3.第一章第四节条件概率与全概率公式

计算条件概率有两个基本的方法： 一、是用定义计算； 二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算.
例1-18 在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从 中任取一件为合格品,求它是一等品的概率.
解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等 品”, 显然B A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为
定义1-3 设事件A1,A2,…,An满足如下两个条件： (1)A1,A2,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n; (2)A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An=Ω,即A1,A2,…,An至少有一个发 生,则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分. 全概率公式 设随机试验对应的样本空间为Ω,设A1,A2,…,An 是样本空间Ω的一个划分,B是任意一个事件,则
P ( B ) P ( Ai )P ( B | Ai ).
i 1 n
注：全概率公式求的是无条件概率
例1-24
盒中有5个白球3个黑球,连续不放回地从中取两
次球,每次取一个,求第二次取球取到白球的概率.
解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球 取到
白球”,则 P ( A) 5 , P ( A) 3 , P ( B | A) 4 , P ( B | A) 5 ,
P(AB) 72% P( B A) 0.75. P(A) 96%
例1-19 盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球7个,其中3个是新
球;白色球5个,其中4个是新球.现从中任取一球是新球,求它
是白球的概率. 解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白 球”,
4 ,所求概率为 由古典概型的等可能性可知 P ( B A) . 7
P ( A1 | B) P ( A1 ) P ( B | A1 ) 30% 5% 30 37.97%; P ( B) 3.95% 79
P ( A2 ) P ( B | A2 ) 35% 4% 28 P ( A2 | B) 35.44%; P ( B) 3.95% 79
次摸一张彩票,分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.
解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求
P(A),P(B), 显然P(A)=1/n. 因为A是否发生直接关系到B的概率,即
1 P ( B | A) 0, P ( B | A) , n1
于是由全概率公式得
1 n1 P ( A) , P ( A) , n n
解 使用例1-24解中记号,所求概率为 P ( A | B) ,由贝叶斯公式
3 5 P ( A) P ( B | A) 8 7 3 P ( A | B) . 5 P ( B) 7 8
例1-27 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它 (1)设P(AB)>0时，则 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
同理还有P(AC)>0， P(BC)>0之下的乘法公式. (2)设P(A1A2…An-1)>0,则 P(A1A2…An-1)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).
例1-21 在10个产品中,有2件次品,不放回的抽取2次产品,每
例1-23 设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求P(A|B).
解
P( AB) P( A) P( B | A) 0.8 0.25 0.2,
P ( AB ) 0.2 1 P( A | B) . P ( B) 0.4 2
1.4.2 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
P ( A3 ) P ( B | A3 ) 35% 3% 21 26.58%. P ( B) 3.95% 79
P ( A3 | B)
例1-28 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反
应, 而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人 做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少? 解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则
P( A | B)
PA) P ( B | A) 0.01 0.9 0.15 15%. P ( B) 0.0585
本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真 正患有该病.
例题 小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每 月给他寄钱的概率是0.8. 小明打算国庆假期去上海看世博
5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率. 解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表 示
“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂 的这
种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中 任取 P(A )=30%， P(A )=35%, P(A )=35%,
会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.1,父亲
给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.9. 求： (1) 小明能去上海看世博会的概率是多少？ (2) 假如现在国庆假期已过,小明已经去过上海,求他父母亲给 他寄钱的概率各是多少？
小 结
1、全概率公式及其应用；(求无条件概率)
P ( B ) P ( Ai )P ( B | Ai ).
解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白 球”,
P( A) 7 5 4 , P( B) , P( AB) , 12 12 12
由条件概率公式可得
4 P( AB) 12 4 P( B A) . 7 P( A) 7 12
例1-20 盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两
i 1 n
2、贝叶斯公式及其应用。(求条件概率)
P ( Ai ) P ( B | Ai ) P ( Ai | B ) P( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
n
P ( A )P ( B | A )
k 1 k k
, i 1, 2, ..., n.
P( A) 0.01, P( A) 0.99, P( B | A) 0.9, P( B | A) 0.05.
由全概率公式得
P( B) P( A)P( B | A) P( A)P( B | A) 0.01 0.9 0.99 0.05 0.0585.
再由贝叶斯公式得
条件概率的性质
性质1
性质2
0 P( A | B) 1, P( | B) 1, P( | B) 0.
若A与B互不相容，则
P( A
性质3
B | C ) P ( A | C ) P ( B | C ).
P( A | B) 1 P( A | B).
概率的乘法公式： (1)当P(A)>0时，有P(AB)=P(A)P(B|A). (2)当P(B)>0时，有P(AB)=P(B)P(A|B). 乘法公式还可以推广到n个事件的情况：
一件为次品”,则 P(B|A1)=5%,
由全概率公式得
1
2
3
P(B|A2)=4%,
P(B|A3)=3%.
P ( B) P ( Ai )P ( B | Ai ) 30% 5% 35% 4% 35% 3% 3.95%.
i 1
3
例1-26 设在n(n>1)张彩票中有1张奖券,甲、乙两人依
次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取 出的是黑球的概率. 解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二 次取 球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A). 由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中
有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得
5 P ( B A) . 7
是任一事件,且P(B)>0,则
P ( Ai | B ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) P( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( A )P ( B | A )
k 1 k k
n
, i 1, 2, ..., n.
注：Bayes公式求的是条件概率.
例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取 到黑球的概率.
例1-22 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3
次球,求第三次才取到黑球的概率. 解 设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为
5 4 2 4 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) . 7 6 5 21
次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率.
解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次 取产 品取到次品”,则 故
P ( A) 2 1 1 , P ( B | A) , 10 5 9
1 1 1 P ( AB ) P ( A) P ( B | A) . 5 9 45
（2）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？
答案（1）60/400 (2)20/200
定义1-2 设A,B是两个事件,且P(B)>0,称
P A | B P ( AB ) P( B)
为在事件B发生条件下事件A发生的概率. 显然，P(A)>0时，
P B | A P ( AB ) P ( A)
1 n1 1 1 P ( B ) P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) 0 . n n n1 n
这个例题说明,购买彩票时,不论先买后买,中奖机会是均等的,这就是所 谓的“抽签公平性”.
贝叶斯(Bayes)公式 设A1,A2,…,An是样本空间的一个划分,B