7章习题解材料力学课后习题题解解析
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
250
−qx l⎞ ⎛ 9l 3 − 24lx 2 + 16 x 3 ) ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟ ( 384 EJ 2⎠ ⎝ − ql ⎛l ⎞ y2 = −l 3 + 17l 2 x − 24lx 2 + 8 x 3 ) ⎜ ≤ x ≤ l ⎟ ( 384 EJ ⎝2 ⎠
y1 =
41ql 4 ( x = 0.25l ) 1536 EJ 5ql 4 ⎛l⎞ y⎜ ⎟ = − 768EJ ⎝2⎠
习 题 7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI为常量。
7－1 （a） M( x) = M 0
∴ EJy '' = M 0 1 EJy ' = M 0 x + C EJy = M 0 x 2 + Cx + D 2 边界条件: x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
（c）
l−x q0 l q0 1 3 ⎛l−x⎞ M ( x) = − q( x) ( l − x ) ⎜ ⎟ = − ( l − x) 2 6l ⎝ 8 ⎠ q 3 ∴ EJy '' = 0 ( l − x ) 6l q 4 EJy ' = − 0 ( l − x ) + C 24l q 5 EJy = 0 ( l − x ) + Cx + D 120l y = 0 ； y' = 0 边界条件： x = 0 时 q( x) =
）
（c）解：
q0 x l q x2 EJy ''' = 0 + C 2l q0 x3 '' EJy = + Cx + D 6l q x 4 Cx 2 EJy ' = 0 + + Dx + A 24l 2 q0 x5 Cx 3 Dx 2 ' EJy = + + + Ax + B 120l 6 2 ⎧y=0 ⎧y=0 边界条件： x = 0 ⎨ '' x = l ⎨ '' ⎩y = 0 ⎩y = 0 ql D=0 ∴C = − 0 6 7q l 3 A= 0 B=0 360 EJy '''' =
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
材料力学第六版答案解析第07章
(a ) (b) 习题•TT -l7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度 M( x) M 0EJy M 0x 边界条件：x El 为常量。
代入上面方程可求得:y右 M °x 2= E J M0q(l x)221.2 2ql1ql 2x 2 1 . ql xM( x) EJy EJy EJyqlx 边界条件：x 0EJy EJyy C=D=0M 0 1 2 M 0x Cx D2M 0xEJ 01 y B =2EJ=yM 0I 21 -2 1qlqx 2 2 1 1 2 qlx 211 3qlx6时3qx 6 4qx 24y 0Cx DB 二丄ql 3 6EJ y B 二丄 ql 48EJM (x) Pa Px EJy Pa PxEJy PaxPx 2 C 21 2 1 3 EJy -Pax 2 -Px 3 Cx D2 6 边界条件：x 0时丄(丄q|2x 2EJ 4丄qlx 364qx )云)2x !qlx 22 1qx 3) 6(c ) q(x) - - q 。
l 1 M (x) ^q(x)(d)6lEJy 書lEJy_qo_24lq0 . EJy l120l 边界条件：x代入上面方程可求得:y 亠120lEJ 2^°^(10l 3 120lEJq °l 3 24EJCx10l 2 y Bq °l 4 24l q °l 4x 24lEJ5lx 2 x 3)q °l 4 30EJq o l q °l 5 120l5120lEJy '- Pax - Px 2EJ 2代入上面方程可求得：C=D=022y -◎18a 4x 望L9a 2x 0 x a24EJ12EJEJ 2"1 2寸 q((2a) 4ax x 2)11 2 — 23 xEJy 2q(4a x 2 2 ax)C 21 2 2 2 3 4 x 、EJy 2x 3ax 12) C 2x D 2边界条件:x a 时y 1 y 2;12亠 24代入上面方程可求得：C 2 9aD 2qa624q16x 4 128ax 3 384a 2x 2 64a 3 16a 4 aEJ lPax 2 M(x)13a 2qax 0 x a M(X )29 2a 22x ax 2aIIEJy 13a 2q| 2 qaxEJy ；/3a qa^x 1 2、2x )GEJy 1 3a qa( x 4 2 13 x6) Gx D 1边界条件: x 0时 y 0 ；y ' 0B(e)Pa 3 y c c|a3U Pa 22EJ空|a 瞠2EJ 6EJ384 EJ(f)M(X)IM(X)2EMEJy i y B B边界条件: EJy2EJy2EJy2441 qa24 EJ37 qa6 EJ5qa225qa25a225a2X22qax2qax2ax2ax5a22X42qx2qa5C ix 2ai :ax3i .x24C1x Di 时y代入上面方程可求得:q(2a2ax)】ax2) C22i 3ax6时C i =D i =0q(2a2xq(a 2X2)C2X D2边界条件：X9 a3C2 y B67i qa4D2y i y24a；y i y22424 EJI3 qa36 EJ7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角B A和B B,跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI为常量。
章习题参考答案材料力学课后习题题解
C
C
FAC
FCB
FA
FAC BF FA
FCB
FAB
F
FAD FAB
FBD
D (a)
FAD
FBD
D
解 （a）受力分析如图，由C点平衡可知：F’AC=F’CB=0； 由D点平衡可知： F’AD=F’BD=0；再由A点的平衡：
F x=0:F A B=F因此
LAB
FABl EA
Fl EA
（b）受力分析如图， 由C点平衡可知：
1.5m 1m
①
F A
a 2m
② B
解：受力分析如图
FN1
F
FN2
M A
0:
2FN2
Fa
0
A
a
B
FN2
1 2
Fa
2m
M B 0 :F 2 a 2 F N 1 0 ,F N 1 2 2 a F
L1
L2
FN1l1 E1 A1
FN2l2 E2 A2
F 2 - a l1 Fal2
2E1 A1
载[F]。
解：受力分析如图
C
A
Fy 0:
FBC sin60o FBA sin30o 0 (1)
Fx 0:
FBA cos30o FBC cos60o F 0 (2)
o
F60
FBC
o
F60
B
FBA
B
联立（1）和（2）解得：FBC=25kN;FBA=43.3kN。查型钢表 可得：ABC=6.928cm2，
FN
α
pαcos 30o
FN0 4
b
a
sα
pα
bτ α
τ α p α s in 3 0 o F A N 0c o s3 0 o s in 3 0 o 2 0 5 0 1 0 0 34 3 1 7 .3 2 M P a
工程力学材料力学第四版[北京科技大学及东北大学]习题答案解析
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工程力学材料力学（北京科技大学与东北大学）第一章轴向拉伸和压缩1-1:用截面法求下列各杆指定截面的内力解：(a):N1=0，N2=N3=P(b）：N1=N2=2kN(c）：N1=P，N2=2P，N3= -P（d)：N1=—2P，N2=P（e）：N1= —50N，N2= -90N（f)：N1=0.896P，N2=—0。
732P注（轴向拉伸为正，压缩为负）1—2：高炉装料器中的大钟拉杆如图a所示,拉杆下端以连接楔与大钟连接，连接处拉杆的横截面如图b所示;拉杆上端螺纹的内径d=175mm.以知作用于拉杆上的静拉力P=850kN,试计算大钟拉杆的最大静应力。
解：σ1= =35。
3Mpaσ2= =30。
4MPa∴σmax=35。
3Mpa1—3:试计算图a所示钢水包吊杆的最大应力。
以知钢水包及其所盛钢水共重90kN，吊杆的尺寸如图b所示。
解：下端螺孔截面：σ1= =15。
4Mpa上端单螺孔截面：σ2==8。
72MPa上端双螺孔截面:σ3= =9.15Mpa∴σmax=15。
4Mpa1—4：一桅杆起重机如图所示,起重杆AB为一钢管，其外径D=20mm，内径d=18mm;钢绳CB 的横截面面积为0.1cm2。
已知起重量P=2000N，试计算起重机杆和钢丝绳的应力。
解：受力分析得:F1＊sin15=F2＊sin45F1*cos15=P+F2＊sin45∴σAB= =-47。
7MPaσBC==103。
5 MPa1—5：图a所示为一斗式提升机.斗与斗之间用链条连接，链条的计算简图如图b 所示,每个料斗连同物料的总重量P=2000N。
钢链又两层钢板构成，如c所示。
每个链板厚t=4。
5mm，宽h=40mm,H=65mm，钉孔直径d=30mm。
试求链板的最大应力。
解：F=6PS1=h*t=40＊4。
5=180mm2S2=（H-d)＊t=（65-30）＊4。
5=157.5mm2∴σmax==38.1MPa1—6：一长为30cm的钢杆,其受力情况如图所示。
材料力学典型例题及解析7.应力应变状态典型习题解析
应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。
绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。
b = 60 mm ，h = 100 mm 。
解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。
则各点处的应力状态如图示。
2、梁截面惯性矩为点微体上既有正应力又有切应力。
解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z 1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m10500m 1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−z I My σ1点为单向压缩受力状态，所以021==σσ，MPa 1003−=σ2点为纯剪切应力状态，MPa 30Pa 1030m10100602N1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa303−=σ3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−z I My σ弯曲切应力σ14τ2F S =120 kN题图1中性轴324hστ25 mm 31b M =10 kN·mσ3150 mm 1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−zz bI S F τMPa6.8MPa6.58Pa)10522()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622minmax −=×+×±×=+−±+=x y x yx τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。
《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。
材料力学第七章习题选及其解答
7-2. 在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab 上的应力。
应力单位为MPa 。
解：（a ）（1）应力分量oxyyxMPa MPa 30 0 70 70==-==ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPaxyyxxyyxyx6.6060sin 270702cos 2sin 23560cos 27070270702sin 2cos 22=︒+=+-==︒++-=--++=ατασστατασσσσσαα（3）应力圆（b ）（1）应力分量oxyyxMPa MPa 30 0 70 70====ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力a)c)d)b)σ2cos 2sin 270270702sin 2cos 22=+-==+=--++=ατασστατασσσσσααxyxxyxyxMPa（3）应力圆：为一点圆（c ）（1）应力分量oxyyxMPa MPa 60 0 50 100====ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPaxyxxyxyx7.21120sin 2501002cos 2sin 25.62120cos 2501002501002sin 2cos 22=︒-=+-==︒-++=--++=ατασστατασσσσσαα（3）应力圆σσ（d ）（1）应力分量oxyyxMPa MPa 150 0 100 50===-=ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPaxyx xyxyx65300sin 2100502cos 2sin 25.12300cos 2100502100502sin 2cos 22=︒--=+-=-=︒--++-=--++=ατασστατασσσσσαα（3）应力圆7-3. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa 。
试用解析法和应力圆求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解：（e ）（1）应力分量MPa MPa xyyx20 80 0=-==τσσ（2）求主平面位置和主应力大小20e)f)σoooyx xytg 7.7690 3.135.0220=+-=∴-=--=αασσταMPaMPa MPaMPa xyxyx7.84 0 7.47.847.420)280(280)2(23212222minmax-===∴⎩⎨⎧-=+±-=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ（3）主平面位置及主应力方向（4）最大剪应力MPa 7.4427.847.4231max=+=-=σστ（5）应力圆（f ）（1）应力分量MPa MPa MPa xyyx20 30 20==-=τσσ（2）求主平面位置和主应力大小ooo yxxytg 3.10990 3.198.0220=+=∴=--=αασστα1σMPaMPa MPaMPaxyxyx27 0 37273720)23020(23020)2(23212222minmax-===∴⎩⎨⎧-=+--±+-=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ （3）主平面位置及主应力方向（4）最大剪应力MPa 3222737231max=+=-=σστ（5）应力圆7-10. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。
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于是有：
M el A (0) 6 EI M el B (l ) max 3EI 2 l M el y 2 16 EI M elx 3 x 2 0, 1 2 0 6 EI l x 0 ymax 3 l 3 3M e l 2 y x 0 27 EI 9 3EI M el 2
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
l/2
由变形连续条件：
l l EIy1 EIy 2 2 l l EIy1 EIy2 2 2
5 2 1 2 ql l EIy2 ql x qlx x C2 8 2 4 4 5 2 2 1 3 ql l EIy2 ql x qlx x C2 x D2 16 6 12 4
2
4 3
q B C x
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
l x : y1 y2 ; 2 1 2 y1 y2 C1 C2 ; D1 D2
l/2
1 3 1 l qlx 2 ql 2 x q EIy2 x C2 4 8 6 2 1 3 1 l EIy2 qlx 3 ql 2 x 2 q x C2 x D2 12 16 24 2
M =3ql /8 A
2
q B C x
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
l/2
1 3 2 M1 ( x) qlx ql EIy1 2 8 1 2 3 2 qlx ql x C1 EIy1 4 8 1 3 2 2 3 EIy1 qlx ql x C1 x D1 12 16
M =3ql /8 A
2
q B C x
ql/2
BC段：
y
x1 x2 l/2
(b) 2
l/2
1 3 2 1 l M 2 ( x) qlx ql q x EIy2 2 8 2 2 1 2 3 2 1 l qlx ql x q x C2 EIy2l
(a)
B
M e /l
代入得： C M e l , D 0 6
M elx 3x 2 y 1 2 6 EI l M elx x 2 y 1 2 6 EI l
x 0 : y 0; x l : y 0
M elx 3x 2 y 1 2 6 EI l M elx x 2 y 1 2 6 EI l
7.2 试用积分法求图示 各梁 C 截面处的挠度yC 和转角θC 。梁的抗弯 刚度EI为常数。 解：支座反力如图所示 分两段建立挠曲线近似 微分方程并积分。 AB段：
l/2
7.2（b）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。 梁的抗弯刚度EI为常数。
M =5ql /8
A
2
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
ql
l/2
解：支座反力如图所示，分两段建立挠曲线近似微分方程 并积分。
2 5 2 1 2 M =5 ql /8 M 1 ( x) qlx ql qx 8 2 5 ql l A M 2 ( x) qlx ql 2 x 8 2 4 ql 5 1 M 1 ( x) ql 2 qlx qx 2 EIy1 8 2 5 2 1 2 1 3 EIy1 ql x qlx qx C1 8 2 6 5 1 1 EIy1 ql 2 x 2 qlx3 qx 4 C1 x D1 16 6 24 5 ql l M 2 ( x) ql 2 qlx EIy2 x 8 2 4
3
2
解得：
1 C1 0; C2 ql 3 192 1 D1 0; D2 ql 4 768
C1 0; C2
1 ql 3 192 1 D1 0; D2 ql 4 768
1 2 3 2 1 l EIy2 qlx ql x q x C2 4 8 6 2 1 3 2 2 1 l 3 EIy2 qlx ql x q x C2 x D2 12 16 24 2 由连续性条件：
M =3ql /8 A
7.1 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程、转角方程、最大 挠度和最大转角。梁的抗弯刚度EI为常数。 解：支座反力如图 Me
Me M ( x) x l Me EIy M ( x) x l Me 2 EIy x C 2l Me 3 EIy x Cx D 6l
3
1 3 2 2 1 l 3 EIy2 qlx ql x q x C2 x D2 12 16 24 2
4
1 2 3 2 qlx ql x C1 4 8 1 3 EIy1 qlx 3 ql 2 x 2 C1 x D1 12 16 EIy1
4
3
代入边界条件：
M =3ql /8 A
2
q B C x
x 0, y 0, y 0 C1 C2 0; D 1 D2 0
(l ) C y2 7 ql 3 48 EI 41 yC y2 (l ) ql 4 384 EI
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)