连续介质力学第三次作业习题和解答
清华大学航天学院固体力学（非线性连续介质力学）考题汇总及答案解析
第一题为送分题，过程大家应该都会，只是看计算的功底了，这里我只讲一下大概思路 （1） 求位移拉格朗日：就是把x 用X 表示，求差。
欧拉 ：把X 用x 反表示，求差。
对于本题，需要求逆矩阵，根据各种方法的比较，最简单的应该是用伴随矩阵的方法，即*11A AA=-，注意A *要转置 （2） green 应变E=（F T*F-I ）/2,Almansi 应变e=(I-(F -1)T *(F -1))/2没有技巧，干算吧 答案：E=222/2/2/2/2/2/2/2/2/2A A A A A A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ e=（I-4223232342233223234211/(1)1A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫++----⎪--++--+ ⎪ ⎪----++⎝⎭）/2 （3） 以E 为例，第（2）步的E=222/2/2/2/2/2/2/2/2/2A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭由于A 是小量，所以忽略A 的高阶项，得到E=0/2/2/20/2/2/20A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，同理可以得到e 是一样的（只保留一次项，忽略高次项）（4） 求0/2/2/20/2/2/20A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征方向，过程不说了答案：λ=-1，-1，2特征方向：2对应的特征方向是，由于有一个重根，因此另两个主方向是与2对应的特征方向正交的二维子空间中的任意两个正交单位向量，例如：0,⎫⎪⎭注：该题没有什么技巧，但希望大家可以自己亲自算一下，在这过程中你会熟悉这个过程，而且亲自体验才发现，很容易出错的……解：12k σεε=+11k ησεσ=+1212d d dtdtηηηεεσηη==2112d d dt dtηηεεηη= 1211122d d d d dt dt dt dtηηηεεεεηηη+=+=1121112d d dtdtηηεηηεσηηη==+1211112d k dtηηεσεηη=++求导121d d d dt dt k dtεεσ=+消去1ε和1d dtε 令1212ηηηηη=+()21212d d k k k k k dt dtεσηεησ+=++对本构方程进行拉氏变换()()()()()()()212121201k s k k s s k k s s k k sηεησησ+=++=++()()()()12022112201112s k k s k sk s k k k k k k k s s ησεηση++=++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦反变换得()1101222111201211kt k t k k k t e k k k k k e k k k ηησεσ--⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦令1212k k k k k =+()1001k t t e k k ησσε-⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1) 纯剪受力0000'000τστσ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭eq σ=∴屈服时s τ=最外层最先达到屈服弹性极限时，3s r bτ==3s r bτ=⋅()2034442246be a s abs as M r rd drr dr brb a b πτθπππ=⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰塑性极限时s a r bτ≤≤=()2023332239bp a s abs as M r rd drr dr r b a bπτθπππ=⋅==⋅=-⎰⎰⎰(2) 转角只与弹性区有关设弹性区与塑性区分界线为s r r =()22222ssbar bar M r drr dr r dr πτπττ==+⎰⎰⎰在弹性区s a r r ≤≤Gr τθ=在塑性区s r r b ≤≤3s τ=由连续性条件s s s ss Gr r θθ===由平衡条件324333243s s r s s a r s s s s s M r dr r dr a r r b r π⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪- ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰r=其中式1、式2、式3、由上可知：()//////b bn σε''-易知：1122n n ==- 式4由易得：11p ε= 式5 由 式2 ，式4 ，式5 得到 111123pb b E ε=（式 6）又，得到，2211113()F b σσ=-（式7）把 式6，7 带入式3（式3的分量式为111111111129()2()4pp Fb b E εασσσσ=-- ）并展开，得到1111b c σ= ，因而易得()1122s b c b σσ=-=- 由式6，得到11112232p pbb E εε==- 。
《连续体力学》习题及解答2_工学_高等教育_教育专区.doc
2二阶张量及其若干运算法则（一）概念.理论和公式提要2-1张量的乘法① 张量的外乘（并乘）张量的外乘用0表示，其外积为张量，其阶数等 于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘（点乘）张量的点乘用匕”表示（有时也可省去“•” ）, 其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“：”（两次点乘），例如A ：B ；其积为张量，其阶 数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设A 为CT （m ）, B 为CT （〃），C 为CT （p ）, 则A ：B ：C =D 9 D 为 CT （m + 斤 + p - 2 x 4）（2-1-1） 取加=4, n = 4, p = 2,则D 为CT （2）,其分量为D a = A ij inn B ,nn r P C r P （2T-2）其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分 量的询两个指标依次相同O二阶张量T 的范数记为||7|定义为T ：T = 为正方根，且有||T|| > 0,只当T = o 吋才取等号|a r|| = |a|||T||, |a|为标量◎的绝对值 ||r+i?||<||r||+W T ：国聊|・|网 |八忤制问为矢量"的模，/?亦为二阶张量。
⑤ 设A 和B 分是是CT0）和CT （" 则4和B 外积的s 次缩拼为张量C ,记为C S A®B = CC 为O + / - 25）阶张量，其分量关系为(2-1-3) (2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)(2-1-7)C ij …mn — Aj ……k$B k'kfks. 反Z,如果已知B 和C 为张量，其分量与带指标的量务•满足上式，则务•为张 量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于C 的阶数加减去 B 的阶数。
特别地当s = t, B 的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和c 的阶数Z 和。
大连理工研究生连续介质力学作业题
f = xT Ax ， grad（f ）= ∂x T Ax = 2Ax ∂x
f ′ = (RT x′)T ART x′ = x′T RART x′
grad(f' ) = ∂x′TRART x′ = 2RART x′ ∂x′
= 2RA(RT x′) = 2RAx = R ⋅ 2Ax = R ⋅ grad(f)
（3） a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad（f ′）
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 ， λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
，
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
（2） 求向量 x 参考新坐标系的表示形式 x = xi′ ei′ （3） 求函数 f 在新的坐标系下的表达形式 f ′(x1′ , x2′ , x3′ ) （4） 判断 grad（f ）的客观性。
¾ 解答：
（1） grad（f ）＝ (2 x1 , 0, − 2 x3 )T
流体力学第三次作业及答案
若考虑涡环将沿 z 轴匀速向下滑动，则 M 点的诱导速度将不断减小。
5.5 试证明理想正压流体在有势力作用下产生运动时， 如速度场 V 在某一时刻为无旋， 则加 速度场
V 在任何时刻为无旋，并由此直接推出旋涡的不生不灭定理。 t
证：Euler 方程
V 1 (V )V F P t
其中： (V )V (
V2 ) V 2 1
倍。
u y,
v x
试求： （1） 绕半径为 R 的圆周的速度环量 及穿过该圆的涡通量； （2） 绕封闭曲线 abcd（见 附图）一周的速度环量以及穿过该封闭曲线所围面积的涡通量。
题 5.4 图
解：这是一平面流动，涡量为一标量
v u 2 const x y
Cr n
其中 C 为常数，不失一般性可令 C 1 ，则在极坐标系中，速度分布为：
vr 0,
则涡量
v r r n1
v v 1 vr (n 1)r n r n r n (n 2) r r r 显然若要 0 ，须有 n 2 0 ，即 n 2
VBA
2 2 2 2 2 2 2 2
VDA
VCA
因而 A 点的速度的两个分量为：
2 2 4 3 4 2 4
u A 0,
2 2 vA VCA VBA VDA
由于对称性，显然原点即为四个点涡的重心，它是一个不动点，故点涡 A 将绕原点转动， 转速为
5.1 已知一流动的速度场为
u y 2 z,
v z 2 x,
w x 2y
2
试求： （1）涡量场以及涡线方程； （2）在 x y z 1 平面上横截面 dS 0.0001m 的涡管 强度。 解：设涡量的三个分量为 x , y , z ，则
连续介质力学第三次作业习题和解答
[
]
[
]
在流入面： v1 = −v1 * n1 ，在流出面： v2 = v2 * n1
2、给定速度场 v1 = ax1 + bx2 ， v2 = ax2 + bx1 ， v3 =
x1 + x2 ， ρ 0 = ρ * e −2 at 。其中 a，
2 2
b，c，ρ为常数 求：是否满足质量守恒方程 解答： 质量守恒方程：
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
S1
C
=
S1 + S 2 + S 3 + S 4
∫ [t − ρ * v(v • n)]dS ∫ [− p n
2 S3
C
= =
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
(
)
3、
Ω • r = w× r
w × r = eijk w j rk ei
•
Ω • r = Ωim rm ei
所以
• •
•
•
eijk w j rk = Ωim rm
eijk w j = Ωik
⎡ 0 Ω=⎢ ⎢ w3 ⎢ ⎣− w2
•
− w3 0 w1
w2 ⎤ − w1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
4、
L = ∫ ρ * r × vdv = ∫ ρ * r × (w × r )dv = ∫ ρ [w(r • r ) − r (r • w)]dv = ∫ ρ [(r • r ) − (r ⊗ r )]dv • w
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
工程力学4第三次作业答案
材料力学第三次作业答案（单辉祖 第三版）（8-2（b ）、（c ），8-3, 8-6, 8-8, 8-9, 8-12（c ））8-2（b ）解：由图可知，x 、y 截面的应力分别为30, 20,10 στσ=-==x x y MPa MPa MPa截面m-m 的方位角为 22.5α=︒将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：30103010cos 4520sin 4522σ︒︒-+--=+-m 38.28=-MPa 3010sin 4520cos 452τ︒︒--=+m0= （c ）解：由图可知，x 、y 截面的应力分别为10, 15,20 στσ===-x x y MPa MPa MPa截面m-m 的方位角为 60α=-︒将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：10(20)10(20)cos(120)15sin(120)22σ︒︒+---=+---m 0.49=MPa 10(20)sin(120)15cos(120)2τ︒︒--=-+-m20.49=-MPa8-3（a ）由坐标（10，-15），（-20,15）分别确定A和B 点，然后以AB 为直径画圆，得到相应的应力圆。
为确定m-m 上的应力，将半径DA 沿逆时针方向旋转|2|90α︒=至DC 处，所得C 点即为截面m-m 的对应点。
由图示几何关系知，A 、C 两点关于σ轴对称，从而得到10,15 στ==m m MPa MPa（b ）由坐标（40，20），（0,-20）分别确定A 和B 点，然后以AB 为直径画圆，得到相应的应力圆。
为确定m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转|2|60α︒=至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。
由图示几何关系知：应力圆半径2===AB R30cos152047.32σ︒︒︒-=+=+=OC R MPa30sin157.3τ︒︒︒-=-=-=-R MPa8-6证明：方法一：设任意截面的方位角为α。
连续介质力学作业(第二章)习题和答案
连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。
《连续体力学》习题及解答9
9 塑性物质（一） 概念、理论和公式提要9-1 经典塑性理论本章只介绍经典塑性理论和粘塑性本构方程，且都限于小变形情况。
塑性变形是不可逆变形，塑性本构方程是非线性的，属于物理非线性。
经典塑性理论虽有其广泛的应用领域，但在一些情况下，它就显得不足。
例如，对于岩土类物质、粒状物质及高强度钢等力学性能的深入研究，经典塑性理论中的正交法则和塑性体积应变为零等经典假设就不适用；而要研究变形局部化问题，需要从大变形本构模型入手，在大变形条件下，往往伴随材料的损伤，因此在研究从变形到破坏的全过程中，必然要考虑大变形塑性-损伤本构方程等。
经典塑性理论有两个基本假设或基本前提：①在应力(或应变)空间内，存在屈服曲面。
在小变形条件下，屈服曲面可表示为αθεq ij 及，(内变量)的函数，即表示成ααθσθεq q g ij ij ，，；也可表示成，，0)(=的函数，即0)(=αθσq f ij ，，。
在屈服曲面之内，)0(0<<f g 或，状态变化，塑性变形不变化；屈服曲面之上)0(0==f g 或，塑性变形处于可变化的状态，称为弹塑性状态。
②加载过程和卸载过程服从不同的本构关系，加载过程是指塑性变形继续发展的过程，而塑性变形不变化的过程称为卸载过程。
这两个基本假设在轴向拉伸试验中是可以观测到的。
图9-1示一拉伸曲线，包括从任一点B 卸载沿直线到达反向(压缩)屈服点,B 处，此后又呈现曲线变化。
从试验中可观测到下列结果。
EBB AA epeσεεεε=+=，∥''图9-1以上关系仅在变形不大时近似成立。
在''BB AA 和范围内，应力变化与应变化之间遵循εσεσd d E E ==或△△分别称''B B A A 、和、点为初始和相继弹性范围的边界，边界点)()(''B B A A 、和、对应于弹塑性状态。
当应力从B 点向内变化时(卸载过程)，有εσd d E =当应力从C 点沿曲线变化到B 点时(加载过程)有 )d d (d d p e t t E E εεεσ+==由E e σεd d =及上式，易得pp E σεd d =(9-1-1) EE E t p 111-= (9-1-2) 是切线模量，称为塑性模量，t p E E 一般地它们都不是常数。
连续介质力学作业(第一章)答案
连续介质力学作业（第一章）习题1. 向量~~~~k z j y i x a ++=。
~i ，~j ，~k 表示三维空间中标准正交基。
给定一组协变基~~12i g =，~~~2j i g +=，~~~3k j g +=。
（1）求逆变基1g ，2g ，3g 。
（2）求ij g（3）向量~a 参考逆变基~1g ，~2g ，~3g 表示时，~~i i g a a =，求i a 。
（1）[]222~~~~~~~~~3~2~1= +•= +• +×=• ×=k j k k j j i i g g g g+−=+× += ×=~~~~~~~~3~2~121211i j k k j j i g g g g~~~~~~1~3~22211j k i k j g g g g +−= × += ×=~~~~~2~1~32211k j i i g g gg =+×= ×=(2) g ij =gg ii ⋅gg jj �g ij �=�3/4−11/2−12−11/2−11�(3)a i =aa ⋅gg ii a 1=2x,a 2=x +y,a 3=y +z2. 已知笛卡尔坐标系331e e e ,,，一个新的坐标系定义为−−−= ′′′32132161312161312162310e e e e e e 向量321e e e x 321x x x ++=，给定函数2321x x )f(−=x 。
（1） 求函数f 的梯度）（f grad（2） 求向量x 参考新坐标系的表示形式i ′′=e x i x（3） 求函数f 在新的坐标系下的表达形式),,(321′′′′x x x f （4） 判断）（f grad 的客观性。
3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值6.11=σλ，3.22=σλ。
主方向2112123e e N −=，2122321e e N +=。
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R
S2
S4
v1
S1
解答： 控制体上的线动量定理：
∂ (ρv ) C dV = ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS C + ∫ bdV C ∂t VC SC VC
∫
由题，不可压缩、定常流动、不考虑重力，所以：
∂ (ρv ) C dV = 0 ∂ t C V
∫
V
∫ bdV
C
C
=0
则
SC
(
)
3、
Ω • r = w× r
w × r = eijk w j rk ei
•
Ω • r = Ωim rm ei
所以
• •
•
•
eijk w j rk = Ωim rm
eijk w j = Ωik
⎡ 0 Ω=⎢ ⎢ w3 ⎢ ⎣− w2
•
− w3 0 w1
w2 ⎤ − w1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
4、
L = ∫ ρ * r × vdv = ∫ ρ * r × (w × r )dv = ∫ ρ [w(r • r ) − r (r • w)]dv = ∫ ρ [(r • r ) − (r ⊗ r )]dv • w
∂ρ ( x, t ) ∂ρ ( x, t ) + • v + v k , k ρ ( x, t ) = 0 ∂t ∂x
带入，得：
∂ ρ * e −2 at ∂ ρ * e −2 at + • v + vk ,k ρ * e −2 at = 0 ∂t ∂x −2 at − 2aρ * e + 0 + (2a ) * ρ * e −2 at = 0
T
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
•T ⎞ • 1⎛ • T ⎟ = R • RT = ⎜ R • R − R • R ⎟ 2⎜ ⎝ ⎠
因为 R • R 2、
(
T •
) =0→ R•R
•
T
+ R•R =0
•T
• • • ⎛• T T ⎞ • v = r = (R • r 0 ) = R • r 0 = R • R • r = ⎜ R • R ⎟ • r ⎝ ⎠
B B B B
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
S1
C
=
S1 + S 2 + S 3 + S 4
∫ [t − ρ * v(v • n)]dS ∫ [− p n
2 S3
C
= =
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
(
)
y
2、证明 v = Ω • r 3、 Ω 与 ω 的关系 4、计算转动惯量 I 的表达式，使得 L = I • ω
•
•
解答: 1、
T • 1 1⎛ −1 −1 ⎞ ⎞ T ⎛• ⎜ Ω= L−L = F • F −⎜F • F ⎟ ⎟ = 2 2⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ •
(
)
• • 1⎛ T ⎞ ⎜ R • RT − ⎛ R•R ⎟ ⎜ ⎜ 2⎝ ⎠ ⎝
2 2
[
]
[
]
在流入面： v1 = −v1 * n1 ，在流出面： v2 = v2 * n1
2、给定速度场 v1 = ax1 + bx2 ， v2 = ax2 + bx1 ， v3 =
x1 + x2 ， ρ 0 = ρ * e −2 at 。其中 a，
2 2
b，c，ρ为常数 求：是否满足质量守恒方程 解答： 质量守恒方程：
(
) (
)
(
( )
)
vk , k
⎛ x2+x 2⎞ 1 2 ⎟ ∂v1 ∂v2 ∂v3 ∂(ax1 + bx2 ) ∂(ax2 + bx1 ) ∂⎜ ⎠ = 2a = + + = + + ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
•
3、如果 σ = − p * I ，其中 p 是正常数，证明应力功率 σ : ε = 解答：
•
p dρ 1 = * ρ (x, t ) ρ dt
z ω v r O x B
4、物体 B 对坐标原点的动量矩定义 L 为
L = ∫ ρ * r × vdv
B
其中 r 为矢径， v 为速度矢量， ρ 为介质密度 B 做刚体旋转，B 中任一点速度 v = ω × r
ω 为瞬时角速度矢量
求：
• 1 T T 1、证明旋率 Ω = L−L = R•R 2 •
p dρ * ρ dt
σ : ε = σ : L = (− p * I ) : L = − p * tr (L ) = − p * div (v )
•
由质量守恒方程： ρ ( x, t ) + v k ,k ρ ( x, t ) = 0
•
− p * div(v ) = − p * ρ ( x, t ) *
1 1
= − p1 n1 − ρ * v1 * n1 S1 + − p2 n2 − ρ * v2 * n2 S 2 + f = 0
2 2
[
S1
∫ [− p n
− ρ * v1 v1 • n1 dS +
(
S2
)]
2
− ρ * v2 v2 • n2 dS + f
(
)]
S4
] [
S2
]
f = p1 + ρ * v1 n1 S1 + p 2 + ρ * v 2 n2 S 2
1、流经曲管的流体不可压缩，密度为 ρ ，定常流动（流速不随时间变化） ，进口截面S1，面 积a1，外法线n1，流入速度大小v1，方向垂直于进口截面，进口截面处水压强大小p1； 出口截面S2，面积a2，外法线n2，流入速度大小v2，方向垂直于出口截面，出口截面处 水压强大小p2；不考虑重力，在进口截面和出口截面处，速度和压强均匀分布。 求：曲管侧壁给水的总外力f（不必考虑质量守恒）