2016福建省高三理科数学质检(含答案)
2016年福建省综合质检理科数学答案
2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）0.3 （14）3- （15）5- （16）263三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= ······················ 2分 又因为3B π=,1BD =，所以4BC = ． ················································· 3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, ··········· 5分 即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD =． ······························ 6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，又AC =sin 2sin AC CDθθ=， ······································ 7分所以2cos CD θ=． ·········································································· 8分在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-， 由正弦定理得，sin sin CD BDB BCD =∠，即12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-， ··········· 10分化简得2cos sin(2)3θθπ=-， 于是2sin()sin(2)23θθππ-=-． ························································ 11分 因为02θπ<<，所以220,222333θθπππππ<-<-<-<， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,解得==618θθππ或，故=618DCA DCA ππ∠∠=或． ······························ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =， 所以A DCA ∠=∠． 取AC 中点E ，连结DE ，所以DE AC ⊥． ··············································································· 7分 设DCA A θ∠=∠=，因为AC =2EA EC ==． 在Rt △CDE中，cos CE CD DCA ==∠ ····································· 8分以下同解法一．（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，由余弦定理得，22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，∴1AB =，…………………………………………1分∴22211BB AB AB =+，∴1AB AB ⊥．………………………………………2分 又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， ∴AC AB ⊥， 又∵1ACAB A =，∴AB ⊥平面1AB C ． ········································································· 4分 又∵1B C ⊂平面1AB C ，∴AB ⊥1B C ．·················································································· 5分（Ⅱ）∵111,2AB AB AC BC ====，1B∴22211B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ················································ 6分如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ······································································································ 7分 则()(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，，∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ···················································· 8分 设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为)=n ． ……………………9分∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，……………………………………………………………………………10分∴111cos ,35||||AC AC AC ⋅<>===n n n ，….……………11分 ∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35． ······································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角． ·············································· 6分 由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =1AB AC ==，12B C =，∴22211AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，又∵ABAC A =，∴1AB ⊥平面ABC ， ············································ 7分 ∴1111113326B ABC ABC V S AB AB AC AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． ······················· 8分 取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C==，∴1PB BC ⊥．又在Rt ABC △中，1AB AC ==，∴BC=2BP =， ∴12PB ===， ∴1112B BC S BC B P =⨯=△． ···························································· 9分11∵11A BCB B ABC V V --=，∴1136BCB S AH ⋅=△，即13AH =7AH =． ············ 10分 ∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==， ∴111AB B C ⊥，∴1AC == ···································· 11分 在1Rt AHC △中，11sin AH AC H AC ∠===所以1AC 与平面1BCB所成的角的正弦值为35． ································ 12分 （19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，则220210019()495C P M C ==． ····································································· 4分（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当38a =时，384152X =⨯=； 当39a =时，394156X =⨯=； 当40a =时，404160X =⨯=； 当41a =时，40416166X =⨯+⨯=； 当42a =时，40426172X =⨯+⨯=．所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． ······································· 6分 故X 的分布列为：······································································································ 8分11121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以． ······ 9分 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ············· 10分所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元． ·························· 11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ········································· 12分（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：(Ⅰ)将2p x =代入22y px =，得y p =±，所以2ST p =， ··················· 1分 又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形， 所以SF PF =，即32p p =-， 解得2p =，所以抛物线2:4E y x=，…………………………………………3分此时圆P =所以圆P 的方程为()2238x y -+=． ···························································· 4分(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-． ··········································· 5分（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()3M ±， ①当3x=+24y x =，得()2y =±．不妨设()()32,32A B ++-， 则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-即AF BF ⊥．②当3x =-AF BF ⊥．………………….6分 （ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E 交于,A B 两点，所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠． 因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-，所以001l x k y -=，…………………………………………………..7分直线()00001:x l y x x y y -=-+．由()200004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩得，2220000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ················ 8分 即200004204011y x y y x x --+=--，所以001212004204,11y x y y y y x x -+==--， ············· 9分 所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=2212121144y y y y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭······················· 10分 ()()()222221212121212123111641642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++()()()22000220005143061111x y x x x x --=-++---()()()()()2220000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()2200020244441x x y x ---=-()()220002046101x y x x -+-+==-，所以AF BF ⊥． ··················································································· 12分 解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-， （*） ······ 5分设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()222100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ········································ 6分 由于FM AB ⊥，//MA MB ，所以()()()()22210021221202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ································ 7分 注意到12y y ≠，()()()()()1200120120140,140.2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ························ 8分 由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，从而（1），（2）可化为001212004204,11y x y y y y x x -+==--． ························· 9分 以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为()()111f x a x x '=->-+，()e 1x g x '=-， ···························· 2分 依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ························································ 3分 所以()111f x x '=-+1xx =+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调递减区间为()1,0-， 单调递增区间为()0,+∞． ···················· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k kF x k x k x x '=+-+++-+++≥， ····································· 6分 （ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()11201F x x x '++-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立）， 此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······ 7分 （ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ································ 8分 由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分（ⅲ）当1k >时， 令()()e 11x kh x k x =+-++，则()()2e 1x k h x x '=-+，显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())1010,110h k h ''=-<=->，所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减， 从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥()11xx k x =+-+， ··············· 6分（ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增． 所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ··················································· 9分 （ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e1xx +≥（当且仅当0x =时等号成立）， 所以当01x <<时，e1xx ->-+，1e 1x x<-． 所以1()e 1(1)e 111xx kx F x k x x '=---=--++ 1111kx x x <---+11x kxx x =--+()211()11k k x x k x -+-+=-． ··············· 10分于是当101k x k -<<+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递减.故当101k x k -<<+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ······ 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0． 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ················································ 6分 （ⅱ）当0k >时，设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11x kF x k x '=+-++， 令()()h x F x '=，则()()2=e 1x kh x x '-+．显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·························································· 7分 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥； 故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分 ②当1k >时，由于())1'010,'110h k h =-<=->，所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结DE ，因为,,,D C E G 四点共圆，则ADE ACG ∠=∠． ········· 2分 又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线， 所以点,D E 分别是,BC AC 的中点，故DEAB ． ············································ 3分 所以BAD ADE ∠=∠， ················································································ 4分 从而BAD ACG ∠=∠． ················································································ 5分 （Ⅱ）因为G 为AD 与BE 的交点，故G 为△ABC 的重心，延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且2CG GF =． ······························································· 6分 在△AFC 与△GFA 中，因为FAG FCA ∠=∠，AFG CFA ∠=∠，所以△AFG ∽△CFA ， ······································································· 7分 所以FA FGFC FA=，即2FA FG FC =⋅．………………………………………………………9分 因为12FA AB =，12FG GC =，32FC GC =， 所以221344AB GC =，即AB =， 又1GC =，所以AB =． ········································································ 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································· 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ·········································· 6分所以ABD △∽CGE △，所以AB ADCG CE=， ……………………………………………7分 由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ······························································ 9分又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心， 所以23AG AD =,又=2=2AC AE EC ， 所以222=23AD EC，所以AD CE= FABCDEG。
福建省福州市高三数学毕业班3月质量检查试题 理
2016年三月福州市普通高中毕业班质量检查数学(理科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ．2B． CD2．已知命题:p “,10x x e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10xx e x ∃∈--≥R B ．,10xx e x ∃∈-->RC ．,10x x e x ∀∈-->R D ． ,10xx e x ∀∈--≥R3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,8]上，则输入的实数x 的取值范围是()A ．[0,2)B ．[2,7]C ．[2,4]D ． [0,7]4．若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，，则cos 2α的值为（ ）A ．78-B． C ．1D5．若实数,x y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是（ ） A ． ﹣2 B ．2 C ．1D ．66．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ． 321++B ．322++C ．323++D ． 324++7．64(1)(1)x x -+的展开式中2x 的系数是（ ） A ． 4-B ．3- C ．3D ．48．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k = ( )A ．B ．13C ．23D9．已知32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则两零点所在的区间为( )． A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．()1,2D ．(1,)+∞10.已知三棱锥O ABC -底面ABC 的顶点在半径为4的球O 表面上，且6,AB BC AC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ． 4 3B． C ．183D．11．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P →→→+⋅=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ） AB1CD112．已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++--<的解集为( )A ．(),2012-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．在等比数列{}n a 中，378a a =，466a a +=，则28a a +=14．已知在ABC ∆中，4AB = ,6AC =，BC =其外接圆的圆心为O ， 则AO BC ⋅=________．15． 以下命题正确的是： ．①把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象；②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-；③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，且3a =，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中*n N ∈． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设23nn n a b n n=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（I ）试估计该校高三学生视力在5．0以上的人数；（II ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2 4.4 和5.0 5.2的学生中抽取9 人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2 4.4的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)已知：矩形11ABB A ，且12A B A A = ，C C ,1分别是11B A 、B A 的中点，D 为C C 1中点，将矩形11ABB A 沿着直线C C 1折成一个60o的二面角，如图所示.11A（Ⅰ）求证： 1AB ⊥1A D ；（Ⅱ）求1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知以A 为圆心的圆64)2(22=+-y x 上有一个动点M ，)0,2(-B ，线段BM 的垂直平C 1CB 1BA 1A分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为E ． （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）过A 点作两条相互垂直的直线21,l l 分别交曲线E 于G F E D ,,,四个点，求FG DE +的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数()ln af x x x=+，a R ∈,且函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=． （Ⅰ）实数a 的值；（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围.本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于CD 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．（Ⅰ）求证：,,,B D H F 四点共圆；（Ⅱ）若2,AC AF ==BDF ∆外接圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-. (I)若()2f x >，求实数x 的取值范围；(II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(理科)答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D 12.B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．9 14．10 15.①③④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)解:（I ）∵*31()22n n S a n N =-∈， ① 当11311,22n S a ==-，∴11a =，………………………………2分当2n ≥，∵113122n n S a --=-， ②①-②：13322n n n a a a -=-，即：13(2)n n a a n -=≥ ………………………………4分又∵11a =，23a = ， ∴13n na a +=对*n N ∈都成立，所以{}n a 是等比数列， ∴1*3()n n a n N -=∈ .………………………………6分（II ）∵23nn n a b n n=+，∴23n b n n=+，……………………………9分 ∴111113(1)2231n T n n =-+-++--，∴133(1)311n T n n =-=-++，即31nn T n =- .……………………………12分18．(本小题满分12分)解：（I ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，23.0,26.0,27.0,07.0,03.054321=====f f f f f ，所以视力在0.5以上的频率为14.0)23.026.027.007.003.0(1=++++-，估计该校高三学生视力在5．0以上的人数约为14014.01000=⨯人． ……………………………4分（II ）依题意9人中视力在4.2 4.4 和5.0 5.2的学生分别有3人和6人， X 可取0、1、2、3363920(0)84C P X C ===， 21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===， 33391(3)84C P X C ===．……………………………10分X 的数学期望()0123184848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ．…………………12分 19．(本小题满分12分)（Ⅰ）解法一：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60OACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱.∴四边形11A ABB 为正方形∴B A AB 11⊥，…………………………………2分 取BC 中点O ，连结AO ，则BC AO ⊥.∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC , ∴AO ⊥平面11B BCC ,∵⊂BD 平面11B BCC ,∴AO ⊥BD在正方形11B BCC 中，∴BD O B ⊥1…………………………………3分 ∵O O B AO =⋂1,∴BD ⊥面O AB 1，∴BD ⊥1AB . ∴1AB ⊥平面D AB 1．∴ 1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅰ）解法二：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60OACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. 取BC 中点O ，连结AO 则BC AO ⊥，∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC ， ∴AO ⊥平面11B BCC …………………………1分取11C B 中点1O ，以O 为原点，OO 1的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设12AA =，则)0,0,1(B ，)0,1,1(-D ,)3,0,0(A ,)3,2,0(1A ,)0,2,1(1B则1(1,2AB = ，1(1,1,A D =--，……………………………4分∴11(1,1,(1,21230AB A D ⋅=--⋅=--+=，∴11AB A D ⊥∴1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅱ）解： 设平面D A B 11的法向量为),,(z y x n = ∵)3,0,1(11-=B A ，)3,1,1(1---=D A ∵11B A ⊥,A 1⊥∴⎪⎩⎪⎨⎧==0.0.111D A n B A ……………………………………………8分∵0,0,x x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴,y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 令1z =得(3,n =-为平面D A B 11的一个法向量.………………………10分由（I ）得1(1,2,AB =1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值11·|n|AB |n AB ===1AB 与平面11A B D 12分 21.(本小题满分12分)解（Ⅰ）连接PB ，依题意得PM PB =，所以8==+PM PA PB 所以点P 的轨迹E 是以B A ,为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以4=a ，2=c ，32=b所以E 的轨迹方程式1121622=+y x ． …………………………4分 (Ⅱ) 当直线21,l l 中有一条直线的斜率不存在时，1486=+=+FG DE当直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程)2(-=x k y ，设D ),(11y x，),(22y x E联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=11216)2(22y x x k y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=…………6分 21221634k x x k +=+，2221434816kk x x +-= 所以=DE 2122124)(1x x x x k -+⋅+= 2243)1(24kk ++=…………8分 设直线2l 的方程为)2(1--=x ky ， 所以2234)1(24k k FG ++= 所以)43)(34()1(1682222k k k FG DE +++=+…………9分 设12+=k t ，所以1>t ，所以2112168tt FG DE -+=+ 因为1>t ，所以41102≤-<t t ，所以FG DE +的取值范围是96[,14)7．………12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分 ∵21()a f x x x '=-，函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=． ∴(1)12f a '=-=∴1a =-…………………………………………4分解：（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立， 构造函数11()()ln m h x x mf x x m x x x x=+-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零. 2222211(1)(1)()1m m x mx m x x m h x x x x x x ---+--'=---==………6分①当e m ≥+1时，即1m e ≥-时，)(x h 在[]1,e 上单调递减，…………………8分所以()h x 的最小值为(e)h ，由01)(<-++=m e m e e h 可得112-+>e e m ， 因为1112->-+e e e ，所以112-+>e e m ； ………………10分 ②当11≤+m ，即0≤m 时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由011)1(<++=m h 可得2-<m ； ……11分③当e m <+<11，即10-<<e m 时， 可得()h x 最小值为)1(m h +，因为0ln(1)1m <+<，所以，0ln(1)m m m <+<2)1ln(2)1(>+-+=+m m m m h此时，0)1(<+m h 不成立.综上所述:可得所求m 的范围是：112-+>e e m 或2-<m . ……………12分 本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲证明:(I) AB 为圆O 的一条直径,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆 ……………………………………4分解：(II) AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即(22AD =⋅，解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFBADH ∆∆， 则DH AD BF AF=，得DH =，……………………………………7分 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，BH ==故BDF ∆10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分 所以所求的圆C的参数方程为22x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，4cos )42sin()4x y πθθθ+=+=++ …………………………7分 当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分x y +取到最大值为6. …………………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(I)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x . 故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得)(x f m nm n m ≥-++ 又∵2=-++≥-++m nm n m m nm n m …………………………7分∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。
02.参考答案与评分标准.2016届福建省高中毕业班质量检查理科综合测试(终稿)
2016 届福建省高中毕业班质量检查理科综合测试物理部分试题参考答案和评分标准二、选择题:本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．B 15．A 16．C 17．C 18．A 19．ACD 20．AD 21．BCD22. （6分） 12.987 ± 0.002（3分）22()()2A Bd d gh t t -=∆∆ （3分）23. （9分） （1）B （2分） D （2分） （2）40 （2分） （3）偏大（3分）24.（12分）解：（1）带电小颗粒从O 到P ，由动能定理有0OP P qU E E =-①（3分）由①式得 300V OP U =- ②（2分）（2）带电小颗粒从O 到Q ，由动能定理有0OQ Q Q qU mgy E E -=- ③（3分）由③式得0OQ U =，O 点与Q 点电势相等 （1分） 如图，由几何关系得P 点到OQ 连线的距离d =0.4 m④（1分）根据匀强电场中场强与电势差关系得750V/m POU E d== ⑤（1分）电场方向与OQ 连线垂直，沿左上方。
（1分）25．（20分）解：（1）B 和A 一起沿斜面向下运动，由机械能守恒定律有212sin (2)2mgL m v θ= ①（4分）由①式得m/s v =②（2分）（2）第一次碰后，对B 有s i n =c o s m g m g θμθ 故B 匀速下滑 ③（2分） 对A 有1sin cos mg mg ma θμθ+= ④（1分）得A 的加速度 2110m /s a =，方向始终沿斜面向下， A 将做类竖直上抛运动 ⑤（1分）设A 第1次反弹的速度大小为v 1，由动能定理有2211122mv mv E -=∆⑥（1分） 112vt a ∆= ⑦（1分）由⑥⑦式得s 5t ∆=⑧（1分） （3）设A 第2次反弹的速度大小为v 2，由动能定理有22211222mv mv E -=∆ ⑨（1分）得02=v⑩（1分）即A 与挡板第2次碰后停在底端，B 继续匀速下滑，与挡板碰后B 反弹的速度为v '，加速度大小为a′，由动能定理有E v m mv ∆='-222121 ○11（1分） a m mg mg '=+θμθcos sin ○12（1分） 由○11○12式得 B 沿A 向上做匀减速运动的时间2s 5v t a '=='○13（1分） 当B 速度为0时，因m f mg mg ≤=θμθcos sin ， B 将静止在A 上。
福建省泉州市高三3月质量检查数学理试题Word版含解析
准考证号 姓名（在此试卷上答题无效）保密★启用前泉州市2016届普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A R A.{}20|<≤x x B.{}42|≤≤x x C.{20|<≤x x 或}4>x D..{20|≤<x x 或}4≥x （3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0) （5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为 A.101 B.51 C.103D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是 A.π6 B.π7 C.π12 D.π14 （8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是 A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a（10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x-++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为A.0>aB.10≤<aC.1≥aD.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于 A.1008- B.1009- C.21008 D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省龙岩市2016年高中毕业班3月教学质量检查数学(理)试题(扫描版)剖析
龙岩市2016年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．32 14．20 15． 16．102m m <=或 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+， ………………1分 ∴cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x R ∈都成立，且0ω>，∴cos 0ϕ=，又0ϕπ<<， ∴2πϕ=……………………2分又PQ =P 的纵坐标为12，由勾股定理可知142T =，2T =， ……………………3分 ωπ=， ……………………4分∴11()sin()cos 222f x x x πππ=+= ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()cos 2f x x π=，∴1()cos 2A f A π==，cos A = 又(0,)A π∈，∴6A π=， …………………………6分1,a b ==由正弦定理可知，1sin sin6Bπ=， ……………………7分∴sin 2B =，又(0,)B π∈， 4B π∴=或34B π=， ……………………9分当4B π=时，76412C A B πππππ=--=--=， ……………………10分当34B π=时，36412C A B πππππ=--=--=， ……………………11分 ∴角C 的大小为12π或712π. ……………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：众数为85； ……………………2分24610855657585953030303030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ……………………4分 ＝1(5526547568510958)30⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝81∴该班学生英语成绩的平均数为81. ……………………5分（Ⅱ）依题意，成绩在[50,60)的学生数为230(10)2300⨯⨯=， 成绩在[60,80)的学生数为4630(1010)10300300⨯⨯+⨯=， ∴成绩低于80分的学生总人数为 12， ……………………6分∴ξ可取的值为 2，3，4 ……………………7分222121(2)66C P C ξ===， ………………………8分 1121021220(3)66C C P C ξ===， ……………………9分 21021245(4)66C P C ξ===， ……………………10分 ∴ξ的分布列为：…………11分∴ξ的数学期望1204511()2346666663E ξ=⨯+⨯+⨯= …………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ， ………………1分证法如下：连结AC ,BD ，设AC BD O =，∵四边形ABCD 为矩形∴O 为AC 的中点 ……………2分 又∵N 为FC 的中点∴ON 为ACF ∆的中位线 ……………3分 ∴//AF ON∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ……4分∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN . ………5分 （Ⅱ）过O 作//PQ AB 分别与,AD BC 交于,P Q ，因为O 为AC 的中点，所以,P Q 分别为,AD BC 的中点 ∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =∴ADE ∆≌BCF ∆，连结,EP FQ ，则得EP FQ = ………………6分 ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB = ∴//EF PQ 12EF PQ =∴四边形EPQF 为等腰梯形.取EF 的中点M ，连结MO ，则MO PQ ⊥， 又∵,,AD EP AD PQ EPPQ P ⊥⊥=∴AD ⊥平面EPQF ………………7分 过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ∴,OG OM OG OQ ⊥⊥分别以,,OG OQ OM 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -， 不妨设4AB =，则由条件可得：13(0,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(1,2,0),(,222O A B F D N ----……8分设(,,)n x y z =是平面ABF 的法向量，ABCDE F（第19题图-1）N OA（第19题图-2）则00n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩即4030y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 所以可取(2,0,1)n = ………………9分由31(,,)222BN =--，可得 ||2|cos ,|3||||BN n BN n BN n <>==………………11分 ∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为3. ………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵22:2Cy px =的焦点F 的坐标为(,0)2p由点F到直线10x y -+=|1|p +=∵0p > 解得2p = ………………1分又(1)F ，0为椭圆的一个焦点 ∴221a b -= ①………………2分 ∵1C 与2C 的公共弦长为1C 与2C 都关于x 轴对称，而2C 的方程为24y x =，从而1C 与2C 的公共点的坐标为3(,2………3分 ∴229614a b += ② 联立①②解得229,8a b ==， ………………4分∴1C 的方程为22198x y +=，点F 的坐标为(1,0) ………………5分 （Ⅱ）当l 过点F 且垂直于x 轴时，l 的方程为1x =代入221:198x y C +=求得83y =± ∴16||3AB =把1x =代入22:4C y x =求得2y =±∴||4CD =此时11317||||16416AB CD +=+= ………………6分 当l 与x 轴不垂直时，要使l 与2C 有两个交点，可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，此时设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y把直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立得22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简得2222(89)189720k x k x k +-+-= ………………7分可得21221889k x x k +=+，212297289k x x k-=+，213664(1)0k ∆=⨯+>∴||AB =22248(1)48989k k k +==++ …………………8分 把直线l 的方程与抛物线2C 的方程联立得24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩消去y 化简得2222(24)0k x k x k -++=，可得234224k x x k++=，2216(1)0k ∆=+> ∴223422244(1)||22k k CD x x k k++=++=+= ………………9分 ∴22221189||||48(1)4(1)k k AB CD k k ++=+++ 222222891221871348(1)48(1)1648(1)k k k k k k +++===-+++ ………………10分 ∵20k > ∴211k +>∴2131304848(1)k -<-<+ ∴11||||AB CD +17(,)616∈ ………………11分 综上可得11||||AB CD +的取值范围是17(,]616. ………………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'2(1)()(1)x xx x a e axe f x be e -+-=-+， ………………1分 依题意'1(0)1,(0)2f f ==-，解得1a b ==； ………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()1x xx f x e e -=++，代入()1x x xf x ke e ->+-得 11x xx x x x e ke e e --+>++-即21x x x k e e -->-， ………………4分因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x x e e --<，所以20x xxe e ->-，所以10k ->即(1)2()01x x x xk xe e e e k----->--， ………………5分 令21t k=-，设()x x g x e e tx -=--则0t >， 又'()x x g x e e t -=+-. ………………6分（1）当02t <≤即0k ≤时，'()20x x g x e e t t -=+-≥-≥恒成立，所以()x x g x e e tx -=--在R 上单调递增，所以①当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0x x e e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，即()1x xxf x ke e ->+-成立， ………8分 ②当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0x xe e --<，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，即()1xxx f x ke e ->+-成立， 因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-成立，符合题意；…9分 （2）当2t >即01k <<时，由'()0x xg x e e t -=+-=得12ln ln 22t t x x +==，因为2t >，所以2120,0x x x >=-<，当2(0,)x x ∈时'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=，又因为此时0x xe e -->，10k ->，所以(1)2()01x x xx k x e e e e k-----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x xf x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意；………11分综上可知：k 的取值范围是0k ≤. ………………12分22．选修4-1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠= 故△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC= ………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）AB ADAE AC =，即AB AC AD AE ⋅=⋅． 又1sin 2S AB AC BAC =⋅∠，且12S AD AE =⋅，故11sin 22S AB AC BAC AD AE =⋅∠=⋅．数学（理科）答案 第11页（共11页） 则sin 1BAC ∠=，又BAC ∠为三角形内角，所以90BAC ∠=o ． (10)分23．选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………4分 所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线．……………………5分（Ⅱ）将32x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩…………………………6分代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- …………………8分AB =2128t t ==-= …………………………10分解法二：代入26y x =得2230t t --=， 12122,3t t t t +==- ……………8分AB =8=== ……………10分24．选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩……2分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数，所以max ()(3)2f x f ==．……………………………4分 （Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+， 令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m ≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ………………………………7分 ∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =，当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ．……………………………10分。
2016年福建高考理科数学试题及答案(Word版)
2016年福建高考理科数学试题及答案（满分150分，时间120分）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）98 （B ）99 （C ）100 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(–1,3) （C ）(–1,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）20π （B ）18π（C ）17π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）log log b a a c b c < （B ）c c ab ba <（C ）c ca b <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）4y x =（B ）3y x =（C ）2y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=2|DE|=5C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 33 (B )22 (C) 32 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13) 设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=______. (14) 5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是__________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为___________。
福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案
福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C（7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）0.3 （14）3- （15）5-（16）263三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= ··2分 又因为3B π=,1BD =，所以4BC = ． ··········3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅,5分即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD = ······6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，又AC =sin 2sin AC CD θθ=， ·······7分所以2cos CD θ=． ··················8分 在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-， 由正弦定理得，sin sin CD BD B BCD =∠，即12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-， 10分 化简得2cos sin(2)3θθπ=-， 于是2sin()sin(2)23θθππ-=-． ············· 11分 因为02θπ<<，所以220,222333θθπππππ<-<-<-<， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π, 解得==618θθππ或，故=618DCA DCA ππ∠∠=或． ····· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =， 所以A DCA ∠=∠．取AC 中点E ，连结DE ， 所以DE AC ⊥． ···················7分设DCA A θ∠=∠=，因为AC =2EA EC ==． 在Rt △CDE中，cos CE CD DCA ==∠ ········8分以下同解法一．（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，由余弦定理得，22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，∴1AB ，…………………………………………1分∴22211BB AB AB =+，∴1AB AB ⊥．………………………………………2分又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =，∴AC AB ⊥，又∵1ACAB A =，1B∴AB ⊥平面1AB C ． ··················4分又∵1B C ⊂平面1AB C ，∴AB ⊥1B C ． ····················5分（Ⅱ）∵111,2AB AB AC BC ====， ∴22211B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ···········6分如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，··························7分则()(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，， ∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ············8分设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为1)=n．……………………9分∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB=+=+=+-=-， (10)分∴111cos,35||||ACACAC⋅<>===nnn，….……………11分∴1AC与平面1BCB所成角的正弦值为35．······ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A作AH⊥平面1BCB，垂足为H，连结1HC，则1AC H∠为1AC与平面1BCB所成的角．·········6分由（Ⅰ）知，1AB AB⊥，1AB，1AB AC==，12B C=，∴22211AB AC B C+=，∴1AB AC⊥，又∵AB ACA=，∴1AB⊥平面ABC，·········7分∴111111332B ABC ABCV S AB AB AC AB-=⋅=⨯⨯⨯⨯=△．·····8分取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C ==，∴1PB BC ⊥．又在Rt ABC △中，1AB AC ==，∴BC =BP =，∴12PB ===，∴1112B BC S BC B P =⨯=△． ··············9分 ∵11A BCB B ABC V V --=，∴113BCB S AH ⋅=△，即13AH =7AH =． · 10分∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==，∴111AB B C ⊥，∴1AC == ······· 11分在1Rt AHC △中，11sin AH AC H AC ∠===， 所以1AC 与平面1BCB···· 12分1（19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则220210019()495CP MC==．·················4分（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当38a=时，384152X=⨯=；当39a=时，394156X=⨯=；当40a=时，404160X=⨯=；当41a=时，40416166X=⨯+⨯=；当42a=时，40426172X=⨯+⨯=．所以X的所有可能取值为152,156,160,166,172．····6分故X的分布列为：··························8分11121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以． 9分 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·· 10分 所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元． ·· 11分由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ······· 12分（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：(Ⅰ)将2px =代入22y px =，得y p =±，所以2ST p =， ·1分又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形，所以SF PF =，即32p p =-， 解得2p =，所以抛物线2:4E y x=，…………………………………………3分此时圆P 的半径为=所以圆P 的方程为()2238x y -+=． ··············4分(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-．··········5分 （ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()3M ±， ①当3x=+24y x =，得()2y =±．不妨设()()32,32A B ++-， 则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-即AF BF ⊥． ②当3x =-AF BF ⊥．………………….6分（ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E交于,A B 两点，所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠． 因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-， 所以01l x k y -=，…………………………………………………..7分 直线()00001:x l y x x y y -=-+． 由()200004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩得，2220000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ···8分即200004204011y x y y x x --+=--，所以001212004204,11y x y y y y x x -+==--， ··9分 所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=2212121144y y y y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭····· 10分()()()222221212121212123111641642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++()()()22000220005143061111x y x x x x --=-++---()()()()()2220000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()2200020244441x x y x ---=-()()220002046101x y x x -+-+==-，所以AF BF ⊥． ····················· 12分解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-， （*） 5分 设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()222100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，··········6分 由于FM AB ⊥，//MA MB ，所以()()()()22210021221202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩·······7分 注意到12y y ≠，()()()()()1200120120140,140.2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ····8分 由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，从而（1），（2）可化为001212004204,11y x y y y y x x -+==--． ··9分 以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为()()111f x a x x '=->-+，()e 1xg x '=-， ·····2分依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ············3分所以()111f x x '=-+1x x =+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为()1,0-， 单调递增区间为()0,+∞． ·5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥， ········6分（ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()11201F x x x '++-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立），此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥．7分（ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ·····8分由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥．··························9分 （ⅲ）当1k >时， 令()()e 11x k h x k x =+-++，则()()2e 1x k h x x '=-+，显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())1010,110h k h ''=-<=->， 所以()h x '在()1上存在唯一零点0x ， ········ 10分当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减，从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ·········· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥．设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥()11x x k x =+-+， ··6分 （ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增．所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ···········9分 （ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e 1x x +≥（当且仅当0x =时等号成立），所以当01x <<时，e 1x x ->-+，1e 1x x <-． 所以1()e 1(1)e 111x x kx F x k x x '=---=--++ 1111kx x x <---+11x kx x x =--+()211()11k k x x k x -+-+=-． ·· 10分 于是当101k x k -<<+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递减. 故当101k x k -<<+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ·········· 12分 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0． 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ···········6分 （ⅱ）当0k >时，设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11x k F x k x '=+-++， 令()()h x F x '=，则()()2=e 1x k h x x '-+．显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·············7分 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥；故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥．··························9分 ②当1k >时，由于())1'010,'110h k h =-<=->，所以()h x '在()1上存在唯一零点0x ， ········ 10分当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ·········· 12分请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结DE，因为,,,D CE G四点共圆，则ADE ACG∠=∠．······················2分又因为,AD BE为△ABC的两条中线，所以点,D E分别是,BC AC的中点，故DE AB．·········3分所以BAD ADE∠=∠，····················4分从而BAD ACG∠=∠．····················5分（Ⅱ）因为G为AD与BE的交点，故G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且2CG GF=．···············6分在△AFC与△GFA中，因为FAG FCA∠=∠，AFG CFA∠=∠，FABCDEG所以△AFG ∽△CFA ， ·················7分 所以FA FG FC FA=，即2FA FG FC =⋅．………………………………………………………9分 因为12FA AB =，12FG GC =，32FC GC =， 所以221344AB GC =，即AB ， 又1GC =，所以AB ················· 10分解法二：（Ⅰ）同解法一． ···············5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ·········6分 所以ABD △∽CGE △，所以AB AD CG CE =， ……………………………………………7分由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ···············9分 又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心， 所以23AG AD =,又=2=2AC AE EC ，所以222=23AD EC ，所以AD CE =所以AB CG=，因为1CG =，所以AB = ······· 10分（23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（Ⅰ）由3cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得2219x y +=， 即C 的普通方程为2219x y +=． ··············2分由sin 4ρθ⎛π⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，………（＊） ···3分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入（＊），化简得2y x =+， ········4分 所以直线l 的倾斜角为4π． ···············5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点()0,2P 在直线l 上， 可设直线l 的参数方程为cos ,42sin 4x t y t π⎧=⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩（t 为参数），即,222x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， ··············7分代入2219x y +=并化简，得25270t ++=． ·······8分 (245271080∆=-⨯⨯=>．设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1212270,05t t t t +=<=>，所以120,0,t t << ·····9分所以()1212PA PB t t t t +=+=-+= ······· 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一. ·················5分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为2y x =+.由222,99y x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得21036270x x ++=， ········7分 于是236410272160∆=-⨯⨯=>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12180,5x x +=-<1227010x x =>，所以120,0x x <<， ··························8分故12120|0||5PA PB x x x x +=--=+=. 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当1x -≤时，原不等式可化为122x x --<--，解得1x <-，此时原不等式的解是1x <-； ··············2分 （ⅱ）当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-， 此时原不等式无解； ·················3分 （ⅲ）当12x -≥时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >，此时原不等式的解是1x >； ··············4分 综上，{}11M x x x =<->或． ··············5分 （Ⅱ）因为()1f ab ab =+()()1ab b b =++- ········6分1ab b b +--≥ ·········7分11b a b =+--．········8分因为,a b M ∈，所以1b >，10a +>， ··········9分 所以()11f ab a b >+--，即()()()f ab f a f b >--． ··· 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤， 7分 所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+， ·················8分 即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->． ·····9分 因为,a b M ∈，所以221,1a b >>，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立． ················ 10分。
福建省福州市高三数学下学期第二次综合质量检测试题
福建省福州市2016届高三数学下学期第二次综合质量检测试题理（扫描版）2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）（16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······· 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ·························· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ···················· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2232c b bc ++=，① ······················· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，，即2bc a =，②···················· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ··············· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A == ··············· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． ································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．························ 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ······························ 9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ································ 12分 （19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··················· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ······················· 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ···················· 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ················ 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ··················· 7分因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-= 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ． ············· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)2E ，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生 11 9 20 总计 20 30 50所以(1,0,PD =-u u u r，(1,2,PC =-u u u r，3(,0,2EC =-u u u r ， ······ 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r所以0,20,x x y ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(=n ， ···················· 10分 设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin |cos ,|2EC α=<>==n u u u r ， ················ 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ·············· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则 直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ··················· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ·················· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ············ 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=．··············· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； · 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ·· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ···· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ·················· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ························ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=．··············· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； · 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ·· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ···· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ···· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ················· 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················ 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩····························· 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ········ 5分（Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············· 6分（ⅰ）若12m „，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ·········· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减， 又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ················· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ········ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ············ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-．因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AF AE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ··················· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ·························· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ··········· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ···················· 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=． ······················· 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ······················· 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩„或3,321,x x x >-⎧⎨+<+⎩ ····················· 2分 解得2x >．依题意2m =． ····························· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭„时取等号， ···················· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+„． ····························· 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=，····························· 9分 所以1t =或1t =-． ·························· 10分。