4数列求和(1)
数列求和1
1 2n
1
1 2n
1
nn
1
1n
2
1 2
1
nn
1
n
1
1n
2
已知：an 3n 1,求
1 1 1
a1a2 a2a3
an an 1
五、公式法求和：
所给数列的通项是关于n的多
项式，此时求和可采用公式
法求和，常用的公式有：
数列求和
一、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末
两项等距的两项之和等于首 末两项之和，可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式 相加，就得到一个常数列的 和，这一求和的方法称为倒 序相加法.
二、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
已知an
1
nn
2
,
求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
例 ： 求前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
数列求和的八种方法及题型
数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。
例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。
由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。
2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。
例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。
3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。
例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。
将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。
4、数表法：把数列列成表，统计其和。
例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。
4数列求和
第三十讲 数列求和一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分．)1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4002．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为( )A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n 2n ＋13．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N)，则f (n )等于( )A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1)C.27n ＋3－1)D.27(8n ＋4－1) 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n ＋1－3B ．3n －3C ．3n ＋1＋3D ．3n＋35．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2－n ＋1－12n6．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分．)7．已知函数f (x )对任意x ∈R，都有f (x )＝1－f (1－x )，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝________.8.12＋222＋323＋424＋…＋n 2n －2等于________． 9．数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8…的前n 项和等于________．10．函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2 (n 为奇数)－n 2 (n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 1000＝__________.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分．)11．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 12．等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和．13．(2011·沈阳市模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，2a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n n 2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .。
高中数学专题强化练习《数列求和》含答案解析
=2 -1,
1-2
=
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
2 × (1 - 2)
-n=2n+1-n-2.故选
1-2
=
D.
2.B 由题意可得,当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;
当 n 为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.
公差不为 0,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a4,a7 成等比数列,S3=12.
(1)求 an 及 Sn;
1
1
1
(2)已知数列{bn}满足+1-=an,n∈N*,b1=3,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,
求 Tn 的取值范围.
答案全解全析
一、选择题
1.D ∵an=1+2+22+…+2n-1
又 a14=b4,所以 1+13d=1×33,解得 d=2,
( - 1)
1 - 3
2+3 - 1.
·2+
=n
2
1-3
2
所以数列{an+bn}的前 n 项和为 n+
8.答案 6
6
解析 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,由 a4=24,a6=96,得 q2=4
=4,所以 q=2 或 q=-2,
(n ≤ 6,n ∈ N*),
2
∴Tn= n2 - 11n + 60
(n ≥ 7,n ∈ N*).
2
=15+
四年级思维 第2讲 简单数列求和一
第3讲：简单数列求和（一）知识要点:许多同学都知道这样一个故事:大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。
那高斯是用什么方法来巧妙进行计算的呢?因为1到100这100个自然数有这样的关系:1+100=101,2+99=101,3+98=101…一共有多少个101呢?因为一共有100个数,每两个数一组,一共有100÷2=50(组),也就是说有50个101。
所以1+2+3+……+100=101×50=5050。
若干个数按一定的规律排成一列,称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第一项开始,后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为该数列的公差。
这种数列有极简便的求和方法:等差数列的和=(首项十末项)×项数÷2。
通过这一讲的学习,我们不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且还能学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。
例1、1+2+3+4+5+6+………+99+100练习1、89+90+91+92+93+94+95+96+97+98例2、求下列各式的和。
(1)1+3+5+7+9+……+97+99(2)2+4+6+8+10+……+98+100练习2(1)1+3+5+7+9+……+47+49(2) 2+4+6+8+10+……+48+50例3、把一堆苹果分给8个小朋友,如果要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每人拿到的苹果个数都不同这堆苹果至少要有多少个?练习3、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前12名可以获奖,比赛结果第一名1人,第二名并列2人,第三名并列3人……第十二名并列12人,得奖的一共有多少人?例4、把27枚棋子放到7个不同的空盒子中,如果要求每个盒子都不能空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到?说明理由。
练习4、有10个盒子,56只乒乓球,能不能把56只乒乓球放进盒中,并且各个盒子里的乒乓球只数不相等?(每个盒子至少放一只球)例5、小明家的一个时钟,在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟的点数,每半点也敲一下。
数列求和方法(带例题和练习题)
数列的求和数列求和主要思路：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 11123(1)2nn k S k n n n ===+++++=+∑… 4、2222211123(1)(21)6nn k S k n n n n ===++++=++∑5、 2333331(1)1232nn k n n S kn =+⎡⎤===++++=⎢⎥⎣⎦∑ 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。
例1．求和221-++++n xx x (0,2≠≥x n )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例3．求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例4．求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．已知数列{}n a 的通项公式321n n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2025高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列求和
①等差数列的前n项和公式：
na1＋an Sn＝ 2 ＝
na1＋nn－ 2 1d
.
②等比数列的前n项和公式：
na1，q＝1， Sn＝ _a_11_－－__aq_nq_＝__a_1_1_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1__.
知识梳理
(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (3)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
因为bn＝an＋ncos nπ＝2n＋1＋(－1)nn， 所以当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n] ＝n3＋22n＋1＋n2 ＝n2＋2n＋n2＝n2＋52n.
当n为奇数时， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋52(n＋1)－[2(n＋1)＋1＋n＋1]＝n2＋32n－12. 综上，Tn＝nn22＋＋3252nn， －12n为 ，偶n为数奇，数.
题型二 并项求和
例2 记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1. (1)求数列{an}的通项公式；
当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1， 即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0. 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式；
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第四节数列求和
、基础知识
1. 公式法
(1)等差数列｛a n｝的前n项和S n = n®1]* = na j + 卑—
推导方法：倒序相加法.
严1, q = 1,
⑵等比数列｛a n｝的前n项和S n = a1(1-q n) q^ 1 L. 1 q
推导方法：乘公比，错位相减法.
⑶一些常见的数列的前n项和:
①1 + 2+ 3+…+ n =吨严
②2+4+6+…+ 2n= n(n+ 1);
③ 1 + 3+5+…+ 2n— 1 = n2
2. 几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
⑵裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.
⑷倒序相加法：如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
考点一分组转化法求和
［典例］
n 2 + n
已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = —2—，n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式；
⑵设b n = 2a n + (— 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和. [解](1)当 n = 1 时，a 1= S 1= 1; 2 2 当 n >2 时，a n = S n -S n — 1=
又a 1= 1也满足a n = n ,故数列｛a *｝的通项公式为a n = n. ⑵由⑴知 a n = n ,
故 b n = 2"+
( — 1)
n n.
记数列｛b n ｝的前2n 项和为T 2n ,
则 T 2n = (21 + 2?+ …+ 22n )+ (— 1 + 2— 3 +4—…+ 2n). 记 A =:勺 + :2+ …+ 22n , B =— 1 + 2— 3 + 4—…+ 2n , 则 A =红1二幼 22n +
1 — 2,
1 — 2
B = (— 1 + 2) + (— 3 + 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n] = n. 故数列｛b n ｝的前2n 项和
［解题技法］
1.分组转化求和的通法 若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数
解析：选C
T 2n = A + B = 22n +
1+ n — 2.
数列求和应从通项入手, 列或等比数列或可求数列的前
n 项和的数列求和.
2.分组转化法求和的常见类型
厂I 叫=也士*・，血｝, 为等差或竽
分组求和
［题组训练］
1.
已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n — g),则其前20项和为( )
379 + 2^ B . 399 + 220 C . 419 + 尹
D . 439 + 220
1
2. 已知数列｛a n ｝
中, a 1 = a 2= 1, a n +2= ［an + 2, n 是奇数，
仁，n 是偶数，则数列｛an ｝的前20项和为
1 121 B . 1 12
2 C . 1 12
3 D . 1 124
解析：选C 考点二裂项相消法求和 ［解题技法］
1.用裂项法求和的裂项原则及消项规律
2.常见的拆项公式
1 = 1- __|
⑴n (n + 1 ) n n + 1 ；
_= 1( 1 - __________ .
⑵(2 n - 1 )(2 n + 1 = 2^门—1 2n + 1
丿；
⑶乔k =时"；
⑷ 2n =
⑷(2n — 1 j(2n +
1 - 1) 2n - 1
2n +
1- 1.
1
考法(一)形如a n =
型
n (n + k )
［典例］已知等差数列｛a n ｝满足a 3= 7, 85+ a 7= 26. (1)求等差数列｛a n ｝的通项公式;
⑵设C n =^^, n € N *，求数列｛C n ｝的前n 项和T n .
a n a n +
1
考法(二)形如a n =
—
尸型 V n +k +V n
1
［典例］已知函数f(x)= X a的图象过点(4,2)，令a n= f(n+ 1 Z f(n)' n e ".记数列｛瑞的前n项和为S n，贝y S2 019=( )
A^2 018- 1 B^2 019- 1
C72 020—1 D.\/2 020 + 1
［答案］C
［题组训
练］
1.在等差数列｛a n｝中, a3+ a5+ a7= 6, a11= 8,则数列i a n+3 a n.4J的前n项和为(
)
n+ 1 n
B.n + 2
n C.n+ 1
2n D.乔
解析：选C
2.各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1= 8,且2a1, a3,3a2成等差数列.
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
1
⑵若数列｛b n｝满足b n= 求｛b n｝的前n项和S n.
考点三错位相减法
［典例］
(2017山东高考)已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，且a i + a2= 6, a i a2= a3.
⑴求数列｛a n｝的通项公
式; P- r
(2)｛ b n｝为各项非零的等差数列，其前n项和为S n.已知S2n+1= b n b n+1，求数列舊的前n 项和T n.
［变透练
清］
1.(变结论若本例中a n, b n不变，求数列｛a n b n｝的前n项和T n.
2.已知｛a n｝为等差数列，前n项和为S n(n€ N*), ｛b n｝是首项为
大于0,匕2 + g = 12,匕3= a4 —2a i, S ii= lib%
2的等比数列，且公比
⑴求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；
⑵求数列｛a2n b n｝的前n项和(n€ N*).
［易误提
醒］
(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n—1项和当作n项和.
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比况求解. q = 1和q工1两种情
［课时跟踪检测］
n + 1
1 .数列｛a n ｝的通项公式为a n =9 + f 〒，若该数列的前k 项之和等于9,则k =(
)
B . 81
C . 79
D . 82
解析：选B
2.若数列｛a n ｝的通项公式是a n = (— 1)
n (3n — 2)，则a 1+a 2+…+昕=( )
A . 15
B . 12
C .— 12
D . — 15
解析：选A
3.已知｛a n ｝是首项为1的等比数列，S n 是｛a n ｝的前n 项和，且9S B = 则数列 巴!的
前5项和为( ) A •普或5 B.?1或5
31 C.w 15
解析：选C 4.在等差数列｛ a n ｝中，a 4= 5, 87= 11•设b n = (— 1)n a n ,则数列｛*｝的前100项之和S 100
A . — 200
B . — 100
C .
200
D . 100
解析：选D
5.已知T n 为数列一2 + 1
的前n 项和，若m>T 10 + 1 013恒成立，则整数 m 的最小值为
A . 1 026
B . 1 025
C . 1 024
D . 1 023
解析：选C
6.已知数列：1, 24, 38,…，(n + 2^)…，贝y 其前n 项和关于n 的表达式为
n 1
7 . (2017全国卷n )等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , 23= 3, $4= 10,则艺T =
k =1 Sk 答案：-2n
n *
&已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a n +1 a n = 2 (n € N )，贝U S 2018= 答案：3 21 009 — 3 9.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 2= 3, S 4= 16, n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式; 1 、， ，求数列｛ b n ｝的前n 项和T n . ⑵设b n =
B 级
1 .若数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S h = 2a n — X QO , n € N
).
(1)证明数列｛a n ｝为等比数列，并求 a n ；
n 为奇数， * 为偶数(n € N)，求数列｛bn ｝
的前2n 项和T2n .
⑵若X = 4，bn =爲2a n , n 2.已知首项为2的数列｛a n ｝的前n 项和为&，且S n +1= 3S n — 2S n -1( n A 2, n € N). (1)求数列｛a n ｝的通项公式; ⑵设b n =
，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .
a n
a n a n +1
a n ，。