湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.满足2，的集合A的个数是A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．【详解】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2.已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值.【详解】依题意有2＝4a，得a＝，所以，当时，m＝9.【点睛】本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解.3.的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：.考点：诱导公式．4.已知直线：，：，：，若且，则的值为A. B. 10 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【详解】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5.已知2a＝5b＝，则＋＝( )A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用换底公式可得：＋＝2＋5＝10＝2.6.如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，，由线面垂直的判定定理得平面，所以,所以异面直线与所成的角的大小是．故选：C．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：＝，故选D．考点：同角三角函数间的基本关系．8.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.9.已知函数，则（）A. 1B.C. 2D. 0【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，由对数的运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，．10.若存在正数x使成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案．【详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为，再利用球的性质，求得球的半径，最后利用球体体积公式，即可得出答案．【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，即球心到截面圆圆心的距离为，由勾股定理可得，解得，因此，球的体积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题．12.已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设，则，又由，求得，得t的值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，则为常数，设，则，又由，即，则有，解可得，则，若，即，则，若，必有，则有，又由，则，解可得，即，所以，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为___________。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜5}，则（∁R A）∩B＝（）A．（2，5）B．（2，+∞）C．[2，5）D．[2，+∞）2．（3分）函数y＝+log2（x+3）的定义域是（）A．R B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，0）∪（0，+∞）3．（3分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A．2B．4C．8D．164．（3分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，5．（3分）设，且∥，则锐角α为（）A．30°B．60°C．75°D．45°6．（3分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．（3分）如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝（）A．B．C．D．8．（3分）函数y＝﹣x cos x的部分图象是（）A．B．C．D．9．（3分）已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数，则该函数的图象（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线对称11．（3分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则＝2+与＝﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°13．（3分）已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）14．（3分）已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度15．（3分）设f（x）＝若f（x）＝x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）＝．17．（3分）＝．18．（3分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为．19．（3分）函数y＝的单调递增区间是．20．（3分）半径为1的扇形AOB，∠AOB＝120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P 为弧AB上任意一点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图象中与点P最近的最高点是（，5）．（1）求函数解析式；（2）求函数的增区间．22．（8分）已知函数f（x）＝log a（其中a＞1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范围．23．（8分）已知向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）＝，0＜φ＜，求cosφ的值．24．（8分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．（精确到0.1）25．（8分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f （x）＝1+a•（）x+（）x（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∁R A＝{x|x≥2}；∴（∁R A）∩B＝[2，5）．故选：C．2．【解答】解：要使原函数有意义，只需，解得x∈（﹣3，0）∪（0，+∞），所以原函数的定义域为（﹣3，0）∪（0，+∞）．故选：D．3．【解答】解：因为扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：＝4．故选：B．4．【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．5．【解答】解：由，且∥，则sinα﹣cosα＝0，解得tanα＝，又α为锐角，所以α＝60°．故选：B．6．【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．7．【解答】解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，，∴．故选：A．8．【解答】解：函数y＝﹣x cos x为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cos x→1，则﹣x cos x＜0，故选：D．9．【解答】解：∵两个非零向量，满足，∴，展开得到．故选：B．10．【解答】解：由2x+＝kπ，k∈z可得x＝，故该函数的图象关于点（，0）对称，k∈z．由2x+＝kπ+，可得x＝，k∈z，故该函数的图象关于直线x＝对称，k∈z．故选：B．11．【解答】解：∵，∴，故选：C．12．【解答】解：∵已知，是夹角为60°的两个单位向量，∴•＝1×1×cos60°＝，设＝2+与＝﹣3+2的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵||＝＝＝，||＝＝＝，•＝（2+）•（﹣3+2）＝﹣6+•+2＝﹣6++2＝﹣，∴cosθ＝＝＝﹣，∴θ＝120°，故选：C．13．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f （a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．14．【解答】解：数＝，要得到一个偶函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可．故选：B．15．【解答】解：函数f（x）＝，若的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；即当a＜2时，f（x）＝x+a有三个实解．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．【解答】解：＝1+|1﹣|﹣＝1+﹣1﹣＝﹣＝0．故答案为：0．17．【解答】解：，所以sinα＝；故答案为：．18．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，∵幂函数f（x）的图象过点，∴4α＝，∴α＝﹣．∴f（8）＝＝＝，故答案为：．19．【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y＝的定义域为：（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）令t＝x2+4x﹣12，则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：t＝x2+4x﹣12的单调递减区间是（﹣∞，﹣6），单调递增区间是（2，+∞），再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣6）．故答案为：（﹣∞，﹣6）．20．【解答】解：由题意，设∠POM＝θ，则•＝（﹣）•（﹣）＝•﹣•﹣•+2＝××cos120°﹣1×cosθ﹣1×cos（120°﹣θ）+1＝﹣﹣cosθ﹣（﹣cosθ+sinθ）+1＝﹣（cosθ+sinθ）＝﹣sin（θ+30°），因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，所以sin（θ+30°）∈[，1]，所以•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．【解答】解：（1）由已知点函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点，图象中与点P最近的最高点是．∴A＝5，，即T＝π∴ω＝2∴y＝5sin（2x+φ），将代入得5＝5sin（+φ）解得φ＝+2kπ，k∈Z令k＝0，则φ＝∴y＝5sin（2x）（2）令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数的增区间为[﹣+kπ，+kπ），（k∈Z）22．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝log a（其中a＞1），可得＞0，即＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），故函数为奇函数．（Ⅲ）由f（x）＞0 可得＞1，即＜0，2x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故所求的x的取值范围为（0，1）．23．【解答】解：（1）∵向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，∴sinθ×1+（﹣2）×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ．∵sin2θ+cos2θ＝1，∴4cos2θ+cos2θ＝1⇒cos2θ＝．∵θ∈（0，），∴cosθ＝，sinθ＝．（2）解法一：由sin（θ﹣φ）＝得，sinθcosφ﹣cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ﹣，∴sin2φ+cos2φ＝5cos2φ﹣2 cosφ+＝1⇒5cos2φ﹣2 cosφ﹣＝0．解得cosφ＝或cosφ＝﹣，∵0＜φ＜，∴cosφ＝．解法二：∵0＜θ，φ＜，∴﹣＜θ﹣φ＜．所以cos（θ﹣φ）＝＝．故cosφ＝cos[（θ﹣（θ﹣φ）]＝cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）＝×+×＝．24．【解答】解：（1）由题意知：x≥0，令5x＝4，得x＝；令3x＝4，得x＝．则当时，y＝（5x+3x）×1.8＝14.4x当时，当时，＝24x﹣9.6即得（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单增，当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，令24x﹣9.6＝26.4，得x＝1.5所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8+3.5×3＝17.70元乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝8.7元25．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+1•（）x+（）x．令t＝•（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝+，∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3，即﹣4﹣≤a≤2﹣，∴[﹣4•2x﹣]≤a≤[2•2x﹣]．∴当x＝0时，[﹣4•2x﹣]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x﹣]的最小值为2﹣1＝1，故有﹣5≤a≤1，即a的范围为[﹣5，1]．。
湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题(六)
绝密★启用前长郡中学2019年1月高一人教版期末复习试卷（六）（数学必修1+4 ）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷解答题1. 设关于x 的函数()()2lg 23f x x x =--的定义域为集合A ，函数()()04g x x a x =-≤≤的值域为集合B .（1）求集合,A B ；（2）若集合,A B 满足A B B ⋂=，求实数a 的取值范围【答案】（1）{| 1x x <-或}3x >， {}|4y a y a -≤≤-；（2）{| 5a a >或}3a <-. 【解析】试题分析：本题考查函数定义域的求法和集合的运算。
（1）根据条件求得函数()f x 的定义域和函数()g x 的值域，即可得到集合,A B ；（2）由A B B ⋂=得B A ⊆，转化为不等式求解a 的范围。
(2)∵A B B ⋂=, ∴B A ⊆.∴41a -<-或3a ->, 解得 3a <-或5a >，∴实数a 的取值范围是{a | 3a <-或5a >}. 2. 函数f （x ）=是定义在[-l ，1]上的奇函数，且f （）=。
（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）判断并用定义证明f （x ）在（-1，1）上的单调性； （3）若f （1-3m ）+f （1+m ）≥0，求实数m 的所有可能的取值。
【答案】（1）；（2）增函数；（3）0（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则即解得所以.（2）任取，不妨设，y -=，因为，，，，，所以，即，所以在上是增函数；（3）为上的奇函数，且由（2）知为增函数，则，所以解得.3. 已知函数()311212xf x x ⎛⎫=+⋅⎪-⎝⎭. （1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性； （3）求证： ()0f x >.【答案】（1）()(),00,-∞⋃+∞；（2）()f x 为偶函数；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由分母不能为零得210x-≠求解即可，要注意定义域要写成集合或区间的形式；（2）在（1）的基础上，只要再判断()f x 与()f x -的关系即可，但要注意作适当的变形；（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立即可，不妨证明：当0x >时，则有21x >进而有: 1210,021x x->>-，然后得到110212xx ⎛⎫+⋅>⎪-⎝⎭，再由奇偶性得到对称区间上的结论.（3）证明：当0x >时，()()310,0,0,21xx f x f x >>∴>-为偶函数， ()0,0x f x ∴.综上所述，定义域内的任意x 都有()0f x >. 4. 已知函数()f x = ()221x a a -∈+R . (1)是否存在实数a 使函数()f x 是奇函数?并说明理由;(2)在(1)的条件下,当0x >时, ()()220f kx f x +--<恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)存在1a =满足题意.(2) (.∞- 【解析】试题分析：(1)由()f x -=()f x -得221x a --+=221xa -++，可得a=1；(2)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数，则原不等式等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +，即22kx x <+，当0x >时22x k x +<恒成立，设()g x =22x x+，再利用函数单调性的定义证明()g x 在(上是减函数，在)∞+上是增函数，即可求出求值，即可得出结论.试题解析：(1)当1a =函数()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-得， 221x a --+=221x a -++, 解得1a =. (2)函数()2121x f x =-+，任取12,x x ∈R ，设12x x <，则()()21f x f x -=12112121x x -++=()()2112222121x x x x -++， 因为函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <，所以21220x x ->， 又()()1221210x x ++>,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R 上是增函数，因为()f x 是奇函数，从而不等式()()220f kx f x +--<等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +,因为函数()f x 在R 上是增函数，所以22kx x <+，所以当0x >时22x k x+<恒成立.设()22x g x x +=，任取12,x x ,且120x x <<，则()()21g x g x -=22212122x x x x ++-=()()2112122x x x x x x --，当(12x x ∈，且12x x <时, 2112120200x x x x x x ->-，，，所以()()21g x g x <，所以()g x在(上是减函数；当)12x x ∞∈+，且12x x <时， 2112120200x x x x x x ->->>，，，所以()()21g x g x >，所以()g x在)∞+上是增函数，所以()min g x= g=即k <k的取值范围为(.∞-5. 已知函数()f x =()27x mx m m ++-∈R .(1)若函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性,求实数m 的取值范围; (2)求函数y = ()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m .【答案】(1) 4m ≥-或8m ≤-.(2) ()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤.【解析】试题分析：(1)由函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性可得22m -≤或42m-≥，求解即可；(2)利用二次函数的单调性，分1111222m m m-≤--<-<-≥、、三种情况讨论求解. 试题解析：(1) ()f x =()27x mx m m ++-∈R 开口向上，对称轴为2m x =-，若函数()f x 在[]2,4上具有单调性，则需22m -≤或42m-≥，所以4m ≥-或8m ≤-. (2) 当m12-≤-，即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增，所以()g m = ()1g -=6-，当112m-<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以()g m = 2m g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=274m m -+-； 当12m-≥，即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减，所以()g m = ()1g =26m -，综上得()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤. 6. 设实数a ∈R ,函数()f x = 221x a -+是R 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)当()1,1x ∈-时,求满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）( 【解析】试题分析：(1)由题意结合奇函数的性质可得1a =.(2)结合(1)中函数的解析式可得()f x 在R 是增函数,结合函数的定义域和函数的单调性可得实数m 的取值范围是(. 试题解析：（1）因为函数()f x = 221xa -+是R 上的奇函数, 所以()00f =.即02021a -=+,解得1a =. (2)由(1),得()2121x f x =-+.因为()f x 是R 上的奇函数,由()()2110f m f m -+-<,得()()211f m f m -<--,即()()211f m f m -<-.下面证明()f x 在R 是增函数,设12,x x ∈R 且12x x <,则()()12f x f x -=1222112121x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()()()1212222,2121x x x x -++ 因为12x x <,所以121222,220x x xx <-<,而12210,210x x +>+>,所以()()()121222202121x x x x -<++,即()()12f x f x <,所以()f x = 221x a -+是R 上的增函数. 当()1,1x ∈-时,由()()211f m f m -<-得22111{11 1 11m m m m -<-<-<-<-<-,解得1m <<，所以,当()1,1x ∈-时,满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m的取值范围是(.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．7. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，当0x >时，()0f x >；（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()()220f kx f kx -+->对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()f x 为奇函数；（2）08k ≤<.试题解析：(1)令则令所以为奇函数.(2)任取12,x x <则()()()()()()()11221221212,0f x f x x x f x x f x f x f x f x x =-+=-+-=->()()12f x f x > ，()f x 是单调减函数，()f x 为奇函数且0x >时，()0f x <， 0x ∴<时，()0f x >， 220kx kx ∴-+-<恒成立，当时，-2<0恒成立，当0k ≠时，得20{80k k k -<∆=-<，得08k <<，综上， .8. 已知定义在R 上的函数()22x x bf x a--=-是奇函数.（1）求a ， b 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t R ∈，关于t 的不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1a =-， 1b =-（2）()f x 在R 上为减函数（3）1k <-【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a ， b ；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()()22f t t f k f k -<--=，然后利用单调性求k 的取值范围.试题解析：（1）因为()22x x b f x a--=-是定义在R 上的奇函数所以()()()00{11f f f =-=-，解得1a =-， 1b =-经检验符合题意，所以1a =-， 1b =-（3）因为()f x 为R 上减函数，且为奇函数所以()()220f t t f k -+-<等价于()()()22f t t f k f k -<--=，所以22t t k ->恒成立 即()22211k t t t <-=--，所以1k <-点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f ”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()22f t t f k -<，结合单调性由此可把不等式化为具体不等式求解.9. 已知函数()2π2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】(1) T ＝2π4＝π.2;(2) 取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期, (2)根据x 的范围,求出4x ＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答. 试题解析：(1)由题意知, ()f x x -cos π42x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 4x ＋sin 4x ＝2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴函数()f x 的最小正周期T ＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x ≤π4,∴-π3≤4x ＋π3≤4π3,∴2-π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.10. 已知，，．(1)求；(2)设，，求点及的坐标．【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，，，∴，，∴. (2)设点的坐标分别为则而，∵，，∴解得∴点的坐标分别为.∴．考点：平面向量的坐标运算.11. 已知函数()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为π; （Ⅱ）函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 【解析】试题分析：(Ⅰ)整理函数的解析式为()πsin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为π，最大值为22-. (Ⅱ)结合函数的解析式和正弦函数的性质可得函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 试题解析：（Ⅰ）()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭2cos sin x x x =()1sin21cos222x x =-+ 1sin2222x x =--πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵()f x 的最小正周期为π，最大值为22-.12. 已知()1,2a =， ()3,2b =-,求当k 为何值时（1）3ka b a b +-与垂直； (2) 3ka b a b +-与平行. 【答案】（1）19k =；（2）13k =-. 【解析】试题分析：（1）根据向量垂直得到向量点积为0，由向量坐标运算得到结果；（2）根据向量平行的坐标运算得结果. 解析：由题意可得： ()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+ ， 而()()()31,233,210,4a b -=--=- ，故满足题意时： （1） ()()1034220k k --+= ，解得： 19k = . （2）()()()3410220k k -⨯--+= ，解得： 13k =- . 13. 已知23a b ==， a 与b 的夹角为120，求（1）a b ⋅；（2）(23a b a b -⋅+）（）；（3）a b +【答案】（1）-3；（2）-34；（3）7.【解析】试题分析：（1）根据向量运算的定义式得到cos120o a b a b ⋅==-3.（2）根据向量点积的运算规律和定义展开得到结果.（3）将模长平方根据向量点积的运算得到结果. 解析：（1）1cos1202332oa b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）2223253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-（）（）2225cos1203o a a b b =+-8152734=--=-（3）()2222469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=14. 已知ABC ∆，点()()()2,3,0,2,1,1A B C --，（1）以AC 为对角线作正方形/ AMCN (点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）设0n 为与BC 垂直的单位向量，求向量0n 的坐标，并求边BC 上的高AD 的长.【答案】（1）()2,3MN =， 31,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),M N x y =∴22320{13x y x y -=+=即求得MN ，设,A C 中点为1,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭又E 为MN 中点，由31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭得点M 的坐标（2）0n 为与BC 垂直的单位向量，则设()0,n x y =，由0n BC ⊥， ()1,3BC =得221{ 30x y x y +=+= 解出0n ，在ABC ∆中，由余弦定理得出cos ACB ∠，过A 作AD BC ⊥,得cos ACD ∠，sin sin ACD AD AC ACD ∠=⋅∠，则求得得解.试题解析：（1）∵()()2,3,1,1A C - ∴()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),MN x y = ∴22320{13x y x y -=+=得2{ 3x y ==或2{ 3x y =-=-（舍） ∴()2,3MN = 设,A C 中点为1,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭又E 为MN 中点，∴31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设()0,n x y =，则0n BC ⊥， ()1,3BC =∴221{ 30x y x y +=+= ∴0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭在ABC ∆中， 29AB =， AC BC ==由余弦定理得cosACB ∠==过A 作AD BC ⊥,∴cos ACD ∠=∴sin ACD ∠∴sin AD AC ACD =⋅∠===15. 某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）求1x ， 2x ， 3x 的值及函数()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值． 【答案】（1）()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）.【解析】试题分析：（1）由可得；由可得，()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.试题解析：（1）由可得 :2分由可得:又6分（2）由的图象向左平移个单位得的图象, 8分10分时,13分16. 已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω的值和函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()2463f αππα⎛⎫=<<⎪⎝⎭，求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()23k x k Z ππ=+∈；（2）=【解析】试题分析：（1）根据图像上相邻两个最高点的距离可求函数周期，即可求出ω的值，从而求出()f x 的对称轴方程；（2）由（1）可知1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数之间关系及角的变换即可求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（2）由（1）得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由263ππα<<得062ππα<-<，所以cos 6πα⎛⎫-===⎪⎝⎭sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ cos 66ππα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭114242=⋅-⋅ =17. 已知()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+；（2）2sin sin2αα+. 【答案】（1）－16（2）85【解析】试题分析：（1）首先利用诱导公式化简已知条件等式为sin 2cos αα=，由此可求得代数式的值；（2）将代数除以22sin cos αα+，然后利用同角三角函数间的基本关系求解． 试题解析：（1）∵()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+⎪⎝⎭， ∴sin 2cos αα-=-，即sin 2cos αα=， 则原式2cos 4cos 2110cos 2cos 126αααα--===-+．（2）∵sin 2cos αα=，即tan 2a =，∴原式22222sin 2sin cos tan 2tan 448sin cos tan 1415αααααααα+++====+++． 考点：1、诱导公式；2、同角三角函数间的基本关系．18. 已知:；（I ）化简；（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（I ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（I ）根据三角函数的诱导公式化简，即可求出；（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得到的值 .试题解析： （I ）（Ⅱ），所以，又由是第三象限角，所以，故19. 已知函数()()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且点,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域； （3）把函数()y f x =的图象向右平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，求θ的取值范围． 【答案】（1）()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[)2,1-；（3）,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：（1）由,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点求出A ，由周期为π求出ω，由特殊点的坐标求出ϕ的值，从而可得函数的解析式；（2）由,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可求的52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质可求其值域；（3）利用三角函数平移变换规律可求()2226g x sin x πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得03{,64k k Z k ππθπππθ+-≤∈++≥，结合范围02πθ<<，可求θ的取值范围.试题解析：（1）∵由题意可得，A=2， =π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M （，2），可得2sin （2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ϕ=，∴f （x ）=2sin （2x+）．（2）∵x ∈[﹣，0]， ∴2x+∈[﹣，]，∴sin （2x+）∈[﹣1，]，可得：f （x ）=2sin （2x +）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f （x ）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g （x ）=2sin [2（x ﹣θ）+]=2sin （2x ﹣2θ+），∴令2k π﹣≤2x ﹣2θ+≤2kπ+，k ∈Z ，解得：k π+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k ∈Z ，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k ∈Z ，∵函数y=g （x ）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k ∈Z ，∵0＜θ＜，，∴当k=0时，θ∈[，]．20. 已知两个不共线的向量,a b 满足()1,3a =， ()cos ,sin b θθ=， R θ∈.（1）若2a b -与7a b -垂直，求a b +的值；（2）当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ使得3a b ma +=成立，求正数m 的取值范围.【答案】（1）a b + =23m +≤≤ 【解析】试题分析：（1）已知2a b -与7a b -垂直，所以以()()270a b a b -⋅-=，变形得2221570a a b b -⋅+=，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为2a =， 1b =，代入上式可得81570a b -⋅+=，求得1a b ⋅=.求向量的模，应先求向量的平方。
2018-2019学年湖南省长沙市实验中学高一数学理上学期期末试卷含解析
2018-2019学年湖南省长沙市实验中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则的值为（）A．0 B．1 C．2D．2参考答案：C2. 已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（＜ω＜2），在区间（0，）上（）A．既有最大值又有最小值B．有最大值没有最小值C．有最小值没有最大值D．既没有最大值也没有最小值参考答案：B【考点】三角函数的最值．【分析】根据题意，求出ωx﹣的取值范围，再利用正弦函数的图象与性质即可得出“函数f（x）在区间（0，）上有最大值1，没有最小值”．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx﹣），当＜ω＜2，且x∈（0，）时，0＜ωx＜ω＜，所以﹣＜ωx﹣＜，所以﹣＜sin（ωx﹣）≤1；所以，当ωx﹣=时，sin（ωx﹣）取得最大值1，即函数f（x）在区间（0，）上有最大值1，没有最小值．故选：B．3. 设，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：A略4. 已知abc＞0，则在下列各选项中，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象不可能是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：a＜0，c＜0，若abc＞0，则b＞0，显然﹣＞0，得到b＞0，符合题意；对于B：a＞0，c＜0，若abc＞0，则b＜0，而对称轴x=﹣＞0，得：b＜0，符合题意；对于C：a＜0，c＞0，若abc＞0，则b＜0，而对称轴x=﹣＜0，得：b＞0，不符合题意；对于D：a＞0，c＜0，若abc＞0，则b＜0，而对称轴x=﹣＜0，得：b＜0，符合题意；故选：C．5. 若A、B、C为三个集合，A∪B = B∩C，则一定有（）A．A C B．C A C．A≠C D．A =参考答案：A6. 函数的图像与函数的图像的交点个数为．参考答案：2略7. 已知，且则的值为（）.A. 4B. 0C. 2mD.参考答案：A8. 已知集合，且，则．参考答案：9. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. －3B. 1C. 9D. 10参考答案：C【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10. 等于( )A B C D参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知p（﹣1，1）是角α终边上的一点，则cosα=_________ ．参考答案：12. 使tanx≥1成立的x的集合为．参考答案：{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}【考点】三角函数线．【分析】根据正切函数的图象和性质，解不等式即可得到结论．【解答】解：由tanx≥1得+kπ≤x＜+kπ，k∈Z，即不等式的解集为{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}，故答案为：{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}13. （5分）若方程2x+x﹣5=0在区间（n，n+1）上有实数根，其中n为正整数，则n的值为．参考答案：1考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：方程2x+x﹣5=0在区间（n，n+1）上有实数根可化为函数f（x）=2x+x﹣5在区间（n，n+1）上有零点，从而由零点的判定定理求解．解答：方程2x+x﹣5=0在区间（n，n+1）上有实数根可化为函数f（x）=2x+x﹣5在区间（n，n+1）上有零点，函数f（x）=2x+x﹣5在定义域上连续，f（1）=2+1﹣5＜0，f（2）=4+2﹣5＞0；故方程2x+x﹣5=0在区间（1，2）上有实数根，故n的值为1；故答案为：1．点评：本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于基础题．14. 不等式组所围成的区域面积为_ ____参考答案：1略15. 已知函数f（x）=，若f（x）=17，则x= ．参考答案：﹣4【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】本题中所给的函数是一个分段函数，解此类函数有关的方程的解，要分段求解，每一段上的解的全体即为此方程的根【解答】解：由题意，令x2+1=17，解得x=±4，又x≤0故x=﹣4是方程的根令﹣2x=17，解得x=﹣，与x＞0矛盾，此时无解综上知，方程的根是x=﹣4故答案为﹣4【点评】本题考查已知函数值求自变量，是一个解与分段函数有关的方程的题，解此类题的关键是掌握其解题技巧，分段求解．16. 已知，且，那么ab的最大值等于．参考答案：217. （2）（不等式）对于任意实数，不等式恒成立时，若实数的最大值为3，则实数的值为．参考答案：（2）或三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【优质文档】2018–2019学年度湖南省名校高一第一学期期末联考数学试卷(九)含答案
2018–2019学年度湖南省名校高一第一学期期末联考数学试卷（九）数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷（选择题 60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为( )A ．3B ．3C ．32 D ．322．已知ABCD 为平行四边形，若向量,AB a AC b ，则向量BC 为( ) A ．a b B ．a b C ．b a D ．a b3．点P(tan2018,cos2018)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数2()sin f x x 是( )A ．最小正周期为2的奇函数B ．最小正周期为2的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数5．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(单位：分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5)，[5，10)，…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.77．已知向量a ，b 满足1,1a a b ，，则(2)a a b =( )A ．4B ．3C ．2D ．08．已知‘21tan(),tan()544，则tan()4的值为A ．16B ．2213C ．322D ．13189．函数()2sin()(0,)22f x x 的部分图像如图所示，则、的值分别是( )A ．2，3B ．2，6,C ．4，6D ．4，310．如图是把二进制数11111（2）转化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A ．i>47B ．i ≤47C ．i>57D ．i ≤57二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分·11、如图所示，给出一个算法，根据该算法，可求得(1)(2)_________f f ．12．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．若用分层抽样从中抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ________个．13．已知向量(2,3),(2,1)a b ，则a 在b 方向上的投影等于_________．14．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率是_________．15．已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30--7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45-7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是__________．三、解答题：本大题共5小题，共40分·解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、(本题满分6分)已知a =(1，2)，b =(一3，2)，。
【优质文档】2018–2019学年度湖南省名校高一第一学期期末联考数学试卷(十五)含答案
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
★祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。
6、函数 g( x) ex 2x 3 的零点 x0 所在的一个区间是 ( )
) D.(1,2)7
且 a∥ α, 则 b 与 α 的位置关系是 ( )
A. 相交
B.b ∥ α
、如果两直线 a∥b,
第 1页共7 页
C.b ? α
D.b ∥ α 或 b? α
8、已知点 A(1,2), B(3,1) ，则线段 AB的垂直平分线的方程是（
）
A． 4x+2y=5 B ． 4x 2y=5 C ． x+2y=5 D ． x 2y=5 9、如图所示的三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , 过 A1B1 的平面与平面 ABC交于直线 DE, 则
DE与 AB的位置关系是 ( ) A. 异面 B. 平行
C. 相交 D. 以上均有可能
10、函数 y＝ ax－1( a>0， a≠1) 的图象可能是 ( ) a
9
9
A. [ , 3 ）
B.
( , 3)
4
4
（）
二、填空题（每小题 5 分，共 4 个小题）
C. （ 1， 3）
D. （ 2， 3）
13、经过 P(1,3) ， Q 3,5 两点的直线方程是
.
14、已知 f ( x)
湖南四大名校内部资料答案-2018-2019-1长郡中学高一(上)期末数学
，
由 得
设 ，
所以 在 上递减
在 上递增(单调性不证，不扣分)
在 上的最大值为
在 上的最小值为
所以实数 的取值范围为
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称
又
即
所以函数为奇函数
(2)
当 时，
得
当 时
得
23.【解析】(1)∵ 与 互相垂直
则
即
代入
得 ，
又
∴ ，
(2)∵ ，
∴
则
∴
24.【解析】(1)当甲的用水量不超过 吨时，即 ，则乙的用水量也不超过 吨
得
当甲的用水量超过 吨，乙的用水量不超过 吨时
即 且
得
当甲的用水量超过 吨，乙的用水量超过 吨时
长郡中学2018-2019高一第一学期数学期末考试
数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C
D
B
B
B
B
A
D
B
D
C
C
C
B
A
二、填空题
16. 17. 18. 19. 20.
三、解答题
21.【解析】(1)
∴ ，
∴
∵ 或
∴
∴
(2)∵
∴ ，
∴增区间为
22.【解析】(1)奇函数
由意知 得
即
得
所以
(2)由于 在各段区间上均为单调递增
当 时，
当 时，
当 时，令
解得
所以甲户用水量为 吨
湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题(无答案)
长郡中学2019-2019学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A=［1,3?，集合B 亠..1,2,4,5 ?,则集合AUB 二( )A. 11,3,1,2,4,5 / B . MC. 11,2,3,4,5 / D . ：2,3,4,5 /TL2 •已知tan: - -3 , ，则sin 的值为( )2A •1B731C • ——D •732222r r r r r r3 •已知j刁=4，t)=3，且a与b不共线，若向量 a + kb与a - kb互相垂直，则k的值为( )A•a B2丽C • ±--------- D34324•如果奇函数f (x )在区间12,8 ］上是减函数且最小值为6，贝U f(x )在区间［-8,-2】上是( ) A.增函数且最小值为-6 B •增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6 D •减函数且最大值为-65•方程2x，3x-7 =0的解所在的区间为( )A. -1,0 B • 0,1 C • 1,2 D • 2,36 • =ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a, b, c，若a2- c2，b2= ab，则C =( )A. 30° B • 60° C • 120° D • 60° 或120°7 • ABC中，内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos^ ，则ABC为( ) cosB aA •等腰三角形B •等边三角形C.直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形f 8 •已知集合A= X■■■■ -x2 6Li2 :：1 ，B = ' x log 4 x a "，a的取值范围为若A I B^，则实数R 上的周期为2的偶函数，已知 x - 2,3 I 时，f x = x ，则x 1-2,0 1时，f x的解析式为( )A . x 4B C. 3 — X +1D 13.若函数 f (x )=si n 豹 x —J Jcos ^x ，⑷ >0,x ^ R ，又 f (x j = 2 , f (x 2)=0，且捲—x 2 的最小值为—，则，的值为（ 2 )1 24A . -BCD.233314.如图，正三角形 ABC 的中心位于点G 0,1 , A 0,2 ，动点P 从点A 出发沿厶ABC 的边界按逆时针uun r方向运动，设• AGP =x 0乞x 乞2二，向量OP 在a 二1,0方向上的射影为y （ O 为坐标原点），则 y 关于x 的函数y 二f x 的图象大致为（）A. BC.A . 1 ：：：a ::: 2 C..1 ：：： a 乞 2设是第二象限角， 1 P x,4为其终边上的一点，且 cos x ，则tan =（） A .4 _3 二 11 ■:sin 2二-匚 cos 「亠二 jco^ — - :- cos - 10.化简 cos 二「sin 3二…sin -二-：sin 吟 的结果为tan :- 11 .先把函数 象向右平移 3 A .ji —+CL tan :-f x =sin x i 的图象上各点的横坐标变为原来的 1“ I 6丿 个单位, （纵坐标不变），再把新得到的图得到y 二g x 的图象.当x g x 的值域为（.亠 C IL 21-4,012 .设f x 是定义在 2 -x2_x+1—1,0<x^2彳0)=廿.则关于x的方程2 f(x-2),x>26「f （x p — f （x ）—1 = 0的实数根个数为（A. 6 B . 7 C . 8 D . 9、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bsin A=乜.acosB若b 3 , sin C =2sin A，求a, c的值.Q已知函数f x「3sinxcosx-cos2x ?15.已知定义在R上的奇函数f x，当x .0时,16.lg 2 Ig5 二0戸17.18.2sin -cos:-已知tan「- 3，贝U —cosa +3sin G已知向量a, b满足b =2, a与b的夹角为60 °，则b在a上的投影是19.若函数f x =2x2-kx-3在区间〔-2,4 1上具有单调性，则实数k的取值范围是20.uuu uuu在.ABC 中，AB AC =9, si n B =cosA si nC, S ABC= 6 , P 为线段AB 上一点，且uir CP UlTCB，则—•丄的最小值为x y21.(1)(2)UlTCA=x CA y CB解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集合A x求AI B ;求$ A UB .+3)(x—2)兰0}, B={x1 兰x 兰4}.22.(1) 求角B的大小;(2)23.(1) 求f x的单调递增区间;(2) 若角:的终边不共线，且f 二f ［，求tan24.已知向量a = cos： ,sin ：, b = cos :,sin ：,2.5 5(1 )求cos - ；1 i 5(2)右0 , 0 ,且sin ，求sin、丄.2 2 1325.已知二次函数f x =x2，若不等式f -x • f x < 2 x的解集为C .(1)求集合C ；(2)若函数g x = f a x-a x 1-11( a 0且a")在集合C上存在零点，求实数a的取值范围.。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．右图中阴影部分用集合可表示为（ ）A.()U C A B ⋂B.()U A C B ⋂C.()U C A B ⋃D.()U C A B ⋂【答案】A【解析】试题分析：图中阴影部分表示：属于B ，但不属于A 的元素构成的集合，即()U C A B ⋂，故选A 。
【考点】本题主要考查集合的表示，集合的运算。
点评：小综合题，首先明确集合中元素特征，结合图形分析。
2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A.()f x =()g x x =B.()f x x =，()lg10xg x =C.()2f x =，()g x x =D.()f x x =，()2x g x x= 【答案】B【解析】根据函数的概念，判定两个函数的定义域和对应法则是否都相同，即可得到答案. 【详解】选项A,()f x x ==，函数解析式不同；选项C,D ，函数定义域不同，只有选项B的定义域相同,解析式一样.故选B. 【点睛】本题主要考查相等函数的判定，其中熟记函数的概念，准确判定是解答本题的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3．已知01a <<,则22log ,2,a a a 的大小关系是A.22log 2aa a << B.222log aa a << C.22log 2a a a <<D.222log a a a <<【答案】A【解析】因为01a <<,所以0222log log 10,221,01aa a ==<<,即22log 2a a a <<.故选A ．4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A.()y x x R =∈ B.()10y x x=≠ C.()2y xx R =-∈ D.()y x x R =-∈【答案】D【解析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可. 【详解】选项A, y x =在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上单调递减；选项B ，1y x=在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C ，2y x =-在(0,)+∞上为减函数，在(,0)-∞上单调递增，且为偶函数，只有选项D 在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x=+>,则()1f -= ( ) A.-2 B.0 C.1D.2【答案】A【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 6．奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-2，则()()63f f +-的值为（ ） A.10 B.-10C.9D.15【答案】A【解析】根据函数的单调性确定最大值、最小值，结合函数的奇偶性求解相应的函数值. 【详解】由题意可知，(6)8,(3)(3)2f f f ==--=-，所以()()638210f f +-=+=，故选A. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，利用函数的奇偶性变形求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．函数()()31log 32f x x =-的定义域是（ ）A.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U C.5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求解即可. 【详解】要使函数()f x 有意义，则需x 满足320,321,x x ->⎧⎨-≠⎩ 解得23x >且1x ≠，所以函数()f x 的定义域为()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ，故选B. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，注意定义域的写法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A.（-2,-1） B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【答案】C【解析】试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上【考点】零点存在性定理9．函数2()48f x x ax =--在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.32a ≤ B.32a ≥C.16a ≥D.16a ≤【答案】A【解析】将二次函数转化为顶点式，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可 【详解】f （x ）=4x 2-ax-8=4（x-8a ）2+2a 16-8 ，二次函数的图象开口向上，∵在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=8a≤4，解得：a≤32，故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题10．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2- B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 【答案】D【解析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解． 11．在同一坐标系中，函数y =ax +a 与y =a x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】一方面，函数y=a x横过点（0，1）且在a ＞1时递增，在0＜a ＜1时递减；另一方面再结合函数y=ax+a 与y 轴的交点为（0，a ）作出判断．【详解】解：∵函数y=a x横过点（0，1）且在a＞1时递增，在0＜a＜1时递减，而函数y=ax+a 与y轴的交点为（0，a），因此，A中、由y=a x的图象递增得知a＞1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a＜1，矛盾；C中、由y=a x的图象递减得知0＜a＜1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a ＞1，矛盾；D中、由y=a x的图象递减得知0＜a＜1，函数y=ax+a递减得知a＜0，矛盾；故选：B．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，着重考查一次函数y=ax+a与指数函数y=a x之间的对应关系，考查数形结合的分析能力，属于基础题．12．今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是（）A.12y t= B.2logy t=C.123ty=⋅ D.212y t=【答案】C【解析】画出散点图，观察点的分布情况，即可判断.【详解】画出散点图如图所示，根据点的分布特征，选项C, 123ty =⋅更能体现这些的数据关系.故答案选C. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握基本初等函数的图象，能根据散点图的分布选择合适的函数模型，着重考查数形结合的能力，属于基础题. 13．在直角梯形ABCD 中, AB BC ⊥, 2AD DC ==, CB =动点P 从点A 出发，由A D C B →→→沿边运动（如图所示）, P 在AB 上的射影为Q ，设点P 运动的路程为x ,APQ ∆的面积为y ，则()y f x =的图象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意可得到()y f x ==21,024124224,442x x x x x x ⎧<≤⎪+<<⎪⎪+---≤<⎪⎩，由二次函数和一次函数的图象可知()f x 的图象只能是D ，故选D.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、分段函数的解析式，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能转化为数学模型进行解答. 理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏.14．已知偶函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则关于x 不等式()0xf x <的解集是（ ） A.(2,2)- B.(2,0)(0,2)- C.(2,0)(2,)-+∞D.(,2)(0,2)-∞-⋃【答案】D 【解析】【详解】偶函数()f x 在(),0-∞上单调递减，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()220f f =-=，因为()0xf x <，当(),0x ∈-∞，()() 02f x f >=-得02x x <⎧⎨<-⎩，解得2x <-；当()0,x ∈+∞，()()02f x f <=得02x x >⎧⎨<⎩，解得02x <<，综上所述不等式式()0xf x <的解集是()(),20,2-∞-，故选D.15．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}()(){}221,2,|20A B x x ax x ax ==+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ） A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】因为22()(2)0x ax x ax +++=等价于20x ax +=或220x ax ++=，且{}1,2,1A A B =*=，所以B 要么是单元素集，要么是三元素集。
2018-2019学年湖南省长沙市第一中学高一上期末考试数学试题Word版含解析
2018-2019学年湖南省长沙市第一中学高一上期末考试数学试题一、单选题1．满足2，的集合A的个数是A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．【详解】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中解中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2．已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值.【详解】依题意有2＝4a，得a＝，所以，当时，m＝9.【点睛】本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解.3．的值是A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：.【考点】诱导公式．4．已知直线：，：，：，若且，则的值为A．B．10 C．D．2【答案】C【解析】由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【详解】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解得值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5．已知2a＝5b 1a＋1b＝()A.12B．1 D．2【答案】D【解析】∵2a＝5b a＝log b＝log 1a＋1b＝＋＝10＝2.6．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果． 【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，，由线面垂直的判定定理得平面，所以,所以异面直线与所成的角的大小是．故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．7．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D 【解析】试题分析：2222222222sin sin cos 2cos tan tan 2222sin sin cos 2cos sin cos tan 121θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-===+++＝45，故选D ． 【考点】同角三角函数间的基本关系． 8．设m ， n 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥， m α⊂， n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂， n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂， n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥， //m n ， //n β，则αβ⊥ 【答案】D【解析】试题分析：m α⊥， ,n βαβ∴⊥,故选D.【考点】点线面的位置关系.9．已知函数，则（）A ．1B ．C ．2D ．0【答案】C【解析】根据题意可得，令对数的运算，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，函数，．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，．10．若存在正数x 使成立，则a 的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案．【详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为，再利用球的性质，求得求得半径，最后利用球体体积公式，即可得出答案．【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，即球心到截面圆圆心的距离为，由勾股定理可得，解得，因此，球的体积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题．12．已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，设，则，又由，求得，得t的值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案．【详解】 根据题意，是定义在R 上的单调函数，满足，则为常数，设，则， 又由，即，则有，解可得，则，若，即，则，若，必有，则有，又由，则，解可得，即，所以，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题．二、填空题13．函数()1y x =-的定义域为___________。