基向量法解决立体几何问题
一、用空间向量解决立体几何问题的思路1.坐标法2.基向量法如果在
一、用空间向量解决立体几何问题的思路1．坐标法：2．基向量法如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决．二、空间中的角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．1．异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得．而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得．2．平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的，这个角就是斜线和平面所成的角．3．作二面角的平面角的常用方法有：(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角．(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)．(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角．三、空间的距离1．(1)两点间的距离——连结两点的线段的长度．(2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．(3)点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．(4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．(5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．(6)直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．(7)两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长度．2．求距离的一般方法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：①找出或作出有关距离的图形；②证明它符合定义；③在平面图形内计算．空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．四、平面的法向量1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．2．求平面的法向量的方法二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1．用向量方法研究两直线间的位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(1)l1∥l2或l1与l2重合⇔a∥b⇔存在实数t，使a＝t b.(2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0.2．用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量．(1)l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2⇔a·n＝0.(2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数t，使a＝t n.l⊥α⇔⎩⎨⎧a⊥v1a⊥v2⇔⎩⎨⎧a·v1＝0a·v2＝03．用向量方法研究两个平面的位置关系设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.(1)α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2⇔存在实数t ，使n 1＝t n 2. (2)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.若v 1、v 2是与α平行的两个不共线向量，n 是平面β的法向量．则①α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β⇔存在实数λ、μ，对β内任一向量a ，有a ＝λv 1＋μv 2. ②α⊥β⇔⎩⎨⎧n ⊥v 1n ⊥v 2⇔⎩⎨⎧n ·v 1＝0n ·v 2＝0三、用向量法求空间的角 1．求异面直线所成的角设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ，则〈a ，b 〉与θ相等或互补， ∴cos θ＝|a ·b ||a |·|b |. 2．求直线与平面所成的角如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.3．求二面角平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.※四、用向量法求空间距离 1．求点到平面的距离如图所示，已知点B (x 0，y 0，z 0)，平面α内一点A (x 1，y 1，z 1)，平面α的一个法向量n ，直线AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉，则sin φ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n ||AB →|cos θ，∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →|·|cos θ|＝|n ·AB →||n |.2．求异面直线间的距离如右图，若CD 是异面直线a 、b 的公垂线，A 、B 分别为a 、b 上的任意两点，令向量n ⊥a ，n ⊥b ，则n ∥CD .则由AB →＝AC →＋CD →＋DB →得，AB →·n ＝AC →·n ＋CD →·n ＋DB →·n ，∴AB →·n ＝CD →·n ∴|AB →·n |＝|CD →|·|n | ∴|CD →|＝|AB →·n ||n |∴两异面直线a 、b 间的距离为d ＝|AB →·n ||n |.3．求直线到平面的距离设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A 作AC ⊥α，垂足为C ，则AC →∥n ，∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n，∴|AB →·n |＝|AC →|·|n |.∴直线a 到平面α的距离d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |.4．求两平行平面间的距离(1)用公式d ＝|AB →·n ||n |求，n 为两平行平面的一个法向量，A 、B 分别为两平面上的任意两点．(2)转化为点面距或线面距求解．。
纵观立体几何考题感悟向量方法解题
纵观立体几何考题感悟向量方法解题在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。
立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。
但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。
本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。
一、向量的基本概念及运算向量的表示法是用箭头表示。
箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。
向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。
向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。
向量的运算有向量加法和向量数乘。
向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。
其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。
向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。
其中，$\lambda$是一个实数。
二、应用向量方法求解空间几何问题1.立体几何基本概念首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。
此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。
了解这些概念是建立解题基础的必要条件。
2.向量表达式的转化在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。
因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。
2021_2022高中数学第三章空间向量与立体几何2立体几何中的向量方法1教案新人教A版选修2_
立体几何中的向量方法【教学目标】1. 向量运算在几何证明与计算中的应用；2. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。
【导入新课】 复习引入1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a ba b⋅⋅，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题。
新授课阶段例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥。
证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －。
∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =。
∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D间的距离。
解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥。
由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD )＝22222cos120b a b b +++＝22a b +。
高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何
⾼中数学知识点总结⼤全空间向量与⽴体⼏何⾼中数学知识点总结空间向量与⽴体⼏何⼀、考点概要：1、空间向量及其运算（1）空间向量的基本知识：①定义：空间向量的定义和平⾯向量⼀样，那些具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量，并且仍⽤有向线段表⽰空间向量，且⽅向相同、长度相等的有向线段表⽰相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共⾯，那么对于空间任⼀向量，存在唯⼀的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的⼀个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间⼀个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ单位正交基底：当⼀个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常⽤表⽰。
ⅳ空间四点共⾯：设O、A、B、C是不共⾯的四点，则对空间中任意⼀点P，都存在唯⼀的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量（平⾏向量）：ⅰ定义：如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线互相平⾏或重合，则这些向量叫做共线向量或平⾏向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平⾏的充要条件是：存在实数λ，使。
④共⾯向量：ⅰ定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量；空间的任意两个向量都是共⾯向量。
ⅱ向量与平⾯平⾏：如果直线OA平⾏于平⾯或在α内，则说向量平⾏于平⾯α，记作。
平⾏于同⼀平⾯的向量，也是共⾯向量。
ⅲ共⾯向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共⾯的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共⾯的条件：当、、都是⾮零向量时，共⾯向量定理实际上也是、、所在的三条直线共⾯的充要条件，但⽤于判定时，还需要证明其中⼀条直线上有⼀点在另两条直线所确定的平⾯内。
ⅴ共⾯向量定理的推论：空间⼀点P在平⾯MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意⼀定点O，有。
⑤空间两向量的夹⾓：已知两个⾮零向量、，在空间任取⼀点O，作，（两个向量的起点⼀定要相同），则叫做向量与的夹⾓，记作，且。
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。
在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。
本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。
通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。
同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。
正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。
结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。
1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。
通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。
希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。
2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。
在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。
在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。
点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。
高三立体几何大题专题（用空间向量解决立体几何类问题）
1【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++u r r r r,,a b c r r r称为基向量。
称为基向量。
2、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量k j i ρρρ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。
则轴。
则a xi y j zk =++r r r r（x,y,z ）称为空间直角坐标。
）称为空间直角坐标。
注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。
建立即可。
3、空间向量运算的坐标表示、空间向量运算的坐标表示(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±r r()111,,a x y z λλλλ=r 121212a b x x y y z z ⋅=++r r 错误!未找到引用源。
121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r222111a a a x y z =⋅=++r r r ．a b ⋅r r =a rcos ,b a b 〈〉r r r ．cos ,a b a b a b ⋅〈〉=r r r r r r121212222222111222cos ,x x y y z za b a b ab x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++r r r r r r (2)(2)设设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r r r(3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z zAB =AB =-+-+-u u u r二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。
空间向量基底法在立体几何问题中的应用
空间向量基底法在立体几何问题中的应用
空间向量基底法是一种数学方法，可以用来解决立体几何问题。
它可以用来求解立体几何中的向量，如面积、体积、角度和距离等。
空间向量基底法的应用可以分为两个部分，一个是计算向量，另一个是计算向量之间的关系。
计算向量的方法是通过定义一组基向量，然后将所有的向量表示为这组基向量的线性组合，从而计算出所有的向量。
计算向量之间的关系的方法是通过定义一组基向量，然后将所有的向量表示为这组基向量的线性组合，从而计算出向量之间的关系。
空间向量基底法在立体几何中的应用有很多，比如可以用来计算平面、曲面、曲线、空间曲线和空间曲面的面积、体积、角度和距离等。
此外，它还可以用来计算多边形、曲面、曲线和空间曲线的外接圆半径和内接圆半径等。
基向量法解决立体几何问题
基向量法解决立体几何问题教学目标：能够用基向量法解决立体几何中证明求解的问题教学重点：基底建模.教学难点：基底建模.教学过程:问：空间向量基本定理的内容是什么？它的作用是什么？答：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.作用：能将空间中任意向量用其他不共面向量表示。
引例：已知空间四边形OABC中，/ AOB=Z BOC=Z AOC,且OA=OB=OC.M , 分别是OA, BC的中点，G是MN的中点. 求证：OG丄BC.【分析】要证0G丄BC,只须证明OG・BC = 0即■可.而要证OG • BC = 0，必须把OG、BC用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为/ AOB= / BOC= / AOC,且OA=OB=OC , 因此可选OA,OB,OC为已知的基向量.【过程】略总结：基底建模法.根据题意在立体几何图形中选定一个基底，然后将所需的向量用此基底表示出来，再利用向量的运算进行求解或证明，这就是基底建模法。
它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法例1:平行六面体ABC D ABCD中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60° .(1)求AG的长；⑵求BD与AC夹角的余弦值.A B练习：三棱柱ABC- ABC 中，AA1 丄底面ABC AB= BC= AA, / ABC= 90°,点E、F分别是棱AB BB的中点，求直线EF和BC所成的角是例2：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB = 4, AC = 6，BD = 8,求CD的长小结：在四面体、平行六面体等图形中，当不易找到（或作出）从一点出发的三条两两垂直的直线建立直坐标系时，可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底，并用它们表示出指定的向量，再利用向量的运算证明平行和垂直，求解角和距离。
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基向量法解决立体几何问题
◆ 教学目标：能够用基向量法解决立体几何中证明求解的问题。
◆ 教学重点：基底建模.
◆ 教学难点：基底建模.
◆ 教学过程:
问：空间向量基本定理的内容是什么？它的作用是什么？
答：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数
组x 、y 、z ,使p =x a + y b + z c .
作用：能将空间中任意向量用其他不共面向量表示。
引例：已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC .M ，
分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点. 求证：OG ⊥BC .
【分析】 要证OG ⊥BC ，只须证明0=∙BC OG 即
可. 而要证0=∙BC OG ,必须把OG 、BC 用一组
已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB =∠
BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC ，因此可选
OC OB OA ,,为已知的基向量.
【过程】略
总结：基底建模法.
根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法。
它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法.
例1：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两夹
角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．
练习：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、
F 分别是棱AB 、BB 1的中点，求直线EF 和BC 1所成的角是
例2：如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长
小结：在四面体、平行六面体等图形中,当不易找到（或作出）从一点出发的三条两两垂直的直线建立直坐标系时,可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底,并用它们表示出指定的向量,再利用向量的运算证明平行和垂直,求解角和距离。
“基底建模法”可作为空间直角坐标系的一个补充（尤其是在传统几何法难作辅助线，向量坐标法又难以建系时）,掌握该方法可有效地提高利用空间向量解决立体几何问题的能力
作业：P107 ：T1，T2
课后反思： B A C D α
β
B。