第二章 射影变换-第四节 一维射影变换课件ppt课件
一、一维射影变换
1、定义 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换. [π'], 且[π]=[π']. 则φ称为一维基本形[π]上的 即若φ: [π] 一个射影变换. 注：为方便理解, 常把一个 一维基本型看作两个“重叠” 的一维基本形. 据Steiner作图法, 一个一维 射影变换可由3次透视对应得 到.
a11 a12 0,
a21 a22
0
(2.10)
其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的.
(ad bc 0)
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的 参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 b1 d b3 d (ad bc)(1 3 ) 1 '3 ' . a1 c a3 c (a1 c)(a3 c) 同法可以求出λ2'–λ4', λ2'–λ3', λ1'–λ4', 得到 (1 '3 ' )(2 '4 ' ) (1 3 )(2 4 ) . (2 '3 ' )(1 '4 ' ) (2 3 )(1 4 )
a2 (b c) d 0,
(ad bc 0)
(2.14)
立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类：
相异实根 相异实不变元 双曲型 0 0 (2.14)有两个 相同实根 (2.13)有两个 相同实不变元 称为 抛物型 0 共轭虚根 共轭虚不变元 椭圆型
§ 2.4 一维射影变换
例1. 设A1A2A3为坐标三点形, O(1, 1, 1). A2O×A1A3=A, P是A2A3 上的动点, PO×A1A2=Q, QA×A2A3=P'. 若P, P'的齐次坐标分别为 (0,λ,1), (0,λ',1). 求(P)到(P')的射影变换的方程和不变元素. 解. 显然, P=A3+λA2, P'=A3+λ'A2. 所以, 只要 求出λ, λ'的关系式. A2 (0,1,0) A2O：x1 x3 0 A(1,0,1). O (1,1,1)
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义
2、代数表示
(1). 坐标表示 x1 ' a11 x1 a12 x2 x2 ' a21 x1 a22 x2 (2). 参数表示 定义. 形如 axx'bx cx'd 0 的方程称为关于x, x'的双线性方程.
§ 2.4 一维射影变换
二、一维射影变换的分类
1、分类 设有射影变换 : a 'b c 'd 0, (ad bc 0) (2.13) 若存在0 R, 使a2 0 (b c)0 d 0, 则称A+λ0B为φ的一个不变元素. 定理2.17 在实复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一 个不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素. 证明. 在(2.13)中, 令λ=λ'. 则有一维射影变换的不变元素方程
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) (2.13) 注1、(2.13)对于线束的射影变换同样适用. 注2、(2.13)对于一般射影对应适用. 只要将λ, λ'作为对应元素 对于各自基本形中取定基元素的参数. 因此, (2.13)可以作为一维 射影对应的参数定义.
P(0, ,1),O(1,1,1) PO : (1 ) x1 x2 x3 0. P' (0, ' ,1), A(1,0,1) P' A : ' x1 x2 ' x3 0.
PO P' A 共点于 Q 变换式： '1 0.
§ 2.4 一维射影变换
二、一维射影变换的分类
1、分类 2、性质 (1). 双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18 对于双曲、椭圆型射影变换, 任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值, 称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量. 证明. 设X, Y为两个不变元素, P≠P'为任一对相异的对应元素. 设 X, Y, P, P'的坐标依次为x, y, x+y, x+μy. 则这四点的参数依次为0, ∞, 1, μ. 于是 0 0 a 'b c ' d 0 d 0.
1 1 1 ab c d 0 a 0. ' ' b 1 b c 0 . c 1 c 从而, ( XY , PP' ) 常数. b
§ 2.4 一维射影变换
二、一维射影变换的分类
1、分类 2、性质 (1). 双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18 对于双曲、椭圆型射影变换, 任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值, 称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量. (2). 抛物型射影变换 定理2.19 抛物型射影变换的不变元参数α与任一对相异的对应 元素的参数λ, λ'满足 1 1 k (常数 ). ' 证明. 略(见教材).
射影定理PPT课件
4
4
（4）CD= 3 cm,BC= 2 3cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
AC BC
AD CD
CA CD CB AD
3.不能。只能证明 CDB ∽
ACB
。
CDAB
若已知 ABC是直角三角形。ACB 90， 则能推出
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
B A
A B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 RtABC的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C DB
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
CEF ∽ CBA.
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBAC.
F
证法二：
1
RtCDF中，CD为外接圆的直径
RtCDE中，CD为外接圆的直径
E2 AD
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
RtCDB
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
高等几何课件上课版PPT课件
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
29
4、特殊的仿射变换
正交变换
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
称为透视仿射对应。 注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交 点称为自对应点。
14
两条直线间的透视仿射对应
a
C B A
o L
A/ B/ C/
b
特征：对应点的连线互相平行
15
两个平面间的透视仿射对应
A1 B1
C1
1
M对应点的连线互相平行
16
第一章、仿射坐标与仿射变换
2、单比
31
例1 证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线
• 证明：设变换为：T:
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
:u
u1
u2
,l2
:
v
v1
v2
l1
//
l2
u
v即
u1 u2
v1 v2
u1' u2'
A
u1 u2
A
v1 v2
A
v1 v2
•且
o', e1' , e2' 在{o;e1, e2}下的坐标分别为： （a13, a23), (a11, a21), (a12, a22 )
26
平比行不四变边，形 故POP' 在x P坐Py变标为系平{O行';四e1' ,边e2' }形中O的'P坐x'P标P，y为' 且(保x,y)持单
射影几何学
射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。
一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。
这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。
这门几何学就是射影几何学。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。
那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。
在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。
这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。
在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。
稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。
1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。
他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。
射影几何学
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。
通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。
德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。
这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。
交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。
在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。
这两个图形叫做对偶图形。
在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。
这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。
在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。
同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。
比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
21 射影直线和射影平面精品PPT课件
同一直线上点的集合
(1)' 线束 平面上过同一点的直线的集合
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
底
元素
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p)
线束中心
元素
2、二维基本形 (2) 点场
同一平面上点的集合
(2)' 线场 同一平面上直线的集合
π称为点场的底， 其上的点称为元素.
直线l与l分别交三直线于A, B,C与A, B,C，
并使 OA OB 且 OA OB ， 于是， ( ABC) AC OA ，
BC OB ( ABC) AC OA ，
BC OB 所以， ( ABC) 1， ( ABC) 1
即， ( ABC) ( ABC)
A
A a
O
CB l
C
B l
b c
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P,
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
添加无穷远直线后的平面称为仿射平面; 若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面 称为射影平面（拓广平面）
射影几何入门
本书介绍了射影几何的基本概念，包括点、直线、平面等基本元素，以及射 影变换、对合等基本运算。这些基本概念是射影几何的基础，对于后续的学习和 理解至关重要。
本书详细阐述了射影几何的基本定理，包括帕斯卡定理、布列安桑定理等。 这些定理是射影几何的核心，它们揭示了射影几何中各种元素之间的关系和性质。 通过学习和理解这些定理，读者可以深入了解射影几何的原理和方法。
《射影几何入门》这本书的目录结构清晰、完整，由浅入深地引导读者逐步 进入射影几何的世界。通过本书的学习，读者不仅可以掌握射影几何的基本理论 知识和方法，还能提高数学思维和解决问题的能力。
作者简介
作者简介
这是《射影几何入门》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
感谢观看
本书还介绍了投影变换的概念和方法，包括中心投影、平行投影等。这些变 换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到 二维平面上，从而方便我们分析和研究。
本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这 些性质是射影几何中的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。
内容摘要
这些变换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到二维平面 上，从而方便我们分析和研究。 本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这些性质是射影几何中 的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。 《射影几何入门》这本书是一本很好的入门书籍，它可以帮助读者了解和掌握射影几何的基本原 理和方法。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影几何的基础知识，为进一步的学习和研究打 下坚实的基础。
《射影几何入门》是一本非常优秀的教材，它不仅介绍了射影几何的基础知 识，还提供了许多有趣的例子和难题。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影 几何的本质和应用，提高自己的数学素养和能力。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
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感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
一维射影变换
§ 6.1 一维基本形的射影对应
例3. 如果三点形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同 一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在一条定直线上. 证明 显然,
(B,B1,B2,…) 于是, R(B,B1,B2,…)
(P )
(C,C1,C2,…) Q(C,C1,C2,…)
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(4) Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三对相异 的对应元素, 求作任一元素的对应元素.
(5) 思考：将(4)中 “点列” 改为 “一维基本形”. (6) 定理2.2 两个一维基本形间的射影对应可由已知相 异的三对对应元素唯一确定.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(3). 线束↔线束. 对应直线交点共线.
S (a, b, c,...)
(s)
S ' (a' , b' , c' ,...)
透视轴
注
(1)透视关系具有对称性，但它不具有传递性. (2) 透视对应是一个保交比的双射. (3) 连续两次透视对应的结果不一定仍是透视对应 .
§ 6.1 一维基本形的射影对应
一、透视对应(中心射影)
定义 以下三种对应称为一维基本形之间的透视对应
(1). 点列↔线束. 对应元素是关 联的.
s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...)
透视中心
(2). 点列↔点列. 对应点连线共点.
s( A, B, C ,...)
(S)
s' ( A' , B' , C' ,...)
A恰为上述两射影点列对应直线 的交点.
射影几何入门
(一) 1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形 118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系 1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数 1712. 一阶与二阶无穷集 1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线 1816. 平面系和点系 1917. 空间中的所有平面 1918. 空间中的所有点 2019. 空间系 2020. 空间中的所有直线 2021. 点与数之间的对应 2022. 无穷远元素 22（二）1-1对应基本形之间的关系 2523. 七种基本形 2524. 射影性 2525. Desargues 定理 2626. 关于二个完全四边形的基本定理 2727. 定理的重要性 2828. 定理的重述 2829. 四调和点概念 2930. 调和共轭的对称性 3031. 概念的重要性 3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线 3134. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 3236. 可射影性的定义 3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭 3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法 3541. 平行线与中点 3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系 3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式 3846. 非调和比（交比） 39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况 4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列 4452. 无公共自对应点的射影相关点列 4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列 4756. 轨迹的退化 4857. 两阶线束 4858. 退化情况 4859. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 4960. 二阶点列与二阶线束 4962. 切线 5063. 轨迹生成问题的陈述 5064. 基本问题的解决 5165. 图形的不同构作法 5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线 5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理 5469. Pascal定理 5470. Pascal定理中点的名称的替换 5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定 5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线 5775. 圆锥线的切线 5876. 内接四边形 5977. 内接的三角形 6078. 退化圆锥线 61(五)二阶线束 6379. 已定义的二阶射线束 6380. 圆的切线 6381. 圆锥曲线的切线 6582. 系统的生成点列线 6583. 线束的确定 6584. Brianchon定理 6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形 6989. 外切三边形 7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线 7192. 可射影性和可透视性 7193. 退化情况 7294. 对偶律 72(六) 极点和极线 7595. 关于圆的极点和极线 7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹 7797. 更多的性质 7898. 极点极线的定义 7899. 极点与极线的基本定理78100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79 103. 射影相关的极点与极线80104. 对偶性 81105. 自对偶定理 81106. 其他对应关系 82 (七) 圆锥曲线的度量性质83107. 直径与中心 83108. 相关的几个定理 83 109. 共轭直径 84110. 圆锥曲线的分类 84 111. 渐近线 84112. 有关的几个定理 85 113. 关于渐近线的定理 85115. 由双曲线及其渐近线切割的弦 86116. 定理的应用 86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119. 抛物线方程 88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理 95122. 线性作图法 96123. 直线上点的对合的定义97124. 对合中的二重点 97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99126. 退化圆锥线 100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128. 二重对应 100129. Steiner的作图方法101130. Steiner作图法在重对应中的应用 102131. 二阶点列中点的对合103132. 射线的对合 104133. 二重射线 105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135. 双重对应 105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理 106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107 (九) 对合的度量性质 109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心 109142. 基本度量定理 109 143. 二重点的存在 110 144. 二重射线的存在 112 145. 通过圆来构筑对合 112146. 圆点 113147. 对合中的正交射线对, 圆对合 114148. 圆锥线的轴 114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150. 圆点的性质 115151. 圆点的位置 116152. 寻找圆锥曲线的焦点117153. 圆和抛物线 117154. 圆锥线焦点性质 118 155. 抛物线的情况 119 156. 抛物面反射镜 119 157. 准线．主轴．顶点 119158. 圆锥线的另一种定义120159. 离心率 120160. 焦距之和与差 121 (十) 综合射影几何的历史123161. 早期成果 123162. 统一性原理 124163. Desargues 124164. 极点与极线 125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125166. 推广到空间的极点与极线理论 126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法 126168. Desargues 工作的被接纳127169. Desargues时代的保守性127170. Desargues的写作风格128171. Desargues工作缺乏欣赏129172. Pascal与他的定理 129 173. Pascal的短评 130174. Pascal的独创性 130 175. De La Hire和他的工作131176. Descartes和他的影响132177. Newton和Maclaurin 133178. Maclaurin的证法 133 179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作 136 183. 解析几何妥欠综合几何的债 137184. Steiner和他的工作137185. Von Staudt和他的工作138186. 近期的发展 139附录 140参考文献148索引 151第1章 1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。
射影。仿射变换的基本知识
射影变换的基本知识定义设为平面上的四个共线点，称两个单比和的比为这四点的交比或复比，记作，其中和称为基础点对，和称为分点对。
定义如果四点的交比，则称点对和调和分离点对和，或称点对与点对调和共轭，这时也称为的第四调和点，交比值称为调和比。
定理：中心射影保持共线四点的交比不变证明：如图为射影中心直线上任意四点在中心射影下的像分别是直线上的设的垂直于的高长度为，的垂直于的长度为则于是同理于是故定义如果平面上的点变换使共线三点还变成共线三点，并且保持共线四点的交比不变，称此变换为平面上的射影变换。
因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些变换都是射影变换。
射影变换的基本不变性质：定理：平面上全部射影变换的集合构成群证明：（1）设是平面上的两个射影变换，是共线四点据定义有且且所以仍是射影变换（2）设是平面的上射影变换且且所以是射影变换故平面上全部射影变换的集合构成群称之为射影变换群，仿射变换群、相似变换群、正交变换群都是它的子群。
§2.6 几个重要的变换群下面讨论正交变换（运动）、相似变换、仿射变换、射影变换，以及它们的基本性质。
这些变换群可以决定四种不同的几何学，即欧氏几何学、相似几何学、仿射几何学和射影几何学。
一、正交变换群定义：平面上保持两点间距离不变的点变换称为正交变换或运动。
即将平面上的点建立一一对应，且对于平面上任意两点，若其对应点分别为，则对应线段的长度。
正交变换具有的基本不变的性质（1）正交变换把直线变成直线，并且保持点和直线的结合关系和共线三点的介于关系。
证明：设是直线上有序的三点，它们共线的充要条件为如果正交变换把它们依次变为，则有于是因此在同一直线上。
就是说，共线点变成共线点，直线变成直线。
（2）正交变换把不共线的点变成不共线的点证明：设为不共线三点，则三点不共线充要条件为如果它们依次变为，则有于是因此不共线由（1）、（2）知，正交变换把相交直线变成相交直线，把角变成角。