概率论课后习题及例题(考试重点)
概率论(仅供参考)
前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。
参考： 课本 课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ）（A∩B)∩C=A∩(B∩C ）分配律：A∩(B ∪C) = (A∩B)∪( A∩C )A ∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C ） 德·摩根律A B AB A B A B ==第二节频率性质1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）2. 样本事件概率和为1（规范性）3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-⋂5. ()1().P A P A =-第三节 古典概型性质1. 样本空间中样本点有限，既事件有限2. 样本点概率等可能发生3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1.求出状态方程2.根据定义域画图3.求概率=阴影面积/总面积第四节条件概型公式：()()()() (|).()()()()AB AB P AB P A BB B P BμμμΩμμμΩ===条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题11()()()()n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑例题 书 p251()(|)(|)()(|)i i i ni ii P A P B A P A B P A P B A ==∑第五节独立性如果AB事件独立P AB P A P B()()()若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节 离散型随机变量及其分布律1. 两点分布、0﹣1分布既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币 记为 X~b （1，p ） p 表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p 表示相反事件概率 2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n 次，记为 X~b （n ，p ） p 表示事件的概率 样本点个数为n 3. 泊松分布{}e ,0,1,2,,!kP X k k k λλ-===⋅⋅⋅记为 X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的λ二项分布X~b （n ，p ）当n 充分大，p 充分小时，对于任意固定的非负整数k ，与泊松分布概率近视相等，并且λ=nb （数学期望相等） 4. 几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性-1{}(1),1,2,k P X k p p k ==-=5. 超几何分布既抽取问题不放回情况12{},0,1,2,k n k N N nNC C P X k k C-===第三节 随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题） 求事件概率公式，p511. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式000{}(0)(0)P X x F x F x ==+--求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。
概率论习题及答案习题详解
222习题七( A )1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N kN P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤⎪⎝⎭. 总体X 的数学期望为(1)(1)011(1)(1)1NNk N k k N k k k N N EX k p p N p p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ 1((1))N N p p p N p -=+-=则E X p N=.用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX pN=.设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为111211(,,;)()(1)nniii i n nx nN x n i i i i NL x x x p P Xx pp x ==-==∑∑⎛⎫===⋅- ⎪⎝⎭∏∏取对数111ln ln ln ()ln(1)nn ni i i i i iN L x p nN x p x ===⎛⎫=+⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑∑∑，11ln (1)nnii i i xnN x d L dpp p ==-=--∑∑.223令ln 0d L dp=，解得p 的极大似然估计值为11ˆnii x npN==∑.从而得p 的极大似然估计量为11ˆnii X X npNN===∑.2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为22,0(;)0,x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.其中参数0θ>，求θ的矩估计.解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则222()3xE X xf x dx x dx θθθ+∞-∞==⋅=⎰⎰32E X θ⇒=用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ2X θ=.3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,0,0,);(1x x ex x f xαλαλαλ其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为2241()1121(),0(,,,;)0,ni i n x n n i i n i x e x L x x x αλαλαλ=--=⎧∑⎪⋅≥=⎨⎪⎩∏ 其他 取对数 11ln ln ln (1)(ln )()n ni i i i L n n x x αλααλ===++--∑∑解极大似然方程1ln 0ni i d L nx d αλλ==-=∑得λ的极大似然估计值为1ˆnii nxαλ==∑从而得λ的极大似然估计量为1ˆnii nXαλ==∑.4、设总体X 服从几何分布,10,,2,1,)1()(1<<=-==-p k p p k X P k 试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.解：因11111(1)(1)k k k k EX k p p p k p p∞∞--===⋅-=⋅-=∑∑,用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为1ˆpX=.在一次取样下，样本值12(,,,)n x x x 即事件1122{},{},,{}n n X x X x X x === 同时发生，由于12,,,n X X X 相互独立，得联合分布律为121122(,,,;)()(),,()n n n L x x x p P X x P X x P X x ====22512111(1)(1)(1)n x x x p p p p p p ---=-⋅-- ,即得极大似然函数为1()(1)ni i x nnL p p p =-∑=-取对数 1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+--∑解极大似然方程1ln ()01nii xnd L p n dppp=-=-=-∑得p 的极大似然估计值为11ˆ1nii pxn==∑从而得p 的极大似然估计量为111ˆ1nii pXXn===∑.5、设总体X 的概率密度为()1;exp ,2x f x σσσ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭0σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一样本,求参数σ的最大似然估计.解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为121111(,,,;)(;)(;)exp{||}(2)nn n ini L x x x f x f x xσσσσσ====-∑取对数1211ln (,,,;)ln(2)||nn ii L x x x n xσσσ==--∑226解极大似然方程21ln 1||0nii d L nxd σσσ==-+=∑得σ的极大似然估计值11ˆ||nii x nσ==∑从而得σ的极大似然估计量为11ˆ||nii Xnσ==∑.6、证明第5题中σ的最大似然估计量为σ的无偏估计量.证明：由第5题知σ的最大似然估计量为11ˆ||nii X nσ==∑故 1111ˆ(||)||nniii i E E XE X nnσ====∑∑又1||||||exp{}2i x E X x dx σσ+∞-∞=⋅-⎰12exp{}exp{}()2x x x x dx x d σσσσ+∞+∞=⋅-=⋅-⎰⎰[exp{}|exp{}]xxx dx σσσ+∞+∞=-⋅---=⎰从而 ˆE σσ=，即ˆσ是σ的无偏估计. 7,、设总体X 的概率密度为()222220;0x x e x f x σσσ-⎧⎪>=⎨⎪⎩，，，其它.,20σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求参数2σ的的矩估计量和最大似然估计量.解：因22222(;)2xxE X x f x dx x e dx σσσ-+∞+∞-∞=⋅=⋅⎰⎰222222222002()[2|2]xxxxd exeedx σσσ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰22722222202xxedx edx σσ--+∞+∞===⎰⎰用X 替换E X 即得未知参数σ的矩估计量为ˆX σ=从而得未知参数2σ的估计量为22ˆ)X σ=设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为21211()222211212(,,,;)(;)(;)ni nix i n n nx L x x x f x f x eσσσσσ=-=∑==∏取对数222111ln ln ln 2nniii i L xn xσσ===--∑∑解极大似然方程22241ln 102nii d L nxd σσσ==-+=∑得2σ的极大似然估计值2211ˆ2nii x nσ==∑从而得未知参数2σ的估计量为2211ˆ2nii xnσ==∑.8、设总体),(~2σμN X ,μ已知,σ为未知参数, n X X X ,,,21 为X 的一个样本,∑=∧-=ni i X c 1||μσ, 求参数c ,使∧σ为σ的无偏估计.解：由无偏估计的定义，要使∧σ为σ的无偏估计，则ˆE σσ=228又11ˆ(||)||n ni i i i E E c X u c E X u σ===-=-∑∑由题意知总体),(~2σμN X ，从而22()2||||x u i E X u x u dx σ--+∞-∞-=-⎰2222()()2211[()]()x u x u u ux u dx x u dx σσ----+∞-∞=--+-⎰⎰且2222()220()x u yx u yux u dxydy σσ--=--+∞+∞-=⎰⎰22222()2yyed σσ-+∞=--=⎰由对称性有||i E X u -=从而有cnσ=，即2c n=.9、设θˆ是参数θ的无偏估计量,且有0)ˆ(>θD ,试证22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.证明：因为θˆ是参数θ的无偏估计量，故ˆE θθ=，且0)ˆ(>θD有22222ˆˆˆˆˆ()()()()E E D E D θθθθθθθ==+=+>即22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.10、设总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本,试证：估计量32112110351ˆX X X ++=μ;32121254131ˆX XX ++=μ;3213216131ˆX XX ++=μ229都是μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.证明：总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本，则1123123131131ˆ()51025102E E X X X E X E X E X u μ=++=++= 2123123115115ˆ()34123412E E X X X EX EX EX u μ=++=++=3123123111111ˆ()362362E E X X X EX EX EX u μ=++=++=即估计量123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计. 又211231231311911ˆ()510225100450D D X X X D X D X D X μσ=++=++=22123123115112525ˆ()341291614472D D X X X D X D X D X μσ=++=++=231231231111117ˆ()362936418D D X X X D X D X D X μσ=++=++=有 213ˆˆˆD D D μμμ<<，从而估计量2ˆμ最有效. 11,、设12,,,n X X X 是总体()20,X N σ 的一个样本,20σ>,证明：211ni i X n=∑是2σ的相合估计量.证明：由题意，总体()20,X N σ ，则220,EXEXσ==由样本的独立同分布性知2221111()nniii i E X EX nnσ====∑∑，即211ni i X n=∑是2σ的无偏估计.2221111()()nniii i D X D Xnn===∑∑又2422()()i i i D X E X E X =-，且23022222224432222|3]xxxi EX xdx x ex edx σσσ---+∞+∞+∞-∞-∞-∞==-⎰⎰2222423xx edx σσσ-+∞-∞==故2422444()()32i i i D X EX EX σσσ=-=-=，有42112()0()nii D X n nnσ==→→∞∑故211ni i X n=∑是2σ的相合估计量12、设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本,1X ,2X 分别为两样本均值,试证明:如果,a b 满足1a b +=,则12Y aX bX =+是μ的无偏估计量,并确定,a b ,使得()D Y最小.解：由题意，2,EX u D X σ==，且1X ,2X 分别为容量为1n 和2n 的两个独立样本得样本均值，故2111,E X u D X n σ==，2222,E X u D X n σ==.当1a b +=时，有12()EY aEX bEX a b u u=+=+=，即12Y aX bX =+是μ的无偏估计量.222221212()abD Y a D X b D X n n σ=+=+令2212(1)()aa g a n n -=+，由()0g a '=知函数()g a 的稳定点为231112n a n n =+，且1121211()2()0n g n n n n ''=+>+，故112n a n n =+为函数唯一极小值点，即当121212,n n a b n n n n ==++时，()D Y 最小.13、设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, X 的概率密度为();f x θ,0θ>,未知，已知()222nXn χθ,试求θ的置信水平为1α-的置信区间.解：由题意，统计量()222nXn χθ，则给定置信度为1α-时，有()()22122(22)1nXP n n ααχχαθ-≤≤=- ()()221222()122nXnXP n n ααθαχχ-⇔≤≤=-由置信区间的定义知，θ的置信水平为1α-的置信区间为()()221222,22nX nX n n ααχχ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. 14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.解：设12,,,n X X X 是母体X 的样本容量为n 的子样，则显像管平均寿命(10000,16)X N构造统计量(0,1)X uU N -=，有232111222(||)1(1P U UP X UU X Uααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975 1.96U =，故显像管平均寿命X 的置信度为95%的置信区间为：4040(10000 1.96 1.96(100007.84)-+=±.15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差(%)15=S ,设投资的年利润率X 服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95).解：由题意，构造统计量2222(1)(1)n Sn χχσ-=- ，则给定置信水平为1α-，有2222122(1)((1)(1))1n SP n n ααχχασ---<<-=-22222122(1)(1)()1(1)(1)n Sn SP n n αασαχχ---⇔<<=---取26,0.15,10.95n S α==-=，查表可得20.025(25)13.120χ=，20.975(25)40.616χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为2222122(1)(1)(,)(0.014,0.043)(1)(1)n Sn Sn n ααχχ---=--.16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度X 服从正态分布,试求总体均值μ的置信水平为0.90的置信区间.233解：设1216,,,X X X 是母体X 的样本容量为16的子样，由题意知2.215X =，242.933310S -=⨯.构造统计量(1)X u t t n -=- ，有111222(||)1(1P t tP X tu X tααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.900.10αα-=⇒=，查表可得0.95(15) 1.7459t =，故显像管平均寿命X的置信度为90%的置信区间为：(2.1175,2.1325)=±. 17、生产一个零件所需时间(单位：秒)),(~2σμN X ,观察25个零件的生产时间得5.5=x ,73.1=s .试求μ和2σ的置信水平为0.95的置信区间.解：设1225,,,X X X 是母体X 的样本容量为25的子样，由题意知5.5X =， 1.73S =.构造统计量(1)X u t t n -=- ，有111222(||)1(1P t tP X tu X tααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975(24) 2.0639t =，故参数μ的置信度为95%的置信区间为：(4.786,6.214)(5.50.714)=±.234构造统计量2222(1)(1)n Sn χχσ-=- ，则给定置信水平为1α-，有2222122(1)((1)(1))1n SP n n ααχχασ---<<-=-22222122(1)(1)()1(1)(1)n Sn SP n n αασαχχ---⇔<<=---取16, 1.73,0.05n S α===，查表可得20.025(15) 6.2621χ=，20.95(15)27.4884χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为(1.825,5.. 18、产品的某一指标),(~2σμN X ，已知04.0=σ，μ未知.现从这批产品中抽取n 只对该指标进行测定,问n 需要多大,才能以95%的可靠性保证μ的置信区间长度不大于0.01?19、设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得721007.1-⨯=A s ,62103.5-⨯=B s ,若A 批导线的电阻服从),(211σμN ,B 批导线的电阻服从),(222σμN ,求2221σσ的置信水平为0.90的置信区间.20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137;乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.（ B ）1、设总体X 的概率分别为235其中102θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭是未知参数,利用总体X 的如下样本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求θ的矩估计值和最大似然估计值.解：由题意可知总体X 为离散型随机变量，则总体X 的数学期望为()32()2123(12)34k EX kP Xk θθθθθ====-++-=-∑有34E X θ-=，由样本值可知2X =，用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ4X θ-=，矩估计值1ˆ4θ=.设12340,1,2,3x x x x ====是相应于样本1234,,,X X X X 的样本值，则似然函数为12341234(,,,;)(0)(1)(2)(3)L x x x x P X P X P X P X θ=====462(12)4(1)θθθ=--取对数 ln 4ln(12)6ln 42ln(1)L θθθ=-++- 解极大似然方程ln 8620121d L d θθθθ-=+-=--有2121430θθ-+=，从而7ˆ12θ±=又当ˆ12θ=712106θ+-=-<矛盾，故舍去.所以θ的最大似然估计值ˆ12θ=2、设()111ˆˆ ,,n X X θθ= 和()221ˆˆ,,n X X θθ= 是参数θ的两个相236互独立的无偏估计量,且方差()()12ˆˆ2D D θθ=,试确定常数,a b ,使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小.解：由题意，1ˆ θ和2ˆθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，则 12ˆˆ,E E θθθθ==.要使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量，有 1212ˆˆˆˆ()()E a b aE bE a b θθθθθθ+=+=+=恒成立，即1a b +=.又1ˆ θ，2ˆθ相互独立，且()()12ˆˆ2D D θθ=，则222212122ˆˆˆˆˆ()()()(2)()D a b a D b D a b D θθθθθ+=+=+令2222()22(1)g a a b a a =+=+-，由()0g a '=知函数()g a 的稳定 点为13a =，且1()03g ''>，故线性估计类中方差最小时13a =，23b =.3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.习题八1．在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2(4.55,)X N σ .一日测得5炉铁水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 解：设铁水含碳量作为总体X ，则2(4.55,)X N σ ，从中选取容量为5的样本，测得24.444,0.0011X S ==.由题意，设原假设为0: 4.55H u =237构造检验统计量||(4)X u t t -=，则7.051t ==在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512(4)(4) 2.77647.051tt α-==<，拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.2．根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得知15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）解：设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为15的样本，测得1511 3.215ii X x===∑，22221111()()0.1911nnii i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为0:3H u <，备择假设为1:3H u >.构造检验统计量||(14)X u t t -=，则|3.23| 1.777t -==，在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.3．某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率238不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ，5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸？解：设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2(,5.5)X N u ，从中选取容量为100的样本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.构造检验统计量||(0,1)X u U N -=，则|55.0665|18.07275.5U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..4．某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？ 解：设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==， 1.6σ==，从中选取容量为200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠.构造检验统计量||(0,1)X u U N -=，则|9.899.73|1.4142U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.975121.96 1.4142UU α-==>，即接受原假设0H ，认为断头率没有受到显著影响.2395． 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05）解：设每箱重量为总体X ，则2(100,)X N σ ，从中选取容量为10的样本，测得99.9x =，20.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择假设为1:100H u ≠.构造检验统计量||(9)X u t t -=，则|99.9100|0.5423t -==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(9)(9) 2.26220.5423tt α-==>，即接受原假设0H ，认为每箱重量无显著差异.6．某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到51124i i x ==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=）解：设这批套筒直径为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为5的样本，测得151124.815ii X x===∑，22221111()()15.9511nnii i i S xx x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为24020:7H σ=，备择假设为21:7H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n Sχχσ-=，则2415.959.11437χ⨯==，在显著性水平0.01α=下,查表可得220.99512(4)(4)14.86αχχ-==，220.0052(4)(4)0.2070αχχ==，从而222122(4)(4)ααχχχ-<<，即接受原假设0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.7.甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑91370.8i i y ==∑92115280.2i i y ==∑问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？解：设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ 、222(,)Y N μσ ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得61134.16ii X x ===∑222211111()()0.40811nnii i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑241从总体Y 中选取容量为9的样本，测得91141.29i i Y y ===∑222221111()()0.40511nnii i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,8)S F F S = ，则0.408 1.0070.405F ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(5,8)(5,8) 6.76FF α-==，0.0252(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而122(5,8)(5,8)F F Fαα-<<，即接受原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？解：设维尼龙纤度为总体X ，则2(,0.048)X N u ，从中选取容量为5的样本，测得5111.4145ii X x ===∑，2211()0.00781nii S x x n ==-=-∑.由题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n Sχχσ-=，则2240.007813.542(0.048)χ⨯==在显著性水平0.1α=下,查表可得220.9512(4)(4)9.487713.542αχχ-==<即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9.某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符242合要求（显著性水平α=0.05）?解：设考试成绩为总体X ，则2(,12)X N u ，从中选取容量为15的样本，测得16S =.由题意，设原假设为0:12H σ=，备择假设为1:12H σ≠.构造检验统计量2222(1)(14)n Sχχσ-=，则222141619.055612χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512(14)(14)26.1189αχχ-==，220.0252(14)(14) 5.6287αχχ==，从而222122(14)(14)ααχχχ-<<，即接受原假设0H ，认为此次考试的标准差符合要求.10.某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？解：设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ 、222(,)Y N μσ ，从中均选取容量为6的样本，测得61125.56ii X x ===∑，22111()7.51nii S x x n ==-=-∑，61125.66676i i Y y ===∑，22211()11.06671nii S y y n ==-=-∑，由题意，在方差相等时，设原假设为012:H u u =，备择假设为112:H u u ≠.243构造检验统计量12(2)t t n n =+- ,其中222112212(1)(1)9.2834(2)wn S n S Sn n -+-==+-.则0.0948t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512(2)(10) 2.22810.0948tn n t α-+-==>，即接受原假设0H ，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意，在方差待定时，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,5)S F F S=，则7.50.677711.0667F ==，在显著性水平0.1α=下,查表可得0.9512(5,8)(5,5) 5.0503FF α-==，0.052(5,8)(5,5)0.1980F F α==，从而122(5,5)(5,5)F F Fαα-<<，即接受原假设0H ，认为它们的方差无显著差异.。
概率论课后习题
第一章 概率论的基本概念（一）1、多选题:⑴ 以下命题正确的是（ ）。
A B A AB a =)()(. ; A AB B A b =⊂则若,.;A B B A c ⊂⊂则若,.; B B A B A d =⊂ 则若,..⑵ 某学生做了三道题，i A 表示第i 题做对了的事件)3,2,1(=i ，则至少做对了两道题的事件可表示为（ ）. ;.;.133221321321321A A A A A A b A A A A A A A A A a ..;.321321321321133221A A A A A A A A A A A A d A A A A A A c2、A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义：.)6(.)5(.)4(.)3(.)2(.1ABC C B A C B A C B A C B A ）（3、个工人生产了三个零件，i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正、次品的事件。
试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品。
4、下列命题中哪些成立，哪些不成立： ⑴B B A B A =；⑵ B A B A =；⑶ C B A C B A = ；⑷ ()∅=)(B A AB ；⑸ AB A B A =⊂则若；⑹ A B B A ⊂⊂则若。
（二）1、选择题：⑴ 若事件A 与B 相容，则有（ ）)()()(.B P A P B A P a += ； )()()()(.AB P B P A P B A P b -+= ； )()(1)(.B P A P B A P c --= ； )()(1)(.B P A P B A P d -=⑵ 事件A 与B 互相对立的充要条件是（ ）,1)(0)(.),()()(.===B A P AB P b B P A P AB P a 且∅=Ω=∅=AB d B A AB c .,.. 且2、袋中有12个球，其中红球5个，白球4个，黑球3个。
概率论·课后答案(绝对详解)
i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
概率论_习题集(含答案)
《概率论》课程习题集一、计算题1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。
2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }，已知()()5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。
（1）求随意取出的零件是合格品的概率（2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开,求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率(2) 三次内打开房门锁的概率(3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它020242x x x c x f求：（1）；常数c （2）{}．1>X P7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ；8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。
若要求,80.0)200120(≥≤<X P 允许σ最大为多少？9. 证明：指数分布有无记忆性（或称无后效性），即证：如果)(~λE X ，则有)()|(t X P s X t s X P >=>+>，0,0≥≥t s10. 对球的直径作测量，设测量值均匀地分布在],[b a 内，求球的体积的概率密度.11. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021),11(2)(2x xx f ,求X 的分布函数。
概率论习题答案及答题范例
P( A) 1
202 212 22
242
311 1152
5
P59，习题34
6
(N 1)! 1
P( Ai )
N!
N
P( Ai Aj )
(N 2)! N!
1 N(N
1)
,
i j
P( A1A2 A3...AN
P57，习题6
1Байду номын сангаас
P57，习题10
• 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只 白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一球，求两 球颜色相同的概率。
• 解：分别求出同取白、红、黑球的概率，再相加即可
P 3 10 7 6 15 9 207 25 25 25 25 25 25 625
15
P114，习题37
7
C7k 0.6k 0.47k 0.71
k 4
16
P115，习题41
P( A)
1
20 0!
e 2
5
0.484
P(B)
5 k3
C5k
1
20 0!
e 2
k
20 0!
e 2
5k
=0.98
17
P115，习题47
• 某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验人员从该 车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品， 能否据此断定该车间谎报合格率？
2
P58，习题13
• 从6双不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概 率是多少？
• 解：
P C61C52C21C21 16
概率论重点及课后题答案9
第九章假设检验一、大纲要求(1)理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。
(2)了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.二、重点知识结构图三、基本知识1.假设检验的几个术语 定义1给定k ,k ≥确定了关于X 的一个区域00,k μμ⎛⎛⎫-∞-++∞ ⎪⎝⎝⎭当X 落入此区域内，就拒绝0H (接受1H ),称上式这类区域为0H 的拒绝域,记为Z .k <确定了关于X 的另外一个区域00k k μμ⎛-+ ⎝当X 落入此区域内，就接受0H (拒绝1H ),称上类区域为接受域,记为Z .不等式k <称为临界值形式的接受域,00k k μμ⎛-+ ⎝称为区间形式的接受域.定义2称0H 为原假设(或零假设),称1H 为备择假设(或备选假设、对立假设). 定义3称允许作判断有错误的概率α为显著性水平(或检验水平),它是用来衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准.定义4称k 为临界值小概率原理:小概率事件在一次试验中是不大会发生的.2.假设检验的两类错误第一类错误:0H 正确,但拒绝了它,这类错误称为“弃真错误”. 第二类错误:0H 不正确,但接受了它,这类错误称为“存伪错误”.3.假设检验的基本步骤 (1)提出假设;(2)找统计量(这里要求该统计量含有待检验的参数); (3)求临界值(求接受域); (4)求观察值; (5)作出判断.4.u 检验法已知方差2σ,假设检验00:H μμ=. (1)提出假设00:H μμ=.(2)找统计量.确定样本函数:()~0,1X u N =,称其为u 的统计量,它含有待检验参数μ.(3)求临界值.给定显著性水平()01αα<<,查正态分布表求出临界值/2u α,使{}/2P u u αα≥=,即{}/21P u u αα<=-.(4)求观察值.根据给定的样本求出统计量u 的观察值1u . (5)作出判断.若1/2u u α<,则接受0H ;若1/2u u α≥,则拒绝0H .5.t 检验法未知方差2σ,假设检验00:H μμ=. (1)提出假设00:H μμ=.(2)找统计量.因为2σ未知,这时u 已不是统计量,所以不能用u 检验法,这里用2S 来代替2σ,找出统计量:X t =(3)求临界值.对给定显著性水平()01αα<<,由t 分布表查得临界值,使{}/2P t t αα≥=.(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量t 的观察值1t . (5)作出判断.若1/2t t α<,则接受0H ;若1/2t t α≥,则拒绝0H .6.2χ检验法已知期望μ,假设检验220:H σσ=. (1)提出假设220:H σσ=.(2)找统计量.确定样本函数的统计量:()222211()~nii Xn χμχσ==-∑(3)求临界值.对给定显著性水平()01αα<<,由2χ分布表查得临界值()2/2n αχ与()21/2n αχ-,使(){}(){}2222/21/2, 22P n P n ααααχχχχ-≥=≤=即()(){}2221/2/21P n n ααχχχα-<<=-(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量2χ的观察值21χ.(5)作出判断.若()()2221/2/2n n ααχχχ-<<,则接受0H ;若()221/2n αχχ≥或21χ≤()21/2n αχ-,则拒绝0H .7.F 检验法已知期望12,μμ,假设检验21022:H σσσ=(1)提出假设21022:H σσσ=.(2)找统计量()12212111122221221()~,1()n ii n i i Xn F F n n Y n μσμσ==-=-∑∑(3)求临界值.对给定显著性水平()01αα<<,查F 分布表,求得()/212,F n n α及()1/212,F n n α-,使(){}(){}/2121/212,, ,22P F F n n P F F n n αααα-≥=≤=即()(){}1/212/212,,1P F n n F F n n ααα-<<=-(4)求观察值.由所给定的样本算出统计量的值1F .(5)作出判断.若()()1/212/212,,F n n F F n n αα-<<,则接受0H ;若()1/212,F F n n α≥或()11/212,F F n n α-≤,则拒绝0H .四、典型例题例1有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:第一批棉纱样本11200,0.523kg,0.218kg n X S ===; 第二批棉纱样本22100,0.576kg,0.176kg n X S ===.试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异(检验水平0.05α=)?如果0.1α=呢?解这是两个正态总体的均值检验问题,检验0:H EX EY =.()()~0,1,~0,1X Y N N因为是大样本(12,n n 均较大),所以DX 、DY 可用2212S S 、代入,近似有221212~,, ~,S S X N EX Y N EY n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故221212~,S S X Y N EX EY n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭由于X 与Y 相互独立,若0:H EX EY =成立,则221212~0,S S X Y N n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故()~0,1X Y u N =因此,只要是大样本(容量较大时),不管总体X 、Y 是否服从正态分布,是否DX DY =,都可以按u 检验法2σ已知的情况去做近似检验.由已知得2211200, 0.523, 0.218n X S ===2222100, 0.576, 0.176n X S ===故 1.88X Y u ===-当0.05α=时,查表得/2 1.96u α=.因/21.88 1.96u u α=<=,故0H 被接受,即在检验水平0.05α=下可以认为这两种棉纱的强力值无显著差异.当0.10α=时,查表得/2 1.65u α=.因/21.88 1.65u u α=>=,u 落入拒绝域,应否定0H ,即在检验水平0.10α=下可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.例2某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力,在若干小区进行试验.测得产量(单位:kg)如下:施肥 34 35 32 33 30 34 未施肥 29 27 32 28 31 32 31设农场的产量服从正态分布,检验该种化肥对提高产量的效力是否显著?()0.10α=解设X 为施肥后的产量,Y 为施肥前的产量.已知()211~,,~X N Y Nμσ()222,μσ.由于总体方差21σ和22σ均未知,应先对方差进行检验,即22012:H σσ=,22112:H σσ≠. 由题意可知67111133, 3067i i i i X X Y Y ======∑∑672222121111() 3.2, ()456i i i i S X X S Y Y ===-==-=∑∑2122 3.20.84S F S ===已知120.1,6,7n n α===,查表得()()/2120.051,15,6 4.95F n n F α--==.因为()0.055,6F F <,所以接受0H ,即认为2212σσ=. 提出检验问题,即11012112:,:H H μμμμ≤>2.828X Yt == 已知()0.10α=,查表得()()120.1211 1.3634t n n t α+-==.因为()0.12.82811t t =>,所以拒绝0H ,即认为该种化肥对提高产量的效力显著.例3某种配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照某种遗传模型,其频率之比应为()()22:21:1p p p p --,问数据与模型是否相符?()0.05α=解令()()22123,21,1p p p p p p p ==-=-,欲检验的假设为0H :数据与模型相符.设观察到的三类数量分别为123,,n n n ,其中123n n n n ++=,则p 的似然函数为()()()()()31222123211 10,53,46n n n L p pp p p n n n ⎡⎤=--===⎡⎤⎣⎦⎣⎦由于()1222ln 212011L p n n n n p p p p p∂--=+++=∂--解得p 的极大似然估计为12220530.3352218n n p n ++=== 从而 2210.3350.112p p ===()22120.3350.6650.45p p p =-=⨯⨯= ()22310.6650.44p p=-==统计量观测值为()2321i ii in n p n p χ=-=∑()()()222101090.112531090.45461090.441090.1121090.451090.44-⨯-⨯-⨯=++⨯⨯⨯0.801=已知0.05α=,自由度11321n --=-=,查表得()20.051 3.84χ= 由于()220.801 3.841αχχ=<=,故接受0H ,即数据与模型相符.例4设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在0.05α=时是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?解设该次考试考生的成绩为X ,则()2~,X N μσ.把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ,样本标准差记为S ，检验假设01:70,:70H H μμ=≠.则()1/21u t n α-=-已知()0.97536,66.5,15,361 2.0301n X S t ===-=,所以()0.97566.57035 2.030115u n t -=≥= 所以接受假设0:70H μ=,即0.05α=时,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.例5某一指标服从正态分布,今对该指标测量8次,所得数据为:68,43,70,65, 55,56,60,72.在以下两种条件下,检验()220:80.05H σα==.(1)总体均值μ未知;(2)总体均值60μ=.解 (1)检验假设220:8H σ=,用2χ检验,得()882211154.875, 1()652.88i i i i X X n S X X ====-=-=∑∑故()22221652.810.28n S χσ-==≈ 查表得()()220.0250.975817.535,8 2.180χχ==.因()()2220.0250.97588χχχ>>,故接受0H .(2)检验假设220:8H σ=,而60μ=,故()82211()663i i n SX μ=-=-=∑()2222166310.48n S χσ-=== 由于()()2220.0250.97588χχχ>>,故接受0H .例6从某锌矿的东西两支矿脉中,各抽取容量分别为9和8的样本分析后,计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别如下:东支2110.230, 0.1337, 9X S n ===西支2220.269, 0.1736, 8Y S n ===假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,对于0.05α=,能否认为两支矿脉的含锌量相同?解设东支矿脉的含锌量为X ,()211~,X N μσ;西支矿脉的含锌量为Y ,~Y ()222,N μσ;其中1μ、、、均为未知参数.(1)检验假设.则已知,计算得查表得 因,故接受假设,即认为. (2)检验假设,这属于检验,检验统计量为已知,计算得查表得.因,故接受假设,即认为两支矿脉的含锌量相同.例7在20世纪70年代后期人们发现,酿啤酒时,在麦芽糖干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA),于是80年代初期开发了一种新的麦芽糖干燥过程.下面给出分别在新老两种过程中所形成的(NDMA)含量(以10亿份中的份数计).老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3设两样本分布来自正态总体,两总体方差相等,两样本独立,分别以、记2μ21σ22σ222201121112:,:H H σσσσ=≠()211222~1,1S F F n n S =--2211229,0.1337,8,0.1736n S n S ====0.13370.77020.1736F ==()()()0.0250.9750.025118,7 4.90,8,77,8 4.53F F F ===1 4.904.53F <<01H 2212σσ=02121212:,:H H μμμμ=≠t ()12~2t t n n =+-2211229,0.1337,8,0.1736n S n S ====0.2180t ==-()0.02515 2.1315t = 2.1315t <02H 1μ2μ对应于新老两过程的总体均值,检验假设.解该检验的拒绝域为已知,查表得. 由已知数据计算得由于在拒绝域中,故应拒绝.例8某厂使用两种不同的原料A 、B 生产同一类产品,各在一周的产品中取样进行分析比较,取使用原料A 生产的样品220件,测得平均重量为2.46kg,样本标准差;取使用原料B 生产的样品205件,测得平均重量为2.55kg,样本标准差,设这两个样本独立,问在下能否认为使用原料B 的产品平均重量比使用原料A 大?解检验假设. 这个问题是大样本问题,故可近似认为统计量:于是检验的拒绝域为()012112:2,:20.05H H μμμμα-=->=()122X Y W t t n n α⎧⎫⎪⎪⎪⎪==≥+-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭1212,12,0.05n n α===()()120.05222 1.7171t n n t α+-==5.25, 1.5X Y ==()()2211222121110.25 6.50.7283123Wn S n S S n n -+-+===+-11.87 1.7171t ==>t 0H 0.57kg S =0.48kg S =0.05α=012112:0,:0H H μμμμ-=-<()~0,1X Y Z N =X Y W Z Z α⎧⎫⎪⎪⎪⎪==≤-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭已知,所以由于落在拒绝域中,故应拒绝,即认为使用原料B 的产品平均重量比使用原料A 的大.例9某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(单位:).今在生产的一批导线中取样本9根,测得,设总体为正态分布,问在下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?解检验假设. 该检验的拒绝域为已知,所以由于落在拒绝域中,故应拒绝,即在下这批导线的标准差显著偏大.例10一自动车床加工零件的长度服从正态分布,车床正常时,加工零件长度为10.5,经过一段时间生产后,要检验这车床是否正常工作,为此抽取该车床加工的31个零件,测得数据如下:零件长度 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0 频率 1 3 7 10 6 3 1若加工零件长度方差不变,问此车床工作是否正常?()解检验假设.则0.050.05, 1.65Z α== 1.76 1.65Z ==-<-Z 0H Ω0.007S =0.05α=01:0.005,:0.005H H σσ≤>()()2222011n S W n αχχσ⎧⎫-⎪⎪==≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭()20.05,9,115.507n n ααχ==-=22280.00715.6815.5070.005χ⨯==>2χ0H 0.05α=()2,N μσ0.05α=0010:10.5,:10.5H H μμμμ==≠=()~,1X t t n =于是检验的拒绝域为 已知,计算得.从而查表得.由于,故拒绝.即可以认为该车床工作不正常. 例11某车间的白糖包装机包装量,其中,未知.一天开工后为检验包装量是否正常,抽取了已经装好的糖9袋,算得样本均值,样本标准差为,试确定包装机工作是否正常?()解检验假设(可省略).样本均值,样本方差.于是已知,查表得. 由于,故接受.可认为包装机工作正常.例12某市居民上月平均伙食费为235.5元,随机抽取49个居民,他们本月的伙食费平均为236.5元,由这49个样本算出的标准差元.假设该市居民月伙食费方差正态分布,试分别在和时,检验“本月该市居民平均伙食费较之上个月无变化”的假设.解检验假设. 由于方差未知,故采用检验法,其拒绝域为已知,计算得()/21W t t n α⎧⎫⎪⎪==>-⎨⎬⎪⎪⎩⎭31n =11.08,0.516X S == 6.26t ===()()/20.025130 2.0423t n t α-==()0.0256.2630 2.0423t t =>=0H ()20~,X N μσ2500g,μσ=504g X =5g S =0.01α=01:500,:500H H μμ=≠504X =225S= 2.4X t ===0.01,18n α=-=()()/20.00518 3.3554t n t α-==()/21t t n α<-0H 3.5S =X 0.05α=0.01α=01:235.5,:235.5H H μμ=≠2σt()/21W t t n α⎧⎫⎪⎪==≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭49,236.5, 3.5n X S ===由于,故可用代替.当时,,故应拒绝.即本月该市居民平均伙食费较之上个月有显著升高.当时,,故接受.即本月该市居民平均伙食费较之上个月无显著变化.例13一位研究者声称至少有80%的观众对商业广告感到厌烦,现在随机询问了120位观众,其中70人同意此观点,在时,问是否可同意该研究者的观点?解把“观众对商业广告感到厌烦”(即)作为原假设.本问题的归结为在时,检验假设.设随机向量在为真时,为来自总体服从两点分布的一个样本,且.由于较大,由中心极限定理可知于是检验的拒绝域为 已知,计算得故拒绝,即在此数据的基础上,不能同意该研究者的观点.2t ===4914830-=>/2u α()/2491t α-0.05α=0.025 1.962u =<0H 0.01α=0.005 2.582u =>0H 0.05α=0.8p ≥0H 0.05α=0010:0.8,:0.8H p p H p p ≥=<=()11,2,,1200i i X i i ⎧==⎨⎩第个观众同意此观点第个观众不同意此观点0H 12120,,,X X X ()1,0.8B 0.8,0.16i i EX DX ==120n =()0~0,1niXnp u N -=∑00ni X np W u u ⎧⎫-⎪⎪⎪⎪==<-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑12000.051120,70,0.8, 1.65i i n X p u =====∑ 5.93 1.65u ==-<-0H五、课本习题全解9-1 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得;对给定的,查表 得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝;当时,,所以接受.9-2 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝. 9-3 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝. (2)①提出假设. ②找统计量.. 010:32.05H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =0.01α=0.005 2.575u =31.13, 2.05X u ==-0.05α= 2.05 1.96u =>0H 0.01α=u 2.05 2.275=<0H 00:5H μμ==()~0,1X u N =0.01α=0.005 2.575u =5.32, 3.2X u ==0.01α= 3.2 2.275u =>0H 00:50H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =2.25u =0.05α= 2.25 1.96u =>0H 00:50H μμ==()~1X t t n =-③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-4 ①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以接受. 9-5 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当,,所以拒绝. 9-6 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.(2)①提出假设.②找统计量. .0.05α=()0.0258 2.31t =48.5, 2.5, 1.8X S t ===-0.05α= 1.8 2.31t =<0H 00: 2.7H μμ==()~1X t t n =-0.05α=()0.02529 2.04t =0.18,301 2.05/29n S S t n ==-⨯0.05α= 2.04t <0H 00:H μμ=()~0,1X u N =0.01α=0.005 2.575u =1.5u =0.01α= 1.5 2.575u =<0H 00:100H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =99.9,0.25X u ==0.05α=0.25 1.96u =<0H 22200: 1.2H σσ==()9222211()~ii Xn χμχσ==-∑③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值. .⑤作出判断.当时,,所以接受.9-7 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝,有显著差异. 9-8 ①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受,即可认为溶化时间 的标准差为9.9-9 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受,即包装机工作 正常.(2)①提出假设.0.05α=()()220.0250.975919.0,9 2.7χχ==28.2χ=0.05α=22.719.0χ<<0H 2200:0.04H σσ==()222211()~1nii XX n χχσ==--∑0.05α=()()220.0250.9751426.1,14 5.63χχ==2 1.84χ=0.05α=2 5.63χ<0H 00:9H σσ==()222211()~1nii XX n χχσ==--∑0.05α=()()220.0250.975919.0,9χχ==2.72221162.9,(62.9)9nii X Xχ===-∑0.05α=22.719χ<<0H 00:500H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =501.3,0.82X u ==0.05α=0.82 1.96u =<0H 00: 2.7H μμ==②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以接受.9-10 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受. (2)①提出假设. ②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以接受.9-11 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.⑤作出判断.当时,,所以拒绝.()~1t t n =-0.05α=()0.0259 2.26t =2501.3,31.57,0.73X S t ===0.05α= 2.26t <0H 2200:25H σσ==()2222101()~nii XX n χχσ==-∑0.05α=()()220.0250.9751020.5,10 3.25χχ==212χ=0.05α=23.2520.5χ<<0H 00:5H σσ==()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑0.05α=()()220.0250.975919.0,9χχ==2.722501.3,31.57,11.37X S χ===0.05α=22.719χ<<0H 02:0H μμ-=()~0,1X Y u N μμ---=0.05α=0.025 1.96u =u =0.05α= 1.96u >0H9-12 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受. (2)①提出假设. ②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-13 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..1022:1H σ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.05α=()()0.0250.9755,57.15,5,50.14F F ==222112221139.33,269,0.14655S S S F S =⨯=⨯==0.05α=0.147.15F <<0H 012:0H μμ-=()12~2X Y t t n n μμ---=+-0.05α=()0.02510 2.23t =0.14067,0.13883,0.57X Y t ===0.05α=0.57 2.23t =<0H 21022:1H σσ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.01α=()()0.0050.9958,9 6.69,8,9F F ==17.342221122264,226,0.28S S S F S ====⑤作出判断.当时,,所以接受. (2)①提出假设. ②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.⑤作出判断.当时,,所以拒绝.9-14 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-15 (1)①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..0.01α=16.697.34F <<0H 02:0H μμ-=()12~2X Y t t n nμμ---=+-0.01α=()0.00517 2.9t =533,562,X Y t ===0.01α= 2.9t >0H 012:0H μμ-=()12~2X Y t t n n μμ---=+-0.05α=()0.02511 2.20t =17.681,17.630,X Y t ===0.05α= 2.2t <0H 21022:1H σσ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.10α=()()0.050.9518,5 4.82,8,5 3.69F F ==22211222113.69,19.2,0.1285S S S F S =⨯=⨯==⑤作出判断.当时,,所以拒绝. (2)①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得 ④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以拒绝. 9-16 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-17 ①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受. 0.10α=13.69F <0H 21022:1H σσ=()1221111222121()~,1()n i i n i i X n F F n n Y n μμ==-=-∑∑0.10α=()()0.050.9519,6 4.06,9,6 3.37F F ==0.128F =0.10α=13.37F <0H 02:0H μμ-=()12~2X Y t t n n μμ---=+-0.05α=()0.02513 2.16t=t =0.05α= 2.16t <0H 21022:1H σσ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.05α=()()0.0250.97516,751.2,6,7 5.7F F ==222112220.1048,0.0272, 3.85S S S F S ====0.10α=15.125.7F <<0H9-18 根据题目要求,考虑假设检验.其中 服从泊松分布,其分布律为的极大似然估计为样本均值,其观察值为则统计量为其中,是按的泊松分布律计算出的的取值为0,1,2,3,4 这五种情况的概率.查表得,故接受.9-19 根据题目要求,考虑假设检验,其中服从等概率分布,其 分布律为由观测数据得,则统计量为其中.查表得,故接受.六、自测题及答案1.设总体是来自的样本,记,当和未知时,则(1)检验假设所使用的统计量是.(2)检验假设所使用的统计量是.()()()()0010:,:H F x F x H F x F x =≠0F {}() 0,1,2,!kP X k e k k λλ-=== λX ()106544940.61200X =++++=()25210.7853i i i in np np χ=-==∑200n =i p 0.61λ=X ()220.0549.49χχ=>0H ()()00:H F x F x =0F {}()11,2,,66P X k e k λ-=== 120,20i n np ==()()26211936102525 4.820i i i in np np χ=-==+++++=∑120n =()220.05511.1χχ=>0H ()212~,,,,,n X N X X X μσ X 211,ni i i X X n σ===∑21()nii XX =-∑μ2σ00:H μμ=________2200:H σσ=________2.设总体服从正态分布,方差未知,对假设进行假设检验时,通常采取的统计量是,服从分布,自由度是.3.在检验时,用统计量,若时,用检验,它的拒绝域为.若时,用检验,它的拒绝域为.4.设总体,设假设检验的拒绝域为,则犯第一类错误的概率为;犯第二类错误的概率为.5.某加工厂生产一批轴承,质量检查规定,废品率不超过3%可以出厂,否则不能出厂.现从这批产品中抽查100件,发现有5件废品.为判断这批产品能否出厂,要求检验的假设为;在显著性水平下,选定的统计量为,其观测值为;该统计量近似服从分布,拒绝域为.6.设总体,和未知,假设检验.若采用检验法,则在显著性水平之下,其拒绝域为( ).(A) (B) (C) (D)7.设和是来自正态总体的样本均值和样本方差,样本容量为,为( ). (A)的拒绝域 (B)的接受域 (C)的一个置信区间 (D)的一个置信区间 8.设总体,其中未知,假设检验.若取得显X ()2,N μσ2σ0211:,:H H μμμ=≠2μ________________________2χ()2221n S χσ-=2200:H σσ=________________2200:H σσ≠________________()~,X B n p 0010:;:H p p H p p =≠W ={}{}()1212,X C X C C C ≤≥< ________________01:0.03;:0.03H p H p =>α________________________________()2~,X N μσμ2σ0010:,:H H μμμμ=≠t α()1/21t t n α-<-()1/21t t n α-≥-()11t t n α-≥-()11t t n α-<--X 2S ()2,N μσn (00.051X t n μ->-00:H μμ=00:H μμ=μ2σ()2~,X N μσ2σ01:1,:1H H μμ≤>著性水平,则其拒绝域为( ).(A) (B) (C) (D)9.对正态分布的数学期望进行假设检验,如果在显著性水平0.05下接受,那么在显著性水平0.01下,下列结论中正确的是( ).(A)必接受 (B)可能接受,也可能拒绝(C)必拒绝 (D)不接受,也不拒绝 10.自动包装机装出的每袋重量服从正态分布,规定每袋重量的方差不超过,为了检查自动包装机的工作是否正常,对它生产的产品进行抽样检查,假设检验,则下列命题正确的是( ).(A)如果生产正常,则检测结果也认为生产正常的概率为0.95 (B)如果生产不正常,则检测结果也认为生产不正常的概率为0.95 (C)如果检测结果认为生产正常,则生产确实正常的概率为0.95(D)如果检测结果认为生产不正常,则生产确实不正常的概率为0.95 11.设为正态总体中抽取的样本,在显著性水平下检验.取拒绝域为.试求当时,所烦的第二类错误的概率.12.甲、乙两台机床生产同一型号的滚球,现从这两台机床的产品中分别抽取8个和9个,测得滚球珠的直径(单位:mm)如下:甲机床 15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 乙机床 15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 14.8 15.1 14.8设滚珠直径服从正态分布,问乙机床的加工精度是否比甲机床高()? 13.一种元件,要求其使用寿命不得低于1000h,现在从一批这种元件中随机地抽取25件,测得其寿命平均值为950h,已知该元件寿命服从标准差的正态分布,试在下,确定该批元件是否合格?14.某台机器加工某种零件,规定零件长度为100cm,标准差不得超过2cm,每天定时检查机器运行情况,某日抽取10个零件,取到平均长度,样本标准差为,设加工的零件长度服从正态分布.问该日机器工作状况是否正常()?0.05α=0.051X u ->(0.0511X t n >+-0.051X t ->(0.0511X t n <--μ00:H μμ=0H 0H 0H 0H 0H 0H α2201:,:;0.05H a H a σσα≤>=12,,,n X X X (),1N μα()01:0:0H H μμ=≠(){}121/2,,,nW X X XX u α-=> 1μ=0.05α=100h σ=0.05α=101cm X =2cm S =0.05α=15.甲、乙相邻两地段各取了50块和52块岩心进行磁化率测定,算出样本标准差分别为,试问甲、乙两段的标准差是否有显著差异()?16.在集中教育开课前对学员进行测验,过了一段时间后,又对学员进行了与前一次同样程度的考查,目的是了解学员两次考试的分数是否有差别().从两次考卷中随机抽取12份考试成绩,如下表:考查次数考分总计平均第1次80.5 91.0 81.0 85.0 70.0 86.0 69.5 74.0 72.5 83.0 69.0 78.5 940 78.5 第2次76.0 90.0 91.5 73.0 64.5 77.5 81.0 83.5 86.0 78.5 85.0 73.5 960 80.0 [答案]1.(1)当未知时,检验假设,应选服从个自由度的分布统计量其中.于是.(2)检验假设,应选统计量.2.;分布;.3.双边;;左边;.4..5..6.的含义为.7.由可知.故A项正确.8.,故B项正确.9.检验水平越小,接受域的范围越大,也就是说,在下的接受域包含在下的接受域.如果在时,接受,即样本值落在接受域内,则此样本值也一定落在22120.0139,0.0053S S==0.05α=0.05α= 2σ00:Hμμ=1n-tXt=S=Xt=2200:Hσσ=()22222001n Sσχσσ-==()2211iS X Xn=--t1n-()()2222/21/21,1n nααχχχχ->-<-()2211nαχχ-<-()()()122110000111111;1C Cnn i m i n ii i i i i in n ni i C i CC p p C p p C p pαβ----===+=-+-=-∑∑∑()0,1;2XNμμα=>()11t nα--()(){}1111P t n t nαα--≤-=-(00.051X t nμ->-0.05t>()0.051Xt n>-α0.01α=0.05α=0.05α=H的接受域内,因此接受.即A 项正确.10.因为,从而,因而A 项正确.而B 、C 、D 三项分别反映的是条件概率、、,由假设检验中犯两类错误的概率之间的关系知,这些概率一般不能由唯一确定,故B 、C 、D 三项不正确.11.第二类错误的为.当时,来自,此时因此12.设甲、乙机床生产的滚珠直径分别为,检验乙机床的加工精度是否比甲机床高,即看是否比小.此问题归结为在下,检验假设. 容易想到用统计量,但是在为真时,不知其服从什么分布,只知随机变量而对于,有即事件是一个小概率事件,可惜乙机床计算不出来.但因0.01α=0H {}00P H H α=拒绝为真{}001P H H α-=接受为真{}00P H H 拒绝不真{}00P H H 为真接受{}00P H H 不真拒绝α()1P W μ=1μ=()12,,,n X X X ()1,1N )()1~1,,1~0,1X N X N n ⎛⎫- ⎪⎝⎭}111/2P P X U μμα==-=<)11/21/2111P X μαα=--⎫=-≤-≤-⎪⎭((1/21/2=ΦΦU U αα----))1/21/2=ΦΦU U αα---()()221122~,,~,X N Y N μσμσ22σ21σ0.05α=2222012112:,:H H σσσσ≤>2122S F S =0H ()2211122222/~1,1/S Z F n n S σσ=--α(){}121,1P Z F n n αα>--=(){}121,1Z F n n α>--F与有关,在为真时,有故事件 从而于是仍选用作为检验的统计量.的拒绝域为.已知,得,又查表得.由于,故拒绝.即认为乙机床的加工精度比甲机床的高.13.在下,检验假设. 由于已知,故拒绝域为已知,得故拒绝,即认为这批元件不合格.14.设加工的零件长度为,且,、均未知.(1)检验假设.这是检验问题,当成立时,统计量为于是拒绝域为已知,得Z 0H 22222112112222222122//S S S Z F S S S σσσσ==≥=(){}(){}12121,11,1F F n n Z F n n αα>--⊆>--(){}(){}12121,11,1P F F n n P Z F n n ααα>--⊆>--=2122S F S =0H 0H ()121,1F F n n α>--128,9n n ==221215.01,0.09554,14.99,0.02611X S Y S ====()()120.051,17,8 3.5F n n F α--==2212/0.09554/0.02611 3.695 3.5F S S ===>0H 0.05α=0010:1000,:1000H H μμμμ==<=2σ()120.050,,,:n X W x x x Z Z ⎧⎫==<-⎨⎬⎩⎭00.0525,950,100, 1.65n X Z σ====95010002.5 1.65100Z -==-<-0H X ()2~,X N μσμ2σ010110:100,:100H H μμμμ==≠=t 01H ()~1X T t n =-()(){}12/2,,,:1n W x x x t t n α=≥- 22101,10,2X n S ===已知,查表得,由于,故接受假设,即认为.(2)检验假设.这是检验问题,当成立时,统计量为于是拒绝域为计算得 已知,查表得,由于,故接受假设,即认为.综合(1)(2),可以认为该机器工作状态正常. 15.假设检验,则有由于统计量.查表得故. 因为,所以拒绝假设,即认为甲、乙段岩心磁化率,测定数据的标准差在时有显著差异.16.此为双正态总体方差的假设检验,两总体均值未知,要检验假设1.5811t ==0.05α=()0.0259 2.2622t = 1.5811 2.2622t =<01H 100μ=222222020120:2,:2H H σσσσ==>=2χ02H ()22212()~1nii n XX n χχσ=-=-∑()(){}2212,,,:1n n n W x x x n χχ=≥- ()22222019292nn S χσ-⨯===0.05α=()20.05916.9χ=2916.9n χ=<02H 222σ<012:H σσ=250211501500.0139()0.01425014949i i S X X =⨯⨯-===-∑（大）252221521520.053()0.00545215151i i S Y Y =⨯⨯-===-∑（小）2111222210.01422.630.00541n S n n S n -==-F=()()0.050.0149,51 1.59, 49,51 1.93F F ==()()/20.0250.050.01111.59 1.93 1.7622F F F F α==+=+=/22.63 1.76F F α=>=012:H σσ=0.05α=选取统计量于是拒绝域为 由题意可知因此查表得.由于,故在下,接受,即认为两次考试中学员的成绩无显著差异.2222012112: :H H σσσσ=≠()211222~1,1S F F n n S =--()()/2121/2121,1, 1,1F F n n F F n n αα->--<--221253.15, 60.23S S ==212253.150.882560.23S F S ===()()0.0250.97511,11 3.43,11,110.2915F F ==()()1/20.02511,110.882511,11 3.43F F F α-<=<=0.05α=0H。
概率论课后习题答案
习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。
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课本P25 3、设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,41)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，81)(=AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。
解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8
508143=+- 7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4
桶白漆，3桶黑漆和
2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为A 。
在17桶中任取9桶的取法有917C 种，且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有2334
4
10C C C ⨯⨯ 故 2431252)(617
2334410=⨯⨯=C C C C A P 14、)(,2
1)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ⋃===求。
解：由61)()(314121)()|()()()()|(=⇒⨯=−−−−→−=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 得121)|()()(==A B P A P AB P P84 3、设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k 。
（2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5} （4）求P (X+Y ≤4}
分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰
⎰⎰⋂=o D G G dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==
2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）8
3)6(81)3,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）
7、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
⎪
⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-=其它求边缘概率密度0.0,10)2(8.4),(x y x x y y x f 解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞+∞-其它0
10)2(4.2)2(8.4),()(0
2x x x dy x y dy y x f x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-=-==⎰
⎰∞+∞-其它0
10)43(4.2)2(8.4),()(12y y y y dx x y dx y x f y f y Y
P114 7、设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨⎧≤>=-0
,00,)(x x e x f x 求（1）Y=2X （2）Y=e －2x 的数学期望。
解：（1）⎰⎰+∞-+∞∞
-==02)(2)(dx xe dx x xf y E x []2022=∞+--=--x x e xe （2）⎰
⎰+∞--+∞∞--==022)()(ex e e dx x f e Y E x x x 310313=∞-=-x e 15、将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球。
将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E (X )
P35 例3、某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次， 试求至少击中2次的概率。
【解】将一次射击看成一次伯努利试验，设击中的次数为X ，则X~b(400, 0.02)， X 的分布律为
于是所求的概率为：
例5、计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片,次品率达0.1%,各芯片成为次品相对独立,求在1000只产品中至少有2
只次品的概率. 解：以X 记产品中的次品数，X~b(1000,0.001)。
例2 一个靶子是半径为2cm 的圆盘。
设击中靶上任一同心圆【盘上的点的概率与该圆盘的面积呈正比，并设射击都能击中
靶，以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量
X 的分布函数。
例1设随机变量X 具有概率密度
,03,()2,34,20,.kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩其他
（1）确定常数k ； （2）
求 X 的分布函数();F x （3）求
7{1}.2P X <≤
例3 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 (2)2,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他
(1) 求分布函数 (,)F x y ; (2)求概率 {}P Y X ≤ 解：（1）(,)(,)y x F x y f x y dxdy -∞-∞=⎰⎰ (2)002,0,00,y x x y e dxdy x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其他
即有 2(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他 （2）将),(Y X 看作是平面上随机点的坐标，即有
{}{(
,)}Y X X Y G ≤=∈ 其中G 为xOy 平面上直线 y x =及其下方的部分，如
图4于是{}{(,)}(,)G P Y X P X Y G f x y dxdy ≤=∈=⎰⎰ (2)00123x y e dxdy +∞+∞-+==⎰⎰ 例2 一简单电路中，两电阻 串联，设 相互独立， 他们的概率密度均为
10,010()500,x x f x -⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 求总电阻 的概率密度
例2 设随机变量X 和Y 具有联合概率密度：
26,(,)0,x y x f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他 求边缘概率密度()()X Y f x f y ，。