3.3刚体定轴转动中的功与能

−1 1
解：以 ω 和 ω 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
1 2
ω = (1 − 0 .2 )ω = 0.8ω
2 1
2
2
2πn ω = = 8πrad ⋅ s 60
1 1
−1
1
1 1 1 由转动动能定理 A = Jω − Jω = Jω (0 .8 − 1) 2 2 2 1 又 J = mr A = −5 .45 × 10 J 2
课后习题 3-8
θ1
θ2
二、刚体的转动动能和重力势能
1.绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的
∆ ,∆ ,⋅⋅⋅,∆ ,⋅⋅⋅,∆ m m m m r r r r r, r ,⋅⋅⋅, r ⋅⋅⋅, r r r r r v ,v ,⋅⋅⋅,v ,⋅⋅⋅,v
1 2 i
1 2 i, N
N
Q = rω v 1 E= ∆ v m 2
2 2 2
1 1
2
3
质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 例3-7半径R质量 的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 半径 质量 滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体 的物体。 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为 的物体。 当物体从静止下降距离h时 物体速度是多少？ 当物体从静止下降距离 时，物体速度是多少？ 以滑轮、 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 由于只有保守力做功，故机械能守恒。 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。 设终态时重力势能为零 初态：动能为零，重力势能为mgh 初态：动能为零，重力势能为 末态： 末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 由机械能守恒
i i
i i i
2
1
2
i
N
刚体的总动能
1 1 E = ∑ ∆ v = (∑∆ r )ω m m 2 2
2 2 k i i i i
2
m ∑∆ r正是刚体对转轴的转动惯量
i i
2
1 E = Jω 2
k
2
刚体的转动动能
2. 定轴转动刚体的势能
刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重 刚体受到保守力作用，可引入势能概念。 力场中刚体就具有一定重力势能 重力势能。 力场中刚体就具有一定重力势能。
ω
R M
r v
m
h
1 1 mgh = Jω + mv 2 2
2
2
QJ =
1 MR , v = R ω 2
2
mgh v=2 M + 2m
的均匀细直棒， 例3.8 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置， 面内转动，初始时它在水平位置，求它由此下摆 θ 角时的 ω
dt
dA= M θ d
对于一有限过程
dω )d = Jω ω θ d dA= M θ = (J d dt
ω2 ω 1
A= ∫ dA= ∫ Jω ω d
1 1 2 2 A = Jω2 − Jω 1 2 2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
3.3 刚体定轴转动中的功和能
一、力矩做功
v 力F 所做元功表示为
dθ
O
β
• P
r dA= Fcosβ dr = Fcosβ ⋅ rdθ
r v dr F
dA= M θ d
r r
外力对转动刚体所做的元功等于相应的力矩和角位移 的乘积 对于有限角位移， 对于有限角位移，外力做功用积分表示
A= ∫ M θ d
1 解：重力矩为 M= m cosθ gl 2
由动能定理
θ θ
O
•
m
l
x
θ
•C
m g l A= ∫ M θ = ∫ m cosθdθ d g 0 0 2 1 2 lm g 1 2 J= m l = sinθ −0 = Jω −0 3 2 2 3gsinθ 1/ 2 3gsinθ 2 ω =( ) ω = l l
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 其半径为r=0.4m，质量为 其半径为 ，质量为m=600kg，飞轮的正常转速 ， 是 n = 240 r ⋅ min 冲一次孔转速降低 ，冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔 。 冲头做的功。 冲头做的功。
E = ∑∆mgh = g∑∆mh
p i i i i
根据质心定义， 根据质心定义，该刚体质心高度为

h=
c
m ∑∆ h
i i
m
重力势能可以表示为
E = mgh
p c
三、定轴转动的动能定理
设作用于刚体的合外力矩为M，刚体转过角位 移dθ时，合外力矩的功为 由转动定律： 由转动定律：M = Jβ = J dω