2020浙江省高考数学考点针对性训练---三角函数及解三角形(解析版)
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形考点规范练20正弦定理和余弦定理
考点标准练20 正弦定理和余弦定理根底稳固组1.在△ABC 中,假设AB=√13,BC=3,∠C=120°,那么AC=( )A.1B.2C.3D.413=9+AC 2+3AC ⇒AC=1.应选A .2.(2021台州二次适应性测试)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2-c 2=ab=√3,那么△ABC 的面积为( ) A.√34 B.34C.√32D.32cos C=a 2+a 2-a 22aa=12,C=60°,因此△ABC 的面积等于12ab sin C=12×√3×√32=34,应选B .3.(2021浙江温州瑞安模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.a sin B cos C+c sinB cos A=12b ,且a>b ,那么∠B=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6:sin A sin B cos C+sin C sin B cos A=12sin B ,∵sin B ≠0,∴sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C )=sin B=12,∵a>b ,∴∠A>∠B ,即∠B 为锐角,那么∠B=π6.应选A .4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.假设a=1,sin a sin a=12+cos aa,那么A= .解析由条件sin asin a =12+cos aa得a a =12+cos aa,那么b=12c+cos C=12c+1+a 2-a 22·1·a,即b 2+c 2=bc+1,∵1=b 2+c 2-2bc cos A ,可得cos A=12,∴A=60°.5.(2021浙江高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.假设a=√7,b=2,A=60°,那么sinB= ,c= .3解析由正弦定理a sin a=asin a , 可知sin B=a sin aa=√7=2×√32√7=√217. ∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2a =√47=2√77.∴cos C=-cos(A+B )=sin A sin B-cos A cos B=√32×√217−2√77×12=3√7-2√714=√714. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=7+4-2×2×√7×√714=7+4-2=9.∴c=3. 6.(2021浙江诸暨5月适应考试)在三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别是a ,b ,c ,sin A+sin B=54sinC ,且△ABC 的周长为9,那么c= ;假设△ABC 的面积等于3sin C ,那么cos C= .-14ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别是a ,b ,c ,∵sin A+sin B=54sin C ,∴由正弦定理得a+b=5a 4,又△ABC 的周长为9,那么c+5a 4=9,解得c=4.假设△ABC 的面积等于3sin C ,即12ab sin C=3sin C , 整理得ab=6.又a+b=5a 4=5,解得{a =2,a =3,或{a =3,a =2,∴cos C=a 2+a 2-a 22aa =-14.能力提升组7.(2021浙江温州期末)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,假设(a 2+b 2-c 2)tan C=ab ,那么角C 的大小为( ) A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3(a 2+b 2-c 2)tan C=ab可得,a 2+a 2-a 22aa tan C=12,由余弦定理可得cos C tan C=sin C=12, 因为0<C<π,所以角C 的大小为π6或5π6,应选A.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,∠B=30°,△ABC 的面积为32,且sin A+sin C=2sin B ,那么b 的值为( ) A.4+2√3 B.4-2√3 C.√3-1 D.√3+1解析由可得12ac sin30°=32,解得ac=6,又sin A+sin C=2sin B ,由正弦定理可得a+c=2b ,由余弦定理:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac-√3ac=4b 2-12-6√3,∴解得b 2=4+2√3,∴b=1+√3.应选D .9.在锐角△ABC 中,假设A=2B ,那么a a的范围是(a ,b 分别为角A ,B 的对边长)( ) A .(√2,√3) B .(√3,2) C .(0,2) D .(√2,2)A=2B ,∴根据正弦定理得aa =sin asin a =2sin a cos a sin a=2cos B.(sin B ≠0)∵A+B+C=180°,∴3B+C=180°,即C=180°-3B.∵角C 为锐角,∴30°<B<60°.又0°<A=2B<90°,∴30°<B<45°,∴√22<cos B<√32,即√2<2cos B<√3,那么a a的取值范围是(√2,√3),应选A .10.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a=1,2b-√3c=2a cos C ,sin C=√32,那么△ABC 的面积为( ) A.√32B.√34C.√32或√34D.√3或√322sin B-√3sin C=2sin A cos C ,而sin B=sin(A+C ),整理为2cos A sin C=√3sin C ,所以cos A=√32,所以A=30°,a sin a=asin a ,解得c=√3,因为sin C=√32,所以C=60°或C=120°,当C=60°时,B=90°,此时△ABC 的面积为S=12ac=√32,当C=120°时,B=30°,此时△ABC 的面积为S=12ac sin B=√34,应选C .11.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,假设a=2b sin C ,那么tan A+tan B+tan C 的最小值是( ) A.4 B.3√3C.8D.6√3a=2b sin C ,∴sin A=2sin B sin C=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,两边同除cos B cos C ,∴2tan B tan C=tan B+tan C ,又tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C , ∴tan B+tan C=2tan atan a -2,∴tan A+tan B+tan C=tan A+2tan a tan a -2=tan A-2+4tan a -2+4≥8,当且仅当tan A=4时取等号.12.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,假设角A ,B ,C 依次成等差数列,且a=1,b=√3,那么S △ABC = .A ,B ,C 依次成等差数列,所以B=60°.由正弦定理,得1sin a =√3sin60°,解得sin A=12,因为0°<A<180°,所以A=30°或150°(舍去),此时C=90°,所以S △ABC =12ab=√32.13.在等腰△ABC 中,AB=AC ,AC 边上的中线BD 长为6,那么当△ABC 的面积取得最大值时,AB 的长为 .√5,设AB=AC=2x ,那么AD=x (2<x<6),由余弦定理,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=5a 2-364a 2=54−9a 2,所以sin A=√1-(54-9a 2)2,所以S △ABC =12AB ·AC sin A=12·4x 2√1-(54-9a 2)2=2√-916(a 2-20)2+144≤24,当x 2=20,即x=2√5时等号成立,所以当△ABC 的面积取得最大值时,AB 的长为4√5.14.(2021浙江温州模拟改编)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a=2,2cos2a +a2+sinA=45,(1)假设满足条件的△ABC 有且只有一个,那么b 的取值范围为 ; (2)当△ABC 的周长取最大值时,那么b 的值为 .∪{103} (2)√102a +a2+sin A=45⇒1+cos(B+C )+sin A=45,即sin A-cos A=-15,又∵0<A<π,且sin 2A+cos 2A=1,有{sin a =35,cos a =45,假设满足条件的△ABC 有且只有一个,那么有a=b sin A 或a ≥b ,那么b 的取值范围为(0,2]∪{103};(2)设△ABC 的周长为l ,由正弦定理得l=a+b+c=a+a sin a ·(sin B+sin C )=2+103[sin B+sin(A+B )]=2+103(sin B+sin A cos B+cos A sin B )=2+2(3sin B+cos B )=2+2√10sin(B+θ),其中θ为锐角,且{sin a =√1010,cos a =3√1010,l max =2+2√10,当cos B=√1010,sin B=3√1010时取到等号,此时b=asin asin B=√10. 15.(2021江苏调研)△ABC 中,假设角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,满足a+1a +4cos C=0,b=1. (1)假设△ABC 的面积为√32,求a ; (2)假设A=π6,求△ABC 的面积.解(1)由S=12ab sin C=12a sin C=√32得a sin C=√3,即sin C=√3a .又a+1a =-4cos C ,那么a+1a2=16cos 2C=16(1-sin 2C )=16-48a 2,即a 4-14a 2+49=0,得到a 2=7,即有a=√7.(2)由题意有a+1a =-4cos C 及余弦定理cos C=a 2+a 2-a 22aa ,有a+1a =-4·a 2+a 2-a 22aa =-2(a 2+1-a 2)a,即a 2+1=23c 2, ①又由b 2+c 2-a 2=2bc cos A 可知c 2-a 2+1=√3c , ②由①②得到c 2-3√3c+6=0,即(c-√3)(c-2√3)=0,可知c=√3或c=2√3.经检验,c=√3或c=2√3均符合题意,那么△ABC 的面积为S=12bc sin A=√32或√34.16.(2021浙江名校联考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,c=2,C=π3. (1)当2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 时,求△ABC 的面积; (2)求△ABC 周长的最大值.由2sin2A+sin(2B+C )=sin C ,得4sin A cos A-sin(B-A )=sin(A+B ),得2sin A cos A=sin B cos A ,当cos A=0时,A=π2,B=π6,a=4√33,b=2√33,当cos A ≠0时,sin B=2sin A ,由正弦定理b=2a ,联立{a 2+a 2-aa =4,a =2a ,解得a=2√33,b=4√33,故三角形的面积为S △ABC =12ab sin C=2√33;(2)由余弦定理及条件可得a 2+b 2-ab=4,由(a+b )2=4+3ab ≤4+3(a +a )24得a+b ≤4,故△ABC 周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到.。
高考数学 三角函数与解三角形(解析版)
《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.对三角恒等变换的独立考查，五年一考，对三角恒等变换与三角函数图象和性质的综合考查，五年五考，渐渐稳定为解答题，难度为中等.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．对解三角形的考查，做到了五年五考，近三年为填空题，且设计两空.一．选择题1．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】将函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，则()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[3,4]C ．[0,3]D ．[0,4]2．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知，，则A ．B ．C ．D ．3．【浙江省金华十校2019届高三上期末】把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则m 的最小值是A ．B ．C ．D ．二.填空题4．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。
问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，请计算该圆直径的最大值为________步.5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为a ，b ，有，则a ＋b ＝__，其中直角三角形的较小的锐角 的正切值为_ __ ．6．【浙江省宁波市2019届高三上期末】将函数的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图像，则_____；若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_ __.7．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若2222a c b ac +=，则B ∠=________；若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值为________.8．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．9．【浙江省台州市2019届高三4月调研】在中，是边上的中线，∠ABD＝.（1）若，则∠CAD＝______；（2）若，则的面积为______.10.【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】在中，角，和所对的边长为，和，面积为，且为钝角，则__；的取值范围是___．11．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】在锐角中，内角所对的边分别是，，，则__________．的取值范围是__________．12. 【浙江省2019届高考模拟卷（二)】在中，角的对边分别为，，，，则____，___．13. 【浙江省2019届高考模拟卷（三)】在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，则的值为__________，若，，则的面积等于_________.15．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】己知函数是由向左平移个单位得到的，则__________．16.【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】在中，角所对的边分别为，，，且外接圆半径为，则______，若，则的面积为______．17.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末联考】在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.∆中，A，B，C内角所对的边分别为a，b，18．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】在ABCc，已知2b=且cos cos4sin sin+=，则c的最小值为_____．c B b C a B C三.解答题19．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知函数（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）若，，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.20．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知函数，.（Ｉ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.21．【浙江省宁波市2019届高三上期末】如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是坐标原点，落在轴非负半轴上，点在第一象限，是扇形弧上的一点，是扇形的内接矩形.（1）当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，求点的纵坐标；（2）当在扇形弧上运动时，求矩形面积的最大值.22．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】如图，在单位圆上，∠AOB＝α()，∠BOC ＝，且△AOC的面积等于．（ I）求 sinα的值；（ II）求 2cos()sin)23．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数. （Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）求方程在区间内的所有实根之和.24．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知函数．Ⅰ求的值；Ⅱ已知锐角，，，，求边长a．25．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值； （2）求的长.26．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且cos 2cos 0ϕϕ+=. （1）求ω和()2f π的值；（2）若3()(0)25f ααπ=<<，求sin α．27.【浙江省台州市2019届高三上期末】已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围．28.【浙江省2019届高考模拟卷（一)】已知函数2()sin cos 3cos 333x x x f x =+. （1）求该函数图象的对称轴；（2）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2b ac =,求()f B 的取值范围.29.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知函数.（1）已知角的顶点和原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值；（2）若，，求的值.30.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知函数.（1）求函数在上的值域；（2）若，求.答 案《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.对三角恒等变换的独立考查，五年一考，对三角恒等变换与三角函数图象和性质的综合考查，五年五考，渐渐稳定为解答题，难度为中等.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．对解三角形的考查，做到了五年五考，近三年为填空题，且设计两空.一．选择题1．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】将函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，则()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[3,4]C ．[0,3]D ．[0,4]【答案】D 【解析】因为函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，所以()2sin[2()]22sin(2)2666g x x x πππ=+-+=++，230,(2)[,]sin(2)[1,1]()[0,4]36626x x x g x πππππ⎡⎤∈∴+∈∴+∈-∴∈⎢⎥⎣⎦Q ，故本题选D.2．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，，，，则，故选：D．3．【浙江省金华十校2019届高三上期末】把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则m的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】把函数的图象向左平移个单位，得到，，由，得，，当时，m 最小，此时，故选：B ． 二.填空题4．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。
2020浙江省高考数学考点针对性训练---三角函数及解三角形(解析版)
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
增区间(- +kπ, +kπ) 22
最值
当 x 2 +2kπ时, ymax 1
当 x 2kπ时, ymax 1 当 x π+2kπ
无
当 x - 2 +2kπ时, ymin 1
时, ymin 1
3、同角三角函数公式
sin 2α+ cos 2α= 1
tan
sin cos
4、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα
cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α=
tan 2
2 tan 1 tan2
cos2α-
sin2α
5、降幂公式 cos2 1 cos 2
2
6、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα) 2
tan
tann tan 1 tan tan
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
a sin b cos a 2 b 2 sin
（其中 tan b ）
a
特
殊
地
sin cos 2 sin( ) 4
sin
3
cos
2 sin(
)
3
：
3 sin cos 2sin( ) 6
9、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
10、函数 y Asin(x ) 中，振幅：A
周期： T
2
初相：
11、正弦定理： a b c 2R （R 为ΔABC 外接圆半径） a : b : c = sinA :
sin A sin B sin C
浙江省2020年高考数学模拟题分项汇编 4 三角函数与解三角形(解析版)(54道题)
第四章.三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.对三角恒等变换的独立考查，五年一考，对三角恒等变换与三角函数图象和性质的综合考查，五年五考，渐渐稳定为解答题，难度为中等.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．对解三角形的考查，做到了五年五考，近三年为填空题，且设计两空.一.选择题1．(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)函数()2cos2f x x =的最小正周期是( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】C 【解析】函数()2cos2f x x =的最小正周期是222T πππω===， 故选：C ．2．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是( )A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】因为函数()sin f x x ω=的最小正周期为π所以222T ππωπ=== 故选：C3.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)为了得到函数的图象，可以将函数的图象 ( )A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度 【答案】C【解析】由题意，由于函数，观察发现可由函数向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故选C.4．(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知3cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=( ) A ．35-B ．45-C ．45 D ．45±【答案】D 【解析】Q 3cos()25πα-=，3sin 5α∴=，则24cos 15sin αα=±-±．故选：D ．5.(2020届浙江省五校高三上学期联考)函数()()sin 22cos 0f x x x x π=+≤≤，则()f x ( ) A ．在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B ．在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C ．在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D ．在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 【答案】C 【解析】()()()()22cos22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故151sin 0,,266x x πππ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故()f x 在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，即在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 答案选C6.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知函数()2sin()(01,||)f x x ωϕωϕπ=+<<<，若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则⋅=ωϕ( ) A ．118π B ．1118π-C ．1172π-D ．772π 【答案】A 【解析】函数()2sin()f x x ωϕ=+的最大值为2， 若511()2,()088f f ππ==， 则115(21)884k T ππ+-=，k ∈N ； 所以3221T k ππω==+，解得423k ω+=；又因为01ω<<，所以23ω=； 由252382n ππϕπ⨯+=+，n Z ∈； 所以212n πϕπ=+，n Z ∈；因为||ϕπ<，所以12πϕ=；所以231218ππωϕ⋅=⨯=．故选：A ．7．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是( ) A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【答案】A 【解析】函数()sin cos f x x x =+所以()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由正弦函数的单调递增区间可知, ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为22,422k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得322,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 因为在[,]a a -是增函数所以a 的最大值是4π 故选:A8.(2020届浙江省五校高三上学期联考)在三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan 4A =，则tanB =( )A B ．C ．3D ．2【答案】D 【解析】()sin cos 0sin cos sin sin 2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，()tan tan 2tan tan tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=- 故选D .9．(2020届浙江省五校高三上学期联考)若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=( )A ．23B ．56C ．1D ．2【答案】B 【解析】法一：由题意可知：当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，0x a b --≥，即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B ； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右图像可得：显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B10．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)函数()(), ,00sin ),(xf x x xππ=∈-⋃的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由于πππ21π22sin2f ⎛⎫==>⎪⎝⎭，只有A 选项符合. 故选：A.11.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =的函数解析式为( )A ．()cos2f x x =-B ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()cos2f x x =D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】把()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位可得()sin 2sin 2cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C12.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=3sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( )ABC．D．±【答案】B 【解析】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩，两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<Q ，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 22ββ+=，所以sin 6πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B13.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)函数f (x )＝sin (ωx +φ)(ω＞0，22ϕππ-＜＜)满足f (4π)＝f (2π)＝﹣f (34π)，且当x ∈[4π，2π]时恒有f (x )≥0，则( ) A ．ω＝2 B ．ω＝4C ．ω＝2或4D ．ω不确定【答案】A 【解析】由题意，函数()()sin ωϕ=+f x x ，因为f (4π)＝f (2π)＝﹣f (34π)，可得f (x )有一条对称轴为34228x πππ+==，对称点的横坐标为352428πππ+=， 又由x ∈[4π，2π]时恒有f (x )≥0，所以f (38π)＝1，又f (58π)＝0，53884πππ-=． 所以44T π=，344T π=， 可得当T ＝π，ω＝2；当T 3π=时，ω＝6，当x 34π=时，sin (6•34π+φ)＝cosφ＞0，不成立， 故选：A ．14.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A ．59 B ．19 C ．19-D ．59-【答案】C 【解析】5πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=21cos 22cos 1669ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C15．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知()()sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ<，()f x 是奇函数，直线1y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则( ) A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减增 【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以0,ϕ= 所以()sin f x x ω=； 又由已知得2,,22T πππω=∴=所以 4.ω=所以()sin 4.f x x =由函数的解析式可知()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.故选A.16.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知ABC △内接于半径为2的O e ，内角A ，B ，C 的角平分线分别与O e 相交于D ，E ，F 三点，若coscos cos (sin sin sin )222A B CAD BE CF λA B C ⋅+⋅+⋅=++，则λ=( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】连接BD ，在三角形ABD 中，由正弦定理得4sin 2ADA B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故cos2A AD ⋅=4sin cos 22A A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ4sin cos 222222B C B C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4sin cos 2222B C B C ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos cos sin cos cos sin sin 22222222B C B C B C B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos sin 2sin cos sin 2222C C B B B C ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin sin B C =+.同理可得()cos2sin sin 2B BE A C ⋅=+、()cos 2sin sin 2CCF A B ⋅=+，故cos cos cos 4(sin sin sin )222A B CAD BE CF A B C ⋅+⋅+⋅=++，故4λ=.故选D.17.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)设的内角所对的边分别为，且，已知的面积，，则的值为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，变形为：，又为三角形的内角，，，即，为三角形的内角，可得：，，，解得：．故选：D ．18．(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=>的图像与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则()y g x =是减函数的区间为( )．A ．,03π⎛-⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】f(x)=sin ωx 3cos ωx=2sin(ωx )3π-因为图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π22T = 所以T π=，ω=2 所以f(x)=2sin(2x )3π-所以πg(x)=2sin[2(x+)]2sin2x 63π-=由π3π+k π2x +k π22≤≤得()π3π+2x +4242k k k Z ππ≤≤∈所以y=g(x)是减函数的区间为()π3π+,+4242k k k Z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦分析选项只有D 符合 故选：D .19．(2020届浙江学军中学高三上期中)若O 是ABC △垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +u u u r u u u r 2sin sin m B C AO =u u u r，则m =( )A ．12B C D ．6【答案】D 【解析】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +u u u r u u u r 2sin sin m B C AO =u u u r，得cos cos 2sin sin C B AB AC m AO C B+=⋅u u u r u u u r u u u r ， 连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r，所以()cos cos 2sin sin C B AB AC m AD DO C B +=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r 同乘以AB u u u r得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B⋅+⋅=⋅+⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅u u u r u u u r因为6A π=，所以2cos cos sin sin 2C B c bc C B +=由正弦定理可得cos sin sin sin sin C C B C B C +=又sin 0C ≠，所以有cos sin 2C B B +=⋅， 而56C A B B ππ=--=-，所以51cos cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin sin 2B B =，而sin 0B ≠，所以得到m =，故选：D.二.填空题20．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)已知角α的终边经过点(1,3)P -，则tan α=_________，sin()cos()2ππαα+-=_________.【答案】3- 34-【解析】由任意角的三角函数的定义可知3tan 31α==-- sin()sin παα+=-，cos()cos ()cos()sin 222πππαααα⎡⎤-=--=-=⎢⎥⎣⎦所以()()222233sin()cos()sin 2413ππααα⎡⎤⎢⎥+-=-=-=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦故答案为：3-；34-21.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)在中，角分别对应边，为的面积.已知，，，则_______，_______.【答案】 6..【解析】由正弦定理得，，由余弦定理得，，则，所以.22.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知将函数()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则⋅=ωϕ______.【答案】34π- 【解析】由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x Q 和()g x 的图象都关于4x π=对称,42,432k k Z k k Z ππωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈ 06ω<<Q 3ω∴= ,4k k Z πϕπ∴=-+∈又22ππϕ-<< 4πϕ∴=- 34πωϕ∴⋅=- 本题正确结果：34π-23．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则cos CDB ∠=__________，AC =____________.【答案】146【解析】由余弦定理可知：2222cos 288DC DB BC DB DBCDB DC DB DB +-∠===⋅ 2221cos 22AD DB AB ADB AD DB DB+-∠==⋅ 因为ADB CDB ∠=∠，所以182DB DB=，解得：2DB = 所以21cos 884DB CDB ∠=== 217cos cos 22cos 121168ADC CDB CDB ∠=∠=∠-=⨯-=-所以AC ===故答案为：14；24.(2020届浙江学军中学高三上期中中)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos c A C =，则C =__________，若c =ABC △的面积为2，则a b +=__________． 【答案】3π7 【解析】因为sin cos c A C =由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得，sin sin cos C A A C =而sin 0A ≠，所以tan C =()0,C π∈，所以3C π=.因为c =所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得2213122a b ab =+-⨯，即2231a b ab +-=因为ABC △，所以1sin 2ab C =所以6ab =，所以22249a b ab ++=， 所以7a b +=. 故答案为：3π；7. 25．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)在锐角ABC △中，D 是线段BC 的中点，若2, 2,30AD BD BAD ==∠=︒，则角B =__________，AC =__________【答案】45o 823- 【解析】在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠，解得2sin B =，由于三角形ABC 为锐角三角形，故45B =o .而30,45,75BAD B ADC ∠=∠=∠=o o o，在三角形ADC 中，由余弦定理得222cos75823AC AD DC AD DC =+-⋅⋅=-o .故答案为：(1)45o ；(2)823-.26.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知向量则=________、______，设函数，取得最大值时的x 的值是_______.【答案】【解析】由题设，即,故,由此可得；又，故当取最大值时，，即，所以应填，Z.27.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________. 【答案】9- 【解析】 由(0,)2πα∈，且4tan 23α=， 得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α=-(舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+． 故答案为：9-．28．(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知θ∈(0，π)，且sin (4π-θ)210=，则cos (θ4π+)＝_____，sin 2θ＝_____． 22425【解析】 由题意，因为sin (4π-θ)210=， 可得cos (θ4π+)＝cos [2π-(4πθ-)]＝sin (4π-θ)210=； 又由sin 2θ＝cos (22πθ-)＝cos 2(4πθ-)222241212(41025sin πθ⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭． 2，2425．29.(2020届浙江省五校高三上学期联考)已知0,6a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______.【答案】1245【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=； 22tan 14sin 211tan 514a a a ===++所以1tan 2a =，4sin 25a =30.(2020届浙江省温州市11月适应测试)如图所示，四边形ABCD 中，7AC AD CD ===，120ABC ︒∠=，53sin 14BAC ∠=，则ABC ∆的面积为________，BD =________.【答案】15348 【解析】在ABC ∆中, 7AC =,120ABC ︒∠=,53sin 14BAC ∠=由正弦定理sin sin AC BCABC BAC=∠∠,代入得753sin120=o 解得5371453BC ==,而1cos cos1202ABC ∠==-o 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠代入可得214925102AB AB ⎛⎫=+-⋅⨯- ⎪⎝⎭解方程可求得3AB =则11sin 3722144ABC S AB AC BAC ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=因为60DCA ∠=o ,11cos 14BAC ∠==且()sin sin BCA BAC ABC ∠=∠+∠sin cos sin cos BAC ABC ABC BAC =∠⋅∠+∠⋅∠111214⎛⎫=- ⎪⎝⎭=所以13cos 14BCA ∠== 则()cos cos DCB DCA BAC ∠=∠+∠cos cos sin sin DCA BCA DCA BCA =∠⋅∠-∠⋅∠11312147=⨯= 由余弦定理可知2222cos BD DC CB DC CB DCB =+-⋅⋅∠代入可得214925275647BD =+-⨯⨯⨯=所以8BD =故答案为:;8 31.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)在ABC △中，D 为AC 中点，若2AB BC BD ===，cos ABC ∠=________，sin C =________________.【解析】由D 为AC 中点可得，1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r,所以2221132(2)(422cos )5443BD BA BC BA BC ABC =++⋅=++⨯∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,解得cos ABC ∠=由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠32284223363=+-⨯⨯=,由正弦定理可得sin sin AB ACC ABC=∠,即3sin C =，解得sin C=32.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知函数2()(1cos 2)sin f x x x =+(R x ∈)，则()f x 的最小正周期为_______；当[0,]4x π∈时，()f x 的最小值为________．【答案】2π. 0. 【解析】因为21cos 2()(1cos 2)sin (1cos 2)2-=+=+⋅xf x x x x 21cos 211cos 411cos 422444-+==-=-x x x ，所以()f x 的最小正周期为242T ππ==； 因为[0,]4x π∈，所以4[0,]π∈x ，所以cos 4[1,1]∈-x ， 因此，111()cos 40,442⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦f x x . 即()f x 的最小值为0. 故答案为(1)2π；(2)0 33．(2020届江苏高三月考)如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =_____．【答案】21 【解析】设AD x =，则2AB x =,2164AC x =-, 又AC 是BCD ∠的角平分线，即ACB ACD ∠=∠,222cos cos 2AC AC CD ADACB ACD BCAC CD+-∠==∠=⋅3x ⇒=,即3AD =，2AC =，=60o ACB ACD ∠=∠，=120o BCD ∠2241241cos12021o BD =+-⨯⨯=故填2134.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】326+ 22【解析】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =o o，解得：sin152222BE===o在CEB∆中，由余弦定理，可得：2222cosCE BE CB BE CB B=+-⋅224(4=-=-，所以4CE=-2221cos22CE BE CBCEBCE BE+-∠==⋅，CEB60,︒∠=CED CEB BED45∠=∠-∠=o，所以cos2CED∠=；2.三.解答题35.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知函数2()cos cosf x x x x=+．(1)求3fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若13,0,2103fαπα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cosα的值.【答案】(1)1；(2)4cos10α=【解析】(1)因为21cos21()cos cos sin22226xf x x x x x xπ+⎛⎫==+=++⎪⎝⎭，所以121511sin sin132362622fππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由13,0,2103fαπα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin,cos6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos cos cos sin sin666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭36．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 4cos a B b A =且1cos 7A =. (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若8a =，求ABC ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)3B π=,(Ⅱ)103【解析】(Ⅰ)∵cos 4cos a B b A ⋅=⋅，sin cos 4sin cos A B B A =,即1tan tan 4B A =，又∵1cos 7A =，∴2117tan 437A ⎛⎫- ⎪⎝=⎭=,∴tan 3B =, ∵tan 0B >, ∴B 为锐角 ∴3B π=,(Ⅱ)ABC ∆中，1cos 7A =，则43sin 7A =, 53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=, 根据正弦定理5sin sin c ac C A=⇒=, ∴113sin 58103222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=. 37.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)已知，函数．(Ⅰ)若，求的单调递增区间；(Ⅱ)若的最大值是，求的值．【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为，再根据余弦函数的单调递增区间，求出函数的单调递增区间；(Ⅱ)利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得，由函数最大值为，且对于型函数的最大值为，又，从而问题可得解.试题解析：(Ⅰ)由题意由，得．所以单调的单调递增区间为，.(Ⅱ)由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，故．38. (2019·新疆高二月考)已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边，且满足()(sin sin )()sin a b A B c b C +⋅-=-⋅．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当2a =时，求△ABC 面积的最大值． 【答案】(Ⅰ)3A π=； (Ⅱ3.【解析】(Ⅰ)由正弦定理()()()sin sin sin a b A B c b C +⋅-=-⋅可得()()()a b a b c b c +-=-，化简即为222b c a bc +-=，从而2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=．(Ⅱ)由2a =，根据余弦定理可得224b c bc bc =+-≥， 当且仅当b c =时，取等号；故1sin 2ABC S bc A ∆=≤ 此时△ABC 是边长为2的正三角形．39.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)已知函数()1cos cos 34f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭π. (Ⅰ)求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值和()f x 的单调递增区间； (Ⅱ)函数()f x θ+是奇函数02⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，πθ，求函数()2y f x =+⎡⎤⎣⎦θ的值域. 【答案】(Ⅰ)132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π，()f x 的单调递增区间是()236k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，πππππ(Ⅱ)104⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】(Ⅰ)因为()1cos cos 34f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭π1cos 224x x =- 1cos 223x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π， 所以132f ⎛⎫=-⎪⎝⎭π.令()2223k x k k Z -+≤+≤∈ππππ，则()236k x k k Z -≤≤-∈ππππ， 所以()f x 的单调递增区间是()236k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，πππππ. (Ⅱ)由()f x θ+是奇函数，得cos 203⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ，所以212k =+ππθ. 又02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，得12πθ=，所以()1sin 22f x x +=-θ，所以()()2211sin 21cos448y f x x x =+==-⎡⎤⎣⎦θ， 所以函数()2y f x =+⎡⎤⎣⎦θ的值域为104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 40．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足cos cos cos cos C A B A B +=． (1)求cos B 的值；(2)若2a c +=，求b 的取值范围【答案】(1)13；(2)23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】(1)因为cos cos cos cos C A B A B +=所以cos()cos cos cos A B A B A B -++=，即sin sin cos A B A B =因为sin 0A ≠，所以sin 0B B => 又因为22sin cos 1B B += 解得：1cos 3B =. (2)∵2a c +=，可得2c a =-，由余弦定理可得：2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---==-+∵02a <<，∴2323b ≤< 所以b 的取值范围为23,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 41.(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知函数()32sin cos()32f x x x π=++. (1)求函数()f x 的单调递减区间； (2)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【答案】(Ⅰ)7[,]1212k k ππππ++，k Z ∈；(Ⅱ)()f x 取得最大值，()f x 取得最小值3-. 【解析】 (Ⅰ). ……………………………………3分由，，得，.即的单调递减区间为，.……………………6分(Ⅱ)由得， ………………………………8分所以. …………………………………………10分所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1. ………………………………13分42．(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知在ABC △中，1AB =，2AC =．(1)若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r；(2)若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+u u u r u u u r 的最小值． 【答案】(1)0；(2)910【解析】(1)因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 所以可得2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()20AB AC ⋅-=u u u r u u u r；(2)在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得222cos 2AE BE AB AEB AE BE +-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222cos 2AE CE ACAEC AE CE+-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 而BE CE =u u u r u u u r，cos cos AEB AEC ∠=-∠，所以得到22222222AE BE AB AE CE ACAE BE AE CE+-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r整理得：224AE BC +u u u r u u u r ()22210AB AC =+=u u u r u u u r22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ()224AE BC +u u ur u u u r2222414110BC AEAE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r1951010⎛+= ⎝≥ 当且仅当2BC AE =u u u r u u u r时，等号成立.43.(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知平面向量(),,0,a cosx b cosx ⎫⎪⎪⎝⎭==r r，函数()2()f x a b x R =+∈r r.(1)求函数()f x 图象的对称轴； (2)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域. 【答案】(1),2()6k x k Z ππ=+∈(2)【解析】(1))2,2a b cosx cosx +=+r r()f x==由262x k πππ+=+解得:,2()6k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 图象的对称轴是直线,2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以12,162sin x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以()f x ∈.所以()f x 的值城是44.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知函数()2sin cos 333x x x f x =+ (1)求函数()f x 图象对称中心的坐标；(2)如果ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为B ，求()f B 的取值范围．【答案】(1)对称中心3,,222k k Z ππ⎛-+∈ ⎝⎭ (2)()2f B ∈+⎦【解析】(1)()2333x x x f x sincos =+．=12212323sin x cos x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，=sin(233x π+ 令233x k ππ+=(k∈Z )， 解得：x=322k ππ-(k∈Z )，所以函数的图象的对称中心为：3,22k k Z ππ⎛-+∈ ⎝⎭． (2)由于b 2=ac ，所以：cosB=22221222a cb ac ac ac ac +--≥=，则：03B π≤＜．所以：253339B πππ+≤＜，2133B sin π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，()12f B ≤+．则：f(B)的取值范围为：+．45.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)设函数()sin cos f x x x =+，x ∈R . (Ⅰ)求()()f x fx π⋅-的最小正周期；(Ⅱ)求函数()33sin cos g x x x =+的最大值. 【答案】(Ⅰ)最小正周期为π；(Ⅱ)最大值为1. 【解析】 (Ⅰ)因为()()()sin cos f x f x x x π⋅-=+()22sin cos sin cos x x x x -=-cos2x =-所以()()f x fx π⋅-的最小正周期为π；(Ⅱ)由题()sin cos f x x x =+=4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭而()()sin cos g x x x =+()22sin sin cos cos x x x x -+()sin cos x x =+⋅()2sin cos 112x x ⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()2322f x f x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦()()31322f x f x -+令()f x t =，则()g x 的的最大值即为函数31322y t t =-+，t ⎡∈⎣的最大值，由()2312y t '=--可得函数在1⎡⎤-⎣⎦和⎡⎣上递减，在[]1,1-上递增.又x =2y =-；1x =时，1y =. 所以函数()g x 的最大值为1.46.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b acosC =+．(1)求A ；(2)若a =ABC 的面积S 的最大值．【答案】(1)A 6π=【解析】(1)由题意，在ABC ∆中，b acosC =+，由正弦定理得sin sin sin cos B C A A C =+， 又由A B C π++=，可得sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+所以sin cos cos sin sin sin cos A C A C C A A C +=+，即cosAsinC =，又因为sinC ≠0，所以cosA =，可得tanA =， 又由A ∈(0，π)，∴A 6π=．(2)由余弦定理可得cosA 2222b c a bc +-==，可得b 2+c 2﹣3=，因为b 2+c 2≥2bc ，所以3≥2bc ，可得bc≤=3(2，所以三角形的面积S 12=bcsin 634π+≤，当且仅当b ＝c =所以△ABC 的面积S ． 47.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)在ABC △中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且7,8a b ==，3A π=. (1)求sin B 和c ；(2)若ABC △是钝角三角形，求ABC △的面积.【答案】(1) sin 7B =，5c =或3c =. (2) 【解析】(1)在ABC △中，因为7,8,3a b A π===，所以由正弦定理sin sin B Ab a=，得sin 8sin 7b A B a ===由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-得214964282c c =+-⨯⨯⨯即28150c c -+=，得5c =或3c =.(2)b a >Q ，b c >，所以B Ð为ABC △中最大的角，当5c =时，222cos 02a c b B ac +-=>，与ABC △为钝角三角形矛盾，舍掉，当3c =时，222cos 02a c b B ac+-=<，ABC △为钝角三角形，所以3c =所以1sin 2ABC S bc A ∆==48.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知平面向量(sin 2,cos 2),(sin 2,cos 2)a x x b ϕϕ==r r，设函数()f x a b =⋅r r (ϕ为常数且满足0πϕ-<<)，若函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=.(1)求ϕ的值；(2)求函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值：(3)30y -+=与函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相切．【答案】(1) 38ϕπ=- (2) 最大值和最小值分别为2和-1. (3)证明见解析 【解析】(1)可知()sin 2sin 2cos 2cos 2cos(22)f x a b x x x ϕϕϕ=⋅=+=-r r，所以cos 22sin(22)44f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为8x π=是函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一条对称轴， 所以22()82k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得1()28k k Z πϕπ=+∈因为0πϕ-<<，所以31,8k ϕπ=-=-(2)所以3sin 244y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以332,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1-. (3)因为32cos 24y x π'⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2y '≤即函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的切线斜率的取值范围为[2,2]-，30y -+=2>，30y -+=与函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相切. 49.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭的图象过点12⎛ ⎝.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)求()f x 在[]0,2上的单调递增区间. 【答案】(Ⅰ)()2sin()4f x x ππ=+；(Ⅱ)1[0,]4和5[,2]4. 【解析】(Ⅰ)函数()f x 的周期T ，=ωπ∴把坐标1(2代入得2sin()2πϕ+=cos 2ϕ∴=又02πϕ<<，4πϕ∴=，()2sin()4f x x ππ∴=+(Ⅱ)令22,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈解得 3122,44k x k k Z -≤≤+∈ [0,2]x ∈Q()f x ∴在[]0,2上的单调递增区间是1[0,]4和5[,2]450．(2020届浙江省五校高三上学期联考)已知()sin 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c . (1)若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域；(2)若()13f A =，a =2b =，求sin B 的值. 【答案】(1)11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)6【解析】()1sin sin sin 3223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)∵51,,sin 2236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒-∈-⇒-∈-1, ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(2)()11sin 333f A A π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，因为1132<，所以036A ππ<-<，或者563A πππ<-<，即32A ππ<<或者7463A ππ<<(舍去)，故cos 33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；1sin sin 336A A ππ⎛⎫+⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理得：sin sin a b A b =⇒sin 6B = 51.(2020届浙江省温州市11月适应测试)在锐角．．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，sin sin A a B +=．(1)求角A 的值；(2)求函数()()22cos cos f x x A x =--(0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的值域． 【答案】(1)3A π=(2)3,42⎡-⎢⎣⎦【解析】 (1)由正弦定理sin sin a b A B= ,可得sin sin 3sin a B b A A ==,则sin sin 4sin A a B A +==得sin 2A =, 又A 为锐角,故3A π=； (2)22()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21cos 21cos 2322x x π⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-132cos 222x x ⎤=-⎥⎣⎦23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因02x π≤≤,故22333x πππ-≤-≤,于是sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,因此()34f x -≤≤即()f x的值域为34⎡-⎢⎣⎦.52.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知()222x x x f x sin cos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭． (1)求实数a 的值；(2)若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 【答案】(1)12-；(2)516. 【解析】 (1)()()11122222242x x x f x sincos sin a sinx cosx a sin x a π⎛⎫⎛⎫=⋅++=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故102a +=，解得a 12=-． (2)由于f (x)24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以4cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以224466sin sin ππαα+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．2446cos cos ππαα⎛⎫=-+=⎪⎝⎭或所以2626sin cos αα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2626sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故22122122422211sin cos sin sin cos sin sin cos tan cos cos παααααααααααααα⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭===+++，所以当sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时．144523616sin cos αα-==．当2626sin cos αα⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，144523616sin cos αα-==， 所以原式516=． 53.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知223,39b a c c ==-+．(1)求A ；(2)求22sin sin B C +的取值范围． 【答案】(1)3π；(2)53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】(1)在锐角△ABC 中，∵b ＝3，a 2＝c 2﹣3c +9， ∴可得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，∴由余弦定理可得：cos A 2221222b c a bc bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得A 3π=．(2)∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2B +sin 2(23π-B )＝sin 2BB 12+sin B )2＝112+(B 12-cos2B )＝112+sin(2B 6π-)， 又∵022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，可得6π＜B 2π＜，∴2B 6π-∈(6π，56π)， ∴sin(2B 6π-)∈(12，1]，∴sin 2B +sin 2C ＝112+sin(2B 6π-)∈(54，32]，即sin 2B +sin 2C 的取值范围是(54，32]．54.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知函数2()sin 2xf x x =- (1)求()f π的值；(2)求函数()y f x =的单调递增区间.【答案】(2)5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【解析】(1)化简得()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以2()2sin3πf π==(2)由于2sin 3πy x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故π32ππk x k π-+剟，k ∈Z ， 解得函数()y f x =的单调递增区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .。
决战2020年高考数学(理)三角函数与解三角形专题：三角函数的最值与综合应用(解析版)
三角函数与平面向量三角函数的最值与综合应用一、 具体目标：会求正弦函数、正弦型函数的值域与最值，会求余弦函数、余弦型函数的值域与最值，会求正切函数的值域与最值，会利用三角函数的性质与最值求待定参数的值域. 二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质： 性质sin y x =图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性()sin sin x x -=-,奇函数单调性在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形。
余弦函数的图象与性质： 性质cos y x =【考点讲解】图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性 ()cos cos x x -=偶函数单调性在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数． 对称性 对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形。
正切函数： 性质 tan y x =图象定义域 ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域 R最值 既无最大值，也无最小值周期性 π奇偶性()tan tan x x -=-奇函数单调性在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数． 对称性 对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。
1.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2 C ．3π4D ．π【解析】本题主要考查的是利用三角函数的图象与性质来求待定参数的问题，要求会用函数的辅助角公式及函数的单调性相结合.π()cos sin 2cos()4f x x x x =-=+.当x ∈[0,]a 时，π4x +∈ππ[,]44a +，所以结合题意可知，ππ4a +≤，即3π4a ≤，故所求a 的最大值是3π4·故选C.【答案】C2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点. ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点. ③()f x 在（0,10π）单调递增. ④ω的取值范围是[1229510，). 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；【真题分析】④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>， 解得1229510ω≤<，故④正确. ③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【答案】D3.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65 B ．1 C ．35 D ．15【解析】法一：本题是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图象研究性质来求三角函数式的最值问题，由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的最大值为65.所以选A. 法二：将函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-整理可得：1ππ1π1πππ()sin()cos()=sin cos cos sin cos cos sin sin 536535366f x x x x x x x =++-+++1331=sin cos cos sin 101022x x x x +++6636=sin cos =sin 101053x x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最大值为65.所以选A. 【答案】A4.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【解析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-5.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .【解析】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用22|sin cos |a x b x a b +≤+求最值.2()215f x ≤+=. 【答案】56.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，并通过二次函数的性质来求函数在给定区间内的最值问题，由题意可将原函数化简三角函数的解析式：()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】17.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【解析】本题要借助于将此三角表达式求导，然后要利用函数的单调性与三角函数的性质来确定函数的最小值，由题意可将原函数求导可得导函数为：()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为cos 10x +≥，所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-. 【答案】332-8.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 9.【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.10.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，所以3cos 3sin x x -=． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠． 于是3tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值23-．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值23-．1.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【解析】本题考点是正弦型三角函数的性质， 是因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444TkT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,此时59或=ω，又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以ωππππ2,21218365=≤=-T T ，,即12≤ω,由此ω的最大值为9.故选B.【答案】B2. 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A.32 B.12 C ．－12 D ．－32【解析】 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32. 【答案】D3.【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以【模拟考场】()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23. 【答案】234.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 【解析】本题考点是正弦型函数的图象和性质的应用，（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ12π37π125π6 13π12sin()A x ωϕ+50 5-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6.5.【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中.已知π()06f =.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数的图象，求在π3π[,]44-上的最小值. 【解析】（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以 π3sin()3x ω=-.由题设知π()06f =，所以πππ63k -=ω，k ∈Z .故，k ∈Z ， 又，所以. （2）由（1）得()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()3sin 3sin 4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π3π[,]44x ∈-，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当123x ππ-=-，即4x π=-时，取得最小值.【答案】（1）；（2）最小值为. 6.【2017年高考北京卷文数】已知函数π()3cos(2)2sin cos 3f x x x x =--.（1）求f (x )的最小正周期； （2）求证：当ππ[,]44x ∈-时，()12f x ≥-． 【解析】（1）3313π()cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2sin(2)22223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. 03ω<<ω()y f x =()y g x =()g x 31()sin cos cos 22f x x x x ωωω=--33sin cos 22x x ωω=-133(sin cos )22x x ωω=-62k ω=+03ω<<2ω=()g x 32-2ω=32-（2）因为ππ44x -≤≤，所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-. 所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-. 7.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，所以3cos 3sin x x -=． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是3tan 3x =-． 又[]0πx ∈，，所以5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值23-． 【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值23-．。
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章 三角函数、解三角形5.3 含解析
§5.3 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编2．[P35例2]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 答案 π3．[P46A 组T2]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3.4．[P47B 组T2]函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2<x <5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 B解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， 又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )．7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min＝2－ 3.(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是( ) A ．[－1,3] B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－32，－1 D.⎣⎡⎦⎤32，3答案 B解析 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1)＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)(2017·台州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1 三角函数的周期性例2 (1)(2016·浙江)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B. (2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 2或3解析 由题意得，1<πk <2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k 是自然数，∴k ＝2或3. 命题点2 三角函数的奇偶性例3 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为________． 答案5π6解析 由题意知f (x )为偶函数，关于y 轴对称， ∴f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝±3，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，∴φ＝5π6.命题点3 三角函数图象的对称性例4 (1)(2017·温州“十五校联合体”期末联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最小值，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，0对称 D ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，0对称 答案 B解析 已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )， 所以f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)的周期为2π，若函数在x ＝π4处取得最小值，不妨设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4， 则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x －3π4＝－sin x ， 所以y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数且它的图象关于点(π，0)对称．(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为________． 答案 9解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT 2， 即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )， 又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件． 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调的条件． 由此得ω的最大值为9.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析 ∵当x ＝－π6时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋π3＝0， ∴函数图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为( )A.34πB.π2C.π3D.π4 答案 A解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－54π，k ∈Z .当k ＝2时，可得φ＝34π.题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例5 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为______________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数例6 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 答案 D解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分． 例 (1)(2018·浙江十校联盟适应性考试)下列四个函数中，以π为最小正周期，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|tan x | D ．y ＝－ln|sin x |答案 D解析 由题意知函数y ＝sin|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，y ＝cos|x |的最小正周期为2π，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增．因为f (x )＝|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递增，所以y ＝－ln|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递减，又g (x )＝sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝|sin x |的最小正周期为π，则函数y ＝－ln|sin x |的最小正周期为π，故选D.(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z ，且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎡⎭⎫2π3，π上单调递增，D 项错误． 故选D.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为______________________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ， 得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1．(2018·浙江六校协作体期末联考)“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则f (x )＝cos(ωx ＋φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π2＝±sin ωx ，函数f (x )为奇函数，所以充分性成立；反之，若函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则ω×0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因此必要性成立．所以“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数”的充要条件，故选C.2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B.3．(2019·舟山模拟)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析 函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D. 4．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1 D ．2，－2答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0 D.⎝⎛⎭⎫π12，0 答案 B解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π6>0，则f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ>0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z .7．函数y ＝1tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析 要使函数有意义必须有tan ⎝⎛⎭⎫x －π4≠0， 则⎩⎨⎧x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，x －π4≠k π，k ∈Z .所以x －π4≠k π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 8．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期， 又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.9．(2018·浙江温州中学模拟)函数f (x )＝2cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1，则函数的最小正周期为____________，在[0，π]内的对称轴方程是________． 答案 π x ＝π12和x ＝7π12解析 因为f (x )＝1＋cos 2x ＋12cos 2x ＋32sin 2x －1＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.解sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝±1， 得f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．由于x ∈[0，π]，所以在[0，π]内的对称轴方程是x ＝π12和x ＝7π12.10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； ③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 答案 ④解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确． 11．(2018·温州市适应性测试)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，求： (1)f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝34cos 2x －14sin 2x ＋12sin 2x ＝34cos 2x ＋14sin 2x＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝12×sin 2π3＝34. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， 所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－34，12， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，12. 12．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1，且x ∈[]－π，π的x 的取值集合． 解 (1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值，即f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4. 解得a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝11π6＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.13．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x 的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎡⎦⎤22，1D.⎣⎡⎦⎤－1，22 答案 D解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，22，当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎡⎭⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤－π4，0 C.⎝⎛⎦⎤－π3，－π12 D.⎣⎡⎦⎤0，π4 答案 B解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2可得，当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－π4，0.15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增，若f ⎝⎛⎭⎫π4≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)解析 f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ，由函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上是增函数得 ⎩⎨⎧－π＋2k π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤2k π，k ∈Z ，则2k π－π4≤θ≤2k π＋π3(k ∈Z )．又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ， 又π2≤θ＋π2≤5π6，∴f ⎝⎛⎭⎫π4max ＝0，∴m ≥0. 16．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域． 解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，∴ω＝13，∴函数f (x )的最小正周期为3π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ，∵f (π)＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0，∴m ＝－2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[]－3，0.。
2020年高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题10 高考常考题型综合解析(解析版)
三角函数与平面向量10 高考常考题型综合解析一、具体目标：高考对本内容的考查主要有：(1)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.(2)三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量结合考查，构成基础题. 二、知识概述：1.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 2.常见三种函数的图象与性质【考点讲解】ππ1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.3.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.4.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.ωx＋φ(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高5.已知图象求函数y＝A sin()点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【真题分析】1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考查函数的性质与图象，由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【答案】D2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．2sin cos ++x xx x综上所述，①④正确，故选C ．本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．【答案】C3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x | 【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【答案】A4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）A ．15B 5C 3D 5【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④π【答案】D6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ． CD ．2【解析】∵()fx 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C.【答案】C7.【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ，因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【答案】A 8.【2018年高考天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A. 【答案】A9.【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ． B ． C ．2A B = D ．2B A = 【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【答案】A10.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . a b c 2a b =2b a =【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭11.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ==⨯=△【答案】12．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.，1013.【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【答案】π6-14.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-15.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【答案】2416.【2019年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =17.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 18.【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭． 【答案】（1）14-；（2）.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43-，直线PB的方程为42533y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM==，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a=4+Q（4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q（4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q两点间的距离为17+.1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用. 由题意可知,π=++C B A 所以有()C A B +=sin sin ，所以原等式可整理成:【模拟考场】()sin sin (sin cos )0++-=A C A C C ,也就是：sin cos cos sin sin sin sin cos 0++-=A C A C A C A C ， 即()sin sin cos sin 04π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭C A A C A ，因为是三角形△ABC ，.0π或≠C 所以有43π=A .由正弦定理得：C c A a sin sin =，得.6,21sin π==C C 得【答案】B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D ．3【解析】解法1：(余弦定理)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝1＋c 2－2c ×1×cos π3＝1＋c 2－c ，所以c 2－c －2＝0.所以c ＝2或－1(舍去)．法2：(正弦定理)由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，所以sin B ＝12，因为b <a ，所以B ＝π6，从而C ＝π2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，所以c ＝2.【答案】B3.函数y =2xsin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D.【答案】D4.设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【答案】D5.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 【答案】A6.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【答案】D7.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以sin 4A ==，又1sin 242ABC S bc A bc ∆====，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【答案】88.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 9.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC . 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以sin ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=.所以5BC =. 【答案】（1；（2）5. 10. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-.所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=故△ABC 的周长为3+.【答案】（1）23；（2）3+. 11. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =． 又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=所以2b =．【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =.（2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【答案】（1）3c =（2）5. 13.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)21 （2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．。
专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(解析版).docx
专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。
为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的 周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的 是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数 学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。
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2020浙江省高考数学考点针对性训练---三角函数及解三角形一、热点知识点汇编：1、三角函数特殊角函数值2、三角函数的图象与性质π3、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 ααcos tan = 4、二倍角的三角函数公式sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α22tan tan21tan ααα=- 5、降幂公式 21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα-=6、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα)21 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α7、两角和差的三角函数公式cos (α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ cos (α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ sin (α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ sin (α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）()sin cos a b αααϕ+=+ （其中tan baϕ=） 特殊地：sin cos )sin 2sin()cos 2sin()436πππααααααααα±=±=±±=±9、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。
”10、函数sin()y A x ωϕ=+中，振幅：A 周期：2T πω=初相：ϕ11、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ΔABC 外接圆半径） a : b : c = sin A : sin B : sin C12、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc •cos A , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c •cos B ,c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b •cos C222cos 2b c a A bc +-=, 222cos 2a c b B ac +-= , 222cos 2a b c C ab+-= 13、面积公式：S =21ab sin C = 21bc sin A = 21ac sin B二、专题集训：1、(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2 x －cos2 x －23sin xcos x(x ∈R)． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos2 x －sin2 x 与sin 2x ＝2sin xcos x 得f(x)＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2kπ，k ∈Z ， 解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k ∈Z).2、已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝3sin 2x －cos 2x －2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4. (2)因为f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－2＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，知－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3. 因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2.3、已知函数f(x)＝4tan x·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f(x)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋kπ，k ∈Z.f(x)＝4tan xcos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin xcos x ＋23sin2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x)－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k ∈Z. 由－π2＋2kπ≤2x －π3≤π2＋2kπ， 得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k ∈Z ，易知A∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.4、已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立．5、已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，sin B －sin Asin C ＝b －c a ＋b. (1)求角A 的大小； (2)求b ＋c 的取值范围． 解 (1)由sin B －sin A sin C ＝b －ca ＋b 及正弦定理得(b －a )(b ＋a )＝(b －c )c ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc cos A ＝12，则A ＝π3. (2)因为a ＝3，A ＝π3，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2，则b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3，因为△ABC 为锐角三角形，所以B 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，所以b ＋c ∈(3，23]．6、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a ＝4cos C ，b ＝1. (1)若sin C ＝217，求a ，c ；(2)若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积．[解] (1)∵sin C ＝217，∴cos2C ＝1－sin2C ＝47，cos C ＝27.∵4cos C ＝a ＋1a ， ∴87＝a ＋1a ，解得a ＝7或a ＝77.又1a ＋a ＝4cos C ＝4×a2＋b2－c22ab ＝4×a2＋1－c22a ，∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.∴当a ＝7时，c ＝2； 当a ＝17时，c ＝27.(2)由(1)可知2c2＝a2＋1.又△ABC 为直角三角形，C 不可能为直角． ①若角A 为直角，则a2＝b2＋c2＝c2＋1，∴2c2－1＝c2＋1， ∴c ＝2，a ＝3，∴S ＝12bc ＝12×1×2＝22.②若角B 为直角，则b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1.∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1，∴c2＝23，a2＝13，即c ＝63，a ＝33，∴S ＝12ac ＝12×63×33＝26.7、设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.8、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足acos A ＝c2－cos C.(1)若b ＝4，求a ；(2)若c ＝3，△ABC 的面积为3，求证：3sin C ＋4cos C ＝5. (1)解 由a cos A ＝c 2－cos C 得sin A cos A ＝sin C 2－cos C. ∴2sin A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，即2a ＝b . ∵b ＝4，∴a ＝2.(2)证明 ∵△ABC 的面积为3，又由(1)知b ＝2a ， ∴12ab sin C ＝a 2sin C ＝3.①∵c ＝3，∴a 2＋4a 2－4a 2cos C ＝9，② 由①②消去a 2得3sin C ＝5－4cos C ， 即3sin C ＋4cos C ＝5.9、已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若在△ABC 中f (A )＋f (B )＝0，∠C ＝π6，求ab 的值．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由f (A )＋f (B )＝0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2A ＝0. 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝0，又由A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56π得2A －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，43π，∴2A －π3＝0或2A －π3＝π，解得A ＝π6或A ＝23π， ∴由正弦定理a b ＝sin A sin B ＝33或 3.10、已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值．解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值是32. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)．∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3.11、设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.12、(浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2acos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin Acos B ， 故2sin Acos B ＝sin B ＋sin(A ＋B) ＝sin B ＋sin Acos B ＋cos Asin B ， 于是sin B ＝sin(A －B).又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B<π， 所以B ＝π－(A －B)或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由S＝a24得12absin C＝a24，故有sin Bsin C＝12sin A＝12sin 2B＝sin Bcos B.因为sin B≠0，所以sin C＝cos B．又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.13、△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acos B＋bcos(B＋C)＝0.①证明：△ABC为等腰三角形；②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值．[解]①证明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0，∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0，即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.∵A，B是△ABC的两内角，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC是等腰三角形.②由2(b2＋c2－a2)＝bc，得b2＋c2－a22bc＝14，由余弦定理得cos A＝1 4，cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝7 8.∵A＝B，∴cos B＝cos A＝1 4，∴cos B＋cos C＝14＋78＝98.14、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.[解](1)证明：根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0)．则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos A ksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C．(2)由已知，b2＋c2－a2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos2A ＝45.由(1)知sin Asin B ＝sin Acos B ＋cos Asin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35 sin B ，故tan B ＝sin Bcos B ＝4.15、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a≠b ，c ＝3，cos2A －cos2B ＝3sin Acos A －3sin Bcos B. (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积.[解] (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a≠b ，得A≠B.又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.。