多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题
第06讲 多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)(原卷版)

第06讲多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)1.掌握多边形和正多边形的定义;2.掌握多边形的角平分线的规律;3.掌握圆的相关计算问题.知识点01 多边形三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形,它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.【说明】(1)内角:多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.(2)外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.(3)连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.(4)各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形,所以正多边形同时具有各边相等,各角相等的性质.知识点02 多边形的对角线知识点03 圆(1)圆上任意两点 A ,B 间的部分叫做圆弧,简称弧,记作 AB̂,读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”;(2)圆的周长公式:r C π2=;圆的面积公式:2r S π=.题型01 多边形的概念与分类【典例1】(2023秋·全国·八年级专题练习)下列图形中,不是多边形的是( ) A .B .C .D .【变式1】(2023春·全国·八年级专题练习)如图所示的图形中,属于多边形的有( )A .3个B .4个C .5个D .6个【变式2】(2023春·七年级单元测试)下列判断:(1)各边长相等的多边形是正多边形;(2)各角都相等的多边形是正多边形;(3)等边三角形是正多边形:(4)长方形是正多边形.其中正确的有( ) A .1个 B .2个C .3个D .4个题型02 多边形对角线的条数问题【典例2】(2023秋·八年级课时练习)已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线(不是一共有2023条对角线),则这个多边形的边数是( ) A .2023B .2024C .2025D .2026【变式1】(2023春·山东淄博·六年级统考期中)从五边形的一个顶点出发,可以画出m 条对角线,它们将五边形分成n 个三角形,则n m 的值为( ) A .9B .8C .6D .5【变式2】(2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测)多边形的对角线共有20条,则下列方程可以求出多边形边数的是( ) A .()220n n -= B .()240n n -=C .()320n n -=D .()340n n -=题型03 对角线分成三角形个数问题题型04 用七巧板拼图形【典例4】(2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试)用边长为1dm 的正方形纸板,制成一副七巧板,将它拼成“小天鹅”图案,其中阴影部分的面积是( )2dm .1315【变式2】(2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习)七巧板被西方人称为“东方魔术”,如图所示的两幅图是题型05平面镶嵌【典例5】(2023春·广东佛山·八年级校考期末)在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中,能单独镶嵌平面的有()种图形.A.1B.2C.3D.4【变式1】(2023秋·全国·八年级专题练习)小明家住黄山市,小明的爸爸刚在市区买了一套住房,带着小明去选地砖准备装修,看着满目美丽的正三角形,正方形、正六边形、正八边形地砖,不知道选哪种好,但是爸爸告诉小明:有一种地砖是不能单独铺满地面的,必须与另外一种形状的地砖混合使用,让小明指出这种地砖,小明略加思考便选出来了,小明选择的地砖的形状是( ) A .正三角形B .正方形C .正八边形D .正六边形【变式2】(2020秋·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习)如图,张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案,这四种瓷砖图案中,不能铺满地面的是( )A .B .C .D .题型06 圆的周长和面积问题【典例6】(2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图,一块四边形绿化园地,四角都做有半径为R 的圆形喷水池,则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为( )A .22R πB .24R πC .2R πD .不能确定【变式1】(2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试)滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力,可以提高四肢活动能力.如图,直径为4分米的铁环从原点O 沿数轴滚动一周(无滑动)到达点O ',则OO '= 分米.【变式2】(2023·浙江·九年级假期作业)如图,大蚂蚁沿着大圆爬一圈,小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈.谁爬的路程长?请通过计算说明.一、单选题1.(2023秋·全国·八年级专题练习)五边形经过一个顶点可以引( )条对角线. A .0B .1C .2D .32.(2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习)已知,一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍,则这个多边形的边数是( ) A .5B .9C .8D .63.(2023春·河南南阳·七年级统考期末)有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌,则不能铺满地面的是( )A .①②④B .①②C .①④D .②③4.(2023秋·河南南阳·七年级校联考期末)七巧板被西方人称为“东方魔板”.如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的.已知七巧板拼成的正方形的边长为4cm ,则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为( )A .28cmB .24cmC .22cmD .21cm5.(2023秋·重庆巫溪·八年级统考期末)我们学习多边形后,发现凸多边形的对角线有一定的规律,①中的四边形共有2条对角线,②中的五边形共有5条对角线,③中的六边形共有9条对角线,…,请你计算凸十边形对角线的总条数( )A .54B .44C .35D .27二、填空题6.(2023春·山东济南·六年级统考期末)若从n边形的一个顶点出发,最多可以引5条对角线,则n .7.(2023秋·山西临汾·七年级山西省临汾市第三中学校校考期末)从十二边形的一个顶点出发,连结这个顶点与其余各顶点,可分割成个三角形.8.(2023春·七年级课时练习)用三个正多边形镶嵌,已知其中两个的边数均为5,则第三个正多边形的边数为.9.(2023春·山东泰安·六年级统考期中)过某个多边形的一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成2023个三角形,则这个多边形的边数为.10.(2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试)如图,从A地到B地有两条路可走,一条路是大半圆,另一条路是4个小半圆.有一天,一只猫和一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半圆行走,它不敢与猫同行(怕被猫吃掉),就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同,那么先到达B地三、解答题11.(2023春·上海·八年级专题练习)从一个多边形一边上的一点(不是顶点)出发,分别连接这个点与各个顶点,可以把这个多边形分割成若干个三角形,请你观察下图,并完成后面的填空.当多边形的边数是4时,可以把多边形分割成_______个三角形;当多边形的边数是5时,可以把多边形分割成_______个三角形;当多边形的边数是6时,可以把多边形分割成_______个三角形;……你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗?,,,,12.(2023秋·全国·八年级课堂例题)(1)如图①,O为四边形ABCD内一点,连接OA OB OC OD可以得到几个三角形?它与边数有何关系?,,,可以得到几个三角(2)如图②,点O在五边形ABCDE的边AB上(不与端点重合),连接OC OD OE形?它与边数有何关系?(3)如图③,过点A作六边形ABCDEF的对角线,可以得到几个三角形?它与边数有何关系?n ,且n为整数)边形,上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形?(4)若是任意一个n(413.(2023春·广西百色·八年级统考期末)观察探究及应用;(1)观察下列图形并完成填空.如图①一个四边形有2条对角线;如图②一个五边形有5条对角线;如图③一个六边形有______条对角线;如图④一个七边形有______条对角线;(2)分析探究:由凸n边形的一个顶点出发,可做______条对角线,一个凸n边形有______条对角线;(3)应用:一个凸十二边形有______条对角线.14.(2023秋·江西九江·七年级统考期末)探究归纳题:(1)试验分析:如图1,经过A点可以作1条对角线;同样,经过B点可以作1条对角线;经过C点可以作1条对角线;经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结,图1共有________条对角线;(2)拓展延伸:运用(1)的分析方法,可得:图2共有________条对角线;图3共有________条对角线;(3)探索归纳:对于n边形(n>3),共有________条对角线;(用含n的式子表示)(4)特例验证:十边形有________对角线.。
(最新)多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题

多边形和圆的初步认识知识讲解
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1.定义:多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中,各边相等、各角也相等的多边形叫
做正多边形.如下图:
要点诠释:
正多边形必须同时满足“各边相等”,“各角相等”两个条件,二者缺一不可;
2.相关概念:
顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
内角:多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角(可简称为多边形的角),一个n边形有n个内角.
外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形
的外角.
对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的
对角线.
要点诠释:
(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n 边形对角线的条数为(3)2
n n .(2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把
n 边形分成(n-2)个三角形.
类型一、多边形及正多边形1.如图,(1)从正六边形的顶点A 出发,可以画出
条对角线,分别用字母表示出来为
;(2)这些对角线把六边形分割成
个三角形.
【思路点拨】画出对角线,并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.
【答案】(1)3,线段AC 、线段AD 、线段AE ;(2)4.E
A B C F
D。
最新正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习(1)

个性化辅导教案学生姓名: 授课教师: 所授科目:学生年级: 上课时间: 2016 年 月 日 时 分至 时 分 共 小时教学标题 正多边形和圆教学重难点知识梳理:1、正多边形:各边相等,各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆:一个正多边形的各个顶点都在圆上,我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正n 边形每一个内角的度数为:()2180n n-⨯︒正n 边形的一个中心角的度数为:360n︒正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角和相等,都是180°。
4、圆内接正n 边形的性质(n ≥3,且为自然数):(1) 当n 为奇数时,圆内接正n 边形是轴对称图形,有n 条对称轴;但不是中心对称图形。
(2) 当n 为偶数时,圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形,对称中心是正多边形的中心,即外接圆的圆心。
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系:(设圆内接正多边形的半径为r ,边心距为d) (1)圆内接正三角形:1d 2r=(2)圆内接正四边形:2d 2r = (3)圆内接正六边形:3d 2r = 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系:(1)圆内接正三角形:3x r = (2)圆内接正四边形:x 2r=(3)圆内接正六边形:x=r 7、正多边形的画法:画正多边形一般与等分圆正多边形周有关,要做半径为R 的正n 边形,只要把半径为R 的圆n 等分,然后顺次连接各点即可。
(1)用量角器等分圆周。
(2)用尺规等分圆(适用于特殊的正n 边形)。
8、定理1:把圆分成n(n ≥3)等份:(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形;(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
正多边形和圆的经典例题

正多边形和圆的经典例题1. 前言嘿,大家好!今天咱们聊聊正多边形和圆的那些事儿。
别紧张,听我慢慢道来,这绝对不是枯燥的数学课,而是一次轻松有趣的数学旅行。
你可能会问,正多边形是什么?那就是像正方形、正六边形那样,边和角都一模一样的形状。
而圆呢,它就像咱们喝水时看到的杯子底部,圆滑得让人觉得舒服。
接下来,我们来探讨一下这些形状之间的关系,还有一些有趣的例子,让你在不知不觉中get到这些知识!2. 正多边形的特点2.1 边和角的对称正多边形最大的特点,就是它的边和角都超级对称,简直像个模特儿站在那儿,姿态优雅!比如,想象一下一个正六边形,就像是蜜蜂的蜂巢,六个边都是相等的,角度也是60度,完全没有一个角敢突出自己,真是团结的好榜样!这就是为什么很多建筑和设计师喜欢用它,显得大方又美观。
2.2 周长和面积的计算再说说正多边形的周长和面积,简单得不要不要的!你只需知道每条边的长度,就可以轻松算出周长,公式就是边长乘以边的数量。
至于面积嘛,正六边形的面积就有点小复杂,不过只需用边长乘以边数,然后再乘以一个常数,记得把它除以2就好。
是不是简单?看吧,数学其实也可以很轻松嘛!3. 圆的魅力3.1 圆的周长和面积说到圆,咱们就不得不提它的周长和面积了。
圆的周长可得靠π(pi)来帮忙,公式是2πr,r是半径。
想象一下,一个大披萨,切下来一片,边缘那一圈就是周长。
而面积呢,则是πr²,听起来高深,其实只要记住这两个公式,就能在朋友面前装得很厉害了!不仅可以计算圆形的游泳池,还能算算自家花园的面积,绝对是个实用的小技能。
3.2 圆和正多边形的关系有趣的是,正多边形和圆之间的关系就像是两位老朋友。
圆的形状是完美的,而正多边形可以通过不断增加边的数量,逐渐接近圆形。
比如,八边形就比六边形更接近圆,十六边形又比八边形更接近,直到你加到无数个边,哦,那简直就是一个圆啊!这种不断变化的过程就像人生,有时候需要不断调整,才能找到最适合自己的方式。
初一数学-第二十二讲 多边形和圆的认识

第二十二讲 多边形和圆的认识【知识要点】一、基本概念:①多边形:由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫多边形. 各边相等,各角也相等的多边形叫多边形叫正多边形.②对角线:在多边形中,连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.③圆:平面上,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点形成的图形叫做 圆.固定的端点O 称为圆心,OA 称为半径.④圆弧:任意圆上两点A 、B 间的部分叫做圆弧,简称弧; 扇形:弧AB 和半径OA 、OB 所组成的图形叫做扇形; 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 二、基本性质:①多边形的一个顶点共有(n-3)条对角线,多边形共有2)3(nn 条对角线. ②一个顶点的对角线把该多边形分割成(n-2)个三角形;【经典例题】【例1】如图,某数学兴趣小组的同学在研究多边形时,从多边形的一个顶点出发,分别连接与其不相邻的各顶点,把这个多边形分割成若干个三角形:根据你发现的规律,填写下表,思考:n 边形共有_____________条对角线.【例2】①若n边形恰好有n条对角线,则n为()②如图所示,将多边形分割成三角形,图(1)中可分割出2个三角形;图(2)中可分割出3个三角形;图(3)中可分割出4个三角形……由此你能猜测出,n边形可以分割出个三角形.……【例3】半径为3的圆中,扇形的圆心角为240°,求这个扇形的面积.【例4】如图,已知扇形的半径为3cm,圆心角的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥,求围成的圆锥的底面半径及圆锥的侧面积.【例5】如图,图中小正方形ABCD的边长为1,现在依次以A、B、C、D为圆心,以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形,求阴影部分的周长与面积.【初试锋芒】1.如图,从A地到B地有两条路可走,一条路是大半圆,另一条路是4个小半圆.有一天,一只猫和一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半圆行走,它不敢与猫同行(怕被猫吃掉),就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同,那么下列结论正确的是()2.下列说法中,结论错误的是()3.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角,剩下的部分是一个四边形,则这张纸片原来的形状不可能是()4.从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是()6.已知一个圆,任意画出它的三条半径,能得到()个扇形.A.4 B.5 C.6 D.87.从一个多边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,分割得到2015个三角形,则这个多边形的边数为()A.2013 B.2015 C.2017 D.20188.从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将六边形分成n个三角形.则m、n的值分别为()A.4,3 B.3,3 C.3,4 D.4,49.四边形没有稳定性,当四边形形状改变时,发生变化的是()10.正八边形的顶点数是______,边数是_______,内角个数有_______个,对角线共有______条.n边形有_______个顶点,_________条边,_________个内角. n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割________个三角形. 过n边形的每一个顶点有________条对角线,n边形总共条对角线.11.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是边形.12.(1)若将n边形内部任意取一点P,将P与各顶点连接起来,则可将多边形分割成个三角形.(2)若点P取在多边形的一条边上(不是顶点),在将P与n边形各顶点连接起来,则可将多边形分割成个三角形.【大展身手】1.将一个圆分割成四个扇形,其中a、b、c三个扇形的圆心角度数的比为1:2:3,第四个扇形d圆心角度数比a扇形大30°.求这四个扇形的圆心角的度数.10cm.求扇形AOB所在的圆的面积.2.已知扇形AOB的圆心角为150°,其面积为2300平方厘米.3.如图,已知扇形PAB的圆心角为120°,面积为①求扇形的弧长.②若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径是多少?4.如图,等边△ABC的边长是1,现依次以A,C,B为圆心,以AB,CD,BE为半径画扇形,求阴影部分的面积.【挑战脑细胞】已知正n边形的周长为60,边长为a.(1)当n=3时,请直接写出a的值;(2)把正n边形的周长与边数同时增加7后,假设得到的仍是正多边形,它的边数为n+7,周长为67,边长为b.有人分别取n等于3,20,120,再求出相应的a与b,然后断言:“无论n取任何大于2的正整数,a与b一定不相等.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出不符合这一说法的n的值.。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、(2022•长春)跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图,它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成,它们重叠部分的图形为正六边形.若AB=27厘米,则这个正六边形的周长为厘米.【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可.【解答】解:由图象的对称性可得,AM=MN=BN=AB=9(厘米),∴正六边形的周长为9×6=54(厘米),故答案为:54.2、(2022•营口)如图,在正六边形ABCDEF中,连接AC,CF,则∠ACF=度.【分析】设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角为120°,在△ABC中,根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC=30°,从而∠CAF=∠BAF﹣∠BAC=120°﹣30°=90°,过点B作BM⊥AC于点M,根据含30°的直角三角形的性质求出BM,根据勾股定理求出AM,进而得到AC的长,根据tan∠ACF===即可得出∠ACF=30°.【解答】解:设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角=(6﹣2)×180°÷6=120°,∵AB=BC,∠B=120°,∴∠BAC=∠BCA=×(180°﹣120°)=30°,∵∠BAF=120°,∴∠CAF=∠BAF﹣∠BAC=120°﹣30°=90°,如图,过点B作BM⊥AC于点M,则AM=CM(等腰三角形三线合一),∵∠BMA=90°,∠BAM=30°,∴BM=AB=,∴AM===,∴AC=2AM=,∵tan∠ACF===,∴∠ACF=30°,故答案为:30.3、(2022•呼和浩特)如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为(用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为.【分析】先求出正五边形的内角的度数,根据扇形面积的计算方法进行计算即可;扇形的弧长等于圆锥的底面周长,可求出底面直径.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BCD==108°,∴S扇形==;又∵弧BD的长为=,即圆锥底面周长为,∴圆锥底面直径为,故答案为:;.4、(2022•绥化)如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O,且有公共顶点A,则∠BOH的度数为度.【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH,即可得出∠BOH的度数.【解答】解:如图,连接OA,正六边形的中心角为∠AOB=360°÷6=60°,正五边形的中心角为∠AOH=360°÷5=72°,∴∠BOH=∠AOH﹣∠AOB=72°﹣60°=12°.故答案为:12.5、(2022•梧州)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正四边形,分别以点A,O为圆心,取大1OA的定长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交⊙O于点E,F.若OA 于2=1,则BE⌒,AE,AB所围成的阴影部分面积为.【分析】连接OE、OB.由题意可知,∴△AOE为等边三角形,推出S阴影=S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB=S扇形AOB﹣(S扇形AOE﹣S△AOE)﹣S△AOB=S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB,即可求出答案.【解答】解:连接OE、OB,由题意可知,直线MN垂直平分线段OA,∴EA=EO,∵OA=OE,∴△AOE为等边三角形,∴∠AOE=60°,∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形,∴∠AOB=90°,∴∠BOE=30°,∵S弓形AOE=S扇形AOE﹣S△AOE,∴S阴影=S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB=S扇形AOB﹣(S扇形AOE﹣S△AOE)﹣S△AOB=S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB=S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB=+﹣=.故答案为:.6、(2022•宿迁)如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是.【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O,过点M、O作直线l交CD于点N,则直线l 将正六边形的面积平分,直线l被正六边形所截的线段长是MN,连接OF,过点M作MH ⊥OF于点H,连接OA,由正六边形的性质得出AF=AB=6,∠AFO=∠AFE=×=60°,MO=ON,进而得出△OAF是等边三角形,得出OA=OF=AF=6,由AM=2,得出MF=4,由MH⊥OF,得出∠FMH=30°,进而求出FH=2,MH=2,再求出OH=4,利用勾股定理求出OM=2,即可求出MN的长度,即可得出答案.【解答】解:如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,过点M、O作直线l交CD于点N,则直线l将正六边形的面积平分,直线l被正六边形所截的线段长是MN,连接OF,过点M 作MH⊥OF于点H,连接OA,∵六边形ABCDEF是正六边形,AB=6,中心为O,∴AF=AB=6,∠AFO=∠AFE=×=60°,MO=ON,∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴OA=OF=AF=6,∵AM=2,∴MF=AF﹣AM=6﹣2=4,∵MH⊥OF,∴∠FMH=90°﹣60°=30°,∴FH=MF=×4=2,MH===2,∴OH=OF﹣FH=6﹣2=4,∴OM===2,∴NO=OM=2,∴MN=NO+OM=2+2=4,故答案为:4.。
多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题

多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1. 定义:多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中,各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 如下图:D/■人/E C E五边形正六边形要点诠释:正多边形必须同时满足“各边相等”,“各角相等”两个条件,二者缺一不可;2.相关概念:顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边.内角:多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角(可简称为多边形的角),一个n边形有n个内角.夕卜角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.要点诠释:(1) 过n边形的一个顶点可以引(*3)条对角线,n边形对角线的条数为n(n 3).2(2) 过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n- 2)个三角形. 类型一、多边形及正多边形G l.如图,(1)从正六边形的顶点A出发,可以画出___________________ 条对角线,分别用字母表示出来为_____________________ ; ( 2)这些对角线把六边形分割成__________ 个三角形.E D【思路点拨】画出对角线,并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可•【答案】(1) 3,线段AC线段AD线段AE; (2) 4.【总结升华】(1) n边形有n个顶点,n条边,n个内角.(2) 过n边形的每一个顶点有(n -3)条对角线,n边形总共n(n 3)条2 对角线•(3) n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割(n —2)个三角形.举一反三:【变式】(2015春?郑州期末)过多边形某个顶点的所有对角线,将这个多边形分成7个三角形,这个多边形是( )A .八边形B .九边形C.十边形 D .十一边形【答案】B若一个多边形的内角和等于720°则从这个多边形的一个顶点引出对角线条. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°,则这个多边形对角线的条数是( )A. 27B. 35C. 44D. 542.同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题:把正方形纸片截去一个角后,还剩多少角,余下的图形是几边形,亲爱的同学们,你知道吗?【答案与解析】解:这个问题,我们可以用图来说明.按图(1)所示方式去截,不经过点B和D,还剩五个角,即得到一个五边形.按图(2)所示方式去截,经过点D(或点B).不经过点B(或点D),还剩4个角,即得到一个四边形.按图(3)所示方式去截,经过点D、点B,则剩下3个角,即得到三角形.答:余下的图形是五边形或四边形或三角形.【总结升华】一个n边形剪去一个角后,可能是(n+1)边形,也可能是n边形,也可能是(n-1)边形,利用它我们可以解决一些具体问题. 举一反三:【变式】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是(C ).A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1. 圆的定义如图,在一个平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段0A叫做半径.要点诠释:①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2. 扇形(1)圆弧:圆上任意两点A, B间的部分叫做圆弧,简称弧,记作A B,读作“圆弧AB'或“弧AB'.如下图:(2)扇形的定义:如上图,由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA 0B所组成的图形叫做扇形.要点诠释:圆可以分割成若干个扇形.(3)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.如上图,/ AOB是圆的一个圆心角,也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9. (2014?长宁区一模)下列说法中,结论错误的是(B )A .直径相等的两个圆是等圆B .长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D .一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧10. (2015春?张掖校级月考)有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是(B )A. 1B. 2C. 3D. 419. (2015春?定陶县期末)下列说法正确的是(④__________________ )填序号.①半径不等的圆叫做同心圆;②优弧一定大于劣弧;③不同的圆中不可能有相等的弦;④直径是同一个圆中最长的弦03.如图是对称中心为点匚的正六边形.如果用一个含二角的直角三角板的角,借助点O (使角的顶点落在点O处),把这个正六边形的面积兀等分,那么左的所有可能的值是______________________________________________ .根据圆内接正多边形的性质可知,只要把此正六边形再化为正多边形即可,即可知:360- 30=12;【答360-60=6;360-120=3; 360-180=2.故n的所有可能的值是2, 3, 4, 6, 12.04.(2015?丰泽区校级质检)如图,MN为O O的弦,/ M=50 °则/ MON等于________ .【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得/ N的度数,根据三角形的内角和定理可得所求角的度数.【答案】80°【解析】解:T OM=ON ,•••/ N= / M=50 °•••/ MON=180 °-Z M -Z N=80°故答案为80°【总结升华】考查圆的认识;利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点.360- 90=4;类型三、扇形C>5.将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形,分别种植三种 花草,他们的圆心角的度数之比为2: 3: 4,求这三个圆心角的度数, 并尝试求他们的面积,你还能求他们的面积之比吗,你发现了什么 【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念. 【答案与解析】 解:这三个圆心角的度数分别为:ooooo36080 ; 360120 ; 360160 .2342342 3 4圆的面积r 29 ,c 160 ’ 9 —— 4 .360这三个圆心角的面积之比为:2 :3 : 4 2: 发现:扇形的面积之比等于圆心角之比.【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度 数n 与360的比, 即S 扇:S 圆=n : 360,几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形 的圆心角的比..一个扇形圆心角120°,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是16平方厘米.这个扇形的面积为多少?【思路点拨】由题意可知,这个扇形所在的圆的半径 r 就是这个正方 形的边长,即r 2 =边长2 = 120平方厘米. 【答案与解析】这三个圆心角的面积分别为:93602 ; 91203 ;3603: 4.解: 设扇形所在圆的半径为r,则r216,贝y:扇形的面积为:3.14 16 120 16.75 (平方厘米). 360答这个扇形的面积为16.75平方厘米.:【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换,此外注意扇形的面积的计算方法.。
5.5多边形与圆的初步认识

F
1、(1)如图,从八边形ABCDEFGH 的顶点A出发,可以画出多少条对角线? G 分别用字母表示出来; (2)这些对角线将八边形分割成多少 个三角形?
E D C
H A B
2、过某个多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分
成5个三角形,问这个多边形是几边形?
观察下图中的多边形,它们的边、角有什么特点? 小组交流一下。
五边形
六边形
八边形
边 内角
3 3 3
n
4 4 4
5 5 5
6 6 6
8 8 8
n 个内角。
思考:n边形有
个顶点, n 条边,
观察下面一组图形找找其中的规律
四边形
五边形
六边形
七边形
多边形的边数 过一个顶点的对 角线的条数 对角线分割成三 角形的个数
4 1
2
5 2
3
6 3
4
7 4
5
8 5
6
(n-3) 结论:n边形可以从一个顶点出发,引出 条对角线, 这些对角线把这个n边形分成(n-2) 个三角形.
∠EAB, ∠ABC,∠BCD, ∠CDE, ∠DEA, 是多边形的内角(可
简称为多边形的角); AC,AD都是连接不相邻两个顶点的线段,像这样的线段叫做多边 形的对角线。
D
你还能画出图中 其他的对角线吗? E C
A
B
观察一下:(1)每一个顶点有几条对角线? 2条 (2)一共有几条对角线? 5条
多边形 三角形 四边形 顶点
O
练一练: 1、如图,把一个圆分成三个扇形,你能求出这 三个扇形的圆心角吗?
2、画一个半径为1cm的的圆,并在其中画一个 圆心角为120°的扇形AOB。试计算出这个扇形 的面积。
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多边形和圆的初步认识知识讲解
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1.定义:多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中,各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如下图:
要点诠释:
正多边形必须同时满足“各边相等”,“各角相等”两个条件,二者缺一不可;
2.相关概念:
顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
角:多边形相邻两边组成的角叫多边形的角(可简称为多边形的角),一个n边形有n个角.
外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
要点诠释:
(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n 边形对角线的条数为
(3)2
n n . (2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形.
类型一、多边形及正多边形
1.如图,(1)从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线,
分别用字母表示出来为 ;(2)这些对角线把六边形
分割成 个三角形.
【思路点拨】画出对角线,并按一定规律数出对角线的条数及分割成
的三角形的个数即可. E A B C F D
【答案】(1)3,线段AC 、线段AD 、线段AE ;(2)4.
【总结升华】
(1) n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个角.
(2) 过n 边形的每一个顶点有(n -3)条对角线,n 边形总共
(3)2
n n 条对角线.
(3) n 边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割
(n -2)个三角形.
举一反三:
【变式】(2015春•期末)过多边形某个顶点的所有对角线,将这个
多边形分成7个三角形,这个多边形是( )
A .八边形
B .九边形
C .十边形
D .十一边形 【答案】B
若一个多边形的角和等于720°,则从这个多边形的一个顶点引出对
角线 条.
一个多边形除一个角外其余角的和为1510°,则这个多边形对角线的
条数是( )
A .27
B . 35
C . 44
D . 54
2.同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题:把形纸片截去
一个角后,还剩多少角,余下的图形是几边形,亲爱的同学们,你知道吗?
【答案与解析】
解:这个问题,我们可以用图来说明.
按图(1)所示方式去截,不经过点B和D,还剩五个角,即得到一个五边形.
按图(2)所示方式去截,经过点D(或点B).不经过点B(或点D),还剩4个角,即得到一个四边形.
按图(3)所示方式去截,经过点D、点B,则剩下3个角,即得到三角形.
答:余下的图形是五边形或四边形或三角形.
【总结升华】一个n边形剪去一个角后,可能是(n+1)边形,也可能是n边形,也可能是(n-1)边形,利用它我们可以解决一些具体问题.举一反三:
【变式】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是( C ).
A.6
B.7
C.8
D.9
要点二、圆及扇形
1.圆的定义
如图,在一个平面,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OA叫做半径.
要点诠释:
①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可.
②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
(1)圆弧:圆上任意两点A,B间的部分叫做圆弧,简称弧,记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图:
(2)扇形的定义:如上图,由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形叫做扇形.
要点诠释:圆可以分割成若干个扇形.
(3)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图,∠AOB是圆的一个圆心角,也是扇形OAB的圆心角.
【典型例题】
9.(2014•长宁区一模)下列说法中,结论错误的是(B )A.直径相等的两个圆是等圆
B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
10.(2015春•校级月考)有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是( B )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4 19.(2015春•定县期末)下列说确的是(④)填序号.①半径不等的圆叫做同心圆;②优弧一定大于劣弧;
③不同的圆中不可能有相等的弦;④直径是同一个圆中最长的弦
3.如图是对称中心为点的正六边形.如果用一个含角的直角三角板的角,借助点(使角的顶点落在点处),把这个正六边形的面积等分,那么的所有可能的值是___________ __.
【答案】
根据圆接正多边形的性质可知,只要把此正六边形再化为正多边形即可,
即可知:360÷30=12;
360÷60=6;360÷90=4;
360÷120=3;360÷=2.
故n的所有可能的值是2,3,4,6,12.
4.(2015•丰泽区校级质检)如图,MN为⊙O的弦,∠M=50°,则∠MON等于.
【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数,根据三角形的角和定理可得所求角的度数.
【答案】80°.
【解析】
解:∵OM=ON,
∴∠N=∠M=50°,
∴∠MON=°﹣∠M﹣∠N=80°,
故答案为80°.
【总结升华】考查圆的认识;利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点.
类型三、扇形
5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形,分别种植三种花草,他们的圆心角的度数之比为2:3:4,求这三个圆心角的度数,并尝试求他们的面积,你还能求他们的面积之比吗,你发现了什么
【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念.
【答案与解析】
解:这三个圆心角的度数分别为:
°°236080234⨯=++;°°3360120234⨯=++;°°4360160234
⨯=++. 圆的面积29r ππ=,
这三个圆心角的面积分别为:8092360ππ⨯
=;12093360
ππ⨯=;16094360ππ⨯=. 这三个圆心角的面积之比为:2:3:4πππ=2:3:4.
发现:扇形的面积之比等于圆心角之比.
【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比,
即S 扇:S 圆=n :360, 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比.
6.一个扇形圆心角120°,以扇形的半径为边长画一个形,这个形的面积是16平方厘米.这个扇形的面积为多少?
【思路点拨】由题意可知,这个扇形所在的圆的半径r 就是这个形的
边长,即r2=边长2=120平方厘米.【答案与解析】。