专题八 三角函数与解三角形
12
12
3
可知等式成立,而将点( , 3)代入y 3sin(1 x ),
12
2 12
可知等式不成立.故选B.
11.函数f(x)=cos2(x- )-cos2(x+ )(x∈R)是
()
4
4
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
A 【解析】 函数f (x) cos2 (x ) cos2 (x )可化为 :
2.弧长公式:l=|α|·r.
扇形面积公式:S扇形=
1 2
1 lr=
2
|α|·r2.
3.任意角的三角函数的定义:
(1)设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于
原点的)一点P(x,y),P与原点的距离为r,则:
sin y ;cos x ; tan y .
r
r
x
(2)单位圆定义法:如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆
63
3
A. 5
B. 5
C. 7
D. 7
9
9
9
9
A 【解析】1 2sin2 ( ) cos( 2 ) 5 ,
6
3
9
cos( 2 2 ) cos( 2 ) 5 .
3
3
9
8.已知sin2α= 2 ,则cos2(α+ )=
()
3
4
A. 1
2
当x 2k (k Z) 时, y取最小值-1;
2
对于y=cosx,当 x 2k (k Z)时,y取最大值1,
当x 2k (k Z) 时, y取最小值-1.
(3)周期性:
①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是2π
②f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是
0
2
cosα
1
3
2
tanα
0
3
3
45°
4
2 2 2 2
1
60° 3 3 2 1 2
3
90°
2 1
0
/
α 弧度 sinα cosα tanα
120°
2
3 3 2 1 2
3
135°
3
4 2 2 2 2
-1
150°
5
6 1 2 3 2 3 3
180° π 0 -1 0
270°
3
D. 4 3
A 【解析】 sin cos 2,分子分母同时除以cos,得到 2sin cos
tan 1 2, 解得 tan 1. 2 tan 1
10.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如下图所示,则其解析式可以
是 ()
A.y 3sin(2x )
B.y 3sin(2x )
3
3
C.y 3sin(1 x )
2 12
D.y 3sin(1 x )
2 12
B 【解析】 由图象易知,当x 0时, y 0,经验证可排除A、C,
又因为点( , 3)在函数图象上, 将点( , 3)代入y 3sin(2x ),
5
2
cos
将sin 2 cos代入sin2 cos2 1即可.
5.已知α为第二象限的角,sinα=
3 5
,则tan2α=
.
24 【解析】 由sin2 cos2 1且为第二象限角,可得
7
cos
4 ,则tan
5
3 4
代入 tan 2
2 tan 1 tan2
2 | |
(4)单调性: y=sinx在区间[
2
2k
,
2
2k
](k
Z)上单调递增,
在区间[ 2k , 3 2k ](k Z) 上单调递减;
2
2
y=cosx在区间[ 2k , 2k ](k Z)上单调递增,
在区间[2k , 2k ](k Z) 上单调递减.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
C 【解析】 2015 5360 215,sin 215 0, cos 215 0, 故选C.
2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直
线y=2x上,则cos(2θ- )= ( )
2
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
5
5
5
5
D 【解析】 因为直线y 2x经过一、三象限,在第一象限取
特殊点(1, 2), 代入 cos x ,sin y 可得 :
x2 y2
x2 y2
cos 5 ,sin 2 5 ,则cos(2 ) sin 2 4 .
3
(4) 1 sin x 3 cos x sin(x ).
2
2
3
四、三角函数的图象与性质 1.结合五点法作图画出正弦函数y=sinx(x∈R)、余弦函数 y=cosx(x∈R)的图象. (1)定义域:都是R. (2)值域:都是[-1,1].
对于y=sinx,当x 2k (k Z) 时,y取最大值1;
4
4
f (x) cos2 (x ) cos2 (x ) cos2 (x ) sin2 (x )
4
42
4
4
cos 2(x ) cos(2x ) sin 2x
4
2
于是可知原函数f (x)是周期为的奇函数,故选A.
(1)定义域:{x|x≠ +kπ,k∈Z}.
2 (2)值域是R,在定义域{x|x≠
+kπ,k∈Z}上无最大值也无最小值;
2
(3)周期性:T=π;
(4)奇偶性与对称性:奇函数,对称中心是 (
k
2
,
0)(k
Z);
(5)单调性:正切函数在开区间
(
2
k
,
2
k
)(k
Z)
内都是增
函数.
3.函数y=Asin(ωx+φ)图象的画法:
三、两角和与差及二倍角的三角函数
1.两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ; cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;
t公式
2 tan sin2α=2sinαcosα; tan2α=1 tan2 ;
即可.
6.设sin( +θ)=1 ,则sin2θ等于
()
43
A. 7
B. 2
C. 2
9
3
9
D. 2 6
A 【解析】1 2sin2 ( ) cos( 2 ) sin 2 7 ,
4
2
9
则sin 2 7 .
9
7.若sin( -α)= 2 ,则cos(2 +2α)= ( )
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
3.几个常用的结论:
(1) sin x cos x 2 sin(x );
4
(2) 3 sin x cos x 2sin(x );
6
(3) sin x 3 cos x 2sin(x );
(5)奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数, 对称中心是(kπ,0)(k∈Z),
对称轴是直线 x k (k Z);
2
余弦函数y=cosx(x∈R)是偶函数,
对称中心是(k , 0)(k Z);
2 对称轴是直线x=kπ(k∈Z).
2.正切函数y=tanx的图象和性质:请画图象:
2 -1
0
/
360° 2π 0 1 0
6.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2θ+cos2θ=1
(2)倒数关系:tan sin cos
二、诱导公式 1.诱导公式(k∈Z)
函数 角
2kπ+α
π+α
-α
π-α
2π-α
2 -α
2
+α
3
2 -α
3 2
+α
正弦
sinα -sinα -sinα sinα -sinα cosα cosα -cosα -cosα
余弦
cosα -cosα cosα -cosα cosα sinα -sinα -sinα sinα
记忆口诀
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
2.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐 角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化 锐角”→求值.
3.诱导公式解决常见题型 (1)求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角的其他三角函 数; (2)化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根 式,尽可能不含分母.
得y=sin(x+φ)的图象;
②函数y=sin(x+φ)图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1 ,得
到函数y=sin(ωx+φ)的图象;
③函数y=sin(ωx+φ)图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A
倍,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象;
决战中考之三角形专项突破专题08 勾股定理与利用378和578模型解题(老师版)
专题08 勾股定理与利用378和578模型解题知识对接考点一、勾股定理 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方考点二、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形专项训练一、单选题1．（2021·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，已知ABC ，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，小红按如下步骤作图：①分别以A 、C 为圆心，以大于12AC 长为半径在 AC 两边作弧，交于两点M 、N ；①连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ； ①过点C 作//CE AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ． 则四边形ADCE 的周长为（ ）A ．10B ．20C ．12D ．24【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质证明四边形ADCE 是菱形，在根据勾股定理求解即可； 【详解】根据题意可知MN 是AC 的垂直平分线， ①AD CD =，AE CE =，①CAD ACD ∠=∠，CAE ACE ∠=∠， ①//CE AB ， ①CAD ACE ∠=∠， ①ACD CAE ∠=∠， ①//CD AE ，①四边形ADCE 是平行四边形， ①AD CD =，①四边形ADCE 是菱形， ①122OA OC AC ===，OD OE =，AC DE ⊥， ①90ACB ∠=︒， ①//BC DE ，①OD 是ABC 的中位线， ①113 1.522OD BC ==⨯=，① 2.5AD =， ①菱形ADCE 的周长410AD ==； 故选A ． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理、菱形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 2．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）在Rt ABC 中，①A ＝90°，tan①C ＝13，E 为AC 上一点，且CE ＝5AE ，点D 为BC 中点，把CDE 沿ED 翻折到FDE ，且EG DF 的长度为（ ）ABCD ．【答案】D 【分析】连接CF ，延长ED 交CF 于点T ，过点G 作GH ①DE 于H ，过点D 作DP ①AC 于P ,设AE ＝a ，EC ＝5a ，AC ＝6a ，首先证明tan①CET ＝12PD CT EP ET ==，再证明DT ＝TC ，推出①GDH ＝①CDT ＝45°，构建方程求出a ，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CF ，延长ED 交CF 于点T ，过点G 作GH ①DE 于H ，过点D 作DP ①AC 于P ,①EC ＝5AE ，①可以假设AE ＝a ，EC ＝5a ，AC ＝6a ， ①①DPC ＝①A ＝90°， ①DP //AB ， ①BD ＝CD ，①AP ＝PC ＝3a ，PE ＝2a ， ①tan①ACB ＝13DP PC =， ①PD ＝a ，①tan①CET＝12 PD CTEP ET==，①EC＝5a，①CT，ET＝，①DE=，①DT＝CT，①①TDC＝①TCD＝45°，由翻折的性质可知DC＝DF，①DEP＝①DEG，①tan①DEG＝tan①DEP＝12 GHEH=，①EG＝3，①GH EH，①①GDH＝①CDT＝45°，①GH＝DH①DE，①a①DF＝CD a＝故选：D．【点睛】本题考查正切、勾股定理、翻折的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足①ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①①ABC的外接圆的圆心在OC上；①①ABC＝60°；①①ABC的外接圆的半径等于①OC＝12．其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】C 【分析】如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △，过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断①；再证明E 为ABC 外接圆圆心，求出半径，可判断①；再在ECF △中由勾股定理求出CF ，可求得OC 和1tan 2OC ABC OB ∠==，即可判断①①． 【详解】解：如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △， 过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，①ABC 的外接圆的圆心必在弦AB 的垂直平分线上， ①圆心肯定不在OC 上，故①错误； ①①ACB ＝45°，①由圆周角定理得：AB 所对的圆心角必为90°， ①EB ＝EA ，①在弦AB 的垂直平分线上， ①①AEB ＝90°，①E 必为圆心，即AE 、BE 为半径，①AE =①正确； ①BD ＝5，OB ＝6，①OD＝1，①①EDO＝①DOF＝①OFE＝90°，①OD＝EF＝1，ED＝FO＝5，①7 CF==，①OC＝OF+FC＝12，故①正确；①1 tan2OCABCOB∠==，①①ABC≠60°，故①错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及圆周角定理，作出ABC的外接圆是解决本题的关键．4．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，点A的坐标为（﹣3，2），①A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切①A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）【答案】D【分析】连接AQ、P A，如图，利用切线的性质得到①AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ则AP①x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、P A，如图，①PQ 切①A 于点Q ， ①AQ ①PQ ， ①①AQP ＝90°，①PQ当AP 的长度最小时，PQ 的长度最小， ①AP ①x 轴时，AP 的长度最小， ①AP ①x 轴时，PQ 的长度最小， ①A （﹣3，2），①此时P 点坐标为（﹣3，0）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理，垂线段最短．5．（2021·珠海市紫荆中学九年级）如图，D 是ABC 内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是（ ）A ．24B ．20C ．12D ．10【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出BC =10，然后利用三角形中位线定理求出152EH FG BC === ，1=52EF GH AD == ，由此即可求解． 【详解】解：①BD ①CD ，BD =8， CD =6，①10BC =，①E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点，①EH 是①ABC 的中位线，FG 是①BCD 的中位线，EF 是①ABD 的中位线，GH 是①ADC 的中位线， ①152EH FG BC === ，1=52EF GH AD == ， ①四边形EFGH 的周长=EF +FG +GH +EH=20， 故选B ．【点睛】本题主要考查了了勾股定理和三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，ABC 的内切圆О与,,AB BC AC 分别相切于点D ，E ，F ，连接OE ，OF ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则阴影部分的面积为（ ）A ．122π-B ．142π-C ．4π-D ．114π-【答案】C 【分析】连接OD ，由题意，先利用勾股定理求出AB 的长度，设半径为r ，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案． 【详解】解：连接OD ，如图：在ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =， 由勾股定理，则22226810AB AC BC ，设半径为r ，则OD OE OF r ===， ①CF CE OE OF r ====， ①四边形CEOF 是正方形；由切线长定理，则6AD AF r ==-，8BE BD r ==-， ①AB AD BD =+， ①6810r r -+-=， 解得：2r，①2OD OE OF ===；①阴影部分的面积为：2902224360S ππ⨯⨯=⨯-=-；故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．7．（2021·四川绵阳·）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C【分析】由正方形的性质得出DC CB =，90DCE CBF ∠=∠=︒，由ASA 证得DCE CBF △≌△，即可得出答案． 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，90FBC DCE ∴∠=∠=︒，3CD BC ==，①在Rt DCE 中，30∠=︒CDE ，12CE DE ∴=， 设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得：222DC CE DE +=， 即2223(2)x x +=，解得：x =，3CE，DE CF ⊥，90DOC ∴∠=︒，60DCO ∴∠=︒，906030BCF CDE ∴∠=︒-︒=︒=∠， DCE CBF ∠=∠，CD BC =， ()DCE CBF ASA ∴△≌△，BF CE ∴==故选：C ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30角的直角三角形的性质等知识，证明DCE CBF △≌△是解题的关键．8．（2021·四川巴中·中考真题）如图，矩形AOBC 的顶点A 、B 在坐标轴上，点C 的坐标是(﹣10，8)，点D在AC 上，将BCD 沿BD 翻折，点C 恰好落在OA 边上点E 处，则tan①DBE 等于（ ）A ．34B ．35CD ．12【答案】D 【分析】先根据四边形ABCD 是矩形，C （-10，8），得出BC =AO =10，AC =OB =8，①A =①O =①C =90°，再由折叠的性质得到CD =DE ，BC =BE =10，①DEB =①C=90°，利用勾股定理先求出OE 的长，即可得到AE ，再利用勾股定理求出DE ，利用tan DEDBE BE∠=求解即可. 【详解】解：①四边形ABCD 是矩形，C （-10，8）， ①BC =AO =10，AC =OB =8，①A =①O =①C =90°，由折叠的性质可知：CD =DE ，BC =BE =10，①DEB =①C=90°， 在直角三角形BEO中：6OE =， ①4AE OA OE =-=，设CD DE x ==，则8AD AC CD x =-=- 在直角三角形ADE 中：222AD AE DE +=， ①()22284x x -+=， 解得5x =， ①5DE =， ①①DEB =90°， ①51tan 102DE DBE BE ===∠， 故选D.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.9．（2021·广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AC 上，BF EF ⊥，1CE =，则AF 的长是（ ）A ．BCD ．54【答案】B 【分析】过F 作AB 的垂线分别交,AB CD 于,N M ,由BF EF ⊥，证明MFE NBF △≌△，设ME FN x ==，根据4MN =，求得x ，在Rt AFN 中，利用勾股定理即可求得AF ． 【详解】如图，过F 作AB 的垂线分别交,AB CD 于,N M ，四边形ABCD 是正方形，90ABC BCD BNM ∴∠=∠=∠=︒，4AB BC CD ===，∴四边形CMNB 是矩形， 4MN BC ∴==，CM BN =，90EFB FNB ∴∠=∠=︒，FBN NFB NFB EFM ∴∠+∠=∠+∠， FBN EFM ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，45ACD ∴∠=︒，45MFC MCF ∴∠=∠=︒， MF MC NB ∴==，在MEF 和NFB 中，EFM FBN EMF FNB MF NB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩MFE NBF ∴△≌△（AAS ）， ME FN ∴=，设ME FN x ==，则1MC MF BN x ===+，MN MF FN =+，即14x x ++=， 解得32x =， 32FN ∴=， 四边形ABCD 是正方形，MN AB ⊥，45NAF AFN ∴∠=∠=︒， FN AN ∴=，AF ∴==故选B 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，求得ME 是解题的关键．10．（2021·山东滨州·）在Rt ABC 中，若90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则点C 到直线AB 的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．2.4【分析】根据题意画出图形，然后作CD ①AB 于点D ，根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据面积法，可以求得CD 的长． 【详解】解：作CD ①AB 于点D ，如右图所示，①①ACB =90°，AC =3，BC =4，①AB ， ①22AC BC AB CD⋅⋅=， ①34522CD ⨯=， 解得CD =2.4， 故选：D ． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 二、填空题11．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，10CD =，2BE =，则O 的半径OC =_______．【答案】294【分析】设半径为r ，则OC OB r ==，得到2OE r =-，由垂径定理得到5CE =，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r ， 则OC OB r ==， ①2BE =， ①2OE r =-，①AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ， ①点E 是CD 的中点， ①10CD =， ①1052CE ==， 在直角①OCE 中，由勾股定理得 222OC CE OE =+，即2225(2)r r =+-， 解得：294r =． 故答案为：294． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．12．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接CE ，过点E 作CE 的垂线交AB 于点F ，交CD 的延长线于点G ，连接CF ．已知12AF =，5CF =，则EF =_________．【分析】由题意，先证明①AEF ①①DEG ，则EF =EG ，12DG AF ==，利用等腰三角形的性质，求出5CG CF ==，然后得到AB =CD =92，则4BF =，利用勾股定理求出BC ，然后得到AE 的长度，即可求出FE 的长度．【详解】解：根据题意，在矩形ABCD 中，则 AB =CD ，BC =AD ，①A =①EDG =90°， ①E 为AD 的中点， ①AE =DE ， ①①AEF =①DEG ， ①①AEF ①①DEG ， ①EF =EG ，12DG AF ==； ①CE ①FG ， ①5CG CF ==， ①AB =CD =19522-=， ①91422BF =-=， 在直角①BCF 中，由勾股定理则3BC =，①AD =3， ①32AE =， 在直角①AEF 中，由勾股定理则EF ；【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到5CG CF ==．13．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D ，E 分别是AB ，BC的中点，连接AE ，DE ，若92DE =，152AE =，则点A 到BC 的距离是________．【答案】365【分析】根据题意可求得AC 、AB 、BC 的长度，设点A 到BC 的距离是h ，由Rt ABC △的面积相等可列式1212AB AC BC h ••=••，从而点A 到BC 的距离即可求解． 【详解】解：①在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，92DE =， ①9AC =，DE//AC ， ①①BDE =①BAC =90°， ①①ADE =90°，6AD ∴==，①212AB AD ==，①15BC ， 设点A 到BC 的距离是h ， 则1212AB AC BC h ••=••， 即112915221h ⨯⨯=⨯， 解得：365h =， ①点A 到BC 的距离是365． 故答案为：365．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度．14．（2021·重庆实验外国语学校九年级三模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是线段AB 上的一点，AE AB <，DE CE ⊥，将BCE 沿CE 翻折，得到FCE △，连接DF ，若3AD =，10AB =，则线段DF 的长度为______．【分析】过点F 作FH CD ⊥，根据矩形和折叠的性质得到FEC BEC GCE ∠=∠=∠，从而得到G 为CD 的中点，求得EG 、FG 的长度，勾股定理求得GC ，等面积法求得FH ，勾股定理即可求得DF ．【详解】解：过点F 作FH CD ⊥，如下图：在矩形ABCD 中，10CD AB ==，3AD BC ==，//CD AB ，90B ∠=︒ ①BEC GCE ∠=∠由折叠的性质可得：3CF BC ==，FEC BEC ∠=∠，90GFC B ∠=∠=︒ ①FEC BEC GCE ∠=∠=∠ ①=EG CG 又①DE CE ⊥ ①90DEC ∠=︒①90,90GEC DEG GDE DCE ∠+∠=︒∠+∠=︒ ①GDE DEG ∠=∠①152DG GE GC CD ====，即G 为CD 的中点在Rt GFC中，由勾股定理得4FG == 1122GFC S FC FG GC FH =⨯=⨯△得125FC FG FH GC ⨯==由勾股定理得165GH ==415DH DG GH =+=由勾股定理得DF【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．15．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级二模）如图，①ABC 中，AB ＝BC ，AD ①BC 垂足为D ，BE ＝AC ，①EAC ＝3①C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．【答案】11 【分析】在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ，通过论证①AFB ①①BDA 和Rt①EFB ①Rt①EFB ，为证明①AEM ①①MCA 作准备条件，设MC ＝AE ＝x ，用含x 的代数式表示AB ，AC ，进而使用勾股定理建立方程，求解AE 的长． 【详解】解：过点B 作BF ①EA 于点F ， ①①F AO +①AOF ＝①OBD +①BOD ＝90°， ①①AOF ＝①BOD ， ①①F AO ＝①OBD①①EAC ＝3①C ， ①AB ＝BC ， ①①BAC ＝①C ①①EAB ＝2①C①①BAD +①F AO ＝180°﹣2①C①①ABC ＝180°﹣2①C ＝①ABF +①OBD ， ①①ABF +①OBD ＝①BAD +①F AO ①①ABF ＝①BAD ①AD ①BC ， ①①F ＝①ADB ＝90° 在①BF A 和①ADB 中， F ADB ABF BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①AFB ①①BDA （AAS ） ①BF ＝AD在Rt①EFB 和Rt①CDA 中，EB ACBF AD =⎧⎨=⎩①Rt①EFB ①Rt①CDA （HL ）． 在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ． 在①AEB 和①MCA 中， AE MC E C BE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩． ①①AEB ①①MCA （SAS ）． ①AB ＝AM ． ①AD ①BC ， ①AD 垂直平分BM ． ①BD ＝DM ＝7．设AE＝MC＝x，①AC＝8+2x，DC＝7+x，AB＝14+x．在①ABD和①ADC中，据勾股定理得，AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2＝AD2，即（14+x）2﹣72＝（8+2x）2﹣（7+x）2．化简得x2﹣5x﹣66＝0，解得x1＝11，x2＝﹣6（舍去），①AE的长为11．故答案为：11．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题16．（2021·合肥市第四十五中学九年级）如图，①ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，CE①AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG①AD于点G，连接EG．（1）求证：CD2＝DG•DA；（2）如图1，若CF＝2EF，求证：点D是BC中点；（3）如图2，若GC＝2，GE＝，求GD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 3【分析】（1）先证明①ACD①①CGD，根据相似三角形性质即可证得结论；（2）如图1，过E作EH①AD交BC于点H，运用平行线分线段成比例定理即可证得结论；（3）根据①AGC＝①AEC＝90°，得出A、C、G、E四点共圆，过点E作EH①AD于点H，可得①EGH是等腰直角三角形，再证明①CFG①①EFH（AAS），利用勾股定理和三角函数定义求出AG，再证明①CAG①①DCG，运用相似三角形性质即可求出答案．【详解】解：（1）①CG①AD，①ACB＝90°，①①CGD＝①ACB＝90°，①①CDA＝①CDG，①①ACD①①CGD，①CD：DG＝DA：CD，①CD2＝DG•DA；（2）如图1，过E作EH//AD交BC于点H，①HE//AD，①BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，①CB＝CA，①ACB＝90°，CE①AB，①E为AB的中点，①BE：EA＝1，①BH：HD＝BE：EA＝1，①CF＝2EF，①CD：HD＝CF：EF＝2，①BH＝HD，CD＝2HD，①BD＝BH+HD＝2HD，①BD＝CD，①D为BD的中点．（3）①CB＝CA，①ACB＝90°，①①BAC＝45°，①CE①AB，CG①AD，①①AGC＝①AEC＝90°，①ACE＝45°，①A、C、G、E四点共圆，①①AGE＝①ACE＝45°，如图2，过点E作EH①AD于点H，①①EGH是等腰直角三角形，EH＝GH＝GE•sin45°＝2＝2，①CG＝2，①CG＝EH，①①CGF＝①EHF＝90°，①CFG＝①EFH，①①CFG①①EFH（AAS），①FG＝FH＝1，CF＝EF，在Rt①CFG中，CF①CE＝2CF＝①AC＝sin CE CAE ∠①AG＝6，①①CGD＝①AGC＝90°，①①CAG+①ACG＝90°，①①ACG +①DCG ＝90°， ①①CAG ＝①DCG ， ①①CAG ①①DCG ， ①DG CG ＝CG AG， ①222263CG DG AG ===．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质与判定，全等三角形判定和性质，四点共圆、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．17．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）如图，①ABD 中，①ABD ＝①ADB ．（1）作点A 关于BD 的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BC 、DC ，连接AC ，交BD 于点O ． ①求证：四边形ABCD 是菱形； ①取BC 的中点E ，连接OE ，若OE ＝132，BD ＝10，求点E 到AD 的距离． 【答案】（1）作图见解析；（2）①证明见解析；①120.13【分析】（1）分别以,B D 为圆心，DA 为半径画弧，两弧交于点,C 则C 是A 关于BD 的对称点，（2）①先证明四边形ABCD 是平行四边形，再利用,AB AD = 从而可得结论；①利用中位线与菱形的性质分别求解菱形的边长与面积，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，C 为A 关于BD 的对称点；（2）①如图，由作图可得：,,BC AD AB DC ==∴ 四边形ABCD 是平行四边形，,ABD ADB ∠=∠ ,AB AD ∴=∴ 四边形ABCD 是菱形.①如图，E 为BC 的中点，连接,OE 过B 作,BH AD ⊥ 垂足为,H四边形ABCD 是菱形，则E 到AD 的距离等于,BH ,,,,AC BD OB OD OA OC AB BC CD AD ∴⊥=====13,2OE =E 为BC 的中点，10,BD = 213,5,CD OE AD OB OD ∴=====12,224,OC AC OC ∴==∴ 菱形的面积为：111024120,22AC BD =⨯⨯=120,13120,AD BH BH ∴=∴=120,13BH ∴=所以E 到AD 的距离等于120.13【点睛】本题考查了中心对称的作图，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，掌握菱形的面积的计算的两种方法是解题的关键.18．（2021·日照市新营中学九年级三模）如图，P A ，PB 分别与①O 相切于点A ，B ．点M 在PB 上，且OM//AP ，MN AP ⊥，垂足为N ． （1）求证：OM =AN ；（2）若①O 的半径R =4，P A =8，求OM 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）连接OA ，证明四边形ANMO 为矩形，即可得到结论；（2）连接OB ，如图，证明①PMN ①①MOB （AAS ）， 设OM =x ，则PN =8-x ，PM =x ， 在Rt ①PMN 中，利用勾股定理可得答案. 【详解】（1）证明：连接OA ，如图， ①P A 为①O 的切线，①OA ①P A ， ①①OAP =90°， ①//OM AP ，①①AOM =90°， 而MN ①P A ，①①MNA =90°，①四边形ANMO 为矩形， ①OM =AN ；（2）解：连接OB ，如图，①PB 为①O 的切线， ①OB ①PB ，OB =OA =4， ①①OBM =90°，①四边形ANMO 为矩形， ①MN =OA =4，OM =AN ， ①OB =MN ，①//OM PA ， ①①MPN =①BMO ， 在①PMN 和①MOB 中，MNP OBM MPN OMB OB MN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①PMN ①①MOB （AAS ）， ①PM =OM ， ①OM =AN =PM ，①P A 、PB 分别与①O 相切于点A 、B ， ①P A =PB =8，设OM =x ，则PN =8-x ，PM =x ， 在Rt ①PMN 中，①MN 2+PN 2=PM 2， ①()22248x x +-=， 解得5,x = 即OM 的长为5. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，切线长定理的应用，灵活运用以上知识是解题的关键.19．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）问题提出：（1）如图①，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝①A 的大小为 ； 问题探究：（2）如图①，在四边形ABCD 中，AD ①BC ，对角线AC 与BD 相交于O ．若AC ＝8，BD ＝6，①AOD ＝60°，求四边形ABCD 的面积； 问题解决：（3）在西安市“三河一山”生态绿道长廊建设中．规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园．设计要求：如图①，四边形ABCD 中，AD ＝160m ，BC ＝CD ，①ABC ＝①BCD ＝120°．求这个主题公园的最大面积．【答案】（1）30°；（2）（32．【分析】（1）根据已知，求出tan A ＝33BCAC即可得到答案； （2）过A 作AM ①BD 于M ，过C 作CN ①BD 于N ，得到S 四边形ABCD ＝S ①BCD +S ①BAD ，再利用三角函数求解即可得到答案；（3）连接BD ，过点C 作CE ①BD ，交AB 的延长线于E ，连接DE ，设BE ＝a ，则CE ，BC ＝2a ，BD ＝，tan①BED ＝ 【详解】解（1）Rt ①ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝ ①tan A ＝33BC AC， ①①A ＝30°，故答案为：30°；（2）过A作AM①BD于M，过C作CN①BD于N，如图：在Rt①CON中，CN＝OC•sin①CON＝OC•sin①AOD，在Rt①AOM中，AM＝OA•sin①AOD，①S①BCD＝12BD•CN＝12，S①BAD＝12BD•AM＝12，①S四边形ABCD＝S①BCD+S①BADOC+OA＝（3）如图，连接BD，过点C作CE①BD，交AB的延长线于E，连接DE，①BC＝CD，①BCD＝120°，①①CBD＝30°，①①ABC＝120°，①①ABD＝90°，①CE①BD，①①CEB＝90°，①CBE＝60°，设BE＝a，则CE，BC＝2a，①BD＝，①tan①BED＝①CE ①BD ， ①S ①BDE ＝S ①BDC ， ①S 四边形ABCD ＝S ①ADE ，①①AED 为定角，AD 为定长， 故画出①ADE 的外接圆，如图，当EH ①AD ，且EH 经过圆心O 时，S ①ADE 最大， ①①AOH ＝①AED ，设OH ＝a m ，则AH ＝m ，由勾股定理得OA ＝m ， ①AD ＝2AH ，＝160，①a①EH ＝EO +OH )1m += ，①S ①ADE ＝)2116012⨯①2．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，M 是半圆CD 的中点，延长DC 到P ，使OC =CP=AC ，连结PA 、CM ． （1）求证：PA 是O 的切线；（2）求证：2CM MN MA=⋅；（3）若2PC=，求CM的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【分析】（1）连接OA，可得①P=①CAP，①OAC=①OCA，从而得①CAP+①OAC=90°，进而即可得到结论；（2）证明①AMC①①CMN，进而即可得到结论；（3）连接DM，可得CMD△是等腰直角三角形，进而即可求解．【详解】解：（1）连接OA，①OC=CP=AC OA=，①①P=①CAP，①OAC=①OCA，①①CAP+①OAC=12×180°=90°，①OA①AP，①PA是O的切线；（2）①①O中，M点是半圆CD的中点，①CM DM=，①①CAM＝①DCM，又①①CMA＝①NMC，①①AMC①①CMN，①CM AMMN CM=，即CM2＝MN•MA；（3）连接DM，①CD为O的直径，M是半圆CD的中点，①CM=DM，①CMD=90°，即CMD△是等腰直角三角形，①OC=CP=AC=2，①CD=4，①CM．【点睛】本题主要考查切线的判定，圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．21．（2021·西藏中考真题）如图，AB是①O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使①CAD＝①B．（1）求证：AD是①O的切线；（2）若AD＝4，tan①CAD＝1，求BC的长．2【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）根据AB是①O的直径得出①B＋①BAC＝90°，等量代换得到①CAD＋①BAC＝90°，即①BAD＝90°，AD①OA，即可判定AD是①O的切线；（2）过点D作DM①AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM＝2，由等边对等角得出①OAC ＝①OCA，由平行线的性质得出①M＝①OAC，再根据对顶角相等得出①DCM＝①M，即得DC＝DM＝2，根据勾股定理求出OA＝3，AB＝6，最后根据勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：①AB是①O的直径，①①ACB＝90°，①①B＋①BAC＝90°，①①CAD＝①B，①①CAD＋①BAC＝90°，即①BAD＝90°，①AD①OA，①AD是①O的切线；（2）解：过点D作DM①AD交AC的延长线于点M，①tan①CAD＝12＝DMAD，AD＝4，①DM＝2，①OA＝OC，①①OAC＝①OCA，①AD①OA，DM①AD，①OA①DM，①①M＝①OAC，①①OCA＝①DCM，①①DCM＝①M，①DC＝DM＝2，在Rt①OAD中，OA2＋AD2＝OD2，即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，①OA＝3，①AB＝6，①①CAD＝①B，tan①CAD＝12，①tan B ＝tan①CAD ＝AC BC＝12， ①BC ＝2AC ，在Rt ①ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2， ①62＝5AC 2，①AC ，①BC 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键． 22．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在Rt ①ACD 中，①ACD ＝90°，点O 在CD 上，作①O ，使①O 与AD 相切于点B ，①O 与CD 交于点E ，过点D 作DF ①AC ，交AO 的延长线于点F ，且①OAB ＝①F ．（1）求证：AC 是①O 的切线；（2）若OC ＝3，DE ＝2，求tan ①F 的值． 【答案】（1）见详解；（2）12． 【分析】（1）由题意，先证明OA 是①BAC 的角平分线，然后得到BO =CO ，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD =4，OD =5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF ，即可求出tan ①F 的值． 【详解】解：（1）①DF ①AC ， ①①CAO =①F ， ①①OAB ＝①F ， ①①CAO =①OAB ，①OA 是①BAC 的角平分线， ①AD 是①O 的切线，①①ABO =①ACO =90°， ①BO =CO ， 又①AC ①OC ， ①AC 是①O 的切线； （2）由题意， ①OC ＝3，DE ＝2， ①OD =5，OB =3，CD =8，①4BD =， 由切线长定理，则AB =AC ， 设AB AC x ==，在直角三角形ACD 中，由勾股定理，则 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+， 解得：6x =，①6AB AC ==，6410AD =+=， ①①OAB ＝①F ， ①10DF AD ==， ①90FDO ACO ∠=∠=︒， ①51tan 102OD F DF ∠===． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．23．（2021·江苏南通·中考真题）如图，正方形ABCD 中，点E 在边AD 上（不与端点A ，D 重合），点A 关于直线BE 的对称点为点F ，连接CF ，设ABE α∠=．∠的大小（用含α的式子表示）；（1）求BCF⊥，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（2）过点C作CG AF△为等（3）将ABE△绕点B顺时针旋转90︒得到CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当BFH腰三角形时，求sinα的值．︒．【答案】(1)45+α(2)DG//CF．理由见解析．．【分析】(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为180︒算出BCF∠．(2)作辅助线BF、AC，先导角证明CFG△是等腰直角三角形、ADC是等腰直角三角形．再证明ADM∽AGC、DGC∽AFC，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．(3) BFH△为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH①BF=FH①BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了①、①种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．【详解】(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．点A关于直线BE的对称点为点F∴BE是AF的垂直平分线∴⊥，AB=BFBE AFBAF BFA ∴∠=∠=ABE α∠=90-=BAF BFA α∴∠︒∠()=180-90-90-=EBF αα∴∠︒︒︒四边形ABCD 是正方形∴ AB=BC ，=90ABC ∠︒=90-2，FBC AB BC BF α∴∠︒== BFC BCF ∴∠=∠180，902BFC BCF FBC FBC α∠+∠+∠=︒∠=︒-()180902=452BFC BCF αα︒-︒-∴∠∠==︒+ ．(2) 位置关系：平行． 理由：连接BF ，AC ，DG设DC 和FG 的交点为点M ，AF 和BE 相交于点N由(1)可知，，90，ABE EBF BAF BFA αα∠=∠=∠=∠=︒- 45BFC BCF α∠=∠=︒+ 9045135AFC AFB CFB αα∴∠=∠+∠=︒-+︒+=︒18045CFG AFC ∴∠=︒-∠=︒CG AG ⊥90FGC ∴∠=︒18045GCF FGC CFG CFG ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠CGF ∴是等腰直角三角形CG CF ∴=四边形ABCD 是正方形90，BAD ADC BCD AD CD ∴∠=∠=∠=︒=ADC ∴ 是等腰直角三角形45DC ACD AC ∴=∠=︒ 45BCA ∴∠=︒BE 垂直平分AF90ANE ∴∠=︒180NAE ANE AEN α∴∠=︒-∠-∠=在ADM △ 和CGM △ 中，90ADC AGC AMD CMG ⎧∠=∠=︒⎨∠=∠⎩ ADM ∽CGM ∴MCG GAD α∴∠=∠=45，45BCA BCF α∠=︒∠=︒+ =ACF BCF BCA α∴∠=∠-∠在DGC 和AFC △ 中，DC CG DCG ACF AC FC α==∠=∠= DGC ∽AFC ∴135AFC DGC ∴∠=∠=︒1359045DGA DGC AGC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 45DGA CFG ∴∠=∠=︒∴ CF //DG(3)BFH △为等腰三角形有三种情况：①FH=BH ①BF=FH ①BF=BH ，要分三种情况讨论： ①当FH=BH 时，作MH BF ⊥ 于点M由(1)可知：AB=BF ，ABE EBF α∠=∠=四边形ABCD 是正方形，90，90AB BC ABC BAE ∴=∠=︒∠=︒设AB=BF=BC=a将ABE △绕点B 顺时针旋转90︒得到CBH，CBH ABE BH BE α∴∠=∠==90290FBH ABC ABF CBH ααα∴∠=∠-∠+∠=︒-+=︒-FH=BH90HBF BFH α∴∠=∠=︒-1802FHB FBH BFH α∴∠=︒-∠-∠=BFH 是等腰三角形，，BH HF HM BF =⊥1，22a BHM FHM BM MF BF α∴∠=∠==== 在ABE △ 和MHB 中，90BAE BMH BHM ABE α⎧∠=∠=︒⎨∠=∠=⎩ABE ∽MHB ∴ 1BM BHAE BE∴== ∴ BM=AE =2aBE ∴===AE sin BE α∴=①当BF=FH 时，设FH 与BC 交点为OABE △绕点B 顺时针旋转90︒得到CBHABE CBH α∴∠=∠=由(1)可知：2ABF α∠=902FBC α∴∠=︒-90290FBH FBC CBH ααα∴∠=∠+∠=︒-+=︒-BF FH =90FBH FHB α∴∠=∠=︒-18090BOH CBH BHF ∴∠=︒-∠-∠=︒此时，BOH ∠ 与BCH ∠ 重合，与题目不符，故舍去 ①当BF=BH 时，由(1)可知：AB=BF 设AB=BF=a四边形ABCD 是正方形∴ AB=BC=aBF=BH∴BF=BH=BC=a而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．【点睛】本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为180︒)、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系(1、正弦函数定义式(对边：斜边) ．。
高中数学各内容专题命题规律
高中数学各内容专题命题规律专题一、集合、简易逻辑考向（一）集合1、规律小结集合作为高中数学的预备知识内容，每年高考都将其作为必考题，题目分布在选择题1，2，以集合的运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能出现，属于基础性题目，主要基本考生的运算求解能力，学科素养主要考查理性思维和数学探索。
2、考点频度高频考点：集合的概念及表示和集合间的基本运算。
低频考点：集合间的基本关系。
3、备考策略集合主要以课程学习情境为主，备考应以常见的选择题目为主训练，难度通常不大，在备考中注意与一元二次不等式，绝对值不等式的解法相结合。
在备考时要注意以下两点：（1）在注重集合定义的基础上，牢固掌握集合的基本概念与运算，加强与其他数学知识的联系，借助数轴和Venn图突出集合的工具性；（2）适当地加强与函数、不等式的联系，注意小题目的综合化。
考向（二）简易逻辑1、规律小结简易逻辑主要要求考生理解其中蕴含的逻辑思想，并且容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何交汇。
考查的热点是充要条件和全称量词命题与存在量词命题。
要注意，本部分内容出错原因主要是与其他知识交汇部分，其次是充要条件的判断容易出错。
2、考点频度高频考点：充分条件与必要条件。
3、备考策略常用逻辑用语是数学学习和思维的工具，要通过具体的例子让学生切实理解其中的基本概念和思维方法。
由于该内容与函数、立体几何、不等式、数列等知识结合紧密，在立体几何、函数、不等式、数列等内容备考过程中注重渗透充分必要条件、全称量词命题和存在量词命题。
专题二、平面向量与复数考向（一）平面向量1、规律小结三年三考，向量题考的比较基础，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其他知识交汇，难度不大。
这样有利于考查向量的基本运算，符合课标要求。
2、考点频度高频考点：线性运算、夹角计算、数量积。
中频考点：模的计算、向量的垂直与平行。
低频考点：综合问题。
（从2021年中频考点降为低频考点）3、备考策略纵观近几年高考，平面向量重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及标运算等知识，侧重考查数量积的坐标运算，难度较低，同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能。
高三专题三角函数与解三角形总结归纳
三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。
三角函数,排列组合,圆锥曲线
专题五三角函数、解三角形 授课内容 三角函数、解三角形 授课成果1、掌握角的基础知识，熟悉三角函数的图象与性质2、正弦型函数y=Asin(w x+φ)的图象和性质，掌握“五点法”作图 的方法3、熟悉余弦函数、正切函数的图象和性质4、掌握图形的变换5、掌握诱导公式、和差公式、倍角公式，角的拆分技巧6、掌握辅助角公式，会解决形如asinx+bcosx 之类的最值、单调区间等问题，尤其注意自变量的范围7、掌握正弦定理、余弦定理的应用8、三角函数与向量的综合问题9、培养学生转化与化归的思想，整体的方法配套资料分层限时训练 课时安排6小时 专题六数列与不等式授课内容数列与不等式授课成果1、掌握等差数列、等比数列的性质与相关知识2、掌握通项公式，前n 项和的求法3、等差中项、等比中项知识4、掌握一元二次不等式的解法5、“数学结合”思想的体现，线性规划问题6、重点掌握均值不等式及其应用7、不等式中的恒成立问题8、数列与不等式的综合配套资料分层限时训练 课时安排4小时 专题八概率授课内容 概率 授课成果1、掌握分层抽样2、掌握概率基本概念，频率分布直方图，会区分独立事件与互斥事件3、掌握古典概型、几何概型4、掌握两大基本原理，排列组合的问题，熟悉捆绑法、插空法、隔板法等技巧5、掌握二项式定理及其应用6、掌握离散型随即变量期望与方差的求法7、掌握二项分布、正态分布配套资料分层限时训练 课时安排4小时专题九圆锥曲线授课内容 圆锥曲线 授课成果1、掌握椭圆的标准方程及性质2、了解双曲线的标准方程及性质3、掌握抛物线的标准方程及性质4、掌握轨迹方程的求法5、直线与椭圆的综合问题 配套资料分层限时训练 课时安排 6小时。
专题八-三角恒等变换及辅助角公式
专题八-三角恒等变换及辅助角公式专题八 三角恒等变换及辅助角公式一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。
3.辅助角公式：对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即辅助角β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。
例如： sin αcos α=α2sin 21，cos α=αα2sin sin2，ααα2cos sin cos 22=-，ααα2tan tan -12tan 2=，2)cos (sin cos sin 21αααα±=±，αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-，22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α，tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)等。
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷 版)
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值： （2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。
高考数学大题答题模板
免费下载站2020-02-03原文数学高考，选择题60分，剩下的都是大题，只注重选择题，顶多就是个及格！数学想做到高分，大题分不能随意乱丢！2020高考数学得分技巧高中数学21种解题方法与技巧今天就给大家分享八个大题题型的解题模板！解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④结合性质求解。
2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。
2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法（如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等）。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法
专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ， 即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)． 设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6， 即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。
高考数学答题模板12个
高考数学答题模板12个高考数学答题模板12个选择填空题1.易错点归纳九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
2.答题方法：选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法;填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x 的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
高考数学专题：三角函数的图象与性质
y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时，ymax
1
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
［明考情—备考如何学］ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在 第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三 角恒等变换交汇命题．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
18
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
19
B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
26
2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
13
［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系