【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：小题综合限时练5

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2015届高三下文科数学综合训练二参考答案

2015届高三（下）文科数学综合训练二参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．8； 14． 15．1； 16．1(0,]3．三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分）17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．解：（I ）∵点(,)n n S 在函数2()f x x =的图象上，∴2.n S n = ················································································································ 1分∴当1n =时，111a S ==, ······················································································· 2分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ··················································································· 3分22(1)21n n n =--=- ································································· 4分又11a =满足21,n a n =- ························································································ 5分 ∴2 1.n a n =- ·········································································································· 6分(II) ∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+ ·································································· 7分111()22121n n =--+，············································································ 9分 ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111[(1)()()]23352121n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ ·················································· 11分 11(1)221n =-+.21nn =+ ················································································ 12分 18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（I ）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0) 共10个． ······························ 3分（说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分）其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为 (7.4,7.0),(7.4,7.9),(7.0,7.9),共3个． ······························································· 5分所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率3.10P = ·································· 6分（II ）∵1500140019001600210085001700,55x ++++=== ································ 7分 7.47.09.27.910.041.58.3.55y ++++=== ····························································· 8分又直线 0.004y x a =+ 过点(,)x y ， ····································································· 9分 ∴8.30.0041700,a =⨯+ 解得 1.5a =，∴0.004 1.5y x =+． ······························································································· 10分当1800x =时，0.0041800 1.58.79.0y =⨯+=<,··················································· 11分所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）． ········································· 12分 19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，满分12分．证法一：（I ）连接1AC 交1A C 于点N ，则N 为1A C 的中点．……1分∵M 为AB 的中点，∴1//MN BC ．……………………………………………3分又∵1MN ACM ⊂平面， ………………………………4分 11BC ACM ⊄平面， ……………………………………5分 ∴11//BC ACM 平面．……………………………………6分（II ）∵CA CB =，M 为AB 的中点，∴CM AB ⊥． …………………………………………7分 ∵1A 在平面ABC 的射影为M ，∴1A M ACB ⊥平面，……………………………………8分 ∴1A M AB ⊥，…………………………………………9分又1CMA M M =，∴1AB ACM ⊥平面，…………………………………10分又11AB ABB A ⊂平面，………………………………11分 ∴111.ACM ABB A ⊥平面平面 …………………………12分证法二：（I ）取11A B 中点N ，连结1,BN C N ，………1分∵M 为AB 的中点，∴1A N MB =，1A N //MB∴四边形1A MBN 为平行四边形，∴1//BN A M ．…………………………………………2分同理可得1//C N CM ，又11C N ACM ⊄平面，1CM ACM ⊂平面，…………3分 ∴11//C N ACM 平面．…………………………………4分同理1//BN ACM 平面． ∵1C NBN N =，∴11//BC N ACM 平面平面，……………………………5分 ∵11BC BC N ⊂平面，A 1ABC 1CMB 1N证法二图B 1 A 1 ABC 1 C MN证法一图∴11//BC ACM 平面． …………………………………6分（II ）同解法一．20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分．解：（I ）依题意得：1()2cos 222f x x x x ωωω=+- ····························································· 2分12cos 22x x ωω=+ ················································································· 3分 sin(2)6x πω=+， ···························································································· 4分 ∵0ω>，∴222T ππω==，∴12ω=， ··············································································································· 5分∴()sin()6f x x π=+． ······························································································ 6分（II ）∵0A π<<， ∴7666A πππ<+<． ∵()sin()6f x x π=+在x A =时取得最值，∴,623A A πππ+==． ···························································································· 8分∵1sin 2ABC S bc A ∆===，∴6bc =． ··············································································································· 9分 ∵5b c +=，∴2222cos a b c bc A =+- ·························································································· 10分22b c bc =+- 2()3b c bc =+- 2518=-7=， ·································································································· 11分∴a = ················································································································· 12分 21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．解法一：（I ）()1,x f x e '=- ···················································································· 1分由()0f x '>可得0,x >；由()0f x '<可得0,x < ············································ 2分 ∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． ······································ 3分(II) (),x g x e x '=- ································································································· 4分由（I ）知()g x '在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)10,g x g ''≥=> ······························································································ 5分∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， ··············································································· 6分 ∴[0,)x ∈+∞时，min ()(0)0.g x g == ······································································· 7分（III ）由(II) 知当0x >时，()0,g x >即0x >时，211,2x e x >+ ····················································································· 8分设函数221311()1(ln )ln ,2222h x x x x x =+-+=--则211()(0),x h x x x x x-'=-=> ············································································· 9分由()0h x '>可得1x >；由()0h x '<可得01,x <<∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ··········································· 10分 ∴()(1)0,h x h ≥=∴0x >时，2131ln ,22x x +≥+ ·············································································· 11分∴3ln .2x e x >+ ······································································································ 12分解法二：（I ）(II)同解法一．（III ）设3()ln ,2x h x e x =--则1()(0),x h x e x x '=-> ························································································· 8分∵1()x h x e x '=-在 (0,)+∞上单调递增，且121()20,(1)10,2h e h e ''=-<=-> ()h x 在1(,1)2上连续， ·································· 9分∴存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()0h x '=，即00001,ln ,x e x x x ==-························· 10分∴0(0,)x x ∈时，()0,h x '<()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0,h x '>()h x 在0(,)x +∞上单调递增， …………………………11分∴0000031331()()ln 20,2222x h x h x e x x x ≥=--=+->-=>∴()0h x >，即3ln .2x e x >+················································································ 12分 22．本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系；考查运算求解、抽象概括能力，化归与转化思想．满分14分．解法一：（I ）∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为(0,).2pF ···································· 1分椭圆22143y x +=的焦点为(0,1)± ············································································ 2分 ∴1,2,2pp == ∴抛物线的方程为24.x y = ····················································································· 3分（II ）（ⅰ）联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=······················································ 4分 216160,k ∆=+>设1122(,),(,)A x y B x y则12124,4x x k x x +=⋅=-， ···················································································· 5分由24x y =，得2,,42x x y y '==所以过A 的切线PA 的方程为：1111(),2y y x x x -=- 整理得： 2111124y x x x =- ⋅⋅⋅① …………………………………6分同理切线PB 的方程为：2221124y x x x =- ⋅⋅⋅②联立①②解得122,1,2P P x xx k y +===-即(2,1).P k - ········································ 7分当0k =时，(0,1),(0,1),P F -有.PF AB ⊥……………………………………………8分当0k ≠时，1(1)1,02PF k k k--==--有.PF AB ⊥所以0PF AB ⋅=为定值． ······················································································ 9分（ⅱ）由（ⅰ）可设直线PF 的方程为：11(0)y x k k=-+≠．…………………10分由211,4y x k x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2440,x x k +-= 设223434(,),(,)44x x C x D x则34344,4,x x x x k+=-⋅=-…………………11分∵(2,1)P k -，(0,1).F∴PC FD PD CF ⋅-⋅2222334444331111(2,1)(,1)(2,1)(,1)4444x k x x x x k x x x =-+⋅---+⋅--2222343443431111(2)(1)(1)(2)(1)(1)4444x k x x x x k x x x =-⋅++⋅-+-++⋅-………12分22343434122()28x x k x x x x =-++-24182()(4)28k k =---+⋅--=0∴PC FD PD CF ⋅=⋅， ·························································································· 13分又,,,P C F D 共线，∴||||||||.PC FD PD CF ⋅=⋅ ···················································································· 14分。

2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案详解

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ，则=⋃B A ( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且i iai +=++312，则=a ( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．向量()1,1-=a ，()2,1-=b ，则()=⋅+a b a 2 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．5B ．7C ．9D ．11 6.第6题图一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.157．已知三点()01，A ()30，B ，()32，C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.438.第8题图右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a ( )A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足411=a ，()14453-=a a a ，则=2a ( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C．144π D．256π11.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ________.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则y x z +=2的最大值为________． 15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为________．16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ________. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2=(1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分组频数281410 6 2015·新课标Ⅱ卷第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分 70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19.(本小题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，10=BC ,81=AA ，点E ,F 分别在11B A ,11C D 上，411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22，点()22，在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．(1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF ∥BC .（II ）若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN == ,求四边形EDCF 的面积23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；N M G OFE D C B A(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．2015·新课标Ⅱ卷第8页1、选A2、故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解：如图所示，选D.7、选B.8、故选B.9、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以， .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442=R ππ，故选C.11、解：如图，当点P 在BC 上时， ,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠ 当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B.xP O DC B A12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x x x x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得故选A.第二卷一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y 取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文科数学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.3 3 4D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（）A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为．【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EF BC；（II）若AG等于圆O半径,且AE MN【答案】（I）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,+>；（II ）>是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为22a b c d =++=++考点：不等式证明.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文科数学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =U （）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.3 B.213 25C.3 4D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（）A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x=±,则该双曲线的标准方程为．【答案】2214xy-=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线lny x x=+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x=+++相切,则a= ．【答案】8【解析】试题分析：由11yx'=+可得曲线lny x x=+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x=-,与()221y ax a x=+++联立得220ax ax++=,显然0a≠,所以由2808a a a∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC∠∠；（II）若60BAC∠=o,求B∠.【答案】（I ）12；30o .考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=o o所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠, 所以3tan ,30.3B B ∠=∠=o考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 2,点(2在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF BC P ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II 163考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()330,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,a b c d +>；（II ）a b c d >是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22a b c d >,开方即得a b c d >（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为222,2,a b a b ab c d c d cd =++=++考点：不等式证明.。

【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第五篇数列第5讲Word版含解析

第5讲数列的综合应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·昆明调研)公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )．A ．－20B ．0C ．7D ．40解析记等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2，即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，则S 4＝1×[1－(－3)4]1＋3＝－20.答案 A2．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝( )． A ．15 B ．－15 C ．±15D ．10解析由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15. 答案 A3．(2014·德州模拟)数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是 ( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11. 答案 C4．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )．A ．35B ．33C ．31D ．29解析设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知， a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54， ∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16， ∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 答案 C5．(2014·兰州模拟)设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n . 答案 A 二、填空题6．(2014·绍兴调研)已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．解析设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12.答案 127．(2013·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，q ＝2.则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102.∴n ≥6，∴最少天数n ＝6. 答案 68．(2013·山东省实验中学诊断)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2 013＝________.解析由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2 013＝3×671，所以A 2 013＝(－1)671＝－1. 答案－1 三、解答题9．(2014·杭州模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)令b n ＝na n ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q . 又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.由题意得q ＞1，所以q ＝2.则a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝n ·2n －1，n ＝1,2，…，则T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，所以2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝2n －n ×2n －1，即T n ＝(n －1)2n ＋1.10．(2013·湛江二模)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4，数列{a n }是公差为d 的等差数列，若a 1＝f (d －1)，a 3＝f (d ＋1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n 为{a n }的前n 项和，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n≥13.(1)解 a 1＝f (d －1)＝d 2－4d ＋7，a 3＝f (d ＋1)＝d 2＋3，又由a 3＝a 1＋2d ，可得d ＝2，所以a 1＝3，a n ＝2n ＋1. (2)证明 S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)， 1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以，1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－11＋1－11＋2＝13. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·福州模拟)在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝ ( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值．答案 C2．已知f (x )＝bx ＋1是关于x 的一次函数，b 为不等于1的常数，且g (n )＝⎩⎨⎧1，n ＝0，f [g (n －1)]，n ≥1，设a n ＝g (n )－g (n －1)(n ∈N *)，则数列{a n }为( )． A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列D ．递减数列解析 a 1＝g (1)－g (0)＝f [g (0)]－g (0)＝b ＋1－1＝b ，当n ≥2时，a n ＝g (n )－g (n －1)＝f [g (n －1)]－f [g (n －2)]＝b [g (n －1)－g (n －2)]＝ba n －1，所以{a n }是等比数列．答案 B 二、填空题3．(2013·浙江五校联考)设x 为实数，[x ]为不超过实数x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，则{x }的取值范围是[0,1)，现定义无穷数列{a n }如下：a 1＝{a }，当a n ≠0时，a n ＋1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；当a n ＝0时，a n ＋1＝0.如果a ＝3，则a 2 013＝________.解析由题意可得a 1＝3－1，a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13－1＝3－12，a 3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23－1＝3－1，a 4＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13－1＝3－12，…，所以数列{a n }是周期为2的数列，所以a 2 013＝a 1＝3－1. 答案3－1三、解答题4．已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有⎩⎨⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，即⎩⎨⎧ a 1(2＋q 2)＝3a 1q ，a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4，①②由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意，舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2·2n －1＝2n . 故所求数列{a n }的通项公式a n ＝2n (n ∈N *)． (2)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n＋log 212n ＝2n －n .所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2.因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。

2015届高考数学文二轮专题复习高考小题分项练(六)

高考小题分项练(六 )(推荐时间： 40 分钟 )1．在R 上定义运算“? 〞： x? y ＝ (1－ x)(1＋ y)．假设不等式 (x － a)? ( x ＋ a)<1 对任意的实数x 都成立，那么 a 的取值X 围是 ( )A ．－ 1<a<1B ．－ 2<a<031C ． 0<a<2D ．－2<a<2答案 B解析由题意知， (x － a)? (x ＋ a)＝ (1－ x ＋a)(1 ＋ x ＋ a)＝ (1＋ a)2－ x 2<1 恒成立，即 x 2 >(1＋a)2－ 1 恒成立，故只要 (1＋a)2－1<0 恒成立，即 a 2＋ 2a<0，解得－ 2<a<0.1， x>0，2．符号函数 sgn(x)＝0， x ＝ 0，那么函数 f(x)＝ sgn(ln x)－ ln 2 x 的零点个数为 ()－1， x<0，A ．1B ．2C ． 3D ．4答案B解析当 x>1 时， ln x>0， sgn(ln x)＝ 1，∴ f (x)＝ 1－ ln 2x ，令 f(x) ＝0，得 x ＝ e 满足．当 x ＝ 1 时， ln x ＝0， sgn(ln x)＝0，∴ f (x)＝－ ln 2x ，令 f(x)＝0，得 x ＝1 满足．当0<x<1 时， ln x<0， sgn(ln x)＝－ 1，∴ f (x)＝－ 1－ln 2x<0， f(x)＝ 0 无解．∴函数 f(x) 的零点为 x ＝1 与 x ＝ e.3．函数 f(x)的定义域为 D ，假设满足：① f( x)在 D 内是单调函数；②存在 [a ，b]? D 使得 f( x)在[ a ，b]上的值域为 a ，b，那么称函数 f(x)为“成功函数〞．假设函数 f(x)＝ log c (c x ＋ t) (c>0，c ≠1)2 2是“成功函数〞，那么 t 的取值X 围为 ( )A ． (0，＋∞ )B.－∞，141D. 0， 1C. 4，＋∞4答案Df a ＝ a2解析无论 c>1 还是 0<c<1， f(x)＝ log c (c x＋ t)都是R 上的单调增函数，故应有，bf b ＝2xxx那么问题可转化为求xx＋ t ＝ c 2在R 上有两个不相等的实数根的f(x)＝，即 log c (c＋ t)＝，即 c22xx问题，令 c 2＝mx＋ t ＝c 2可化为2y ＝t(m>0) ，那么ct ＝m － m ，问题进一步可转化为求函数与 y ＝ m － m 2(m>0) 的图象有两个交点的问题，结合图形可得t ∈ 0，1.44．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中 a ，b ∈ {1,2,3,4,5,6} ，假设 |a － b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞的概率为( )127 4A. 9B.9C.18D.9答案D解析任意找两人玩这个游戏，共有6× 6＝ 36 种猜字结果，其中满足|a －b|≤ 1 的有如下情形：①假设 a ＝1，那么 b ＝1,2；②假设 a ＝ 2，那么 b ＝ 1,2,3；③ 假设 a ＝ 3，那么 b ＝ 2,3,4；④假设 a ＝ 4，那么 b ＝ 3,4,5 ；⑤ 假设 a ＝ 5，那么 b ＝ 4,5,6；⑥假设 a ＝ 6，那么 b ＝5,6，总共16 种，故他们“心有灵犀〞的概率为 P ＝ 16 4＝ .36 95．设 A 1，A 2， A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设→→→A 1A 3＝λA 1A 2(λ∈R )，A 1A 4＝→C ，D 调和分割μA 1A 2(μ∈R )，且1＋1＝ 2，那么称 A 3， A 4调和分割 A 1， A 2，平面上的点λ μ点 A ， B ，那么下面说法正确的选项是()A ． C 可能是线段 AB 的中点 B ． D 可能是线段 AB 的中点C ． C ，D 可能同时在线段 AB 上D ． C ， D 不可能同时在线段AB 的延长线上答案 D解析依题意，假设 C ， D 调和分割点→→ → → 1 1＝2.假设 C是 A ， B ，那么有 AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且＋λ μ线段 AB 的中点，那么有 → 1 →1 1 1 ＝2，所以1A 不AC ＝ AB ，此时λ＝ .又＋＝ 0，不可能成立．因此 2 2 λ μ μ 对，同理 B 不对．→ → →→1 1＞ 2，当 C ， D 同时在线段 AB 上时，由 AC ＝λAB ， AD ＝μAB 知 0＜λ＜ 1,0＜μ＜1，此时＋λ μ11与条件＋＝ 2 矛盾，因此C 不对．假设 C ，D 同时在线段→→→→11 ＜ AB 的延长线上，那么 AC ＝λAB 时，λ＞ 1，AD ＝μAB 时，μ＞ 1，此时＋λ μ1＋1＝ 2 矛盾，故 C， D 不可能同时在线段AB 的延长线上．λμ2，与6．设 [x]表示不大于x 的最大整数，那么对任意实数x， y 有 ()A ． [ － x] ＝－ [x]B． [2x]＝ 2[x]C． [x＋ y]≤ [x] ＋ [y]D． [x－ y]≤ [x] － [y]答案D解析特殊值法．令 x＝ 1.5，∵ [－ 1.5]＝－ 2，－ [1.5] ＝－ 1，故 A 错； [2 ×1.5] ＝3,2[1.5] ＝ 2，故B 错；令 x＝ 1.5， y＝ 0.5，[x＋y]＝ 2， [x]＋ [y] ＝ 1＋ 0＝ 1，故 C 错．7．函数 f(x)的定义域为 D ，假设存在非零实数 l 使得对于任意x∈ M( M? D)，有 x＋ l∈ D，且f(x＋ l)≥ f(x)，那么称 f(x)为 M 上的 l 高调函数．如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)＝ |x－ a2|－ a2，且 f(x)为R上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值X围是 ()A ．－ 1≤ a≤ 1B． 0< a<1C．－ 2<a<2D．－ 2≤a≤ 2答案Ax≥ 0 时，函数 f(x)＝－x，0≤ x≤ a2，解析由于函数 f( x)是奇函数，所以函数 y＝ f(x)的图x－ 2a2， x>a2.象大致如以下图所示，根据函数图象的平移变换法那么可得函数y＝ f(x＋ 4)的图象，大致如以下图所示．如果在 R 上，f(x＋4)≥f(x)恒成立，必须且只需－4＋ 2a2≤－ 2a2(横轴上的截距 )，即2a ≤ 1，解得－ 1≤ a≤ 1.特例排除法也可解此题．8．在平面直角坐标系中，定义d(P， Q)＝ |x1－ x2|＋ |y1－y2|为两点P(x1， y1)， Q(x2， y2)之间的“折线距离〞．在这个定义下，给出以下命题：①到原点的“折线距离〞等于1 的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离〞等于 1 的点的集合是一个圆；③到 M(－ 1,0)， N(1,0) 两点的“折线距离〞相等的点的轨迹方程是x＝ 0；④到 M(－ 1,0)， N(1,0) 两点的“折线距离〞差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线．其中真命题有 ()A．1 个B．2 个C．3 个D．4个答案C解析设到原点的“折线距离〞为 1的点为 (x，y)，那么 |x|＋ |y|＝1，这是以点 (1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0，－ 1)为顶点的正方形，故命题① 为真命题，命题②为假命题．设到 M，N 的“折线距离〞相等的点为 (x，y)，那么 |x＋ 1|＋ |y|＝ |x－ 1|＋ |y|，即|x＋ 1|＝ |x－ 1|，两边平方即得 x＝0，命题③为真命题．设到 M，N 的“折线距离〞差的绝对值为 1 的点为 (x， y)，那么 ||x＋1|＋ |y| －|x－ 1|－ |y||＝ 1，即 ||x＋ 1|－ |x－ 1||＝ 1，当 x≥ 1 时，不成立，当 x≤ － 1 时也不成立，只有当－ 1<x<1 时可能成立，此时 ||x＋ 1|－ |x－1||＝1，即 |2x|＝ 1，即1x＝±，所以命题④为真命题．29．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，那么抽验一只是正品(甲级 )的概率为()A ． 0.95B． 0.97C． 0.92D． 0.08答案C解析记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级 )的概率为P(A)＝ 1－ P(B)－ P(C)＝ 1－5%－ 3%＝92%＝ 0.92，应选 C.222210．函数f(x)＝ x － 2(a＋ 2)x＋ a ，g(x)＝－ x ＋ 2(a－ 2)x－ a ＋ 8.设 H 1(x) ＝max{ f(x)，g(x)} ，H2(x)＝ min{ f(x)，g( x)}(max{ p，q} 表示 p，q 中的较大值， min{ p，q} 表示 p，q 中的较小值 )．记H1(x)的最小值为A， H2 (x)的最大值为B，那么 A－ B 等于 ()A．16B．－ 16C． a2－ 2a－ 16D． a2＋ 2a－16答案B解析∵ f(x)－ g(x) ＝2x2－4ax＋ 2a2－ 8＝2[ x－(a－ 2)][ x－ (a＋2)] ，f x ，x∈ －∞， a－ 2]，∴H 1(x)＝g x ， x∈ a－ 2，a＋ 2 ，f x ，x∈[ a＋ 2，＋∞，g x ， x∈ －∞， a－2]，g x ， x∈ [ a＋ 2，＋∞，可求得 H1(x)的最小值 A＝f(a＋ 2)＝－ 4a－ 4，H 2(x)的最大值B＝ g(a－ 2)＝－ 4a＋ 12，∴A－ B＝－ 16.应选 B.11．对于平面上的点集的凸集．给出平面上Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于 4 个点集的图形如下 (阴影区域及其边界 )：Ω，那么称Ω 为平面上其中为凸集的是 ________(写出所有凸集相应图形的序号 )．答案 ②③解析图 ①中连接左顶点和右上顶点的线段不在区域内，故不是凸集，图 ④ 中两圆的外公切线不在区域内，也不是凸集，②③ 符合凸集的定义．12．设 f(x)和 g(x)是定义在同一区间 [a ， b]上的两个函数，假设函数 y ＝ f( x)－ g(x)在 x ∈ [a ， b]上有两个不同的零点，那么称 f(x)和 g(x)在[a ，b]上是“关联函数〞，区间 [a ，b] 称为“关联区间〞．假设 f(x)＝ x 2－ 3x ＋ 4与 g(x)＝ 2x ＋ m 在 [0,3] 上是“关联函数〞，那么m 的取值X 围是________．答案－9，－ 24解析f(x)＝x 2－ 3x ＋ 4 为开口向上的抛物线，g(x)＝2x ＋ m 是斜率 k ＝ 2的直线，可先求出g(x)＝ 2x ＋m 与 f(x)＝ x 2－ 3x ＋ 4 相切时的 m 值．由 f ′( x)＝ 2x －3＝ 2 得切点为5，11，此时 m ＝－9，因此 f(x)＝ x 2－ 3x ＋ 4 的图象与 g(x)＝2 442x ＋ m 的图象有两个交点，只需将g(x)＝ 2x －9向上平移即可．4再考虑区间 [0,3] ，可得点 (3,4) 为 f(x) ＝x 2－ 3x ＋ 4 图象上最右边的点，此时m ＝－ 2，所以m ∈－9，－ 2 .413．在数列 { a n } 中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1＝ k(k 为常数 )，那么称数列 { a n } 为等差比a n＋1－an数列， k 称为公差比．现给出以下命题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列；③假设 a n ＝－ 3n ＋ 2，那么数列 { a n } 是等差比数列； ④假设等比数列是等差比数列，那么其公比等于公差比．其中正确命题的序号为 ________．答案 ①③④解析假设 k ＝0，{ a n } 为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，a n ＋2－ a n ＋1a n ＋2－ a n ＋1n ＋1 n＝ 3，满足定义，③正确；设 a n ＝ a 1n －1＝ a 1q － a 1 q②错误；q ( q ≠ 0)，那么 a n ＋1－ a nn n － 1a n ＋1－ a na 1q － a 1q＝q ，④正确．14． y ＝ f(x)是以 2 为周期的偶函数，当 x ∈ [0,1] 时， f(x)＝ x ，那么在区间[－1,3] 内，关于 x 的方程 f(x)＝ kx ＋ k ＋ 1(k ∈R ， k ≠1)有 4 个根，那么 k 的取值X 围为 ________．答案 (－13， 0)解析上有由图象可知，在 l 1和 l2之间的直线都满足与函数图象在区间4 个交点，且f(x)＝ kx＋ k＋1 过定点 (－1,1)，结合图象可知[－ 1,3]k 的取值X围为(－ 13，0)．15．设 P1，P2，, ， P n为平面α内的 n 个点，在平面α内的所有点中，假设点 P 到点 P1，P2，, ，P n的距离之和最小，那么称点P 为点 P1，P2，, ， P n的一个“中位点〞．例如，线段AB 上的任意点都是端点 A、 B 的中位点．现有以下命题：①假设三个点 A， B， C 共线， C 在线段 AB 上，那么 C 是 A， B， C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③假设四个点 A， B， C，D 共线，那么它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是 ________． (写出所有真命题的序号 )答案①④解析①C 到 C 点距离为0， C 在 AB 上，所以 C 到 AB 距离和最小，所以①正确．②斜边上的高的垂足是中位点，所以② 错误．③共线的四点的中位点是中间两点连线线段上任何点，所以③ 错误．④ 用反证法易证④正确．。

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=x-1<x<2$，$B=x<x<3$，则 $A\cup B=$A。

$(-1,3)$ B。

$(-1,0)$ C。

$(0,2)$ D。

$(2,3)$2.若 $a$ 是实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$A。

$-4$ B。

$-3$ C。

$3$ D。

$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落）4.已知向量 $a=(1,-1)$，$b=(-1,2)$，则 $(2a+b)\cdot a=$A。

$-1$ B。

$0$ C。

$1$ D。

$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

若$a_1+a_3+a_5=3$，则 $S_5=$A。

$5$ B。

$7$ C。

$9$ D。

$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。

$\frac{1}{1111}$ B。

$\frac{1}{8576}$ C。

$\frac{2}{1254}$ D。

$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$，$B(2,3)$，$C(2,3)$，则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。

$\sqrt{5}$ B。

$3$ C。

$2\sqrt{5}$ D。

$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的$a,b$ 分别为14,18，则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。

[精品]2015年高考真题文科高中数学新课标ii卷试卷和答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试 II 卷文科数学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.3 3 C.34D.3 【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（） A.π36 B. π64 C.π144 D. π256 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A. 考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- . 考点：函数解析式 14. 若x ,y满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为．【答案】8考点：线性规划15.已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为．【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠. （II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2s i nsB C ∠=∠,所以tan 30.3B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体111A B C D A B CD -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220+-=,220x y y+-=,联立解x y考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,+=+.证明：a b c d均为正数,且a b c d（I）若ab cd> ,（II-<-的充要条件.a b c d【答案】【解析】试题分析：（I）由a b c d>,可证明22+=+及ab cd>,开（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I）因为22=++=++a b c d考点：不等式证明.。

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限时练(五)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}，集合B ＝{x |2x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．{x |－1＜x ≤1} B ．{x |x ≤0} C ．{x |－1＜x ≤0}
D ．{x |x ≤1}
解析集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}＝(－1,0]，集合B ＝{x |2x ≤1}＝(－∞，0]，则A ∩B ＝(－1,0]．答案 C 2．已知复数z ＝2i
1＋i
，则z ·z ＝( )． A ．1－i B ．2 C ．1＋i
D ．0
解析 z ＝2i
1＋i ＝1＋i ，则z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2.
答案 B
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，S 6
＝( )． A.92 B ．5 C ．－92
D ．－5
解析由根与系数的关系可知a 2＋a 5＝3
2，由等差数列的性质知a 2＋a 5＝a 1＋a 6，根据等差数列的求和公式得S 6＝6(a 1＋a 6)2＝92.
答案 A
4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析按照程序框图中的赋值语句要求将几次循环结果计算得出，通过判断语句，知每次运算依次为1×1＋1＝2,2×2＋1＝5,3×5＋1＝16,4×16＋1＝65，当i＝4时，计算结果为a＝65＞50，此时输出i＝4.
答案 B
5．下列选项中，说法正确的是()．
A．“∃x0∈R，x20－x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2－x＞0”
B．若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角
C．若am2≤bm2，则a≤b
D．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件
解析特称命题的否定是全称命题，选项A中“存在x0”的否定应该是“任意的x0”，所以A错误；当两向量共线反向时，数量积也是负值，所以B错误；
C选项忽略了m＝0的情况，错误；命题“p∨q为真”分为三种情况，p真q 假；q真p假；p和q都真；而p∧q为真是p和q都真，所以显而易见选项D 正确．
答案 D
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2、2、1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1、1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V ＝2×2×1＋1
2×1×1×2＝5. 答案 B
7．已知平面向量a ＝(1,2)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝53，则|b |＝( )． A ．5 2 B ．25 C ．3 2
D ．2 5
解析 |a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝5 3.解得|b |＝5 2. 答案 A
8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(其中|φ|＜π
2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin ωx 的图象，则只要将f (x )的图象( )．
A ．向左平移π
6个单位长度 B ．向右平移π
6个单位长度 C ．向左平移π
3个单位长度 D ．向右平移π
3个单位长度
解析根据函数图象先确定参数值，由图象知函数周期为π，故ω＝2，图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，0，则2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，故φ＝π3.根据图象平移的规律，可知f (x )的图象向右平移π
6可得到g (x )的图象．答案 B
9．设a＝log2.83.1，b＝logπe，c＝log eπ，则()．
A．a＜c＜b B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析易知0＜b＜1,1＜a＝log2.83.1＜log2.8π，又1＞logπ2.8＞logπe＞0，∴1＜log2.8π＜log eπ＝c，
∴1＜a＜c，∴b＜a＜c.
答案 C
10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致为()．
解析f(x)＝x2＋2x＋1－2x＝(x＋1)2－2x，令g(x)＝(x＋1)2，h(x)＝2x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x1，x2，x3，在区间(－∞，x1)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x1，x2)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0；在区间(x2，x3)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x3，＋∞)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0.
答案 A
11．已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直
径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()．
A.x2
9－
y2
16＝1 B．
x2
4－
y2
3＝1
C.x2
16－
y2
9＝1 D．
x2
3－
y2
4＝1
解析如图所示PF1⊥PF2，故圆的半径为5，|F1F2|＝10，又b
a＝
4
3，∴a＝3，b
＝4.
答案 A
12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋1
a ＋2
的取值范围是
( )．
A ．(5
2，＋∞)
B ．(－∞，14)∪(5
2，＋∞)
C ．(0，1
4) D ．(14，52)
解析根据导函数图象可知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (2a ＋b )＜1＝
f (4)，所以依题意可得到⎩⎨⎧
2a ＋b ＜4，
a ＞0，
b ＞0，
画出a ，b 的可行域，则所求
b ＋1
a ＋2
可看作点(a ，b )与(－2，－1)连线斜率，画图易知选D.
答案 D
二、填空题
13．在△ABC 中，若2sin A ＝sin C ，a ＝b ，则角A ＝________.
解析根据正弦定理，可将条件化为c ＝2a ，又b ＝a ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，A ＝
π4. 答案 π4
14．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线相切，则a ＝______. 解析抛物线的准线方程为y ＝－
14a
，圆的方程可转化为(x －3)2＋y 2＝16，圆与准线相切，可得到14a ＝4，解得a ＝1
16. 答案 1
16
15．已知变量x ，y 的值如表所示：如果y 与x 线性相关且回归直线方程为y ^＝b ^
x ＋7
2，则b ^＝________.
x 2 3 4 y
5
4
6
解析根据所给的三对数据，得到x ＝
2＋3＋43＝3，y ＝5＋4＋6
3
＝5，∴这组数据的样本中心点是(3,5)，∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5＝3b ^
＋7
2，∴b ^＝12. 答案 12
16．在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2
＋π有零点的概率为______．
解析依题意知，要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则Δ＝4a 2－4(π－b 2)≥0，整理可得a 2＋b 2≥π，因为总的事件的范围是以π为边长的正方形区域，
故所求概率为P ＝
π2－1
4π(π)2
π
2
＝34.
3答案
4。