第一节巧算有理数(含解答)-
有理数的巧算含答案
2
=
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2
11
=2( - )
(3)
52003 5
4
提示:设 s=5+52+53+…+52002,则 5s=52+53+…+52003.
【例 4】(1)若按奇偶分类,则 22004+32004+72004+92004 是________数; (2)设 a=355,b=444,c=533,则 a、b、c 的大小关系是_______(用“>”号连接); (3)求证:32002+42002 是 5 的倍数. 思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,解与乘方运算有关问题常用到以下知 识:①乘方意义;②乘方法则;③a2n≥0;④an 与 a 的奇偶性相同;⑤在 n4k+r 中(k,r 为非负整 数,n≠0,0≤r<4),当 r=0 时,n4k+r 的个位数字与 n4 的个位数字相同;当 r≠0 时,n4k+r的个 位数字与 nr 的个位数字相同. 解:(1)奇;(2)a>b>c. (3)因为 32002=34×500+2,42002=44×500+2,所以 32002 与 42002 的个位数字分别与 32、42 的个数 数字相同,即 9、6,从而 32002+42002 的个位数字为 5,因此,32002+42002 是 5 的倍数. 【例 5】有人编了一个程序:从 1 开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可 以是乘法),每次加法,将上次运算结果加 2 或加 3;每次乘法,将上次运算结果乘 2 或乘 3,
例题求题
【例 1】现有四个有理数 3,4,-6,10,将这 4 个数(每个数用且只用一次)进行加、减、
有理数的巧算(含答案)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算 3001×2999的值．练习1 计算 103×97的值． 练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．练习4 计算： )1011()311)(211(222-⋯⋯--3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯第一讲有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．例3 计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1． ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解 设S=1+5+52+…+599+5100， ①所以5S=5+52+53+…+5100+5101． ②②—①得4S=5101-1，例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解 由于所以原式=)2010120091()3121()211(-+⋯⋯+-+-=20102009 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．。
培优专题3 有理数的巧算(含答案)-
培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-． 分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]． 解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +）， 知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++． 练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0． 练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5． 练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ． 则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2． 练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201． 方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11， 故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。
中考数学专题讲练 有理数的巧算(解析版)
有理数的巧算一．结合律加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．乘法结合律：三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变．二．分配律乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加 数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变.三．裂项法在一些题型中，需要运用拆项法（也称裂项法）进行简便运算，运用拆项法使得拆项后的一些数能够互相抵消，达到简化运算的目的．常用拆项公式：（1）()11111n n n n =-++； （2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭； （3）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，或()()()()()21112112n n n n n n n =-+++++；（4）11a ba b a b+=+⨯，11b aa b a b-=-⨯．四．换元法我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字（换元法），能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类问题的突破口，其步骤大致分为三步：（1）比对观察：寻找并发现题目中的结构与规律；（2）总结归纳：把数字转化为字母，化繁为简；（3）代数计算：利用代数的方法，仔细地将冗长的题目化难为易，解决问题．一．考点：结合律、分配律、裂项法、换元法．二．重难点：裂项法、换元法．三．易错点：裂项法要注意相邻两数之差是多少．题模一：结合律例1.1.1151515 8124292929⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【解析】该题考查的是有理数巧算．观察该题，发现都含有共同的因数1529-．因此先提取公因数 原式()15812429⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭， 15029⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 0=例1.1.2 计算：()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯【答案】 49.5- 【解析】 ()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 3.2289 3.7729 1.59=-⨯-⨯+⨯ ()3.228 3.772 1.59=--+⨯5.59=-⨯49.5=-．题模二：分配律例1.2.1 计算：1﹣24×（﹣311836+-）． 【答案】 6．【解析】 原式=1+9﹣8+4=6．例1.2.2 阅读下列材料： 计算（﹣130）÷（23﹣110+16﹣25） 解法①：原式=（﹣130）÷23﹣（﹣130）÷110+（﹣130）÷16﹣（﹣130）÷25=﹣120+13﹣15+112=16解法②：原式=（﹣130）÷[（23+16）﹣（110+25）]=（﹣130）÷（56﹣12）=﹣130×3=﹣110 解法③：原式的倒数为（23﹣110+16﹣25）÷（﹣130）=（23﹣110+16﹣25）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故原式=﹣110（1）上面得出的结果不同，其中肯定有错误的解法，你认为解法_____是错误的．在正确的解法中，你认为解法_____最简便，该解法运用的运算律是_____．（2）请计算：（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）． 【答案】 （1）①；③；乘法分配律（2）﹣18【解析】 （1）上面得出的结果不同，有错误的解法，我认为解法①是错误的．在正确的解法中，我认为解法③最简便，该解法运用的运算律是乘法分配律．（2）∵（16﹣314+23﹣37）÷（﹣142） =（16﹣314+23﹣37）×（﹣42） =16×（﹣42）﹣314×（﹣42）+23×（﹣42）﹣37×（﹣42） =﹣7+9﹣28+18=﹣8 ∴（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）=﹣18题模三：裂项求和例1.3.1 已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111112220132013ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】 20142015【解析】 由220ab a -+-=知，2a =，1b =． 原式11111111111201411223342014201522334201420152015=++++=-+-+-++-=⨯⨯⨯⨯ 例1.3.2 计算：15791113151261220304256-+-+-+ 【答案】 98 【解析】 15791113151261220304256-+-+-+ 1223344556677812233445566778+++++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111112233445566778⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111112233445566778=+--++--++--++ 118=+ 98=． 题模四：换元法例1.4.1 计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】 12012【解析】 设111232012a =+++，111232011b =+++．则原式()()1112012a b b a a ab b ab a b =+-+=+--=-=．随练1.1 计算：()()()32419151515171717-⨯+-⨯--⨯ 【答案】 15-【解析】 提取公因数．()()()32419324191515151515171717171717⎛⎫-⨯+-⨯--⨯=-⨯+-=- ⎪⎝⎭． 随练1.2 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 【解析】 该题考查的是实数的混合运算． 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 357364912⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭()395473=-⨯-⨯+⨯272021=--+26=-随练1.3 计算：1517()(36)126369-+--⨯- 【答案】 2【解析】 该题考查的是有理数的综合运算．原式()()()()151736363636126369=-⨯-+⨯--⨯--⨯- 330128=-++=2随练1.4 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】 91216- 【解析】 ()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()91285416⎛⎫=-⨯---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 912116⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 91216=-．随练1.5 阅读材料：计算：12112()()3031065-÷-+- 解法1：原式＝1211215111()()()()()3303610530623010⎡⎤-÷++--=-÷-=-⨯=-⎢⎥⎣⎦； 解法2：原式的倒数为：()21121211230310653031065⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20351210=-+-+=-， 故原式＝110-。
八年级上册数学-第一讲有理数的巧算
例2、计算（能使用简便方法哦）
（1）211×555+445×789+555×789+211×445
（2）1002×998
（3）103×97×10009 (4) (2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)
的值
第三讲“设而不求”的未知数
• 所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元 素，它是我们为解决问题增设的一些参数， 它能起到沟通数量关系，架起连接已知量 和未知量的桥梁作用
x y z • 例1：若 ，求 x a b bc c a
y z的值
• 例2：甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平 均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23， 21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的 差是多少？ （提示：先设四个人的年龄列出方程）
n 1
第二讲 求代数式的值
• 具体求解代数式的值得问题时，对于较简 单的问题，代入直接计算并不困难，但对 于较复杂的代数式，往往是先化简，然后 再求值，所以这一讲结合例题看看代数式 求值的常用技巧
• 例1：已知a=3b,c=5a,求
abc abc
的值
•ห้องสมุดไป่ตู้
xy 3 x 5 xy 3 y 2 例2：已知 x y ，求 x 3 xy y 的值
第一讲
有理数的巧算
有理数的运算是中学数学中一切运算的 基础，它要求同学们在理解有理数的有 关概念、法则的基础上，能根据法则、 公式等迅速、正确地进行运算
1、括号的使用（去掉或者添上括号，以此来改变运算的
次序，使复杂的问题变得简单）
第一讲 有理数的巧算
第一讲 有理数的巧算【讲义解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯.2、有理数的相关概念和性质法则：⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律； ⑵凑整法； ⑶拆项法（裂项相消）； ⑷分组相约法； ⑸倒序相加法； ⑹错位相减法； ⑺换元法； ⑻观察探究、归纳法.【专题精讲】【例1】计算：32333333251233()0.750.5()1()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-.【练习】计算：（1）999998998999998999999998⨯-⨯；（2）121121(111315)()()(111315)111315111315⨯⨯⨯-++-+÷⨯⨯；（3）2123246...23()15721014...57n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅.【例2】计算：（1）123456789101112...2013201420152016.--++--++--+++--+（2）12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-.【练习】计算：（1）12345678910...2017+--++--++-+；（2）201510012016100015(0.75)( 1.2)(1)()36-⨯-⨯-⨯-.【例3】计算：（1）11111++++...+2612209900； （2）11111 (4287013010300)+++++.【练习】计算：（1）4812164000...1335577919992001-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯；（2）1111+++...+135357579301303305⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（3）111320152+...+1111111(1)(1+(1)(1+(1+223232015++++））...）.【反思】一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可用裂项相消法求值.【常见裂项公式】① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()(1)(1)211n n n n =--+-+； ③ 1111()()n n d d n n d =-++； ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++. 【例4】计算：20151111+++...+2482 .【练习】2320151+2+2+2+ (2)+【例5】计算： 1121231232015+()()...(...)2334442016201620162016++++++++++.【练习】159...7997++++.【反思】一般地，等差数列求和，可用倒序相加法.【例6】计算：2320151111+++ (3333)【练习】2320151111+++...+5555.【反思】一般地，等比数列求和，可用错位相减法.【例7】计算：11111111111111(1...)(...)(1...)(...)23201523420162320162342015++++++++-++++++++【练习】（1）1111111111(...)(1...)(1...)( (2320002199922000231999)+++++-++++++；（2）11191008551(152627)(315355)1733201517332015+-÷+-= .【例8】请你归纳出3333123...n ++++的公式，并计算3333123...200++++的值.【练习】计算：（1）1111(1)(1)(1)...(1)2016201520141000---⋅⋅-；（2）1111(1)(1)(1)...(1)13243520152017+++⋅⋅+⨯⨯⨯⨯；（3）1111...1+21+2+31+2+3+ (100)+++.。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。
3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。
5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。
竞赛推免第一讲：巧算有理数
第一讲：巧算有理数一、巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。
例1 计算：(1)719998-×16；(2)11311()()63641248--+-÷-解析(1)原式＝1 (2000)8--×16＝－(3200－2) ＝－31998(2)原式＝－1131()48636412--+-⨯＝－(－8－43＋36－4)＝－2223.点评:(1)像719998、2003等数字在参与运算时，往往将其写成120008-、2000＋3的形式；(2)利用乘法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。
二、有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.例 2 把199191199292,,,199292199393----四个分数按从小到大的顺序排列是.解析：1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+ 1111199319929392,, 199219919291199219919291 199219919291199219919291,. 199319929392199319929392 <<<∴<<<∴>>>∴-<-<-<-而点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律；11n nn n-<+(n是正整数)，如12342345<<<<⋅⋅⋅三、有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求其中的规律，往往可以为解题开辟新的途径.1.倒序相加法例3计算：(1)1＋2＋3＋…＋2003＋2004；(2)1－2＋3－4＋…＋2003－2004.解析(1)设S＝1＋2＋3＋…＋2003＋2004 ①则S＝2004＋2003＋…＋3＋2＋1 ②①＋②，得2S ＝(1＋2004)＋(2＋2003)＋…＋(2004＋1)＝2005＋2005＋…＋2005 (共2004个2005)＝2005×2004，∴S ＝200520042⨯＝2009010， 即原式＝2009010.(2)原式＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2003一2004)＝－1－1－…－1(共1002个－1)＝－1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用a 1表示；最后一项叫末项，通常用a n 表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。
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实数在初中阶段，我们从有理数开始逐步对实数有了认识，知识有理数和无理数统称实数，并掌握了有关有理数、无理数的运算．我们关于数学问题的讨论范围，也慢慢地从有理数到了实数．关于实数其数系如下表所示：实数⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数整数0负整数有理数有限小数或无限循环数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数在本章中，我们主要讨论有理数的重要概念（相反数和绝对值）的应用，以及有理数运算中的一些技巧，并对有理数中的整数，从知识拓展的角度，研究整数的性质，如整除性、质数与合数、完全平方数等．然后对实数的另一部分无理数的一些运算，进行适当强化，应对升入高一级学校继续学习的需求．第一节巧算有理数内容讲解当负数引进后，数的范围扩大到有理数，我们学习了有理数及其运算．在实际进行有理数运算时，常常根据算式的特点，分析参加运算的各数的特征和排序规律．试一试用运算律，或者改变一下排序，以及采取有条件地先算一部分，后再算另一部分等不同方法．巧妙地简化运算过程，机智地获得解答，达到提高观察和分析能力的目的．例题剖析例1 计算135295 37373737++++．分析：容易看出，分母相同，分子是1，3，5，…，295都是奇数．而1+295•恰好是37的8倍．如果把这个式子“倒过来写”，两式处于相同位置的项相加其和均为8．•注意到这样的和有74个，问题容易得解．解：原式=13529537373737++++ =（12953737+）+（32933737+）+…（1471493737+） =74×29637=592． 评注：本例求和可用公式S=1()2n n a a +．其中a 1表示首项，a n 表示末项，n 表示项数．上式中的两项和（12953737+），…，（1471493737+），共有74个，即项数的一半2n ． 例2 计算（12+13+…+12006）（1+12+…+12005）-（1+12+…＋12006）（12＋13＋…＋12005）． 分析：观察上式括号内的各项，把两式各加上1就与另外两式相同．根据这一特点，可用字母代换而化简．解：设x=1+12＋…＋12005，y=1+12＋…＋12006，则y-x=12006． 原式=（y-1）x-y （x-1）=xy-x-xy+y=y-x ．∴原式=12006． 评注：观察问题中各算式的特点，巧妙地用字母进行代换，使问题大大简化，变得易解．例3 计算1200500001个×2006999个9-12006999个9．分析：我们采取“同形缩数”的办法，先解决计算101×99-199的问题，容易得知，这个问题可仿照（100+1）×99-199=9900+99-199=9900-100=9800来做，然后类比，原式易解．解：原式=（120060000个0+1）×2006999个9-12006999个9 =2006999个92006000个0+2006999个9-2006999个9 =2006999个92006000个0-12006000个0 =20059998个92006000个0评注：在本例的计算中，应用了乘法分配律和加法结合律，使看似复杂的问题，经类比，较容易地找到了解题方法．例4 计算121321432198761()()()()112123123412349+-+-++-+-++-+-++。
分析：把式中各括号里的数排成下表，再观察表中这些数的特征，容易发现，只要利用交换律、结合律重新分组，把分母相同的数放在一组里（如表中斜行里的数），就容易求出和来． 11 2112-321123- 43211234-- ... (9)87721123389-- 解：原式＝（129111+++）-（128222+++）+（127333+++）-…-（1288+）+19=11（1+2+…9）-12（1+2+…+8）+13（1+2+…+7）-…-18（1+2）+19=45-12×36+13×28-14×21+…-38+19=45-18+282110633467-+-+-38+19=335504评注：按一定规律将求和式中的各数，重新分组排序，是解决这类求和问题的关键．例5 计算20062007200720062006200620072007 2552⨯-⨯分析：考虑到同分母时分子的特殊性，可简化运算，化繁为易．解：原式＝110×20062007×20072006-110×20062006×20072007=110（20062006+1）×20072006-110（20072006+1）×20062006＝（2007**）=110×10000=1000．评注：一般地，由关系式（a+1）b-（b+1）a=b-a，本例中a=20062006，b=20072007，容易得到答案．巩固练习1．填空题：（1）计算-21285314-×78331+78331×0.375-78331×18-=________．（2）求和123384 55555555++++=________．（3）计算1-2+3-4+5-6+7-…+4999-5000=________．（4）计算66666×55555-66665×22222=________．2．选择题：（1）计算3-6+9-12+…-2007等于（）（A）1005 （B）1004 （C）1003 （D）-2007（2）计算2005-{2004-2005×[2004-2003×（2004-2005）2006]}得（）（A）2003 （B）2004 （C）2005 （D）20063．将1，-12,13,-14,1156，-,…按一定规律排成下表：1 第1行-1213第2行-141156-第3行111178910--第4行111111112131415--第5行……那么第11行中，自左向右数第5的一个数是多少？求第63行中，自右向左数第11的一个数与1的和．4．五个数（-1），（-2），（-3），1，2中，设其中各个数之和为N1，•任选两数之积的和为N2，任选三个数之积的和为N3，任选四个数之积的和为N4，五个数之积为N5，求和N1+N2+N3+N4+N5．5．计算：1+12+13+23+14+223123412594445555606060+++++++++++的和．6．计算2-22+23-24+25-26+…+-22006． 7．观察按下列规律排成的一列数：1，12，2123123412345113214321543216，，，，，，，，，，，，，，…在这列数中，从左起第n个数记为F（n），当F（n）=22007时，求n的值和这n个数的积．8．用2007减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…，依此类推，•直到最后减去余下的12007，经过一系列相减后，求最后得到的差数．答案:1．（1）-100；（2）1344；（3）-2500；（4）2222200000 2．（1）A；（2）D．3．第5的一个数是-160；自右向左数第11的一个数为-12006，与1的和为20052006．4．和为（-3）+（-5）+15+4+（-12）=-1．5．886 6．23（1-22006）．7．这列数可分组（1），（12，21），（13，2321，），（12344321，，，），…各组数的个数依次为1，2，3，4，…．按此规律22007应在第2008组（12320082008200720061，，，，），中，该组前面共有1+2+3+…+2007=2015028个数，∴F（n）=22007时，n=2015028+2=•2015030．又因各组的数之积为1，所以这2015030个数的积为121 200820072015028⨯=．8．最后得到的差数是1．。