数学解题之一题多解与多题一解完整版

数学解题之一题多解与多题一解浅谈一题多解培养学生发散思维摘要本文意在明确一题多解中学生思维能力的发展，从而使教师在数学解题教学过程屮更加重视解题方法对学生思维和发散思维的培养。

本文通过两道典型例题对一题多解型的讲解，通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。

通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；对一题多解灵活运用，对培养学生发散思维，启发学生独立思考具有较好的指导意义。

关键词：一题多解发散思维思维能力一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学方法可以达到异曲同工之效，我们称之为“一题多解”。

其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的思维方式去解答同一个问题。

一题多解能快速整合所学知识，重要的是培养学生细致的观察力、丰富的联想力和独立思考、解决问题的能力。

(-)提高分析、解决问题的能力•题多解，能够使学生开阔思维，把学过的知识和方法融合在•起，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生独立思考的能力。

例1.甲乙两地相距450千米。

客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行多少千米？解法一：用路程问题的解法。

根据速度二路程÷时间可以求出客车的速度为450÷10二45（千米/小时），货车的速度为450÷15二30 （千米/小时）。

（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）二6 （小时）（2）相遇时客车行了多少千米：45X6二270（千米）（3）相遇时货车行了多少千米：30X6二180（千米）解法二：用比例分配的方法。

两车所需的时间之比是：10:15,根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。

（1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3所以两车速度之比是：3:2（2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:23（3）相遇时客车行了多少千米：450×（- ）=270（千米）52（4）相遇时货车行了多少千米:450×（- ）=180（千米）^ 5答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。

解法三：工程问题的方法解决客车行完全程要10小时，每小时行全程的1/10货车行完全程需15小时，每小时行全程的1/15相遇时间为:1÷（1/10 + 1/15） =6 （小时）6小时客车行了全程的：6X1/10=3/5所以客车行了： 450X3/5 = 270 （千米）所以货车行了：450-270 = 180 （千米）...？解法一：求出两车相遇时间，进而求出相遇时两车各自的行驶路程，这种方法是处理类似行问题最为i般的方法，也是最为普遍的解决方法，是解决更为复杂的工程问题的基础。

而解法二是通过对公式路程二速度X时间的灵活运用，只需求出两车的速度之比，进而运用比例对两车各自的行程进行分配，可以说是对公式的升华。

解法三用工程问题来解决，直接把路程看做1,通过效率来解决问题。

（-）提高多角度分析能力一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。

例2.6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？解法二：甲在尾粧二120甲不在未（自然也不在头）二4x4x24二384共：A； + C：C：A：二120+384二504解法二：分析：设6人为ABCDEF甲不在A处，如甲占F位，则乙可在ABCDE, 5处任占一位，其它4人可在余下的4处各占一位，即：5×4×3×2×l=120;如甲在BCDE, 4处任占一位，则乙只能在BCDE除去一位或A共4处任占一位，其它4人可在余下的4处各占一位，即：4×4×4×3×2× 1 二384；所以一共有120+384二504 （种）站法。

5×4×3×2×l+4×4×4×3×2× 1=504答：共有504种站法。

解法三：(1)甲站排尾，乙有5种站法(2)甲站屮间的4个空有4种站法，乙除了甲站的空和排尾还有的空还有4种站法,共4×4=16种(3)甲乙共有5+16=21种站法(4)剩余4人共有4×3×2×1=24种站法(5)所以共有21x24二504种站法解法四：所有可能的排法有：A： =6!=720再考虑特殊情况.甲在排头，乙在排尾的可能减去即可.(1)甲在排头，乙不在排尾有4x∕√二4x4!二96(2)甲不在排头，乙在排尾有4×二4x4!二96(3)甲在排头，乙在排尾有二4!二24所以甲不能站排头，乙不能站排尾排法有720-96-96-24=5046!-5!-5!+4!=504解法五：若甲站排尾,则剩下的五人可以全排列，即5!二120.甲还可排在第二.三.四.五.5位,乙可排在第一.二.三.四.五。

5位，剩下四人全排列4!,即4×5×4!=480,所以答案为120+480=600A二｛6个人站一排的站法｝, B二｛甲站排头｝, C二｛乙站排尾｝D二｛甲不能站排头，乙不能站排尾｝,则A有6!, B, C各有5!,BnC共有4!D=A-B-C+β∩C, D 共有6!-5!-5!+4!二504。

五种解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行确定，先确定甲不站排头，再确定乙不站排尾，最后再确定其他人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对第一种解法的抽彖；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的三类站法，进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具体要求，求出站法总数，然后再依据要求一一进行排除；解法五是用集合的思想入手，找出题目屮的限制条件，从而得出结论。

（三）培养发散思维及联想能力通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通。

例3.1 2- 1已知;a>O,b>O,a〃，求"的最小值。

解法一：利用不等关系1+Z>2.,∑•• « > 0√? > O, a b ∖ab•，1 _2 _ 1∙∙∙"≥8（当且仅当：丁㊁,即Q = 2,b = 4时取“二”号）,.∙. ab的最小值是8o解法二：平方法ι+a=Ia >0,b> 0, ab ,1 2 , 1 4 4 C I 4 4 8(——I——)■ = 1 - 1 ≥ 2 ,------ 1 - =——.∙.1 二G b a2b2ab ~ ∖a1b1Ub ab(当且仅当1 _2_ 1 U = b = 2,即α = 2,b = 4 时取“二”号)O••• ”的最小值是8。

解法三：利用三角怛等关系换元cos2α∙sin2α sin22α(当且仅当- =Z r 二2 ,即a=2, b二4a b时取“二”号）。

G〃的最小值是8o解法四：均值换元：.ab l-4t2≥8j ( Vl-4r2∈(0, 1],当I-"二1,即r = 0, = 2C = 4 时，取“二”号)解法五：导数求最值G-I O2a22a（a - 2）令？（√∕）二荷（">l ・・・？" W）二（-L。

令？" W）二0,解得—= COS a1 2—I——• ∙ G>0">0, a b• ∙ α>O,b>O, a b• ∙ α>0">0, a ba = 2> I o当"（1,2）时，？" W）〈0,此时？（“）是减函数，当心（2, +8）时，？" W）〉0,此时？（"）是增函数。

2×21.・・当“>1时，/⑺射、伯二/S）极小位二？（2）二2T二8。

（此时a = 2、b = 4 ）五种解法，第一种利用不等关系求解，是解决类似问题最先想到的方法，也是最直接的解法；第二种的平方法，目的是通过对已知条件进行操作使Z出现所求的量，进而求解；第三、第四种都属于换元法，通过三角换元和均值换元，将所求的量变形为一元关系，即加或t的关系，进而求解；最后一种解法是通过导数求出函数单调性，进而求出最值，得出结果。

从知识面的角度来讲，这一道题目的五种解法，至少包含了五方面的知识，这不仅丰富了解法，同时也使一些知识点得到了充分的展示，更体现了数学知识的前后连贯性。

这种多知识点的解法，让学生真正体会到了数学的魅力，更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意，对培养学生的发散思维能力起到了积极的影响作用。

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