河南省商丘市2018届高三第二次模拟考试文科数学试题(解析版)
2018年河南省高考数学二模试卷
2018年河南省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．4．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（）A．2 B．3 C．5 D．75．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．37．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（）A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣20178．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A．B．C．D．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．312．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．2018年河南省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=|1﹣i|+i=+i，则复数z=﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B⊆A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B⊆A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B⊆A，当a=3时，B={1，3}，满足B⊆A．综上，若B⊆A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．3．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2 •，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2 =0，（）•=﹣2 =0，∴==2，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ====，∴θ=60°，故选B．【点评】本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．4．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】等比数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，可得d=a1，即可求出．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，∴a42=a2a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），∴d2=a1d，∵d≠0，∴d=a1，∴==3．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°，=cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，=四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED=，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（）A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017【考点】数列的应用．【分析】利用a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．即可得出．【解答】解：∵a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．∴（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=11008×（﹣1）1007=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：C．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用正方体的结构特征求解．【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．【点评】本题考查水面在容器中的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，即可求得点A 到抛物线的准线的距离．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴|AM|=6，∴点A到抛物线的准线的距离为6故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=e x（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=e x（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④，共3个．故选：B．【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r=|MN|==，则r2=5；故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=76．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a1+9d=a10=4，再由等差数列的前n项和公式得S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，∴，解得a1+9d=a10=4，S n为数列{a n}的前n项和，则S19=（a1+a19）=19a10=76．故答案为：76．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【考点】对数的运算性质；基本不等式．【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，可得lnt=lna•lnb，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，∴lnt=lna•lnb≤=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，可得c=1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，≥2=，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=﹣===，双曲线的离心率为：=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵B=2C，2b=3c，∴由正弦定理得，，则，即cosC==；（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，∵0＜C＜π，cosC=，∴sinC==，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则，即a2﹣9a+20=0，解得a=4或a=5，当a=4时，△ABC的面积S===，当a=5时，△ABC的面积S===．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，男生打分的平均分为：=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：=0.45，∴最高矩形的高h==0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n==20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD，∵PB=2PA，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（Ⅱ）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，==1，△MBC中，MC=BC=，MB=2，∴MC⊥BC，∴S△MBC==．△MPC中，MP==CP，MC=，∴S△MPC设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h=．20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）由题意可知圆心M的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），把根与系数的关系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直线恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，∴动点M的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8=0，△=16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2=4k，x1x2=8．直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1=4k﹣x2，∴4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，则y=2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）令f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围；（II）令h′（x）=0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断h（x1）＜h（x2），根据根与系数的关系化简|h（x1）﹣h（x2）|=﹣x12++2lnx1，求出右侧函数的最大值即可证明结论．【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）=a+≥0，x∈（0，1），即a，∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，∴a≥﹣1．（II）证明：h（x）=﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）=﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）=0得x2+ax+1=0，∵函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），∴方程x2+ax+1=0有两解x1、x2，且x1∈[，1），∴x1•x2=1，x1+x2=﹣a，且ax1=﹣1﹣x12，ax2=﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，∴|h（x1）﹣h（x2）|=h（x2）﹣h（x1）=﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1=x22﹣x12+ln=﹣x12++2lnx1，令H（x1）=﹣x12++2lnx1，则h′（x1）=﹣x1﹣+==﹣＜0，∴H（x1）在[，0）上是减函数，∴H（x1）≤H（）=﹣2ln2＜2﹣ln2，即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x2+y2=1，【解答】解：曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，化简得5t2+t﹣8=0，即有t1t2=﹣，可得|MA|•|MB|=|t1t2|=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；∴a+b+c的最小值是．。
河南省2018届高三第二次统一考试
河南省2018届高三第二次统一考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()11z i i -=-，则z =2i +2.已知集合{}21|log 1,|1A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬⎩⎭，则()R A C B =A. (],2-∞B. (]0,1C. []1,2 D.()2,+∞ 3.已知()()2,,1,2a m b ==-，若()//2a a b +，则m 的值是 A. 4- B. 4 C. 0 D.2-4.已知直线()1y k x =+与不等式组40300,0x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>>⎩表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是A.[)0,+∞B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5.执行如图所示的程序，则输出的结果是A. 513B. 1023C. 1025D. 20476.平面内凸四边形有2条对角线凸五边形有5条对角线，依次类推，凸13边形的对角线条数为A. 42B. 65C. 143D. 169 7.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居中，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为1:2，这个比是不变的.下图是一个阳马的三视图，则其表面积为A. 2B. 2338.已知()sin 4f x a x =+，若()lg33f =，则1lg 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D.9.已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则下列说法错误的是A. ωπ=B. 4πϕ=C. ()f x 的单调递减区间是132,2,44k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D. ()f x 的对称中心为1,0,4k k z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭10.设函数()()0sin fx x =，定义()()()()()()()()1021,,,f x f f x f x f f x ⎡⎤⎡⎤''==⎣⎦⎣⎦()()()()1,n n f x f f x -⎡⎤'=⎣⎦则()()()()()()122017000151515f f f +++的值是11.将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为 A.27π B. 827π C. 3π D.29π 12.已知(),P x y （其中0x ≠）为双曲线2214y x -=上的任一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B ，则PAB ∆的面积为 A.25 B. 45 C.825D.与P 点位置有关第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足11y xx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是 ．14.已知1,2,()3a b a b b ==+⋅= ，设a 与b 的夹角为θ，则θ等于 ． 15已知圆C 的圆心时直线20x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与圆22(2)(3)9x y -+-=相外切，若过点(1,1)P -的直线l 与圆C 交于两点，当最小时，直线l 的方程为. ．16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且113,222n n n a a S +==-，则5a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，已知扇形的圆心角23AOB π∠=，半径为C 是AB 上一动点（不与点,A B 重合）.（1）若弦1)BC =，求BC 的长； （2）求四边形OACB 面积的最大值.18. 已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，PA ⊥平面,4,ABCD PA AB AC AB AC ===⊥，点,E F 分别在线段,AB PD 上. （1）证明：平面PDC ⊥平面PAC ； （2）若三棱锥E DCF -的体积为4，求FDPD的值.19.已知药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：6666211111126,33,()()557,()84,66i i i i i i i i i x x y y x x y y x x ========--=-=∑∑∑∑621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和为62 6.00661ˆ()236.64,3167i i y ye =-=≈∑，分别为观察数据中温度和产卵数1,2,3,4,5,6i =，（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1 ）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2103ˆ0.06x y e =，且相关指数20.9952R =，试与（1）中的回归模型相比.①用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果更好的模型预测温度为035C 时该中药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分为121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，相关指数22121ˆ()()ni i nii y yR y y ==-=-∑∑20. 在直角坐标xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，长轴长为8，椭圆E 的一个焦点为圆22:420C x y x +-+=的圆心.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上y 轴左侧的一点，过P 作两条斜率之积为12的直线12,l l ，当直线12,l l 都与圆C 相切时，求P 的坐标. 21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）若曲线()y f x =与直线1ln 20x y ---=相切，求实数a 的值； （2）若不等式(1)()ln xx f x x e+≤-在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）当0α=时，求AB 的长度； （2）求22PA PB +的取值范围.23.已知函数()1(0)2f x x a a a=-+≠. （1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （2）当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围.一、选择题：DCACD BBCBA BC。
河南省商丘市重点高级中学2018年高三数学文模拟试卷含解析
河南省商丘市重点高级中学2018年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 边长分别为3，5，7的三角形的最大内角为A. B. C. D.参考答案：C略2. 在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起后所在的平面记为，，设与所成的角分别为均不为0．若，则点的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线参考答案：B如图，过作于，过作于，易知平面，平面，则，由，可得，故定值，且此定值不为1，故点的轨迹为圆。
（到两定点的比为不为1定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆）3. 已知双曲线的离心率为，则m =（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据双曲线的性质求出，，根据离心率列出等式求解即可.【详解】，因为双曲线的离心率为，所以解得：故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为；④，都有.其中正确命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：B.当时，，故函数在处取到极大值，且当趋近于0时，函数值趋向于-1；当趋近于无穷大时，函数值趋向于0，由奇函数的图像关于图像关于原点对称可作函数的图像：可得函数满足，故有，即④正确.故应选B.考点：1、函数的图像及其性质；2、命题的真假.【方法点睛】本题主要考查了函数的图像及其性质和命题的真假，考查了学生应用知识的能力、知识的迁移能力和作图能力，渗透着数形结合和转化与化归思想，属中档题.其解题过程中最容易出现错误的是：其一是未能正确运用函数的奇偶性求解函数的解析式；其二是不能正确处理函数与方程之间的内在联系；其三是不能正确运用数形结合的思想求解实际问题.5. 已知等比数列{}的公比,且,,48成等差数列,则{}的前8项和为( )A．127 B．255 C．511 D．1023参考答案：B略6. 设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D7. 集合的真子集个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16参考答案：C8. 若条件，条件，则是的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B9. 已知等差数列{a n}的前n项和为，则数列的前2019项和为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得，，可得．利用裂项求和方法即可得出．【详解】设等差数列的公差为，，，，，联立解得：，．．则数列的前2019项和．故选：．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．10. 已知全集，则集合{1，6}=（）A． B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设的内角所对边的长分别为.若，则则角_________.参考答案：12. 已知，则的最小值_________;参考答案：13.关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为．参考答案：（﹣1，+∞）【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题；转化思想；定义法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开法则得x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵的解集为R，∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，∴△=4+4a＜0，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．14. 已知数列的递推公式，则；参考答案：2815. 已知满足约束条件则的最大值为．参考答案：作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。
最新-2018年高考文科数学第二次联考模拟预测试卷及答案【河南省六市】 精品
*2018年5月9日2018年高考河南省南阳、信阳、漯河、驻马店、周口、三门峡六市高中毕业班第二次联考预测考试 数学试题(文科)第I 卷（选择题，共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若{}2222,a a a ∈-+，则a 的值为 A.0 B.2 C. 0或2 D.0或-22、已知向量,a b 不共线，若12,AB a b AC a b λλ=+=+，则A,B,C 三点共线的充要条件是A.121λλ== B 121λλ==- C.121λλ= D. 121λλ+= 3、已知函数1()log (01)1axf x a a x+=>≠-且，下列说法正确的是 A.f(x)为偶函数且在定义域内为减函数B. f(x)为奇函数且在定义域内为增函数C. f(x)为偶函数且在定义域内为单调函数D. f(x)为奇函数且在定义域内为单调函数4、等差数列{}n a 的前n 项和为221n S n n a =+++，则常数a 的值为A.-1B.13-C.13D. 不确定5、直线143x y+=与圆22(x y a a +=为常数）有公共点，则a 的范围为A. 12[,)5+∞B. )+∞C. 144[,)25+∞D. )+∞ 6、已知球的两个平行截面的面积分别为58ππ和，且相距为1，那么这个球的表面积是A. 64πB. 36πC.16πD. 100π7、函数1f(x)=2+x 的反函数为1()f x -，则满足10()0f x ->的0x 的取值范围是A. (,2)-∞B. (2,)+∞C.(,2)(2,)-∞-+∞D. (2,2)- 8、0x y -≥实数x,y 满足不等式组 2x ≤ 则z=x-2y 的最小值为0x y +≥A.2B. 2-C.3 D 3-.9、已知()sin ,()2cos ||f x x x g x x =+=，()f x 图像沿向量a 平移后与图像()g x 重合，则a 可以是A (,0)6πB (,0)6π-C (,0)6π±D (,0)3π-10、甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，不同的排法有A. 72种B. 54种C. 36种D. 60种11、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，点Q 满足1111222(0)||2;,0FQ QP FQ a F T TQ PT F Q λλλ=>==⋅=且，则||OT 的值为（O 为坐标原点）A. 4aB. 2aC.aD.2a12、偶函数()f x 在(.)-∞+∞内可导且'(1)2,(2)(2)f f x f x =-+=-，则函数()f x 在5x =-处的切线斜率为A. 2B. 2-C.1D. 1-1．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年河南省六市高三第二次联考(4月)--数学(文)试题(解析版)
2018年河南省六市高三第二次联考数学(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间为120分钟,其中第Ⅱ卷22题-23题为选考题,其它题为必考题,考试结来后,将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在注意事项:条形码区城内2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀第I卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合M={x∣lg(x-1)<0},N={x∣2x2-3x≤0},则M∩N等于A. (0,]B. (1，]C. [,2)D. (1,2)【答案】B【解析】分析：结合对数型函数的单调性以及定义域，求出集合，根据一元二次不等式的解法求得集合，之后求出集合的交集即可.详解：由可以解得，可得，从而求得，由可得，即，从而求得，故选B.点睛：该题属于集合的运算问题，在解题的过程中，需要用到对数型函数的分析思路以及一元二次不等式的解法问题，最后应用集合的交集中元素的特征求得结果.2. 已知i是虚数单位,且z=,则z的共轭复数在复平面内对应的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的代数形式乘法、除法以及乘方运算求得复数，之后应用共轭复数的特征，求得，之后确定出其在复平面内对应的点的坐标，从而判断出其所在的象限.详解：由，故，所以其对应的点的坐标为，所以在第一象限，故选A.点睛：该题考查的是复数的有关概念及运算，在解题的过程中，需要对复数的运算法则非常熟悉，还有要审清题，找的是对应的点所属的象限，而不是.3. 下列命题中错误的是A. 若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“pV(¬q)”为真命题B. 命题“若a+b≠7,则a≠2或b≠5”为真命题C. 命题“若x2-x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0,则x≠0且x≠1”D.命题p:x>0,sinx>2x-1,则p为x>0,sinx≤2x-1【答案】C【解析】分析：对该题逐项分析即可.A项根据复合命题的真值易得；B项转化为判断其逆否命题容易判断；C项否命题也要否定条件；D项由含有一个量词的命题的否定易得.详解：因为命题“若x2-x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若,则x≠0且x≠1”，所以C是错误的，根据有关命题的知识能判断出A、B、D三项都是正确的，故选C.4. 大型反贪电视剧《人民的名义》播出之后,引起观众强烈反响,为了解该电视剧的人物特征,小赵计划从16集中随机选取两集进行观看,则他恰好选择连续的据两集观看的概率为A.A. B.【答案】B【解析】基本事件如下共种，其中连续的有共种，故概率为.5. 设F1,F2分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上点且(∣PF1∣-∣PF2∣)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为A. B. C. 4 D.【答案】D【解析】分析：根据，由双曲线的定义可得，求得，即可求出双曲线的离心率.详解：根据双曲线的定义可知，，所以题中的条件可以化为，即，所以，因为，所以，结合双曲线中的关系，可得，故选D.点睛：该题考查的是双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要应用双曲线的定义对题中的条件进行转化，结合双曲线中的关系，得到关于的等量关系式，从而求得离心率的值，该题的解法是用来表示，还可以用来表示.6. 已知实数x,y满足不等式组,则z=∣x-最大值为A. 0B. 3C. 9D. 11【答案】C【解析】分析：根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出的取值范围.详解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：作出直线，平移直线，由图可知，当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值，由，得，即，所以取得最大值1，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，由，得，即，所以的最小值是，所以，所以，所以的最大值时9，故选C.点睛：该题属于线性规划类问题，在解题的过程中，首先需要根据题意画出其对应的可行域，之后分析目标函数的特征，分析其代表的几何意义，从而能够确定对应的最优解是哪个，解决该题还需要注意所求的不是单纯的截距，而是绝对值，所以先求绝对值符号里边的式子的范围，之后再求绝对值的范围，从而确定好最大值时多少.7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图画可知该几何体（如图所示）是以直角为底面，以直角梯形ACDE为侧面，且侧面底面的几何体．过点B作于，则可得，故．所以该几何体的体积．选A．8. 已知数列{a n}的前n项和为S n=2n+1+m,且a1，a4，a5-2成等差数列,b n=数列{b n}的前n项和为T n。
2018年高考仿真卷文科数学试卷(二)含解析答案
2018高考仿真卷²文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从 1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A²x-ay-c=0与bx+sin B²y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V 正四棱锥P-ABCD=,则球O的表面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)²cos x 的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C 上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2018高考仿真卷²文科数学(二)1.B解析 (方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C 的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以²2R2²R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=,AC=.所以该几何体的体积V=³1³.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x²cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n= 解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解 (1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2³(3c)³c³=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解 (1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40³0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40³0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),( A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种, 则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB²DD1=³2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|PA|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解 (1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
2018年河南省顶级名校高考数学二模试卷文科 含解析
2018年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若集合A={x|log（2x+1）＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则A∩B=（）A．（0，）B．（﹣，）C．（0，2）D．（，2）2．i是虚数单位，复数（1+3i）（a﹣i）在复平面内对应的点在第四象限，则a的范围（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣3，）D．（﹣3，1）3．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．34．设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（）A．ln2﹣1 B．ln2﹣2 C．2ln2﹣1 D．2ln2﹣25．设a∈R，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）A．B．C．D．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A． B．7 C．6 D．8．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm39．等差数列的前n项和为S n，且S1018＞S1018＞S1018，则满足S n S n＜0的正整数n为（）﹣1A．2018 B．2018 C．2018 D．201810．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．11．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则•的最大值为（）A．10 B．12 C．10+2 D．812．设过点P（﹣1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y2=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y2=4x的焦点，||•||=（）A． B．5 C．8 D．9二、填空题:本大题共4小题。
河南省商丘市2018届高三第二次模拟考试文科数学试题(解析版)
河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得,,,,故选C.2. 复数（是虚数单位）的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得所以共轭复数,故选B.3. 设函数，若，则实数的值为（）A. B. 8 C. 1 D. 2【答案】D【解析】当m≥2时，当0<m<2时，综上所述m=2,故选D.4. 已知平面向量，且，则在上的投影为（）A. B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】因为，所以所以所以所以在上的投影为故选A.5. 设和为双曲线的两个焦点，若点是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】因为点是等腰直角三角形的三个顶点，所以2b=c,所以故选C.6. 已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得，故选B.点睛：类比想象是数学想象的一种，看到，我们要想到累加法，这里不是等式，是不等式，我们也可以累加得到，再利用累加得到.7. 执行如图的程序框图，若输入的是，则输出的（）A. 10B. 15C. 21D. 28【答案】A【解析】运行程序如下:n=1,s=1,1<9,n=2,s=3;3<9.n=3,s=, 6<9,n=4,s=10,10>9,s=10.故选A.8. 将函数的图象向右平移个单位后，得到，为偶函数，则的最小值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B故选B.9. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10. 已知正方形如图所示，其中相交于点，分别为的中点，阴影部分中的两个圆分别为与的内切圆，若往正方形中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，不妨设，则四边形与四边形的面积之和为，两个内切圆的面积之和为，故所求概率，故选C.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，原几何体左边是半边圆柱，圆柱上面是个球，几何体右边是一个圆锥，且圆锥的顶点和球心重合.所以几何体的体积为故选C.12. 定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式 (其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.【解析】设g(x)=,所以函数g(x)在R上单调递增.因为，所以g(0)=4,因为，所以g(x)>g(0),所以x>0.故选A.点睛：构造函数，再研究函数的性质，再利用函数的性质解题，是函数里的一个常用技巧.本题就利用了这个技巧，先构造函数g(x)=,再分析函数g(x)的单调性和特殊点，最后利用函数的性质解答.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若实数满足则的最小值为__________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，14. 已知球的表面积为，此球面上有三点，且，则球心到平面的距离为__________．【答案】【解析】因为球的表面积为，所以因为，所以三角形为直角三角形，因此球心到平面的距离为球心到BC中点的距离，为 .点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________．【答案】【解析】因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项所以此数列的项数为336. 故填336.16. 过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最小值为__________．【答案】【解析】设由题得不妨设所以点到圆上任意一点的距离的最小值为故填.点睛：本题的难点在于探究解题的思路，根据数形结合可得点到圆上任意一点的距离的最小值为|MA|-r,所以要求点A的坐标，所以要找到关于点A，B的两个方程即可，从哪里找到方程，一个是，一个是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角所对的边分别为，若，且.（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是2，求边的长.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用正弦定理化简得到，再证明成等比数列.(2)第(2)问，先计算出，再利用余弦定理求出c的长.试题解析：（1）证明：∵，，∴在中，由正弦定理得，，∵，∴，则∴成等比数列；（2），则，由（1）知，，,联立两式解得，由余弦定理得，，∴.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制100件工艺品测得其重量(单位：) 数据，将数据分组如下表：（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是2.25）作为代表.据此，估计这100个数据的平均值；（2）根据样本数据，以频率作为槪率，若该陶瓷厂生产这样的工艺品5000件，试估计重量落在中的件数；（3）从第一组和第六组6件工艺品中随机抽取2个工艺品，求一个来自第一组，一个来自第六组的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用平均数的公式求解.(2)第(2)问，根据频率的公式估计重量落在中的件数.(3)第（3）问，利用古典概型的概率公式求解.试题解析：(1) 这100个数据的平均值约为….（2）重量落在中的概率约为，所以某陶瓷厂生产这样的工艺品5000件中，估计重量落在中的件数估计为（件）.（3）记第一组的4件工艺品为,第六组2件工艺品为从中抽取两件共有：共有15种取法，其中分别来自第一第六组的有：共有8种，所以所求概率，答：一个来自第一组，一个来自第六组的概率为.19. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分別为棱的中点（1）求三棱柱的体积；（2）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先证明底面ABC,计算出△ABC的面积，再利用柱体的体积公式求三棱柱的体积.(2)第(2)问，先假设在直线上存在点P，使得CP||平面AEF，再找到点P的位置，再求AP 的长.试题解析：（1）三棱柱中，所以.因为，所以.又因为，连接,所以△是边长为2的正三角形.因为E是棱的中点，所以，且又，所以又侧面底面ABC，且侧面底面ABC=AB，又AE侧面，所以底面ABC，所以三棱柱的体积为；（2）在直线上存在点P，使得CP||平面AEF.证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.因为，故由于为棱的中点，所以，故有又为棱的中点，故为的中位线，所以又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.故在直线上存在点P，使得平面AEF.此时，所以 .20. 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：存在实数，使得.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）第（1）问，由得到a=2,再把点的坐标代入椭圆方程，解方程组即得椭圆的方程.(2)第(2)问，设的方程为.设点，，再求出NG的方程，证明直线过点，即可证明存在实数，使得.试题解析：(1)依题意，，故.将代入椭圆中，解得，故椭圆的方程为：.（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.设点，，则，联立，得.即，则，，由题可得直线方程为，又∵，.∴直线方程为，令，整理得，即直线过点.又∵椭圆的右焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上.∴ 存在实数，使得 .点睛：存在实数，使得，就是证明G,三点共线，要就是证明直线NG过定点（1,0）.所以解答本题的关键是读懂命题转化命题.21. 已知函数，其中为常数且.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增，在上单调递减；（3）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程，化简即可. (2)第(2)问，对m分类讨论，求出函数的单调性.(3)第(3)问，由题得，再求出代入化简即得m的取值范围.试题解析：(1)当时，，=切线的斜率，又，故切线的方程为，即.（2）且,()当时,,当时,;当时,.故在区间上单调递减,在区间上单调递增；()当，有两个实数根，且,故时,；时，时,.故在区间上均为单调增函数,在区间上为减函数.综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在、上单调递增，在上单调递减.（3）当时，由（2）知，又，在上为增函数..依题意有故的取值范围为.点睛：存在，使成立，即,因为不等式两边的自变量不同.如果是存在x使得f(x)<g(x)恒成立，就不能等价于，因为不等式两边的自变量都是x，这种情况一般移项转化成[f(x)-g(x)]的最小值小于零.这两种命题要学会区分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积.【答案】（1），，；（2）.【解析】试题分析：(1)直线，所以斜率，过（0，0），直角坐标方程为，同理可求的的直角坐标方程为.两边同时乘以，得，再由，代入可得故，所以圆过（2，1），r=,曲线的参数方程为（为参数）.(2)直接利用极坐标方程联立求解，先联立得到，同理.又，所以,可解。
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河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得,,,,故选C.2. 复数（是虚数单位）的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得所以共轭复数,故选B.3. 设函数，若，则实数的值为（）A. B. 8 C. 1 D. 2【答案】D【解析】当m≥2时，当0<m<2时，综上所述m=2,故选D.4. 已知平面向量，且，则在上的投影为（）A. B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】因为，所以所以所以所以在上的投影为故选A.5. 设和为双曲线的两个焦点，若点是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】因为点是等腰直角三角形的三个顶点，所以2b=c,所以故选C.6. 已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得，故选B.点睛：类比想象是数学想象的一种，看到，我们要想到累加法，这里不是等式，是不等式，我们也可以累加得到，再利用累加得到.7. 执行如图的程序框图，若输入的是，则输出的（）A. 10B. 15C. 21D. 28【答案】A【解析】运行程序如下:n=1,s=1,1<9,n=2,s=3;3<9.n=3,s=, 6<9,n=4,s=10,10>9,s=10.故选A.8. 将函数的图象向右平移个单位后，得到，为偶函数，则的最小值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B故选B.9. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10. 已知正方形如图所示，其中相交于点，分别为的中点，阴影部分中的两个圆分别为与的内切圆，若往正方形中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，不妨设，则四边形与四边形的面积之和为，两个内切圆的面积之和为，故所求概率，故选C.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，原几何体左边是半边圆柱，圆柱上面是个球，几何体右边是一个圆锥，且圆锥的顶点和球心重合.所以几何体的体积为故选C.12. 定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式 (其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设g(x)=,所以函数g(x)在R上单调递增.因为，所以g(0)=4,因为，所以g(x)>g(0),所以x>0.故选A.点睛：构造函数，再研究函数的性质，再利用函数的性质解题，是函数里的一个常用技巧.本题就利用了这个技巧，先构造函数g(x)=,再分析函数g(x)的单调性和特殊点，最后利用函数的性质解答.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若实数满足则的最小值为__________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，14. 已知球的表面积为，此球面上有三点，且，则球心到平面的距离为__________．【答案】【解析】因为球的表面积为，所以因为，所以三角形为直角三角形，因此球心到平面的距离为球心到BC中点的距离，为 .点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________．【答案】【解析】因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项所以此数列的项数为336. 故填336.16. 过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最小值为__________．【答案】【解析】设由题得不妨设所以点到圆上任意一点的距离的最小值为故填.点睛：本题的难点在于探究解题的思路，根据数形结合可得点到圆上任意一点的距离的最小值为|MA|-r,所以要求点A的坐标，所以要找到关于点A，B的两个方程即可，从哪里找到方程，一个是，一个是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角所对的边分别为，若，且.（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是2，求边的长.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用正弦定理化简得到，再证明成等比数列.(2)第(2)问，先计算出，再利用余弦定理求出c的长.试题解析：（1）证明：∵，，∴在中，由正弦定理得，，∵，∴，则∴成等比数列；（2），则，由（1）知，，,联立两式解得，由余弦定理得，，∴.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制100件工艺品测得其重量(单位：) 数据，将数据分组如下表：（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是2.25）作为代表.据此，估计这100个数据的平均值；（2）根据样本数据，以频率作为槪率，若该陶瓷厂生产这样的工艺品5000件，试估计重量落在中的件数；（3）从第一组和第六组6件工艺品中随机抽取2个工艺品，求一个来自第一组，一个来自第六组的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用平均数的公式求解.(2)第(2)问，根据频率的公式估计重量落在中的件数.(3)第（3）问，利用古典概型的概率公式求解.试题解析：(1) 这100个数据的平均值约为….（2）重量落在中的概率约为，所以某陶瓷厂生产这样的工艺品5000件中，估计重量落在中的件数估计为（件）.（3）记第一组的4件工艺品为,第六组2件工艺品为从中抽取两件共有：共有15种取法，其中分别来自第一第六组的有：共有8种，所以所求概率，答：一个来自第一组，一个来自第六组的概率为.19. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分別为棱的中点（1）求三棱柱的体积；（2）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先证明底面ABC,计算出△ABC的面积，再利用柱体的体积公式求三棱柱的体积.(2)第(2)问，先假设在直线上存在点P，使得CP||平面AEF，再找到点P的位置，再求AP的长.试题解析：（1）三棱柱中，所以.因为，所以.又因为，连接,所以△是边长为2的正三角形.因为E是棱的中点，所以，且又，所以又侧面底面ABC，且侧面底面ABC=AB，又AE侧面，所以底面ABC，所以三棱柱的体积为；（2）在直线上存在点P，使得CP||平面AEF.证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.因为，故由于为棱的中点，所以，故有又为棱的中点，故为的中位线，所以又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.故在直线上存在点P，使得平面AEF.此时，所以 .20. 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：存在实数，使得.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）第（1）问，由得到a=2,再把点的坐标代入椭圆方程，解方程组即得椭圆的方程.(2)第(2)问，设的方程为.设点，，再求出NG的方程，证明直线过点，即可证明存在实数，使得.试题解析：(1)依题意，，故.将代入椭圆中，解得，故椭圆的方程为：.（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.设点，，则，联立，得.即，则，，由题可得直线方程为，又∵，.∴直线方程为，令，整理得，即直线过点.又∵椭圆的右焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上.∴ 存在实数，使得 .点睛：存在实数，使得，就是证明G,三点共线，要就是证明直线NG过定点（1,0）.所以解答本题的关键是读懂命题转化命题.21. 已知函数，其中为常数且.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增，在上单调递减；（3）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程，化简即可. (2)第(2)问，对m分类讨论，求出函数的单调性.(3)第(3)问，由题得，再求出代入化简即得m的取值范围.试题解析：(1)当时，，=切线的斜率，又，故切线的方程为，即.（2）且,()当时,,当时,;当时,.故在区间上单调递减,在区间上单调递增；()当，有两个实数根，且,故时,；时，时,.故在区间上均为单调增函数,在区间上为减函数.综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在、上单调递增，在上单调递减.（3）当时，由（2）知，又，在上为增函数..依题意有故的取值范围为.点睛：存在，使成立，即,因为不等式两边的自变量不同.如果是存在x使得f(x)<g(x)恒成立，就不能等价于，因为不等式两边的自变量都是x，这种情况一般移项转化成[f(x)-g(x)]的最小值小于零.这两种命题要学会区分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积.【答案】（1），，；（2）.【解析】试题分析：(1)直线，所以斜率，过（0，0），直角坐标方程为，同理可求的的直角坐标方程为.两边同时乘以，得，再由，代入可得故，所以圆过（2，1），r=,曲线的参数方程为（为参数）.(2)直接利用极坐标方程联立求解，先联立得到，同理.又，所以,可解。