2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x1234f（x）2341f′（x）3421g（x）3142g′（x）2413则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•=．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x（﹣∞﹣﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）1）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k=﹣+a k=﹣，得a k+1=﹣，则由a k+1即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
北京市2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
北京101中学2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】，对应的点位于第一象限.本题选择A 选项. 2. 设的导函数为，则的值为A. B. C.D.【答案】C 【解析】本题选择C 选项. 3. 用反证法．．．证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A 【解析】因为方程至少有一实根等价于方程的实根个数大于或等于，因此要做的假设是方程没有实根，故选A .4. 若，则的解集为A. B.C. D.【答案】B..又因为的定义域为，所以，即得则的解集为.本题选择B选项.5. 把10个相同的小球分成三堆，要求每一堆至少有1个，至多5个，则不同的方法共有A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种【答案】C【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法，即1和4，2和3个有两种方法.三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法.即2和4；3和3两种方法. 三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的.所以不同的分法共有2+2=4.本题选择C选项.6. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为A. 80B. 72C. 60D. 40【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论：①甲和乙都排在丙的左侧，将甲乙安排在丙的左侧，考虑甲乙之间的顺序，有2种情况，排好后有4个空位，在4个空位中选一个安排丁，有4种情况，排好后有5个空位，在5个空位中选一个安排戊，有5种情况，则甲和乙都排在丙的左侧的情况有2×4×5=40种，②甲和乙都排在丙的右侧，同理有40种不同的排法；故甲和乙都排在丙的同一侧的排法种数为40+40=80种；本题选择A选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．7. 某校高一新生中的五名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团. 若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“相声社”，则不同的参加方法的种数为A. 216B. 180C. 108D. 72【答案】B【解析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“相声社”，则其有3种情况，再分析其他4人,若甲与另外1人参加同一个社团,则有种情况，若甲是1个人参加一个社团,则有种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种.本题选择B选项.8. 设函数，若函数的图象与函数的图象在区间内有交点，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】满足题意时，方程在区间内存在实数解，即：在区间内存在实数解，令，则函数与函数的图像在区间内有交点，由函数的解析式可得：，，由指数函数的性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，的最小值为，据此可得函数是定义在区间上的单调递增函数，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是.本题选择A选项.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. 已知⊙O上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为____________.【答案】120【解析】圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，故一共可以画的三角形个数为.10. 如图，阴影区域是由函数的一段图象与轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是_____________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，阴影区域的面积是．考点：定积分．11. 若复数是纯虚数，则实数___________.【答案】【解析】∵复数是纯虚数，解得.12. 已知展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是____.【答案】-560【解析】展开式的二项式系数之和为128，，解得；∴展开式的通项公式为，令，解得；∴展开式中含项的系数是点睛：二项式定理揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式T r＋1＝a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．13. 若函数在处取得极大值10，则的值为__________.【答案】【解析】∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意符合；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，与题意不符；∴=﹣2，故答案为：﹣2．14. 如图，在平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）处：点（1，0）处标b1，点（1，-1）处标b2，点（0，-1）处标b3，点（-1，-1）处标b4，点（-1，0）处标b5，点（-1，1）处标b6，点（0，1）处标b7，…，以此类推，则b2017处的格点的坐标为________.【答案】（15，22 ）【解析】逐圈考查所给数的性质，第一圈为：，共有个数，且坐标为，第二圈为：，共有个数，且坐标为，第三圈为：，共有个数，且坐标为，据此归纳可知，第圈共有个数，且最后一个数的坐标为，考查数列求和：，当时，，当时，，且坐标为，而，，据此可知b2017处的格点的坐标为.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 将甲、乙、丙、丁四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且甲不排在第一，乙不排在第二，丙不排在第三，丁不排在第四，比如：“乙甲丁丙”是满足要求的一种排法，试写出他们四个人所有不同的排法.【答案】答案见解析【解析】试题分析：由题意可知：第一只能排乙、丙、丁中的一个，据此可分为三类，然后写出所有可能的结果即可.试题解析：由于甲不排在第一，所以第一只能排乙、丙、丁中的一个，据此可分为三类：乙甲丁丙丙甲丁乙丁甲乙丙乙丙丁甲丙丁甲乙丁丙甲乙乙丁甲丙丙丁乙甲丁丙乙甲所以他们四个人共有9种不同的排法.16. 设，，令，，.（1）写出，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想a n＝（n∈N+）；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意结合函数的解析式计算可得a2＝f（a1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜想a n＝（n∈N+）；（2）首先证明n＝1时，猜想正确. 然后假设n＝k时猜想正确，即a k＝，证明n＝k＋1时猜想正确即可证得题中的结论.试题解析：（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜想a n＝（n∈N+）；（2）证明：①易知，n＝1时，猜想正确.②假设n＝k时猜想正确，即a k＝，则a k＋1＝f（a k）＝=.这说明n＝k＋1时猜想正确.由①②知，对于任何n∈N+，都有a n＝.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．17. 设.（1）求的单调区间；（2）求在[-5，]的最大值与最小值.【答案】(1)单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；(2)f （x）取最小值是0，f （x）取最大值是63.【解析】试题分析：（1）求导可得f ′（x）= -（x＋2）（3x-2），利用导函数研究函数的单调性可得单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；（2）由题意结合(1)的结论考查极值和端点处的函数值可得x= -2时，f （x）取最小值0，x= -5时，f （x）取最大值63.试题解析：（1）f ′（x）= -（x＋2）（3x-2），令f ′（x）＞0得-2＜x＜，令f ′（x）＜0得x＜-2或x＞，∴单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；（2）由单调性可知，当x= -2时，f （x）有极小值f （-2）=0，当x=时，f （x）有极大值f （）=；又f （-5）=63，f （）=，∴x= -2时，f （x）取最小值0，x= -5时，f （x）取最大值63.18. 设函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；（3）证明：不等式对于一切的恒成立.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）当时，，利用导函数研究函数的切线方程可得在点处的切线方程为；（2）原问题等价于恒成立.构造函数，，则，结合函数的单调性可得，故的取值范围是；（3）原问题等价于.构造函数，则.结合(2)的结论可知.故，从而有对于一切的恒成立.试题解析：（1）当时，，则，故，切线方程为：；（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.设，，得，当时，，所以在上单调递减，所以时，.因为恒成立，所以；（3）当时，，等价于.设，.求导，得.由（2）可知，时，恒成立.所以时，，有，所以.所以在上单调递增，当时，.因此当时，.19. 已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)的极小值是，没有极大值；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值；（2），则，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增；（3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零”结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：.试题解析：（1）的定义域为，当时，，，所以的极小值是，没有极大值；（2），，①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增；（3）“对内任意一个，都有成立”等价于“函数在上的最小值大于零”由（2）可知①当时，在上单调递增，所以，解得；②当，即时，在上单调递减，所以的最小值为可得，因为，所以；③当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得，所以；④当，即时，可得最小值为，因为，，所以，故，恒成立.综上讨论可得所求的范围是：.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．11。
北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分 只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分 只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二： 把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分 因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分 即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分 当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分 即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分 综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二： 因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分 所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数， 而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞） 所以函数()f x 只有一个零点…………………8分 当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==， 当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<， 所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点， 而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分 当0a >，其中10x =<（舍） 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时， 则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时 则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分 综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
【精品】2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)
顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，
则小明不同的完成方法种数为（
）
A．55
B． 90
C．425
D． 512
【分析】 根据题意，分析可得小明最少需要 1 天完成，最多需要 10 天完成，据
此分 10 种情况讨论：分别求出每一种情况的完成方法数目，由加法原理计算可
得答案．
D．? a∈ R，使得函数 f（x）的极值点也是 g（x）的极值点
【分析】 对于 A：根据函数零点存在定理即可判断，
对于 B，根据极值，方程的根，函数零点的关系即可判断，
对于 C：当 a=0 时， g（ 0） =f（0）=0，
对于 D：根据极值点和方程根的关系即可判断． 【解答】 解：函数 f （x） =x3+ax2﹣ax，g（x）=f ′（x） =3x2+2ax﹣a， 若当函数 g（ x）只有一个零点，则△ =4a2+12a=0，解得 a=0 或 a=﹣ 3，
⑩ ，小明 10 天完成，即 1 天完成 1 道题目，有 1 种完成方法，
则
一
共
有
1+C92+C93+C94+C95+C9 6+C97+C98+1=C91+C92+C93+C94+C95+C96+C97+C98+C99=29=512
故选： D．
【点评】 本题考查分类计数原理的应用，注意正确的分类讨论，属于中档题．
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（Ⅰ）若函数 f （x）为单调函数，求实数 a 的最大值； （Ⅱ）如果函数 f（ x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围．
北京海淀2016-2017年高二下期中考试数学理及答案
海淀区高二年级第二学期期中考试数 学 （理科） 2017.4一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 复数13-i 的虚部为（ ）A. 3iB. 1C. 3D. 3- 2.1d x x =⎰（ ）A. 0B.12C. 1D. 12-3. 若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A. 2-B. 2C. 2i -D. 2i4. 若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数 （ ）A.可以不存在B.至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5. 定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A. 只有三个极大值点，无极小值点B. 有两个极大值点，一个极小值点C. 有一个极大值点，两个极小值点D. 无极大值点，只有三个极小值点6. 函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 12-C. 12D. 12或12- 7. 函数(21)xy e x =-的大致图象是 （ ）8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。
调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1） 甲同学没有加入“楹联社”; （2） 乙同学没有加入“汉服社”;（3） 加入“楹联社”的那名同学不在高二年级; （4） 加入“汉服社”的那名同学在高一年级; （5） 乙同学不在高三年级。
试问：丙同学所在的社团是 （ ） A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 在复平面内，复数1-ii对应的点的坐标为 . 10. 设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：x1 2 3 4 ()f x 2 3 4 1 ()f x '3 4 2 1 ()g x 3 1 4 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ;函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ． 11. 如图，()1sin f x x =+，则阴影部分面积是 .12. 如图，函数()f x 的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点，试用“>，=，<”填空： （1）(4)(2)2f f -______(12)(8)4f f -；（2）(6)f '______(10)f '.13. 已知平面向量 ，，那么 ；空间向量 ，，那么 ．由此推广到 维向量：，，那么 ．14. 函数()e ln xf x a x =-（其中a ∈R ）① a ∃∈R ，使得直线e y x =为函数()f x 的一条切线； ② 对0a ∀<，函数()f x 的导函数()f x '无零点； ③ 对0a ∀<，函数()f x 总存在零点；则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值.16．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N .（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R . （Ⅰ）求证/；当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）设(1)() In t x f x e t x -=-，(0)t >（Ⅰ）若1t =，证明1x =是函数()f x 的极小值点； （Ⅱ）求证：()0f x ≥.海淀区高二年级第二学期期中参考答案 2017.4数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,1)-- 10. 31y x =-；12 11. 2π+ 12. (1) >； (2) < 13. 1122n n a b a b a b ⋅+++a b = 14. ①②③三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）解：'2()369f x x x =-- ………………………………（2分） )3)(1(3)32(3 2-+=--=x x x x令'()0f x =，得11-=x .；32=x ……………………………（3分）当x 变化时，)(x f ,'()f x 在区间(,)-∞+∞上的变化状态如下：x()1,-∞-1-()3,1-3()+∞,3'()f x +0 -+)(x f↗极大↘极小↗…………………………………（6分）所以)(x f 的单调递增区间是()1,-∞-，()+∞,3；单调递减区间是()3,1-. ………………………………（7分）…（Ⅱ）因为(2)0f -=，(2)20f =-， ………………………（9分） 再结合)(x f 的单调性可知，函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值为20-. ………………（10分）16．（Ⅰ）由题意11a =，212a a +=，3231a a +=-，4322a a +=-解得：221a =-，332a =-，423a =-………………………（3分）（Ⅱ）猜想：对任意的*n ∈N ，1n a n n =--………………………（4分）① 当1n =时，由11111a ==--,猜想成立. ………………………（5分）② 假设当k n = （∈k N *）时，猜想成立，即1--=k k a k ……………………（6分）则由111--+=++k k a a k k ，得k k a k -+=+11 ………………………（9分）即当1+=k n 时，猜想成立由①、②可知，对任意的*n ∈N ，猜想成立，即数列{}n a 的通项公式为1n a n n =-- ……………………（10分）17.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域是()+∞,0． ………………（1分） 当1a =时，1()2In f x x x x=--函数'221()1f x x x =-+ ………………（3分） 2212x x x +-=()0122≥-=xx ， ………………（5分） 所以函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增.所以当1a =时，函数()y f x =没有极值点. ……………（6分）（Ⅱ）'21()1a af x x x+=-+， ()+∞∈,0x ………………（7分） ()221x a x a x ++-=()()21x a x x --=. 令'()0f x =，得a x x ==21,1 .………………（8分） ① 0≤a 时，由'()0f x >可得1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()+∞,1； ………………（9分） ② 当10<<a 时，由'()0f x >可得a x <<0，或1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()a ,0，()+∞,1； ……………（10分） ③ 当1>a 时，由'()0f x >可得10<<x ，或a x>，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a ； ………………（11分） ④ 当1=a 时，由（Ⅰ）可知函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. ………………（12分）综上所述，当0≤a 时，函数()y f x =的增区间是()+∞,1；当10<<a 时，所以函数)(x f y =的增区间是),0(a ，),1(+∞； 当1=a 时，函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增； 当1>a 时，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a .18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………（ 1分） 若1=t ，则1()ln x f x e x -=-，'11()x f x ex-=-． ………………（2分） 因为'(1)0f =， ………………（3分）且10<<x 时，xe ex 1101<=<-，即'()0f x <，所以()f x 在)1,0(上单调递减； ………………（4分）1>x 时，xe e x 1101>=>-，即'()0f x >，所以()f x 在),1(+∞上单调递增； ………………（5分）所以1=x 是函数)(x f 的极小值点； ………………（6分）（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，0t >.'(1)(1)1()()t x t x t f x te t e x x --=-=-． ………………（7分）令(1)1()t x g x e x -=-，则'(1)21()0t x g x te x-=+>，故()g x 单调递增． ………………（8分）又(1)0g =， ………………（9分） 当1x >时，()g x ＞0，因而'()f x ＞0，()f x 单增，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞；当01x <<时，()g x ＜0，因而'()f x ＜0，()f x 单减，即()f x 的单调递减区间为(0,1)． ………………（11分） 所以()+∞∈,0x 时，()(1)10f x f ≥=≥成立. ………………（12分）。
2017-2018年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
，
sin260°+sin2120°+sin2180°=
，请你根据上面的计算结果，猜想 sin2α+sin2
（α+60°）+sin2（α+120°）=
．
12．（4 分）函数 f（x）=ex（x2+ax+a）在区间（0，1）上存在极值，则 a 的取值
范围是
13．（4 分）不等式
的解集为
．
14．（4 分）已知函数
和 y 轴上．设点 A（x，y），记矩形 ABCD 的面积为 f（x）．
（Ⅰ）求函数 f（x）的解析式并指明定义域；
（Ⅱ）求函数 f（x）的最大值．
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16．（10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且
．
（Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值； （Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an． 解：（Ⅰ） （Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容． 证明：要证 n≥2 时，an+1≤an
和点 P（1，0），过点 P 作曲线 y=f（x）的
两条切线 PM，PN，切点分别为 M，N，则直线 MN 的斜率等于
．
三、解答题：本大题共 4 小题，共 44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
15．（12 分）如图，曲边三角形中，线段 OP 是直线 y=2x 的一部分，曲线段 PQ
是抛物线 y=﹣x2+4 的一部分．矩形 ABCD 的顶点分别在线段 OP，曲线段 PQ
中错误的是（ ）
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A．当函数 g（x）只有一个零点时，函数 f（x）也只有一个零点
北京市海淀区学年高二下期中考试数学理试题(有答案)(新课标人教版)
海淀区高二年级第二学期期中练习数 学〔理科〕2021.4学校 班级 姓名 成绩本卷子共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每题4分,共32分. 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.复数12i z =-的虚部是A. 2-B. 2C.2i -D. 2i 2.以下导数运算错误的选项是．．．．．．〔 〕 A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如下列图，则()f x 的极大值点的个数为〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.假设函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-，则以下关系肯定成立的是〔 〕A.(2)0f >B. (0)(1)f f >C. (2)(1)f f <D. (2)(3)f f > 5. 两个命题：:p “假设复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .〞:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.〞其真假情况是〔 〕A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真6．假设小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =〔g 为常数〕，该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为〔 〕 A ．2vv > B ．2v v < C ．2v v = D ．不能确定7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y . ① k 的取值范围是1(0,)e. ② 1211k x x <<.为负.③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒以上结论中全部正确结论的序号是〔 〕 A.① B.①② C.①③ D.②③图象8.函数32()f x ax bx cx d =+++，其导函数的图象如下列图，则函数()f x 的可能是〔 〕二、填空题：本大题共4小题, 每题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2ii=_________. 10．2(3)x dx -=⎰_____________.11.()1xf x x =- ，则'()f x =______________． 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.〔本小题12分〕函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的局部值如下表所示：依据表中数据，答复以下问题：〔Ⅰ〕实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．〔将答案填写在横线上〕. 〔Ⅱ〕求实数a ，b 的值.〔Ⅲ〕假设()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围. 14.〔本小题10分〕如图，四棱锥B ACDE -的底面ACDE 满足 DE //AC ，AC =2DE . 〔Ⅰ〕假设DC ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，求证：平面ABE ⊥平面BCD ; 〔Ⅱ〕求证：在平面ABE 内不存在直线与DC 平行；某同学用分析法证明第〔1〕问，用反证法证明第 〔2〕问，证明过程如下，请你在横线上填上适宜的内容. 〔Ⅰ〕证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，只需证_______________________________， 由AB ⊥BC ，只需证_________________， 由DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立， 所以平面ABE ⊥平面BCD .〔Ⅱ〕证明：假设________________________________________，又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE 平面ABE =AE ,所以__________________，又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =，这与_______________________________矛盾，所以假设错误，原结论正确. 15.〔本小题12分〕函数()ln f x x ax =+〔a ∈R 〕.〔Ⅰ〕假设函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行，求实数a 的值及该切线方程； 〔Ⅱ〕假设对任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围.16. 〔本小题8分〕请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .假设数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求的值.问题2：数集}()1212,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .假设数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. 〔本小题10分〕函数1()(0)f x x x=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =.〔Ⅰ〕求1x ；〔Ⅱ〕猜想n x 的表达式〔用n 表示〕，并用数学归纳法证明.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数 学〔理科〕 2021.4一、选择题：本大题共8小题， 每题4分，共32分.AABD CC C D二、填空题：本大题共4小题， 每题4分，共16分.9.2i - 10. 4- 11. 21(1)x -- 12. 1三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.〔本小题12分〕〔Ⅰ〕6，3. ------------------------------------------------------------------4分〔Ⅱ〕解：2'()32f x ax bx c =++，--------------------------------------------------------------5分由表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩---------------------------------------------7分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，-----------------------8分 由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞，------------------------------------------------9分 因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ------------------------------------------------------11分 所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.-----------------------------------------------------12分 14.〔本小题10分〕，分 由AB----------------------------------------------------4分由DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立， 所以平面ABE ⊥平面BCD .------------------------------------6分又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE 平面ABE =AE ,------------------------------------------8分 又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =-----------------------------------------------10分 所以假设错误，原结论正确. 15.〔本小题12分〕〔Ⅰ〕解：11'()ax f x a x x+=+=，0x >.----------------------------------------------------------2分 由可得'(1)12f a =+=，解得1a =.---------------------------------------------------3分因为(1)1f =，所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x =-.------------------------4分 〔Ⅱ〕解1：假设对任意),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，即1ln xa x-≤成立.------------6分 设1ln ()xg x x -=， --------------------------------------------------------------7分 2ln 2'()x g x x-=，令'()0g x =，解得2e x =， 则'(),()g x g x 的情况如下：---------------------------------------------9分 所以()g x 的最小值为22(e )e g -=-， ------------------------------------------10分 所以，依题意只需实数a 满足2e a -≤-，---------------------------------------11分故所求a 的取值范围是2(,e ]--∞-. --------------------------------------------12分 解2：当0a ≥时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞又因为11(1)ln(1)11f a a a+=+++>，所以不符题意，舍.--------------------6分当0a <时，令'()0f x =，得1x a=-.----------------------------------------------7分 所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示：-----------------------------------------9分所以()f x 的最大值为1()f a -，------------------------------------------------------10分所以，依题意只需11()ln()11f a a-=--≤即可，解得2e a -≤-.---------------11分综上，a 的取值范围是2(,e ]--∞-.---------------------------------------------------12分16. 〔本小题8分〕解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a +>，443a a +>，441a a +>-----------------2分所以44a a -,43a -,41a -,41a a -都属于该集合.--------------------------------------------4分 又因为14013a a ≤<<<，所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.-----------------------6分 所以1440a a a =-=,431a -=,------------------------------------------------------------------7分 即140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------------8分 17. 〔本小题10分〕〔Ⅰ〕解：由题意知，12(())2()i i i i iC x f x x x =+=+(1,2,,)i n =，所以12i iiS x x =+(1,2,,)i n =.--------------------------------------------------------------1分 令i ＝1，得11112S x x =+，又11S x =，且1x ＞0，故11x=.---------------------------------------------------------------2分 〔Ⅱ〕解：令i ＝2，得22212Sx x =+，又212S x x =+，11x =，且2x ＞0，故21x =；------------------------------------3分 令i ＝3，得33312S x x =+， 又3123S x xx =++，11x =，21x =，且3x ＞0，故3x =----------4分 由此猜想，n x =n ∈N +).-------------------------------------------------------5分 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，11x =，命题成立；---------------------------------------------------------6分 ②假设n ＝k 时命题成立，即k x =k ∈N+)， -----------------------------7分 则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k kS x x =+， 故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+， 由k x =，得21110k k x +++-=，--------------------------------------8分所以1k x +=).-------------------------------------------9分 即当n ＝k ＋1时命题成立。
高二数学下学期期中试题理扫描版北师大版
北京市海淀区高二数学下学期期中试题理（扫描版）海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．D 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．2a =-，12b =10．1a ≥ 11．4312．313．①②④ 14．()31327xf x x =+； 2(0,)31n -（每空2分）三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）22()4f x a x ax b '=-+………………2分 由题意(0)3f b '==………………4分（Ⅱ）由函数()f x 在1x =处取得极大值 2(1)430f a a '∴=-+=解得1a =或3a = ………………6分①当1a =时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极大值，符合题意………………8分②当3a =时，2()91233(31)(1)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意. 综上所述，若函数()f x 在1x =处取得极大值，a 的值为1. ………………10分16.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，当3n ≥时，121()2n n n x x x --=+ ………………2分 （Ⅱ）10x =，2x a =，3211()22a x x x =+=，43213()24ax x x =+=121a x x a ∴=-=，2322a a x x =-=-，3434aa x x =-= ………………4分 推测1(2)n n aa -=-………………6分y方法一证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=- ……………….9分又10a a =>Q {}n a ∴是以a 为首项，以12-为公比的等比数列.故111()2(2)n n n aa a --=⋅-=-………………10分方法二下面用数学归纳法证明： ① 当11111=()2n a a a -==⋅-时，，1(2)n n a a -=-成立 ……….………………7分 ② 假设当(1,)n k k k =≥∈N 时，1(2)n n aa -=-成立，即11()2k ka a -=⋅-， 则1时，n k =+11+2112k k k k k k x x a x x x +++++=-=-12k k x x +-= +11111()()22k k k x x a -+=--=⋅-，所以1时，n k =+1(2)n n aa -=-成立. …………..…….9分由①②可知，数列{}n a 的通项公式为1*1(),2n n a a n N -=⋅-∈ ……………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD由已知可得AF AD ⊥且AF ⊂平面ADEF∴AF ⊥平面ABCD……………2分又AB AD ⊥如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -(0,0,0)A，(4,0,0)B ，C ，E所以，有(BE =-u u u r，AC =u u u r(0BE AC ⋅=-⋅=u u u r u u u rBE AC ∴⊥u u u r u u u r，BE AC ∴⊥ ………………4分（Ⅱ）由已知可得,AD CD AD DE ⊥⊥，所以平面CED 的一个法向量为1(0,1,0)=n ………………5分 设平面BCE 的法向量为2(,,)x y z =n ，则有220420020BE x z BC x ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩n n u u u ru u ur ，不妨令1y =， 所以平面BCE的一个法向量为2=n . ……………7分121212cos ,||⋅<>=⋅n n n n |n |n由已知可得所求二面角B CE D --的余弦值为………………………………9分 （Ⅲ）设(0,0,)P z ，02z ≤≤，(4,0,)BP z =-u u u r设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有020020AE z AC x ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩n n u u u r u u ur ，不妨令1y =，则 平面ACE的一个法向量为(=n , ………………11分由(4,0,)(0BP z =-⋅=n u u u rg ，解得4z =，不符合题意,即线段AF 上不存在点P ，使得BP ∥平面ACE ………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞ , ………………1分当2a =-时，214'()x f x x-=， ………………3分因为11()ln 2022f =--<，所以，此时，在定义域上()0f x <， 所以函数()f x 的零点个数为0. ………………………………………………….6分 （Ⅱ）1(1)(21)()2(2)ax x f x ax a x x--'=-++=, ………………8分①当0a ≤时,………9分②当02a <<时,……..10分③当2a =时，2(21)()0x f x x-'=≥对(0,)x ∈+∞恒成立,且仅当1=时'()0f x =所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ……………11分 ④当2a >时…12分综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2，单调递减区间是1(,)2+∞；当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2和1(,)a+∞，单调递减区间是11(,)2a；当2a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a和1(,)2+∞，单调递减区间是11(,)2a .说明：本题第二问不列表也可以。
2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1?z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么?=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么?=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么?=．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①?a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对?a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对?a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1?z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知?=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则?a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，?a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对?a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k=﹣则由a k+a k=﹣，得a k+1=﹣，+1即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
【配套K12】北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题理
北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题理第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合|(1)0A x x x ，集合|0Bx x，则A B （）A ．|1x x B ．|1x x C ．|0x xD ．|0x x 2.已知复数()z i a bi （a ，bR ），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（）A ．22ab B ．ab C ．0a，0b D ．0a ，0b 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）A ．0B ．3C ．6D ．84.设a ，b R ，若a b ，则（）A ．11abB ．22abC ．lg lg ab D ．sin sin a b5.已知10a xdx ，120b x dx ，10c xdx ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．ab c B ．a cb C ．ba c D ．c a b6.已知曲线C ：2222xtyat（t 为参数），(1,0)A ，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP，则实数a 的取值范围为（）A ．22,22B ．1,1C ．2,2D ．2,27.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ；项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ；项目④：打开后（如图3），检查123490；项目⑤：打开后（如图3），检查''''ABA B C D CD ．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列n a 满足245a a a ，48a ，则公比q ，前n 项和nS ．10.已知1(2,0)F ，2(2,0)F ，满足12||||||2PF PF 的动点P 的轨迹方程为．11.在ABC 中，cos c a B ．①A；②若1sin 3C，则cos()B ．12.若非零向量a ，b 满足()0a a b ，2||||a b ，则向量a ，b 夹角的大小为．13.已知函数21,0,()cos ,0.x x f x x x若关于x 的方程()0f x a 在(0,)内有唯一实根，则实数a 的最小值是．14.已知实数u ，v ，x ，y 满足221uv，10,220,2,xy xy x则zux vy 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知3是函数2()2cos sin 21f x xa x 的一个零点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约 6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月天津24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26 上海322733313031323330323030（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）．17.如图，由直三棱柱111ABCA B C 和四棱锥11D BB C C 构成的几何体中，90BAC，1AB ，12BCBB ，15C DCD，平面1CC D平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1ACDC ；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3？若存在，求BP BC的值，若不存在，说明理由．18.已知函数2()24(1)ln(1)f x xaxa x ，其中实数3a ．（Ⅰ）判断1x 是否为函数()f x 的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若()0f x 在区间0,1上恒成立，求a 的取值范围．19.已知椭圆G ：2212xy，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.已知含有n 个元素的正整数集12,,,n Aa a a …（12n a a a …，3n ）具有性质P ：对任意不大于()S A （其中12()n S A a a a …）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ．（Ⅰ）写出1a ，2a 的值；（Ⅱ）证明：“1a ，2a ，…，n a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A ”；（Ⅲ）若()2017S A ，求当n 取最小值时n a 的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5:ADBBC 6-8:CDB二、填空题9.2，21n10.2213yx11.90，1312.120 13.1214.22三、解答题15.解：（Ⅰ）由题意可知()03f ，即22()2cossin10333f a ，即213()2()10322f a ，解得3a．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 3sin 21f x xx cos23sin 22xx52sin(2)26x，函数sin y x 的递增区间为2,222kk，k Z ．由5222262k x k，k Z ，得236kxk，kZ ，所以，()f x 的单调递增区间为2,36kk，kZ ．16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大．（Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，82()123P A ．（Ⅲ）X 的数学期望8EX．17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABCA B C 中，1CC 平面ABC ，故1ACCC ，由平面1CC D 平面11ACC A ，且平面1CC D平面111ACC A CC ，所以AC平面1CC D ，又1C D 平面1CC D ，所以1ACDC ．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA 平面ABC ，所以1AA AB ，1AA AC ，又90BAC ，所以，如图建立空间直角坐标系Axyz ，依据已知条件可得(0,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(2,3,0)C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B ，(1,3,2)D ，所以1(2,0,0)BB ，(1,3,1)BD，设平面1DBB 的法向量为(,,)nx y z ，由10,0,n BB n BD即20,30,x xyz令1y ，则3z，0x ，于是(0,1,3)n ，因为M 为1DC 中点，所以3(,3,1)2M ，所以3(,3,1)2AM ，由3(,3,1)(0,1,3)02AM n ，可得AM n ，所以AM 与平面1DBB 所成角为0，即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D 的法向量为(0,1,3)n．设BPBC ，0,1，则(0,3,1)P ，(1,33,1)DP ．若直线DP 与平面1DBB 成角为3，则2|||23|3|cos ,|2||||2445n DP n DP n DP ，解得50,14，故不存在这样的点．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x xax a x 可得函数()f x 定义域为(1,)．4(1)'()221a f x x ax 22(1)(2)1x a x a x ，令2()(1)(2)g x xa x a，经验证(1)0g ，因为3a ，所以()0g x 的判别式222(1)4(2)69(3)0a a aa a ，由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点，所以1是'()f x 的异号零点，所以1x 是函数()f x 的极值点．（Ⅱ）已知(0)0f ，因为2(1)(2)'()1x xaf x x ，又因为3a ，所以21a ，所以当2a时，在区间0,1上'()0f x ，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x 恒成立；当23a 时，在区间0,2a 上'()0f x ，所以函数()f x 单调递增，所以(2)(0)0f a f ，所以不等式不能恒成立；所以2a 时，有()0f x 在区间0,1恒成立．19.解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F ，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1yx ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221,1,2yx x y解得110,1,x y 224,31.3x y 所以AB 中点21(,)33M ，于是直线OM 的斜率为113223．（Ⅱ）假设存在直线l ，使得2||||||AM CM DM 成立．当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M ，所以2||2AM ，||||(21)(21)1CM DM ，矛盾；故可设直线l 的方程为(1)(0)yk x k，联立椭圆G 的方程，得2222(21)42(1)0kx k xk ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122421k x x k ，21222(1)21k x x k ，于是21212222(1)(1)222121y y x x k kk k kk，点M 的坐标为2222(,)2121kkkk，22222221222242(1)22(1)||(1)()1()4212121k k k AB k x x k kkk.直线CD 的方程为12yx k，联立椭圆G 的方程，得222421k xk，设00(,)C x y ，则2222222141||(1)421k OC x y x kk，由题知，222||4||||4(||||)(||||)4(||||)AB CM DM CO OM CO OM CO OM ，即22222222228(1)41(41)4()(21)21(21)k k k k kkk，化简，得212k，故22k，所以直线l 的方程为2(1)2yx ，2(1)2y x .20.解：（Ⅰ）11a ，22a .（Ⅱ）先证必要性：因为11a ，22a ，又1a ，2a ，…，n a 成等差数列，故na n ，所以(1)()2n n S A ；再证充分性：因为12n a a a …，1a ，2a ，…，n a 为正整数数列，故有11a ，22a ，33a ，44a ，…，na n ，所以12(1)()122nn n S A a a a n……，又(1)()2n n S A ，故ma m （1m，2，…，n ），故1a ，2a ，…，n a 为等差数列．（Ⅲ）先证明12m ma （1m ，2，…，n ）．假设存在12p pa ，且p 为最小的正整数．依题意3p ，则121pa a a …2112221p p …，，又因为12n a a a …，故当1(21,)p p k a 时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即12m m a （1m ，2，…，n ）成立．因此112201712221n nna a a ……，即22018n，所以11n ．因为2017S，则1212017nn a a a a …，若20171n n a a 时，则当(2017,)n n k a a 时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ，故20171nna a ，即1009na .此时可构造集合1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A .因为当2,21k 时，k 可以等于集合1,2中若干个元素的和；教育配套资料K12教育配套资料K12 故当22222,21,22,23k 时，k 可以等于集合21,2,2中若干不同元素的和；……故当88882,21,22,,2255k …时，k 可以等于集合81,2,,2…中若干不同元素的和；故当4973,4974,,497511k …时，k 可以等于集合81,2,,2,497…中若干不同元素的和；故当1009,10091,10092,,10091008k …时，k 可以等于集合81,2,,2,497,1009…中若干不同元素的和，所以集合1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A 满足题设，所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009．。