(精校版讲义)高中数学必修五 第15讲 基本不等式(可直接打印)

第十五讲：基本不等式【学习目标】1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一：基本不等式 1.对公式222a b ab +≥及2a bab +≥的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a bab +≥可以引申出常用的常用结论 ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）； ③222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a bab +≥可以变形为：2()2a b ab +≤. 要点二：基本不等式a +bab 2≤的证明 方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >,2a bab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->； 当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：特别的，如果0a >，0b >,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >,2a bab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点三：基本不等式2a bab +≤的几何意义如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．两个不等式：222a b ab +≥与2a b+≥成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥⨯-⨯-是成立的，而(3)(2)2-+-≥.2．两个不等式：222a b ab +≥与2a b +≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b 取等号，其含义是2a ba b +=⇒=；仅当a=b 取等号，其含义是2a ba b +==.综合上述两条，a=b 是2a b+=的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案. 【典型例题】类型一：对公式222a b ab +≥及2a b+≥ 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 .（1）a b++； （2）11()()a b a b++的最小值为4； （3）14a a ++的最小值为2-. 【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵0a >，0b >，∴a b++≥≥（当且仅当2a b ==时取等号）.（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a ba b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.（3）∵0a >，∴11444244a a a a +=++-≥=-++， （当且仅当144a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124a a +>-+【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.举一反三：【变式1】下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x+≥B ．当x >02≥C ．当x ≥2时，1x x +的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x-无最大值【答案】 B【变式2】设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≤1”是“||||x y +≤( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵2|x ||y |≤|x |2＋|y |2＝x 2＋y 2≤1， ∴(|x |＋|y |)2＝x 2＋2|x ||y |＋y 2≤2.∴||||x y +≤取x ＝0，y =x 2＋y 2≤1，故是充分不必要条件．类型二：利用基本不等式证明不等式例2. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。

【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥. 【总结升华】 1. 在运用ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.举一反三：【变式】已知x 、y 都是正数，求证：223333()()()8x y x y x y x y +++≥.【答案】∵x 、y 都是正数，∴0x >，0y >，20x >，20y >，30x >，30y >0x y +≥>（当且仅当x y =时，取等号）220x y +≥> （当且仅当x y =时，取等号）330x y +≥>（当且仅当x y =时，取等号）∴223333()()()8x y x y x y x y +++≥= （当且仅当x y =时，取等号） 即223333()()()8x y x y x y x y +++≥. 例3.已知3a >，求证:473a a +≥- 【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当433a a =--即5a =,等号成立）. 【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明. 举一反三：【变式1】已知x 、y 都是正数，求证：2y xx y+≥. 【答案】∵x 、y 都是正数 ，∴0x y >，0yx>，∴2x y y x +≥=（当且仅当y x x y =即x y =时,等号成立）故2y xx y+≥. 【高清课堂：基本不等式392186 例题3】 【变式2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca ab a b c a b c++≥++. 【答案】证明： ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴2bc ac c a b +≥=，2ac ab a b c +≥=，2bc ab b a c +≥=. ∴bc ca aba b c a b c++≥++. 类型三：利用基本不等式求最值 例4. 求函数9()45f x x x =+-(5x >)的最小值. 【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.【解析】∵5x >，∴50x ->∴9()4(5)2020325f x x x =-++≥=- （当且仅当94(5)5x x -=-即352x -=时，取等号） 故当132x =时，函数9()45f x x x =+-(5x >)的最小值为32.【总结升华】 1. 形如()Bf x Ax x=+（0x >，0A >，0B >）的函数的最值可以用基本不等式求最值；2. 利用基本不等式求最值时,应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件. 举一反三：【变式1】已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2281()f x x x=+的值最小？最小值是多少？【答案】∵0x ≠，∴20x >，∴2281()18f x x x =+≥= （当且仅当2281x x =即3x =±时，取等号） 故当3x =±时，2281x x+的值最小为18.【变式2】已知0x <，求16()204f x x x=++的最大值.【答案】∵0x <，∴0x ->，∴4()224x x -+≥=⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立）∴4()204[()]20444f x x x =--+≤-⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立）故当2x =-时，()f x 的最大值为4.例5. 已知x ＞0，y ＞0，且191x y+=，求x+y 的最小值. 【思路点拨】要求x y +的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】 方法一：∵191x y +=，∴199()10y xx y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭∵x ＞0，y ＞0，∴96y x x y +≥= （当且仅当9y x x y=，即y=3x 时，取等号） 又191x y+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16. 方法二：由191x y +=，得9y x y =- ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞999991(9)109999y y x y y y y y y y y y -++=+=+=++=-++---- ∵y ＞9，∴y －9＞0，∴9969y y -+≥=- （当且仅当999y y -=-，即y=12时，取等号，此时x=4） ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16.【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求.举一反三：【变式1】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则11x y+的最小值为________；【答案】 3+【变式2】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝14a b+的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】 ∵0a >,0b >，∴141141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 答案选C例6.已知,0a b >，（1）若4ab =,求a b +的最小值； （2）若4a b +=,求ab 的最大值. 【解析】（1）方法一：∵,0a b >且4ab =,∴4a b +≥=，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，a b +的最小值为4. 方法二：∵,0a b >且4ab =,∴44a b a a +=+≥=，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，a b +的最小值为4. （2）方法一：∵,0a b >，∴4a b =+≥4ab ≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，ab 的最大值为4. 方法二：∵,0a b >，∴2()42a b ab +≤=，（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，ab 的最大值为4. 方法三：∵,0a b >，4a b +=，∴22(4)4(2)44ab a a a a a =-=-+=--+≤（当且仅当2a b ==时取等号）∴2a b ==，ab 的最大值为4. 【总结升华】1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若,a b R +∈，且a b M +=，M 为定值，则24M ab ≤，等号当且仅当2Ma b ==时成立.2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +∈，且ab P =，P 为定值，则2a b P +≥，等号当且仅当a b P ==时成立.举一反三：【变式1】已知0x >，0y >，9xy =，求x y +的最小值. 【答案】∵0x >，0y >，9xy =，∴由26x y xy +≥=（等号当且仅当3x y ==时成立） 故当3x y ==时，xy 的最小值为6.【变式2】已知0x >，0y >，8x y +=，求xy 的最大值. 【答案】解法一：∵0x >，0y >，8x y +=，∴28(8)()162x x xy x x +-=-≤= （当且仅当8x x =-即4x =时，等号成立）故当4x =时，xy 的最大值为16.解法二：∵0x >，0y >，82x y xy =+≥， 即8422x y xy +≤==，可得16xy ≤，（当且仅当4x y ==时，等号成立） 故当4x =时，xy 的最大值为16. 类型四：利用基本不等式解应用题例7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为28m . 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解析】由题意可得1822x x y x ⋅+⋅=， ∴2884(042)4x xy x x x -==-<<.于是，框架用料长度为22222l x y x =++⨯3163(2)216(2)464222x x =++≥+=+.当316(2)2x x +=，即842322x ==-+时等号成立.此时， 2.343x ≈，22 2.828y =≈.故当x 约为2.343 m ，y 约为2.828 m 时用料最省.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【解析】(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2322326x y x y xy +≥⋅=，∴2618xy ≤，得272xy ≤，即272S ≤，当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由231823x y x y +=⎧⎨=⎩，解得 4.53x y =⎧⎨=⎩故每间虎笼长为4.5 m 、宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2324x y +≥==，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由2324x y xy =⎧⎨=⎩，解得64x y =⎧⎨=⎩. 故每间虎笼长为6 m 、宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．【巩固练习】一、选择题1. 下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x +≥ B ．当x >02≥ C ．当x ≥2时，1x x +的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x-无最大值 2.若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的个数为( )①ab ≤1≤；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤112a b+≥. A ．1 B ．2C ．3D ．43.设0,0a b >>,是3a 与3b 的等比中项,则11a b +的最小值为( ) A.8 B.4 C.1 D.144．若-4<x<1，则22222-+-x x x 有（ ） A ．最小值1 B.最大值1 C.最小值-1 D.最大值-15. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为230400010x y x =-+，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240B ．200C ．180 D. 1606．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C.9 2D.112二、填空题7．已知x，y∈R＋，且满足134x y+=，则xy的最大值为________．8．若lgx+lgy=1，则yx52+的最小值为_____.9. 已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．10. 若对任意x＞0，231xax x≤++恒成立，则a的取值范围是________．11. 有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．三、解答题12. 若1->x，则x为何值时11++xx有最小值，最小值为几？13. 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：1119a b c++≥.14.求证:47(3)3a aa+≥>-15. 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．【答案与解析】1．【答案】 B【解析】A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，∴1lg2lgxx+≥或1lg2lgxx+≤-；C中，当x≥2时，min152xx⎛⎫+=⎪⎝⎭；D 中，当0<x≤2时，1y x x =-在(0,2]上递增，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选B. 2. 【答案】 C 【解析】 因212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以①正确；因224a b a b =++=+≤++=，2≤，故②不正确； 因22222a b a b ++≥=，所以③正确； 因a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2[(a ＋b )2－3ab ]＝2(4－3ab )＝8－6ab ≥8－6＝2，所以④不正确； 因1122a b a b ab ab++==≥，所以⑤正确． 故正确的命题为①③⑤.3．【答案】B【解析】由题意的33a b +=，所以1a b +=，则1111()()1124b a a b a b a b a b +=++=+++≥.4．【答案】D 【解析】.1221]11)1[(21)1(21)1(222222-=⨯-≤-+--=-+-=-+-x x x x x x x5. 【答案】B【解析】依题意得每吨的成本是40003010y x x x =+-，则3010y x ≥=，当且仅当 400010x x=，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.6．【答案】 B【解析】 ∵2222x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴228(2)2x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0∴x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍)．7．【答案】 3【解析】 由134x y +=为定值知 23412123342x y x y xy ⎛⎫+ ⎪=⋅⋅≤= ⎪ ⎪⎝⎭. ∴当且仅当34x y =时xy 有最大值3.8．【答案】2【解析】lgx+lgy=1, xy=10, 210252=≥+xyy x . 9. 【答案】116【解析】21141444216x y xy x y +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当142x y ==时取等号．10. 答案: 15a ≥ 【解析】 211313x a x x x x≥=++++ 又12x x+≥ ∴11153x x≤++ ∴15a ≥11. 【答案】2500 m 2【解析】设所围场地的长为x ，则宽为2004x -，其中0<x <200，场地的面积为2220012002500m 442x x x x -+-⎛⎫⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝100时等号成立．12. 【解析】∵1x >-, ∴10x +>,∴111121111x x x x +=++-≥-=++ 当且仅当111x x +=+即0x =时，原式有最小值1. 13.【解析】 证明：∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴11a b c b c a a a a ++==++， 11a b c a c b b b b ++==++， 11a b c a b c c c c++==++. ∴1111113b c a c a b b a c b a c a b c a a b b c c a b b c c a++=++++++++=++++++3≥+3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴1119a b c++≥. 14.【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 15. 【解析】(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x －1)天．∴每次购买的原材料在x 天内总的保管费用为y 1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝(6x 2－6x )(元)．(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x 元，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为21600(66600) 1.54006594y x x x x x=-++⨯=++.∴594714y ≥=， 当且仅当6006x x=，即x ＝10时，取等号． ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y 最小，为714元．。