工具变量法~
工具变量法及其应用
工具变量法及其应用一、工具变量法简介工具变量法是一种在统计分析中常用的技术，主要用于解决回归分析中的内生性问题。
内生性问题通常出现在一个或多个解释变量与误差项相关的情况下，这会导致回归模型的估计结果有偏且不一致。
为了解决这个问题，工具变量法通过引入一个或多个与内生解释变量相关，但与误差项无关的工具变量，来替代内生解释变量。
二、工具变量的选择工具变量的选择是工具变量法的关键步骤。
理想的工具变量应满足与内生解释变量相关，但与误差项无关的条件。
在实践中，通常需要根据研究问题的具体情况和理论依据来选择工具变量。
一些常见的选择方法包括使用先前的研究、使用相关行业的平均值、使用其他相关变量的滞后值等。
三、工具变量法的优缺点工具变量法的优点主要包括：可以解决内生性问题，提高回归模型的估计精度和一致性；可以扩大解释变量的范围，使得模型更全面地反映被解释变量的影响因素；可以降低误差项的相关性，从而降低模型的标准误，提高模型的置信度。
但是，工具变量法也存在一些缺点，如工具变量的选择困难、可能导致过度拟合和模型过度设定等问题。
四、工具变量法在经济学中的应用工具变量法在经济学中有着广泛的应用。
例如，在研究货币政策时，工具变量法可以用来解决货币供应量与通货膨胀之间的内生性问题，从而提高模型的预测精度；在研究劳动市场时，工具变量法可以用来解决工资与就业之间的内生性问题，从而更准确地估计模型的参数。
五、工具变量法在金融学中的应用工具变量法在金融学中也有着广泛的应用。
例如，在研究股票市场时，工具变量法可以用来解决市场收益率与风险之间的内生性问题，从而提高模型的预测能力和风险管理水平；在研究信贷市场时，工具变量法可以用来解决利率与信贷风险之间的内生性问题，从而更准确地估计模型的参数。
六、工具变量法在其他领域的应用工具变量法在其他领域也有着广泛的应用。
例如，在环境科学中，工具变量法可以用来解决环境污染与经济增长之间的内生性问题，从而更准确地估计模型的参数；在医学研究中，工具变量法可以用来解决吸烟与健康之间的内生性问题，从而更准确地估计模型的参数。
Chapter4-工具变量法
Chapter4-⼯具变量法第1章两阶段最⼩⼆乘法在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的⽆偏性和⼀致性。
当这⼀假定被违背时，称解释变量是内⽣的。
常见的⼏种情况会导致内⽣问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联⽴性。
⼯具变量估计是解决解释变量内⽣问题的基本⽅法。
本章介绍⼯具变量法和两阶段最⼩⼆乘法，以及模型内⽣性检验和过度识别约束检验等问题。
1.1 变量的内⽣性如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即(')E =X u 0，称解释变量是内⽣的。
导致解释变量内⽣性的原因有很多，主要的⼏个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。
模型中出现内⽣解释变量时，OLS 估计量是不⼀致的。
根据OLS 估计量：11111?(')(')(')(')(')(')N N -----==+=+βX X X y βX X X u βX X X u (1.1) 由假定Rank(X)=K 和⼤数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得：1Plim(')E(')N -=≡X X X X A ， 1Plim(')E(')N -=≠X u X u 0。
(1.2)⼜由Slustky 定理，111Plim(')N ---=X X A 1?Plim E(')-=+≠ββA X u β (1.3)1.2 ⼯具变量估计1.2.1 ⼯具变量在如下模型中，y = X+ u第i 个解释变量x i 为内⽣解释变量。
如果存在变量z ，z 满⾜如下两个条件：正交条件：与u 不相关，即cor(z, u) = 0 相关条件：与x 相关，即cor(z, x i ) 0，也称为识别约束条件。
那么，z 被称作x i 的⼯具变量。
1.2.2 ⼯具变量估计设回归模型为：y =X β+u (1.4) 其中，解释变量为X （1×K ）⼯具变量为Z （1×K ）。
工具变量法工具变量法具体步骤
工具变量法工具变量法具体步骤工具变量法（Instrumental Variable Method）是一种用于处理内生性问题的统计方法，它通过引入一个“工具变量”来解决内生性问题。
工具变量是一个有着良好相关性但不会受到内生性干扰的变量，它可以用来代替内生变量，从而解决内生性的影响。
1.确定内生变量和工具变量：首先，需要确定研究中存在的内生变量和可能的工具变量。
内生变量是对所研究问题有影响的变量，而工具变量是与内生变量具有相关性但不会受到内生性干扰的变量。
内生性问题是由于内生变量的存在而导致的因果关系估计偏倚。
2.检验工具变量的相关性：接下来，需要检验所选取的工具变量与内生变量之间的相关性。
这可以通过计算相关系数或进行统计检验来实现。
如果工具变量与内生变量存在显著相关性，那么它可能是一个有效的工具变量。
3.确定工具变量的外生性：除了相关性外，工具变量还需要满足外生性的要求，即工具变量对因变量的影响是通过内生变量而不是其他方式引起的。
这可以通过进行实证分析来判断，例如通过回归模型来检验工具变量对因变量的影响是否通过内生变量进行中介。
如果工具变量的影响仅通过内生变量介导，则可以认为工具变量满足外生性的要求。
4.估计工具变量模型：一旦确定了有效的工具变量，可以使用工具变量法来估计因果关系。
工具变量法的核心思想是通过回归模型来解释内生变量对因变量的影响，并利用工具变量对内生变量进行替代。
通过将工具变量引入估计方程中，可以消除内生性的影响，从而得到无偏的因果关系估计。
5.进行统计推断：在估计了工具变量模型之后，可以进行统计推断来评估估计结果的显著性。
这可以通过计算标准误差、置信区间和假设检验等来实现。
统计推断可以帮助判断估计结果的可靠性，并验证因果关系的存在与否。
总结而言，工具变量法是一种用于解决内生性问题的统计方法。
它通过引入一个有效的工具变量来代替内生变量，消除内生性的干扰，从而得到无偏的因果关系估计。
工具变量法的具体步骤包括确定内生变量和工具变量、检验工具变量的相关性和外生性、估计工具变量模型，并进行统计推断。
工具变量法
工具变量法一、工具变量法得主要思想在无限分布滞后模型中,为了估计回归系数,通常得做法就是对回归系数作一些限制,从而对受限得无限分布滞后模型进行估计。
在这里,考伊克模型、适应性期望模型与部分调整模型给出了很好得解决此类问题得思路。
经过变换,新得模型中,随机扰动项得表达式为:考伊克模型: ( ，为衰减率) （1、1);适应性期望模型:（,为期望系数)(1、2）;部分调整模型:( ，为调整系数） (1、3)。
为原无限分布滞后模型中得扰动项,为变换后得扰动项。
在原模型中得随机扰动项满足经典假设得前提下,部分调整模型也满足经典假设,但就是考伊克模型与适应性期望模型得随机扰动项由于存在原随机扰动项得滞后项,也就就是说考伊克模型与适应性期望模型得解释变量势必与误差项相关,因此,可能会出现上述两个模型得最小二乘估计甚至就是有偏得这样严重得问题。
那么，我们就是否可以找到一个与高度相关但与不相关得变量来替代？在这里，一个可行得估计方法就就是工具变量法。
在讨论工具变量法之前，我们先来了解一下外生变量与内生变量。
一般来说:一个回归模型中得解释变量有得与随机扰动项无关,我们称这样得解释变量为外生变量;而模型中有得解释变量与随机扰动项相关,我们可称这样得解释变量为内生解释变量。
内生解释变量得典型情况之一就就是滞后应变量为解释变量得情形，如上述考伊克模型与适应性期望模型中得。
外生解释变量:回归模型中得解释变量与随机扰动项无关；内生解释变量:回归模型中得解释变量与随机扰动项无关;了解了内生变量与外生变量得概念,我们接着讨论工具变量法得主要思想：工具变量法与普通最小二乘法就是模型参数估计得两类重要方法,在多元线性回归模型中,如果出现解释变量与随机误差项相关（即出现内生变量）时,其回归系数得普通最小二乘估计就是非一致得,这时就需要引入工具变量。
工具变量，顾名思义就是在模型估计过程中被作为工具使用,以替代模型中与随机误差性相关得随机解释变量（即内生变量）。
工具变量法
ut )
1
ztut zt xt
(9.8.7)
(9.8.7)两边取期望值:
(ˆ1)
1
(
ztut zt xt
)
1
所以，ˆ1 不是1 的无偏估计量。
(9.8.7)两边取概率极限：
P lim
ˆ1
1
P lim P lim
1
n 1
n
ztut zt xt
1
COV COV
(zt ,ut) (zt , xt)
1
即
P lim ˆ1 1
表明 ˆ1 是1 的一致估计量。
(9.8.8) (9.8.9)
工具变量法是一种单方程估计方法，每次只适用于 模型中的一个结构方程。 显然，对于多个解释变量的单方程也是适用的。 三、工具变量法的有效性
y1 10 12 y2 1g1 y g1 11 x1 12 x2
第二步，分别用工具变量去乘结构方程，并对所有 的样本观测值求和，得到与未知参数一样多的线性 方程组成的方程组。解方程组就得到结构参数的估
二、工具变量法的应用举例 1.设有一个解释变量的结构方程：
yt 0 1 xt ut
(9.8Байду номын сангаас1)
其中xt是该方程所在模型中的内生变量，因而 COV(xt,ut) ≠ 0。在模型的其他结构方程中可找到这 样的外生变量zt，zt与xt高度相关,但zt与ut不相关即 COV(zt,ut)＝0，即zt
1k1 xk1 u1
(9.8.20)
模型(9.8.20)共有(g1-1)个内生说明变量和k1个前定
变量
1.若方程(9.8.20)
由阶条件知
K1 G1* G 1
或
工具变量法原理
工具变量法原理
工具变量法原理
工具变量法是一种常见的经济分析技术，也叫做经济因变量法，其历史可以追溯到上世纪六十年代，在实践中受到了广泛的应用。
其目的是通过引入某种工具变量，来识别出经济中其它变量与给定变量之间的因果关系。
工具变量法的原理是引入一个额外的控制变量，它能够控制看不到的（潜藏的）因素的影响，而不影响被研究的截距变量。
工具变量的作用在于削弱（或完全抵销）其它未明确提及的因素对检验变量的影响，这样就可以更好地识别出被研究的截距变量。
工具变量的选取方法有以下几类：
1. 当直接观察不能得出两个变量之间的因果关系时，可以引入一个控制变量，以改变影响变量的尺度，从而探索两变量之间的联系；
2. 引入自身的一个变量，量化变量的不同水平；
3. 引入邻居的变量，判断当前变量是不是受周边变量影响；
4. 引入拟合变量，即将抽样数据进行拟合，拟合出曲线，将该曲线作为工具变量；
5. 引入矩阵变量，利用矩阵可以将某一变量和其他变量一同考虑，从而找出复杂的因果关系。
工具变量法可以有效地甄别看不到的（潜藏的）因素，从而更好地识别出经济动力，实现更加准确的经济预测。
- 1 -。
工具变量法结果解读
工具变量法结果解读一、引言工具变量法是计量经济学中一种重要的估计方法，主要用于解决内生性问题。
通过引入工具变量，工具变量法能够有效地减少误差，提高估计的准确性和可靠性。
然而，对于初学者来说，如何正确解读工具变量法的结果可能是一个挑战。
本文将详细解读工具变量法的理论基础、工具变量的选择、结果解读以及结论，以期帮助读者更好地理解和应用工具变量法。
二、工具变量法的理论基础工具变量法源于经济理论，特别是当一个或多个解释变量与误差项相关时，就会产生内生性问题。
在这种情况下，普通最小二乘法（OLS）的估计结果是有偏的。
为了解决这个问题，我们引入一个或多个与内生解释变量相关，但与误差项无关的工具变量。
这些工具变量通过与内生解释变量的线性组合来“工具化”内生解释变量，从而在估计中起到减少误差和偏误的作用。
三、工具变量的选择选择合适的工具变量是工具变量法的关键步骤。
理想情况下，一个好的工具变量应该与内生解释变量高度相关，同时与误差项无关。
在实践中，我们通常选择那些与内生解释变量相关，同时又遵循随机扰动的因素作为工具变量。
此外，工具变量的数量应该足够多，以便能够充分地“工具化”内生解释变量。
四、结果解读在应用工具变量法后，我们得到了一组估计结果。
这些结果应该如何解读呢？首先，我们需要关注估计系数的符号。
如果估计系数的符号与预期相符，那么我们可以初步认为估计结果是可靠的。
其次，我们需要检验估计结果的显著性。
常用的方法是观察估计系数的p值。
如果p值较小（通常小于0.05），则表明估计结果是显著的。
最后，我们需要检验工具变量的有效性。
这可以通过观察工具变量的系数是否接近于1来初步判断。
如果工具变量的系数接近于1，并且显著，那么我们可以认为工具变量是有效的。
此外，我们还可以使用诸如弱工具检验、过度识别检验等统计方法来进一步检验工具变量的有效性。
五、结论本文对工具变量法的结果解读进行了详细阐述。
通过关注估计系数的符号、显著性以及工具变量的有效性等方面，我们可以更好地理解和应用工具变量法。
工具变量方法原理
工具变量方法原理工具变量方法（Instrumental Variable Method）是一种常用的实证研究方法，用于解决因果关系中的内生性问题。
当研究主变量与随机抽样原则（即不相关性假设）无关时，内生性问题会出现。
在这种情况下，使用传统的OLS（Ordinary Least Squares）回归模型估计将导致参数估计的无效性。
工具变量方法通过利用一个或多个工具变量，来解决内生性问题，并得到一致的估计结果。
工具变量是一个满足两个条件的变量：首先，工具变量与内生变量相关。
其次，工具变量与干扰项不相关。
这样，可以通过回归工具变量来消除内生性问题，从而得到因果关系的一致估计。
工具变量方法的基本思想是在原始模型中引入一个工具变量，在回归分析中用工具变量代替内生变量。
这样，内生变量与工具变量的回归关系就代替了内生变量与因变量的直接关系。
通过估计工具变量与因变量的关系，就可以得到一致的因果关系估计。
Y=α+βX+ε其中，Y是因变量，X是内生变量，α和β是参数，ε是误差项。
由于X与ε存在内生性问题，参数估计将变得无效。
为了解决内生性问题，引入一个工具变量Z。
使用工具变量方法得到的回归方程为：X=α+γZ+ε'其中，γ是工具变量与被解释变量的关系。
将工具变量引入原始模型，得到：Y=α+β(α+γZ+ε')+ε化简后可以得到：Y=α+βα+βγZ+βε'+ε由于内生性问题，βγ≠0，OLS估计将无效。
但是，由于工具变量与ε无相关性，βε'=0。
因此，使用工具变量方法可以得到一致的估计结果，即β的一致估计。
工具变量方法中的关键问题是选择合适的工具变量。
一个好的工具变量要满足两个条件：首先，与内生变量相关，以确保能够消除内生性问题；其次，与干扰项不相关，以确保工具变量不会引入新的内生性问题。
如果工具变量不满足这两个条件，工具变量方法仍然会产生一致的估计结果，但结果可能存在偏误。
要选择合适的工具变量，需要根据研究问题及具体情境进行判断。
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工具变量法一、工具变量法的主要思想在无限分布滞后模型中，为了估计回归系数，通常的做法是对回归系数作一些限制，从而对受限的无限分布滞后模型进行估计。
在这里，考伊克模型、适应性期望模型与部分调整模型给出了很好的解决此类问题的思路。
经过变换，新的模型中，随机扰动项的表达式为：考伊克模型：1t t t v u u λ-=- （01λ<< ，λ为衰减率） （1.1）； 适应性期望模型：1（1）t t t v u u λ-=--（01λ<< ，λ为期望系数）（1.2）；部分调整模型：（1）t t v u γ=-（01γ≤< ，1γ-为调整系数） （1.3）。
t u 为原无限分布滞后模型中的扰动项，t v 为变换后的扰动项。
在原模型中的随机扰动项满足经典假设的前提下，部分调整模型也满足经典假设，但是考伊克模型与适应性期望模型的随机扰动项由于存在原随机扰动项的滞后项，也就是说考伊克模型与适应性期望模型的解释变量1t Y - 势必与误差项t v 相关，因此，可能会出现上述两个模型的最小二乘估计甚至是有偏的这样严重的问题。
那么，我们是否可以找到一个与1t Y -高度相关但与t v 不相关的变量来替代1t Y -？在这里，一个可行的估计方法就是工具变量法。
在讨论工具变量法之前，我们先来了解一下外生变量和内生变量。
一般来说：一个回归模型中的解释变量有的与随机扰动项无关，我们称这样的解释变量为外生变量；而模型中有的解释变量与随机扰动项相关，我们可称这样的解释变量为内生解释变量。
内生解释变量的典型情况之一就是滞后应变量为解释变量的情形，如上述考伊克模型与适应性期望模型中的1t Y -。
外生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关； 内生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关；了解了内生变量和外生变量的概念，我们接着讨论工具变量法的主要思想：工具变量法和普通最小二乘法是模型参数估计的两类重要方法，在多元线性回归模型中，如果出现解释变量与随机误差项相关（即出现内生变量）时，其回归系数的普通最小二乘估计是非一致的，这时就需要引入工具变量。
工具变量，顾名思义是在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差性相关的随机解释变量（即内生变量）。
满足条件：1）总体无关：工具变量与随机扰动项无关； 2）样本相关：工具变量必须与被它所代替的内生变量高度相关； 3）与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
做了替代后，用普通最小二乘法即可得到原回归系数的一致估计量。
二、工具变量法的基本原理我们分别从简单线性回归模型和多元线性回归模型两方面来具体分析工具变量法的基本原理：简单线性回归模型考虑简单线性回归模型()122 1,2,,i i i Y X u n ββ=++ （2.1）其中2i X 为内生变量。
则其正规方程为：1120 10i i i i i X u X X u ∧∧⎧=⎪≡⎨⎪=⎩∑∑（2.2）设回归模型中的解释变量与随机扰动项相关，则如前所述，普通最小二乘估计量是非一致的。
现用一个工具变量i Z 来代替正规方程中的解释变量2i X ，其残差表达式不变。
11010i i i i i X u X Z u ∧∧⎧=⎪≡⎨⎪=⎩∑∑ （2.3）即：112211220 10i i i i i i i X Y X X Z Y X ββββ∧∧∧∧⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭≡⎨⎛⎫⎪--= ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑ （2.4） 解上述引入了工具变量后的正规方程可得斜率项系数的估计量为：22i i IV i iz y z xβ∧=∑∑ （2.5）（2.5）式中小写字母代表相应大写字母的离差。
该市所表示的估计量就是工具变量估计量，简称IV 估计量，用β∧IV 表示。
易证IV 估计量是一致估计量。
事实上，()2222222iiii i i i IV i ii ii iz y z xu z u z xz xz xβββ∧+===+∑∑∑∑∑∑ （2.6） 若工具变量与解释变量高度相关，则表明（2.6）式中2∑i i z x 较大；若工具变量与随机扰动项渐近无关，则表明（2.6）式中∑i i z u 随着样本容量的增加而趋向于零。
故在工具变量与它相应的解释变量高度相关而与随机扰动项渐近无关的条件下，有2222lim lim lim i iIV i ip z u p p z x βββ∧=+=∑∑（2.7）样本估计总体，（2.7）表明IV 估计量是一致估计量。
多元线性回归模型：工具变量法可直接推广到多元线性回归模型()1122 1,2,,i i i k ki i Y X X X u i n βββ=++++= （2.8）其中：11i X ≡在讨论工具变量法在多元线性回归模型中的应用之前，我们先来分析工具变量的个数问题。
为了一般起见，当解释变量与随机扰动项不相关时，我们把解释变量本身也作为是一个工具变量。
这就是说，在我们的模型中凡事预随机扰动项无关或渐近无关而与解释变量相关的变量都称为是工具变量。
这样与随机扰动项无关的解释变量本身当然是与解释变量高度相关的变量，故它也是工具变量。
在作了这样的约定之后对多元回归模型（2.8）来说，工具变量的个数一定不会小于解释变量（包括常数项）的个数（但可以大于解释变量的个数）。
这是因为凡是与随机扰动项相关的解释变量都要有与随机扰动项无关或者渐近无关的工具变量或工具变量的线性组合，而凡与随机扰动项无关的解释变量本身就是一个工具变量（按我们上述约定）。
所以工具变量的个数当然不小于解释变量（包含常数项）的个数。
因此：工具变量的个数可以等于也可以大于（但不能小于）解释变量（包括常数项）的个数。
接下来的分析中，我们重点讨论工具变量的个数与解释变量的个数相等的情形：对于多元线性回归模型（2.8）：设解释变量，(1,2,,)j X j k =的工具变量为，(1,2,,)j Z j k =，其中111Z X ≡≡，而且某些Z 变量可能与X 变量相同。
若多元线性回归模型（2.8）的正规方程为：12ˆ0ˆ0ˆ0i i i iki i X u X u X u ⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩∑∑∑ （2.9） 则可通过将这个正规方程组中的解释变量换成其相应的工具变量，但残差的形式保持不变。
得：12ˆ0ˆ0ˆ0i i i iki i Z u Z u Z u ⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩∑∑∑ (2.10) 解方程组（2.10）可得回归系数的一致估计量即IV 估计量。
将1ˆˆkii j jiju Y X β==-∑ 代入（2.10）式中，经整理得：1111122111111ˆ=ˆ=ˆ=k n nj i ji i i j i ik nnj i ji i ij ii k nnj ki ji ki i j i iZ X Z Y Z X Z Y Z X Z Y βββ=========⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2.11）若令112111222212k k nnkn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ ，112111222212k k nnkn X X X X X X X X X X ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭,12ˆˆˆˆk ββββ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，12n Y Y Y Y ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ 则（2.11）式可以表示为：,,ˆZ X Z Y β= （2.12）若,Z X 是一个满秩矩阵，则回归系数的IV 估计量为：,1,ˆ（）IVZ X Z Y β-= （2.13） 当解释变量与随机扰动项不相关时，我们把这个解释变量本身也作为是一个工具变量。
把模型中凡是与随机扰动项无关或渐进无关而与解释变量相关的变量都称为解释变量。
工具变量的个数一定不会小于解释变量（包括常数项）的个数。
三、二阶段最小二乘法（TLS ）IV 估计量可以看作是两次运用最小二乘法的结果。
第一阶段：求解释变量X 对工具变量Z 的回归，得到一个解释变量的拟合值X∧。
()1''Z X Z Z Z Z X P X ∧-== （3.1）第二阶段：求应变量Y 对解释变量的拟合值X ∧的回归，得到回归系数的估计值。
()11''''''β-∧∧∧∧-⎛⎫== ⎪⎝⎭TLSz z Z X X X Y X P P X X P Y （3.2）注意到Z P 为一对称的幂等矩阵，所以，()1'''ββ∧∧-==TLS IV z Z X P X X P Y （3.3）二阶段最小二乘法（TLS ）简例122334455 i i i i i i Y X X X X u βββββ=+++++ （3.4）2i X 、3i X 是内生变量，4i X 、5i X 是外生变量第一阶段：分别用内生解释变量对所有外生解释变量回归；~~~~~2202425245i i i i X X X u πππ=+++ （3.5） ~~~~~3303435345i i i i X X X u πππ=+++ （3.6）得2i X 、3i X 的拟合值~2i X 、~3i X ，也称为工具变量。
第二阶段：用上述拟合值代替实际值。
~~~~~~~~~~234512345 i i i i i i Y X X X X u βββββ=+++++ （3.7）我们也称4i X ，5i X 为工具变量。
四、用工具变量法估计自回归模型由于考伊克模型与适应性期望模型均可化为一阶自回归模型。
而自回归模型中由于含有滞后应变量作为解释变量，所以回归系数的最小二乘估计是非一致的，为了得到一致的估计可用工具变量法，但用什么变量作为工具变量也是很难作出决断的。
例如对模型：1t t t t Y X Y u αβγ-=+++ （4.1）利维亚坦（Liviatan ）建议用解释变量的滞后一个时期1t X -的值作为随机解释变量1t Y -的工具变量。
但由于大多数经济时间序列在相邻两期之间存在高度相关，从而使Liviatan 的方法受到多重共线性的困扰。
在这里我们看一个例子：112231t t t t t Y X X Y v αβββ-=++++ （4.2）假定1t Y -和t v 相关。
为了消除这种相关，假定我们采取如下工具变量法：先求t Y 对1t X 和2t X 的回归，并从此回归得到估计值ˆtY 。
然后做回归： 112231ˆt t t t t Y X X Y v αβββ-=++++ （4.3） 其中1ˆt Y -是从第一步回归估计处理的。
在这个例子中利用两阶段最小二乘法消除了原模型中1t Y -和t v 之间的相关性。