上海市复旦附中2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷
复旦附中高一上期末(2020.1)
综上所述， n [0, 4) ，则 m n 的取值范围是 [0, 4) ．
三、解答题 17．（1） f(x) 4x 2 2x 1 4 ， 2x 3 或 2x 1（舍）
方程的解为 x log2 3 ．
（2）令 t
2x
[1 2
, 2] ，则
t2
2at
1
0
，
2a
t2
1 t
t
1 t
，因为
t
1 t
f1(4 a) ≤ f(x) | 2x a2 | 在 x [0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
参考答案
一、填空题
1． (,5)
2． y x 1, (x ≥ 2)
3．
a2 2a
4．3
5． (1, )
6．1
7． (3, 0)
8． (1, 2]
9．2
10．[1 , 2] 2
11． (6, 41 5 ) 10
元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入 Q(x) （万元）满足
Q(x)
0.5x2
224,
(x
22x, 16)
(0
≤
x
≤16)
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据
上述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数 y f(x) 的解析式（利润＝销售收入 总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
在 [1 ,1] 2
上递减，
[1, 2] 上递增，所以 2a [2, 5], a [1, 5]
2
4
18．（1）
f
(x)
为奇函数，
1 ax x 1
0
的解集关于原点对称，所以
复旦附中高一上期末解析(2020.1)
复旦附中高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．函数2()1(1)f x x x =+-≤的反函数为 ． 3．已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m --=-∈N 为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．函数23log ()y x x =-的递增区间为 ．6．方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x = ．7．已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围 ．9．已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”．已知()1x x e tf x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是 ．11．若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰好有三个相异实根，则实数m 的取值范围是 ．12．已知函数2131()1log 12x x k x f x xx ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩≤，2()lg(2)()1xg x a x a x =⋅++∈+R ，若对任意的 {}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件14．下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1||y x = B ．2y x -= C ．2|log |y x = D ．23y x =15．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R , 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)三、解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-≥，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的 取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作．生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522,(016)()224,(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈， 则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由． 1()21f x x =-，2()21x f x =-；（2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上 封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证： 00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥，其中a ∈R ．（1）若1a =-，解不等式1()4f x ≥；（2）设0a >，21()log ()g x f x =，若对任意的1[,2]2t ∈，函数()g x 在区间[,2]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=．若关于x 的不等式：12(4)()|2|f a f x x a --+-≤在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,5)-∞ 2．1,(2)y x x =--≥ 3．22a a+ 4．3 5．(1,)+∞ 6．1 7．(3,0)- 8．(1,2] 9．2 10．1[,2]211．415(6,) 12．3(,]4-∞-【第9题解析】易知()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而可知1()f x -也是R 上单调递增的奇函数，1()(1)1F x f x -=-+是由1()f x -向右、向上平移1个单位，∴()F x 在[3,5]x ∈-上单调递增，且关于点(1,1)中心对称，∴122M mM m +=⇒+=．【第10题解析】即min max 2()()f x f x >，111()1111x x x x xe t e t tf x e e e +++--===++++， ①当10t ->，即1t >时，()f x 在R 上单调递减，()(1,)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得(1,2]t ∈； ②当10t -=，即1t =时，()1f x =符合题意；③当10t -<，即1t <时，()f x 在R 上单调递增，()(,1)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得1[,1)2t ∈；综上，1[,2]2t ∈．【第11题解析】记92594,,5054()45141259,509,0x x x x x x xf x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+-+-⎪⎪⎪⎪⎛⎫=+--==⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+-<+<<⎪⎪⎩⎩≥≥，函数图象如图所示，研究函数单调性可得，10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减，125,3x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()f x 单调递增，25,x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，125,3m f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时， 原方程在(0,)+∞内恰有三个相异实根，即4156,m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．【第12题解析】121max 2min ()()()()f x g x f x g x ⇒≤≤，而lg(2)x +∈R ，∴0a =，∴2()(2)1x g x x x =>-+，()g x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 当1x >时，()f x 单调递减，1()(1)2f x f <=-，满足满足题设条件；当1x ≤，max 1113()2424f x f k k ⎛⎫==+-⇒- ⎪⎝⎭≤≤；综上，3,4k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦．二、选择题13．A 14．D 15．C 16．A 【第16题解析】 设0x A ∈，则0()0f x =，又A B =，所以0x B ∈，即0[()](0)0f f x f ==，所以0m =，2()f x x nx =+． 由22222[()]()()()()0f f x x nx n x nx x nx x nx n =+++=+++=． 若0n =时，则{0}A B ==，满足题意； 若0n ≠时，由方程()0f x =的根为0和n -． 而0和n -不是方程20x nx n ++=的根，所以方程20x nx n ++=无解，即240n n ∆=-<，解得(0,4)n ∈ 综上所述，[0,4)n ∈，则m n +的取值范围是[0,4)．三、解答题17．（1）()42214x x f x =-⋅+=，23x =或21x =-（舍） 方程的解为2log 3x =．（2）令12[,2]2xt =∈，则2210t at -+=，2112t a t t t +==+，因为1t t +在1[,1]2上递减，[1,2]上递增，所以552[2,],[1,]24a a ∈∈18．（1）()f x 为奇函数，101axx ->-的解集关于原点对称，所以1a =-．此时21()log ,(11)1x f x x x x +=><--或，2211()log log ()11x x f x f x x x -+--===---+成立，故1a =-．（2）[3,7)A =22()log (1)log (1)f x x x m +-=+<在[3,7)上有解， 2log (1)[2,3), 2.x m +∈∴>Q解2：2log (1),012m x m x +<<+<，(1,21)m B =-- ,213, 2.m A B m ≠∅∴->>Q I19．（1）由题意得()1210P x x =+,则20.51212,016,()()()21210,16.x x x f x Q x P x x x ⎧-+-=-=⎨->⎩≤≤（2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()212101652f x <-⨯=；当016x ≤≤时，函数2()0.5(12)60f x x =--+ 当12x =时，()f x 有最大值6052>综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．20．（1）当(0,1)x ∈时，1()21(1,1)f x x =-∈-，1()f x ∴在D 上不封闭；2()21(0,1)x f x =-∈，2()f x 在D 上封闭． （2）设存在实数a ，使得5()2x ag x x -=+在(1,2)上封闭， 即对一切(1,2)x ∈，5122x ax -<<+恒成立， 20,2524x x x a x +>∴+<-<+Q ，即3442x a x -<<-恒成立，34(1,2)2x a -∈-∴≥Q ；42(2,6)2x a -∈∴≤Q ．综上，满足条件的2a =． （3）假设00()f x x ≠，①若00()f x x >，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴>，即00()x f x >，矛盾；②若00()f x x <，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴<，即00()x f x <，矛盾．所以，假设不成立，00()f x x =．21．（1）1a =-时，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩≥当0x ≥时，15335()|1|,,[0,][,)44444f x x x x x =-∴∈+∞≥≥或≤U ；当0x <时，1()2,2,[2,0)4x f x x x =-∴∈-≥≥．综上，35[2,][,)44x ∈-+∞U ．（2）22110,[,2],()log ()log ()a x t t g x f a x x >∈+∴==+Q 单调递减，max min 2211()()()(2)log ()log ()12g x g x g t g t a a t t -=-+=+-++≤，112()2a a t t +++≤，1222(2)t a t t t t --=++≥ 在1[,2]2t ∈上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =，当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m =+-，86m m +-Q 在3(0,]2上递减，83165666,()(0,]2365m h m m ∴+-≥+-=∈， 综上，65a ≥．（3）若0a <，则(0)(2)||f f a a =-=；若0a =，则11(1)()22f f -==；若01a <<，则2(0)(log )f f a a ==，1a ∴<时，()f x 没有反函数． 当1a ≥时，,0()2,0x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥ 为增函数，存在反函数，且()f x 的值域为(0,1)[,)a +∞U ． 令2()()|2|,[0,)F x f x x a x =+-∈+∞，则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a a x a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩≥ ， 22min ,()22a a x F x a ==+，所以21(4)2a f a a --+≤，因为()f x 是增函数，所以1()f x -也是增函数，2224()2,680,33224(0,1)[,),(3,4)(,2]1a a a f a a a a a a a a a a ⎧-+=++--+-⎪⎪⎪-∈+∞∈-∞⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≤≥U U综上，3,2](3,4)a ∈U ．。
2020-2021上海复旦初级中学高一数学上期末一模试卷(带答案)
2020-2021上海复旦初级中学高一数学上期末一模试卷(带答案)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ． B ． C ． D ．3．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,1 4．若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞5．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞ 6．函数ln xy x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}8．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >9．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,611．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞ 二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．14．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 15．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 16．如果函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.17．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.18．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．19．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．20．已知函数(2),2()11,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题21．已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围.22．设函数()()2log x x f x a b =-，且()()211,2log 12f f ==. （1）求a b ，的值；（2）求函数()f x 的零点；（3）设()x xg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域. 23．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下：①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比；②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式；（2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？24．已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ） （1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.25．求下列各式的值.（1）2121log 23324()(0)a a a a a -÷>； （2）221g 21g4lg5lg 25+⋅+.26．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合； （2）若且，求的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．C解析：C【解析】函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ．故答案为C 。
上海复旦附中2022年数学高一上期末监测模拟试题含解析
（1）向量 与 夹角的余弦值 ；
（2）向量 - =（3+λ，4-2λ）与 +2 =（1，8）平行，则8（3+λ）=4-2λ，解得λ=-2
【点睛】本题考查了平面向量数量积公式的运用以及向量平行的坐标关系,属于基础题
19、（1） ；（2） .
【解析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数的解析式，再把点 代入，求得 的值
20、（1）
（2） 或
【解析】（1）先求得函数 的解析式，再整体代入法去求函数 单调递增区间即可；
（2）依据函数 的单调性及零点个数列不等式组即可求得实数b的取值范围.
【小问1详解】
由 ，可得
又函数 的图象关于直线x＝ 对称，则 ，则
故
由 ，可得
则函数 的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1）可知
当 时， ，
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，求实数 的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据充分条件和必要条件的概念，结合题意，即可得到结果.
【详解】因为 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
C选项:当 时, ,当 时, , 在 上不单调递增,故C错误;
D选项:当 时,若 ,则 ;当 时,若 ,则 ,故 的解集为 ,故D错误;
故选:B.
5、B
【解析】分别求出 在 的值域，以及 在 的值域，令 在 的最大值不小于 在 的最大值，得到 的关系式，解出即可.
【详解】对于函数 ，当 时， ，
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题人教新课标A版
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1. 已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为________.2. 已知集合，，则________.（结果用区间表示）3. 已知函数，则它的反函数________________.4. 已知函数，满足，且当时，，则________.5. 已知是奇函数，满足，且在区间内是严格增函数，则不等式的解集是________.（结果用区间表示）6. 已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是________.7. 函数，的最小值是________.8. 设方程的解为，的解为，则________.二、解答题若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是________.三、填空题对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围为________.四、单选题下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是()A.与B.与C.与D.与函数f(x)=的零点所在的一个区间是A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)已知，则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件设函数若，，则关于的方程的解的个数为()A.1B.2C.3D.4五、解答题已知实数，判断函数的奇偶性，并说明理由.已知命题：幂函数的图象过原点；命题：函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题，求实数的取值范围.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）用函数观点解不等式：. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.参考答案与试题解析上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1.【答案】[加加){1,3,4)【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由图象可得函数值，得值域．【解答】由图象可知函数值有1，3,4，即值域为{1,3,4}故答案为：{1,3,4}2.【答案】I≤加)(1,4)【考点】分式不等式的解法【解析】先求出集合A,B，再根据交集的定义即可求出．【解答】∵A={x||x−1|<3}={x|−2<x<4}B={x|x−1x−5<0}={x|1<x<5}A∩B={x|1<x≤4}=(1,4)故答案为:(1,4)3.【答案】[加加]√x+13【考点】反函数函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】由y=x3−1求得后交换xy的位置可得反函数，同时注意求原函数的值域，即反函数的定义域．【解答】由y=x3−1知y∈Rx3=y+1，所以x=√y+13所以f−1(x)=√x+13x∈R故答案为：√x+134.【答案】2【考点】函数的概念及其构成要素伪代码判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数的周期性直接求解．【解答】由函数y=f(x)，满足f(x)=f(x+2)即f(x)=f(x−2)得f(92)=f(52)=f(12)=4×12=2故答案为：2.5.【答案】[加加](−1,0)∪(0,1)【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】由奇函数性质得f(−1)=0，在(−∞,0)上函数也是递增的，从而可求得不等式的解．【解答】由题意f(−1)=0，且f(x)在(−∞,0)上函数是递增的，f(x)x<0⇒{f(x)<0x>0或{f(x)>0x<0，所以0<x<1或−1<x<0故答案为：(−1,0)∪(0,1)6.【答案】−5【考点】函数的对称性【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可．【解答】由已知y=|x−n|+2是定义在[4m,m2−5)上的偶函数，故4m+m2−5=0，即m=1，或m=−5，且函数图象关于！轴对称，又4m<m2−5，故m=−5因为y=|x−n|+2关于直线x=n对称，故n=0m+n=−5故答案为：−57.【答案】2【考点】与二次函数相关的复合函数问题【解析】令t=log3x，可得y=t(1+t)=(t+12)2−14，即可求出最小值．【解答】∵y=log3x⋅log33x=log3x⋅(1+log3x)令t=log3x．x∈[3,9]，t∈[1,2]则y=t(1+t)=(t+12)2−14当t=1时，y加加=2故答案为：2.8.【答案】【答2.【考点】进位制三角函数值的符号集合的确定性、互异性、无序性【解析】由反函数对称性质即可求解．【解答】由x+log2x=2的解为x1，得log2x1=−x1+2同理x+24=2的解为x2，得2x=−x2+2又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，图象关于直线y=x对称，且y=−x+2与y=x互相垂直，且交点为(1,1)则函数y=log2x与函数y=−x+2的交点A(x1,y1)，函数y=2x与函数y=−x+2的交点B(x2,y2)，关于直线y=x对称，即A(x1,y1)与B(x2,y2)关于点(1,1)对称，即x1+x2=2故答案为：2．二、解答题【答案】(3,4]【考点】根的存在性及根的个数判断区间与无穷的概念函数的零点与方程根的关系【解析】方程(x−2)(x2−4x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是2，即三角形的一边是2，另两边是方程x2−4x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2−4x+m=0的两个根设是x x和x3，一定是两个正数，且一定有|x1−x3|<2<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定”的范围．【解答】解：：方程(x−2)(x2−4x+m)=0有三根，x1=2x2−4x+m=0有根，方程x2−4x+m=0的Δ=16−4m>0，得m≤4又：原方程有三根，且为三角形的三边和长．有x2+x3>x1=2|x2−x3|<x1=2，而x2+x3=4>2已成立；当|x2−x3|<2时，两边平方得：(x2+x3)2−4x2x3<4即：16−4m<4．解得m>33≤m≤4故答案为：(3,4]三、填空题【答案】【3加加(5−√34,1)【考点】根的存在性及根的个数判断 函数的零点与方程根的关系一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】化简得出函数y =f (x )的解析式，不妨设x 1<x 2<x 3，作出函数y =f (x )的图象，可知当0<m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由对称性可求得x 2+x 3的值，由f (x 1)=(0,14)可解得x 1的取值范围，进而可求得 x 1+x 2+x 3的取值范围． 【解答】当2x −1≤x −1时，即当x ≤0时，f (x )=(2x −1)2−(2x −1)(x −1)=2x 2−x 当2x −1>x −1时，即当x >0时，f (x )=(x −1)2−(2x −1)(x −1)=x −x 2 f (x )={2x 2−x,x ≤0x −x 2,,,,,，作出函数y =f (x )的图象如下图所示：设x 1<x 2<x 3，可知点(x 2,m )与点(x 3,m )关于直线x =12对称，则x 1+x 3=1当x >0时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14≤14由图象可知，当0∴m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由f (x 1)=2x 12−x 1∈(0,14)，可得0<2x 12−x 1∴14∵x 1<0，解得1−√34<x 1<0，所以，5−√34<x 1+x 2+x 3<1因此，x 1+x 2+x 3的取值范围为(5−√34,1)故答案为：(5−√34,1)四、单选题 【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则，两者均相同的为同一函数． 【解答】A ．两函数定义域都是R ，但对应法则不相同，一个是y =x ，一个是y =|x|，不是同一函数；B ．前一函数定义域是[1,+∞), 后一函数定义域是(−∞,−1]∪[1,+∞)，不是同一函数；C ．前一函数定义域是R ，后一函数定义域是(0,+∞)，不是同一函数；D ．两函数定义域相同，后一函数，计算x =1时，y =1x =2时，y =1，对应法则相同，值域也相同，是同一函数． 故选：D ． 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】试题分析：因为函数f (x )=223x 在其定义域内是递增的，那么根据f (−1)=12−3=−52<0,f (0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(−1,0)，选B ． 【解答】此题暂无解答 【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件 运用诱导公式化简求值【解析】分别对充分性和必要性进行判断，对于不能推出的情况举一个反例就可以． 【解答】4a >43⇔a >b充分性：取a =0,b =−1，但是04≤(−1)4，即不能推出a 4>b 4，所以充分性不满足； 必要性：取a =−1,b =0，符合a 4>b 4，但是4−1<4∘，即不能推出4a >4”，必要性不满足．综上：“4a >4y ”是a 4>b 4”的既非充分又非必要条件 故选：D 【答案】 C【考点】 函数的求值 求函数的值运用诱导公式化简求值【解析】由题意求得b 、c 的值，可得函数f (x )的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于》的方程f (x )=x 的解的个数． 【解答】解：由f (−4)=f (0)得16−4b +c =c ，① 由f (−2)=−2得4−2b +c =−2，③ 由①②得b =4c =2所以f (x )={x 2+4x +2(x ≤0),2(x >0),当x ≤0时，由f (x )=x 得方程x 2+4x +2=x ，解得x 1=−1x 2=−2 当x >0时，由f (x )=x 得x =2 故方程共有3个解． 故选：C 五、解答题【答案】【答a =1时，f (x )为奇函数；a ≠1时，f (x )为非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论a =1和a ≠1时利用定义判断． 【解答】由题可得24−a ≠0当a =1时，x ≠0，即f (x )的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称， f (−x )=2−x +12−x −1=1+2x1−2x =−f (x )f (x )为奇函数，当a ≠1时，f (x )的定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数． 【答案】加加加)0,1]][4,+∞)【考点】命题的真假判断与应用 奇偶性与单调性的综合 复合命题及其真假判断【解析】通过两个命题求出α的范围，然后通过当？真4假时，当Р假♀真时即可求解 【解答】若？为真命题，则a −1>0，解得a >1 若♀为真命题，则{a >0√a <2，解得0<a <4因为命题？和命题4只有一个为真命题，所以a ∈(0,1]∪[4,+∞) 【答案】（1）增函数，证明见解析； （2）(2,+∞)）． 【考点】函数单调性的判断与证明 奇偶性与单调性的综合 函数单调性的性质【解析】（1）任取对、x 2∈(0,+x )且x 1>x 2，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数f (x )在(0,+x )上的单调性；（2）由已知条件可得出f (x )>f (2)，结合（1）中的结论可解原不等式． 【解答】（1）任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1>x 2，即x 1>x 2>0f (x 1)−f (x 2)=(x 12−2x 1−3)−(x 22−2x 1−3)=(x 12−x 22)+(2x 2−2x 1) =(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2+2x 1x 2)因为x 1>x 2>0，则x 1−x 2>0,x 1+x 2+2x 1x 2>0f (x 1)−f (x 2)>0所以函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数；（2）由（1）可知函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f (2)=0因此由f (x )>0=f (2)可得x >2因此，不等式f (x )>0的解集为(2,+∞) 【答案】（1）y =16−4x+1−x (0≤x ≥a )；（2）当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元 ；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元． 【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型 概率的应用【解析】（1）根据产品的利润三销售额一产品的成本建立函数关系； （2）利用导数可求出该函数的最值． 【解答】（1）由题意知，y =(4+20p)p −x −(10+2p )将p =3−2x+1代入化简得：y =16−4x+1−x (0≤x ≥a ) （2）y ′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x 2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2(i)当a ≥1时，①当x ∈(0,1)时，y >0，所以函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，②当x ∈(1,a )时，y <0，所以函数y =16−4x+1−x 在(1,a )上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；(ii)当a <1时，因为函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增， 所以在[0,a ]上单调递增，故当x =a 时，函数有最大值，即促销费用投入ａ万元时，厂家的利润最大综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元； 当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【答案】（1）是，理由见解析； （2）(1,+∞)； （3）(4,2)【考点】奇偶性与单调性的综合函数解析式的求解及常用方法 函数恒成立问题【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到f (x 0)=0，求出x 0，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在0<x 0<1，使m ⋅(2x −1)=4x 3，利用换元法，结合指数函数的性质 ，即可求出结果；（3）先由题意，得到f (1)=k (t −2)+1，推出t =3−4k ，结合题中条件，即可得出结果．【解答】（1）由“平均值函数”的定义， 存在0∈(−1,1)，满足f (0)=0=f (1)−f (−1)1−(−1)因此f (x )=x 4是区间[−1,1]上的“平均值函数”．（2）若函数g (x )=m ⋅2x −1是区间[0,1]上的“平均值函数”， 则存在x ∈(0,1)，满足m ⋅2x −1=g (1)−g (0)1−0=m即关于》的方程m ⋅24−1=m 在区间(0,1)内有解．参变分离，将方程转化为m =12x −1,x ∈(0,1)函数y =12x −1,x ∈(0,1)的值域为(1,+∞) 因此m ∈(1,+∞)（3）若函数ℎ(x )=kx 2+x −4(k ≥1,k ∈N )是区间[−2,1],t ∈Nt ∈N)上的“平均 值函数”，且1是函数ℎ(x )的一个均值点， 则ℎ(1)=ℎ(t )−ℎ(−2)t−(−2) 即k −3=k+t 2+t−4−(4k−6)t+2=k (t −2)+1得到k =43−t ，其中k ≥1,k ∈N,t,t ∈N 满足条件的解为{k =4t =2即所有满足条件的有序数对(k,t )为(4,2)。
2020-2021学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 ．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 ．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 ． 4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 ．5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 ． 6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 ．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 ． 8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = ． 9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 ． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ．11．（5分）若函数22()(0)1x x a f x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围． 21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 (2,4) ．【解答】解：由函数2()(2)f x log x +-，可得4020x x ->⎧⎨->⎩，求得24x <<， 可得定义域为(2,4)， 故答案为：(2,4)．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 (1,0)- ． 【解答】解：2233(1)(31)x x ->+，22(1)(31)x x ∴->+，2221961x x x x ∴-+>++， 2880x x ∴+<，即8(1)0x x +<，解得：10x -<<， 故答案为：(1,0)-．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 123y =⨯13x -，[0x ∈，4] ．【解答】解：函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]，所以函数的值域为[0，4]，312y x +=，可得123x =⨯13y -，所以函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．故答案为：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 2x = ． 【解答】解：222222(1)&1()||log (1)log ()1&1log x f x x x log x x log x --==-+=-=，即22x x -=，且1x >，解得2x =．故答案为：2x =． 5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 (0,)+∞ ． 【解答】解：设120x x >>， 则1212121212()()()11(1)(1)ax ax a x x f x f x x x x x --=-=++++， 若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数， 则121212()()()0(1)(1)a x x f x f x x x --=>++，110x +>，210x +>，120x x ->，0a ∴>，故答案为：(0,)+∞．6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 (1,2) ． 【解答】解设41y x=+，2log y x =， 则41y x=+在(0,)+∞上为减函数，2log y x =在(0,)+∞上为增函数， 当4x =时，41112y x=+=+=，2log 42y ==，此时两个函数值相等， 当04x <时，24log 1x x+，此时2()log (f x x =∈-∞，2]， 当4x >时，24log 1x x >+，此时4()1(1,2)f x x =+∈，即函数22,(0.4]4()1,41,(4,)log x x f x min log x x x x∈⎧⎪⎧⎫=+=⎨⎬⎨+∈+∞⎩⎭⎪⎩．若函数()()g x f x =-恰有两个零点， 则()()0g x f x =-=，即()f x =，恰有两个根，作出函数()f x 与y =的图象，由图象知若两个图象有两个不同的交点， 则12<<，故实数的取值范围是(1,2)， 故答案为：(1,2)．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 1(0,)2，(1,2) ．【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图示：，结合图象，函数()f x 在1(0,)2，(1,2)递减，故答案为：1(0,)2，(1,2)．8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212log ． 【解答】解：由题意可知0>，因为函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形， 则()f x m +为偶函数，图象关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， 所以220m m --⋅=，解得212m log =．故答案为：212log ．9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 322m << ． 【解答】解：由1|2|02x x m --<，得1|2|2xxm -<， ∴11222xx xm -<-<， 即112222x x x x m -<<+在区间[0，1]内恒成立， 函数1()22x x f x =-在区间[0，1]内单调递增，()f x ∴的最大值为32； 令1()22x x g x =+，2(12)x t t =， 则1y t t =+在[1，2]上为增函数，由内函数2x t =为增函数，1()22x xg x ∴=+在区间[0，1]内单调递增，()g x 的最小值为2． ∴322m <<． 故答案为：322m <<． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 11[,]83 ．【解答】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，图象关于y 轴对称，令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根， 815b ac a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴158c a b a =⎧⎨=-⎩，由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=， [1x ∈，2]时，2815[3x x -+∈，8]，2111[,]81583a x x ∴=∈-+ 故答案为：11[,]83．11．（5分）若函数22()(0)1x x af x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ．【解答】解：函数222(1)11()1111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++， ①当10a -时，函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，所以()(0)min f x f a ==， 此时函数的值域为[a ，)+∞， 所以1a ；②当10a ->时，1()(1)211a f x x a x -=++-+，当且仅当111a x x -+=+，即1x 时取等号，又(0)f a =，若()f x 的值域为[a ，)+∞10，即2a ， 所以12a <，综上，实数a 的取值范围为(-∞，2]， 故答案为：(-∞，2]．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]【解答】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当0x <时，()3x f x =，有0()1f x <<， ()f x 为奇函数，则当0x >时，有1()0f x -<<，综合可得：1()1f x -<<， 即函数的值域为(1,1)-， 故选：A ．14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【解答】解：将信噪比SN从1000提升至5000时， C 大约增加了222(15000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++ 222500010005001100122100010012lg lg log log lg lg lg log lg --=≈120.2323%3lg -=≈=． 故选：B ．15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<【解答】解：函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e 上为增函数，f （1）110ln a =-+<，f （e ）10lne a e =-+>，可得111a e -<<故选：C ．16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题【解答】解：对于命题S ：“若1q ，则P ”； 当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时，存在0a <，此时22x a x ->，而()f x 单调递减，所以(2)(2)x a x f f -<， 又因为()0f x >恒成立时，则f （a ）0>， 则有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题S 为真命题；对于命题T ：“若2q ，则P ”，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 存在0a >，则0a x >，则f （a ）0>，由于0a >，则22x a x -<，而()f x 严格递增，则(2)(2)x a x f f -<， 故(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题T 也为真命题， 两个命题S ，T 都是真命题； 故选：A ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．【解答】解：（1）函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数， 2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =是奇函数，符合题意， 当5m =时，6()h x x =是偶函数，不符合题意， 所以m 的值为0．（2）由（1）可得()g x x =，令t ，则212t x -=，112x -，0123x ∴-， 03t∴，22111()222t g t t t t -∴=+=-++(03)t，()g t 在[0，1]上单调递增，在[1上单调递减， ()max g t g ∴=（1）1=，又1(0)2g =，112g =>，1()2min g t ∴=，∴函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域为1[2，1]．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，1()2h h =（2）1=，①若112a <，则()h x 在1[2，]a 上单调递减， 可得()h x 的最大值为1()12h =；②若12a <，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()12h ==，所以()h x 的最大值为 1；③若2a >，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()2h =，所以()h x 的最大值为h （a ）2|log |a =， 综上，若122a <，则()h x 的最大值为 1； 若2a >，则()h x 的最大值为2|log |a ； （2）由（1）知 ①当112a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为2(|log |a ，1)， ()f x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为[0，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1)[0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为112a <； ②当12a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为(0,1)，()h x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为2[|log |a ，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1][0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为12a <．综上可得，a 的最大值为2．19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【解答】解：（1）当060x <<时，2211100(50)4005040022y x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，64006400100(1011860)4001460()y x x x x x=-+--=-+． ∴2150400,060264001460(),60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；（2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =-+-=--+，∴当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元；当60x 时，640064001460()146021300y x x x x=-+-=． 当且仅当6400x x=，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元． 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得的利润最大，最大利润为1300万元． 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，1()12xf x =+， 112x y∴+=， 即1121x yy y-=-=，则01y <<， 21log ()yx y-∴=；故()f x 的反函数121()log ()xf x x --=，(0,1)x ∈（2）2111()()12121(22)x x x x y f x f x a a a a --=⋅-=⋅=+⋅+⋅+++， 设22x x y -=+，易知，函数22x x y -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 则当0x =时，22x x y -=+有最小值，最小值为2， ∴当0x =时，()()y f x f x =⋅-有最大值，221112(1)max y a aa ∴==+++；（3）111()()(1)1212x x g x f x f x a a -=--=-+⋅+⋅，令2x t a =⋅，(x ∈-∞，0]，0a >，0t a ∴<．21()2323t h t t t t t--∴==++++，当2a时()h t 在(0，]a 上单调递减，所以2()()32min ah t h a a a -==++对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，且11(0)1112g a a=-++， ∴211132112a a a a a--++++恒成立，02a∴<当a >1()223223g x t --⋅+，令2113113212a a a aa --=++++不恒成立，舍去综上，a 的取值范围是(0．21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()|1|f x x x =-， 当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<， 所以12x <<，当0x =时，()02f x =<恒成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <， 综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 令1x =，解得0a =，所以当0x 时，2()f x x =，显然函数在(0,)+∞单调递增， 当0x <时，2()f x x =-，在(,0)-∞上单调递增， 综上，函数()f x 在x R ∈时单调递增．（3）①当0a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-+⋯+-20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得2a -．②当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数， 所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得6a ． ③当04a <<时，()f x 在[0，2]上不单调，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-20211()()2()max f x f x f x =-，所以2()424a a f =<，f （2）2|2|4a =-<，在[0，2]上，(){()2max af x f =，f （2）}4<，所以当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数，所以122320202021|()()||()()||()()|2()8max f x f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-<， 求实数a 的取值范围(-∞，2][6-⋃，)+∞．。
上海复旦附中2022年高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析
（2）若函数 y 2sin(2x ) 1 的最小正周期为
3
2
（3）函数
y
1 sin2
x
4 cos2
x
的最小值为
9
（4）已知函数 f (x) 2sin(x )( 0) ，在[ , ] 上单调递增，则 (0, 2]
6
63
16．已知集合
A
{x
||
x
1 |
3}，
B
x
|
x 1 x5
0
综上可得所求直线方程为 x 2 y 0或 x y 3 0
故答案为 x 2 y 0或 x y 3 0
【点睛】在求直线方程时，应先选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的方程所适用的条件，由于截距式不能表 示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，分为直线过原 点和不过原点两种情况求解．本题考查直线方程的求法和分类讨论思想方法的运用
3a
b)
解之得
a b
6 8
则 f x x2 2x x2 6x 8 ，满足 f x f 2 x
故 f 3 32 2332 638 15
故答案 ： 15
12、 2，2
为 【解析】根据幂函数所过的点求出 f x 解析式，利用奇偶性和单调性去掉 f 转化为关于 a 的不等式即可求解.
【详解】（1）当直线过原点时，可设直线方程为 y kx ，
∵点 2,1 在直线上，
∴k
1， 2
∴直线方程为 y 1 x ，即 x 2 y 0 2
（2）当直线不过原点时，设直线方程
∵点 2,1 在直线上，
x y 1， aa
为 ∴ 2 1 1， aa
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。