直线与圆的方程公式
圆与直线方程的所有公式
圆与直线方程的所有公式
嘿呀，让我来给你讲讲圆与直线方程的那些公式哈！先来说说圆的标准方程，那就是$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
比如说，有个圆的圆心在(3,4)，半径是 5，那这个圆的方程不就是$(x-3)^2+(y-4)^2=25$嘛！
再说说圆的一般方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。
嘿，就好像每个圆都有自己独特的代码似的！
然后是直线方程呀，点斜式$y-y_1=k(x-x_1)$。
比如说已知直线上一点(2,3)，斜率是 2，那直线方程不就是$y-3=2(x-2)$嘛！
还有斜截式$y=kx+b$，这就好比是直线的一种简洁表达。
两直线平行，它们的斜率相等哦！这就好像两个人走在平行的道路上。
两直线垂直，它们斜率的乘积为-1 呀！哇塞，是不是很神奇呢？咱可得把这些公式都记牢咯，在解决问题的时候就能派上大用场啦！。
与圆相交直线弦长公式
与圆相交直线弦长公式
与圆相交的直线弦长公式可以通过以下步骤推导：
1.设圆的方程为x2+y2=r2，其中r是圆的半径。
2.设直线的方程为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线的截
距。
3.联立圆的方程和直线的方程，得到关于x的二次方
程(k2+1)x2+2kbx+b2−r2=0。
4.由于直线与圆相交，所以二次方程有两个实根，分别对应直线
与圆的两个交点的x坐标。
设这两个实根为x1和x2，则根据韦达定理，有x1+x2=−k2+12kb和x1×x2=k2+1b2−r2。
5.弦长公式可以通过计算两个交点之间的距离得到。
由于交点在
直线上，所以弦长L可以表示为L=1+k2×∣x1−x2∣。
6.将x1+x2和x1×x2代入弦长公式，得到L=1+k2×(x1+x2)2−4x1×x2。
7.进一步化简，得到L=1+k2×(−k2+12kb)2−4×k2+1b2−r2。
8.最终化简得到L=∣k2+1∣2r1+k2r2−b2。
这就是与圆相交的直线弦长公式。
其中，r是圆的半径，k是直线的斜率，b是直线的截距。
需要注意的是，这个公式只适用于直线与圆相交的情况，如果直线与圆相切或完全在圆内，则需要使用其他方法计算弦长。
直线与圆相切求直线方程公式
直线与圆相切求直线方程公式
直线与圆相切求直线方程公式:
根据已知条件，求直线与圆R（x-a）＾2＋（y-b）＾2＝r＾2相切的直线方程的方法：
1.已知直线斜率k：设直线方程为y＝kx＋m，利用圆心到直线的距离等于圆半径，即Ⅰak-b＋mI／√（k＾2＋1）＝r，求得m的两个值，得到两条切线方程。
2.已知直线过圆外一点P（m，n）：没直线方程为y＝k（x-m）＋n，用同样上述方法得到关于k的方程。
若m＝a±r，则有一条切线方程为x＝a±m，解方程求得另一条切线的斜率。
若m≠a±m，则求得两个k值，得到两条切线方程。
3.已知切点A（m，n）：若x＝a±r，则切线方程为x＝a±r。
若x≠a±r，利用切线与直线RA垂直，得到切线的斜率为直线RA的负倒数，即k＝-（m-a）／（n-b），由此得到切线方程。
直线与圆的方程
直线与圆的方程直线与圆是几何学中的基本概念，在解决几何问题时经常需要用到它们的方程。
本文将介绍直线与圆的方程的基本形式和求解方法，并通过实例加深理解。
一、直线的方程直线的方程可以使用点斜式、斜截式和两点式来表示。
下面逐一介绍这三种形式的方程表示方法。
1. 点斜式方程点斜式方程形式为 y-y₁=m(x-x₁)，其中 (x₁,y₁) 是直线上的某一点，m 是直线的斜率。
通过已知点和斜率，可以轻松写出点斜式方程。
例如，如果已知直线过点 (2,3)，斜率为 2/3，则点斜式方程为 y-3=(2/3)(x-2)。
2. 斜截式方程斜截式方程形式为 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线与 y轴的截距。
通过已知斜率和截距，可以得到斜截式方程。
例如，如果已知直线斜率为 -1/2，截距为 2，则斜截式方程为 y=(-1/2)x+2。
3. 两点式方程两点式方程形式为 (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)，其中 (x₁,y₁)和 (x₂,y₂) 是直线上的两个不同点。
通过已知两个点，可以计算出两点式方程。
例如，已知直线经过点 (1,3) 和 (4,7)，则两点式方程为 (y-3)/(7-3)=(x-1)/(4-1)。
二、圆的方程圆的方程可以使用标准式和一般式来表示。
下面逐一介绍这两种形式的方程表示方法。
1. 标准式方程标准式方程形式为 (x-h)²+(y-k)²=r²，其中 (h,k) 是圆心坐标，r 是半径。
通过已知圆心和半径，可以直接写出标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则标准式方程为 (x-2)²+(y+3)²=25。
2. 一般式方程一般式方程形式为 x²+y²+Ax+By+C=0，其中 A、B、C 是常数。
通过已知圆心和半径，可以将一般式方程转化为标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则一般式方程为 x²+y²-4x+6y+20=0。
经过一点与圆相交的直线方程
经过一点与圆相交的直线方程
我们要找出一个经过某一点并且与圆相交的直线方程。
假设这个圆的方程是(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b) 是圆心，r 是半径。
假设这个经过的点是(x0, y0)。
直线与圆相交，意味着直线不会穿过圆心，也就是说直线与圆心的距离大于圆的半径。
直线的一般方程是y = mx + c，其中m 是斜率，c 是截距。
因为直线经过点(x0, y0)，所以我们可以得到方程y0 = mx0 + c。
另外，直线与圆心的距离公式是：
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)，其中A = -m, B = 1, C = -c。
因为直线与圆相交，所以d > r。
现在我们要来解这个方程组，找出m 和c 的值。
当x0 = 1, y0 = 2, a = 0, b = 0, r = 1 时，
直线方程y = mx + c 中的斜率m 可以是：-sqrt(Abs(c)**2 - 1)（这只是其中一个可能的解，因为直线有无数条）
所以，经过点(1, 2) 并且与圆相交的直线方程可以是y = -sqrt(Abs(c)**2 - 1)x + c，其中c 是任意常数。
求直线与圆的交点坐标。
求直线与圆的交点坐标。
原题目：求直线与圆的交点坐标
问题描述
给定一条直线和一个圆，请求出它们的交点坐标。
解决方案
要求出直线和圆的交点坐标，我们可以先将直线和圆的方程表
示出来，然后解方程得到交点的坐标。
1. 直线的方程表示：设直线的方程为 Ax + By + C = 0，其中 A、
B、C 为常数，(x, y) 为直线上的任意一点。
根据直线的斜率和截距，我们可以求得直线的方程。
2. 圆的方程表示：设圆的方程为 (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，其
中 (p, q) 为圆心坐标，r 为半径。
3. 解方程求交点坐标：将直线的方程代入圆的方程中，得到一
个关于 x 和 y 的二元二次方程，解这个方程可以得到交点的坐标。
4. 特殊情况处理：如果直线与圆没有交点或者直线与圆为切点，则交点个数为 0。
示例
假设直线的方程为 2x - 3y + 4 = 0，圆的方程为 (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2。
将直线的方程代入圆的方程中：
(2x - 3y + 4)^2 + (y - 2)^2 = 3^2
展开并化简上述方程：
4x^2 - 12xy + 9y^2 - 8x + 12y - 4 = 0
这是一个关于 x 和 y 的二元二次方程，我们可以解这个方程来
得到交点的坐标。
总结
通过解方程，我们可以求出直线与圆的交点坐标。
需要注意的是，如果直线与圆没有交点或者直线与圆为切点，则交点个数为0。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。
在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。
2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。
3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。
4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。
5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。
二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。
在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。
2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。
3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。
4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。
5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。
圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
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第三章 直线与方程
3、1直线的倾斜角与斜率 ３、1倾斜角与斜率
１、直线的倾斜角的概念:当直线l 与ｘ轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线ｌ与ｘ轴平行或重合时, 规定α＝ 0°. 2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 9０°. 3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠９０°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母ｋ表示,也就就是 k = tan α
⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=０°, k = ta ｎ0°=0; ⑵当直线l 与ｘ轴垂直时, α= ９0°, k 不存在、
由此可知, 一条直线ｌ的倾斜角α一定存在,但就是斜率ｋ不一定存在. 4、 直线的斜率公式:
给定两点Ｐ１(x １,y １),P2(ｘ2,y ２),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: ｋ=ｙ２-y1/x2－x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
１、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它
们平行,即
注意: 上面的等价就是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1＝k2, 那么一定有L1∥Ｌ2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即:12121l l k k ⊥⇔=- 3．2．1 直线的点斜式方程
１、 直线的点斜式方程:直线l 经过点),(000
y x P ,且斜率为k )(00x x k y y -=-
2、、直线的斜截式方程:已知直线l 的斜率为k ,且与
y 轴的交点为),0(b
b kx y +=
3．2．2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠
y －y １
/y-y2＝ｘ-ｘ1/x －x2
２、直线的截距式方程:已知直线l 与
x 轴的交点为
A
)0,(a ,与y 轴的交点为
B
),0(b ,其中
0,0≠≠b a
３.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax (A,B 不同时为０)
2、各种直线方程之间的互化。
3、3直线的交点坐标与距离公式
12PP =
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标L 1 :3x ＋4ｙ-2＝0 L 1:2x ＋y +２=０ 解方程组
3420
2220x y x y +-=⎧⎨
++=⎩
得 ｘ=-２,y=2所以L1与L2的交点坐标为M(－２,２)
3.3.2
两点间距离:
3.3.3
点到直线的距离公式
1、点到直线距离公式: 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l
的距离为:2
2
00B
A C
By Ax d +++=
2、两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线1l 与2l 的一般式方程为
1l :01=++C By Ax ,2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
第四章
圆与方程
4.1.１ 圆的标准方程
1、圆的标准方程:2
22()
()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为ｒ的圆的方程
2、点00(,)M x y 与圆2
22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:
(１)2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外 (2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上
(3)220
0()()x a y b -+-<2r ,点在圆内
4．1．2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:02
2
=++++F Ey Dx y x ２、圆的一般方程的特点:
(１)①ｘ２与y2的系数相同,不等于0. ②没有xy 这样的二次项、
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它就是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.２.1 圆与圆的位置关系
１、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线l :0=++c by ax ,圆C :02
2
=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2
,2(E
D --到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当r d >时,直线l 与圆C 相离;(2)当r d =时,直线l 与圆C 相切; (3)当r d <时,直线l 与圆C 相交;
4.2.２ 圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(１)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C 相离;(2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切; (3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C 相交;
(4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C 内切;(5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C 内含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; ２、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标与方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
4.3.1空间直角坐标系
１、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ,x 、
y 、z 分别就是Ｐ、Q 、R 在x 、
y 、z 轴上的坐标
2、有序实数组),,(z y x ,对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点Ｍ的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示,该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记M ),,(z y x ,x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点
Ｍ的竖坐标。
4．3．２空间两点间的距离公式
１、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式
2
2122122121)
()()(z z y y x x P P -+-+-=。