 的对应数值时，可选用2()0y ax bx c a =++≠求解．因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，所以将已知三点的坐标分别代入2()0y ax bx c a =++≠构成三元一次方程组，解方程组得a b c 、、的值，即可求二次函数解析式．。