Chapter4-工具变量法

第1章 两阶段最小二乘法在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。

当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。

常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。

工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方法。

本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。

1.1 变量的内生性如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即(')E =X u 0，称解释变量是内生的。

导致解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。

模型中出现内生解释变量时，OLS 估计量是不一致的。

根据OLS 估计量：11111ˆ(')(')(')(')(')(')N N -----==+=+βX X X y βX X X u βX X X u (1.1) 由假定Rank(X)=K 和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得：1Plim(')E(')N -=≡X X X X A ， 1Plim(')E(')N -=≠X u X u 0。

(1.2)又由Slustky 定理，111Plim(')N ---=X X A1ˆPlim E(')-=+≠ββA X u β (1.3)1.2 工具变量估计1.2.1 工具变量在如下模型中，y = X β+ u第i 个解释变量x i 为内生解释变量。

如果存在变量z ，z 满足如下两个条件： 正交条件：与u 不相关，即cor(z, u) = 0相关条件：与x 相关，即cor(z, x i ) ≠ 0，也称为识别约束条件。

那么，z 被称作x i 的工具变量。

1.2.2 工具变量估计设回归模型为：y =X β+u (1.4)其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×K ）。

Z 作为工具变量满足正交条件和识别约束条件。

在正规方程组ˆ'()-=X y X β0中，用Z 替换X ， ˆ'()-=Z y X β0 (1.5) 解此方程组，可得IV 估计量为：1ˆ(')'-=βZ X Z y (1.6) 将y =X β+u 带入估计量中，可得11ˆ(')'()(')'--=+=+βZ X Z X βu βZ X Z u 可以证明，1ˆE()(')'E()-=+=ββZ X Z u β 1121121ˆVar()E[(')''(')](')'(')(')σσ-----==≠βZ X Z uu Z X Z Z X Z Z X Z X X即IV 估计量是无偏的，但不是有效的。

同时，由111111ˆPlim()Plim[(')(')]Plim(')Plim(')E()n n n i i n N N N N ---→∞→∞--→∞-→∞=+===ββZ X Z u Z X AZ u Z u 0可知，IV 估计量是一致的。

1.3 两阶段最小二乘法设模型中存在K 个内生解释变量，存在L=K 个工具变量。

每个工具变量都必须满足正交条件和相关条件。

如果L=K ，称为恰好识别；如果L>K ，称为过度识别。

即利用其中不同的K 个工具变量，都可以得到不同的估计量。

当然，用任何一组工具变量得到的估计量都是一致的。

因此，现在的问题是如何在这L 个工具变量中找到K 个工具变量使其估计量最有效。

这即是两阶段最小二乘法。

1.3.1 TSLS 估计设模型为：=+y X βu (1.7)其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×L ）。

用Z 作为工具变量，Z 满足正交条件和识别约束条件。

首先回归模型=+X Z Πv (1.8)可得1ˆ(')-=ΠZ Z ZX ，并提取拟合值1ˆˆ(')-==X Z ΠZ Z Z ZX 。

令1(')'-=ZP Z Z Z Z ，P Z 为对称幂等矩阵，则ˆ=ZX P X 。

然后，利用ˆX 做为工具变量回归模型，可得IV 估计量为： 11ˆˆˆ(')'(')(')--==ZZβX X X y X P X X P y (1.9) 而ˆˆˆ''''()''====Z Z Z Z ZX X X P X X P P X P X P X X X 。

由此可得： 11ˆˆˆˆˆˆ(')'(')'--==βX X X y X X X y (1.10) 而1ˆˆˆ(')'-X X X y 是y 对ˆX 的OLS 回归估计量。

因此，利用ˆX作为工具变量作IV 回归与利用ˆX 替换X 作LS 回归是等价的。

也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。

估计步骤归纳如下。

Step1：利用X 对Z 作OLS 回归：=+X Z Πv ；提取拟合值ˆX。

Step2：用ˆX替换X ，直接作OLS 回归。

1.3.22SLS 的渐进特征假定1：令X 表示解释变量（包括常数变量1）。

假定存在L 个工具变量构成的（1×L ）向量Z ，满足E(Z 'u )=0。

Z 包含模型中的外生解释变量。

如果模型中存在内生变量，则Z 必须包含模型以外的外生变量。

假定2：（A ）Rank(Z 'Z )=L ；（B ）Rank(Z 'X )=K 。

（A ）条件是指L 个向量Z 不存在完全的线性关系；条件（B ）是指Z 与X 充分线性相关，即所有工具变量都必须满足识别约束条件。

条件（B ）称为秩条件。

秩条件成立的必要条件是L ≥K 。

即，工具变量的个数至少等于解释变量的个数，称之为阶条件。

由X =Z ∏+v （其中，∏为L ×K 矩阵），两侧同时乘Z 并求期望可得：1'''E(')E(')[E(')]E(')-=+⇒=⇒=Z X Z Z ΠZ v Z X Z Z ΠΠZ Z Z X (1.11)令X *=Z ∏ = Z[E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )。

在X β+u =y 两边同时乘以X *可得，X *'X β + X *'u = X *'y (1.12)求期望可得：E(X *'X )β= E(X *'y ) (1.13)而X *'X = X *'Z ∏ + X *'v ， E(X *'X ) = E(X *'Z )∏ + E(X *'v ) = E(X *'Z )∏ E(X *'Z )= E[(X -v ) 'Z ] = E[X 'Z - v 'Z ] = E(X 'Z )将∏ = [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )带入上两个式子中，可得：E(X *'X ) = E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )= E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X ) (1.14) E(X *'y ) = E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 Z ' y注意，上式中Z 是（1×L ）阶，X 是（1×K ）阶。

因此， X 'Z 是（K ×L ）阶，Z 'Z 是（L ×L ）阶，Z 'X 是（L ×K ）阶。

如果要估计出β，E(X *'X )必须是非奇异的，当且仅当E(Z 'X )的秩为K 。

将其带入β = [E(X *'X )]-1 E(X *'y )，可得β = [E(X *'X )]-1 E(X *'y )= {E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )} -1{E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1Z 'y} (1.15)β的TSLS 估计量为：{}{}-1112ˆ'(')(')'(')'SLS--=βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z y (1.16) 1．一致性由2SLS 估计量可得：1-1121-111111-11111ˆ['(')(')]['(')'()]['(')(')]['(')'][(')(')(')][(')(')(')]SLS N N N N N N ------------=+ =+ =+βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z X βu βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u (1.17)由大数定律和Slustky 定理，可得：2ˆPlim SLS =ββ。

即2SLS 估计量具有一致性。

2．渐进正态性根据1Plim(')E(')i i N -==Z u Z u 0，并由中心极限定理，1/2'~(,)N Normal -Z u 0B 。

同方差假定下，22E(')E(')i i i i u σ==B Z Z Z Z ，2=var()i u σ。

根据Slutsky 定理，1111-11111/22ˆ)[(')(')(')][(')(')(')]SLSN N N N N N ---------=ββX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u (1.18)定理：在假定1、22ˆ)SLS -ββ渐进服从正态分布，均值为0，方差矩阵为{}-121E(')E(')E(')σ-X Z Z Z Z X (1.19)其中，1E(')E(')E(')-X Z Z Z Z X 可以用样本进行估计，2σ的估计量公式为：2121ˆˆ()Ni i N K u σ-==-∑ 其中，2ˆˆi i i SLS u y =-x β，而不是第二阶段的残差项。