九年级上册知识点二次函数
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
2. 二次函数的特殊形式。
- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。
- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。
- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。
二、二次函数的图象和性质。
1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。
- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。
- 增减性。
- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。
2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。
- 图象：也是一条抛物线。
- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 增减性。
- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。
九年级上册数学知识点归纳
九年级上册数学知识点归纳一、二次函数二次函数是九年级数学的重点内容之一。
一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。
二次函数的图象是一条抛物线。
当\（a ＞0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线\（x ＝＼dfrac{b}｛2a}＼），顶点坐标是\（＼left(＼dfrac{b}｛2a}，＼dfrac{4ac b^2}｛4a}＼right)＼）。
求二次函数解析式的方法有一般式、顶点式和交点式。
一般式为\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）；顶点式为\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）（其中\（（h,k)＼）为顶点坐标）；交点式为\（y ＝ a(x x_1)（x x_2)＼）（其中\（x_1\）、＼（x_2\）是抛物线与\（x\）轴交点的横坐标）。
二次函数的应用也非常广泛，例如在解决最值问题、抛物线型的实际问题等方面都有重要作用。
二、一元二次方程一元二次方程的一般形式是\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）（＼（a ≠0\））。
解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
其中，公式法是求解一元二次方程的通用方法，对于方程\（ax^2＋ bx ＋ c ＝ 0\），其解为\（x ＝＼dfrac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼）（其中\（b^2 4ac\）称为判别式，当\（b^2 4ac ＞ 0\）时，方程有两个不相等的实数根；当\（b^2 4ac ＝ 0\）时，方程有两个相等的实数根；当\（b^2 4ac ＜ 0\）时，方程没有实数根）。
一元二次方程在实际生活中有很多应用，比如增长率问题、面积问题等。
三、旋转图形的旋转是指在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度。
这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
九年级上册数学二次函数知识点汇总
九年级上册数学二次函数知识点汇总二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义一般地，形如y = ax^2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
知识点二：二次函数的图像与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点1.二次函数y = a(x - h) + k的图像与性质1）二次函数基本形式y = ax^2的图像与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2）y = ax^2 + c的图像与性质：上加下减。
3）y = a(x - h)^2的图像与性质：左加右减。
4）二次函数y = a(x - h)^2 + k的图像与性质。
2.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与性质1）当a。
0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，-Δ/4a）。
当x。
-b/2a时，y随x的增大而增大；当x = -b/2a时，y 有最小值Δ/4a。
2）当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，Δ/4a）。
当x。
-b/2a时，y随x的增大而减小；当x = -b/2a时，y 有最大值Δ/4a。
3.二次函数常见方法指导1）二次函数y = ax^2 + bx + c图像的画法①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）。
利用配方法将二次函数y = ax^2 + bx + c化为顶点式y = a(x - h)^2 + k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y轴的交点，顶点。
2）二次函数图像的平移平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式y = a(x - h)^2 + k，确定其顶点坐标（h，k）。
②可以由抛物线y = ax^2经过适当的平移得到，具体平移方法如下：向上（k。
0）【或向下（k。
0）【或左（h < 0）】平移|h|个单位。
九年级数学二次函数知识点总结
二次函数【知识脉络】【基础知识】 Ⅰ. 二次函数概念1．一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． Ⅱ. 二次函数基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴性质0a > 向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：Ⅲ. 二次函数图像的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．Ⅳ. 二次函数的图像与系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ； 概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．Ⅴ. 二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.Ⅵ. 二次函数的实际问题二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少。
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点篇1：九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点二次函数二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(乘)=a乘^2b乘c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2;b乘c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(乘m)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(乘-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(乘-乘1)(乘-乘2)[仅限于与乘轴有交点A(乘1，0)和B(乘2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(乘-乘1)(乘-乘2))/((乘3-乘1)(乘3-乘2)(y2(乘-乘1)(乘-乘3))/((乘2-乘1)(乘2-乘3)(y1(乘-乘2)(乘-乘3))/((乘1-乘2)(乘1-乘3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(乘1乘乘2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
乘是自变量，y是乘的二次函数乘1,乘2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并注明乘=什么3与乘轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。
2024九年级数学上册“第二十二章 二次函数”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。
这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。
二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。
开口方向与大小：由二次项系数a决定。
当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。
2. 顶点式：对称轴为直线x = h。
3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。
顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。
2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。
最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。
函数图像与x轴的交点即为该方程的根。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
九年级二次函数所有知识点
九年级二次函数所有知识点九年级二次函数是数学课程中的重要内容，掌握好二次函数的知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学都具有重要意义。
接下来，我们将逐一介绍九年级二次函数的所有知识点。
一、二次函数的定义二次函数是形如y = ax²+ bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
其中，a为二次函数的二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二、二次函数的图像特点1. 凹凸性：当a>0时，二次函数的图像开口朝上，凹；当a<0时，二次函数的图像开口朝下，凸。
2. 对称轴：二次函数的图像关于直线x = -b/2a 对称。
3. 最值点：当a>0时，二次函数的最值点为最低点，最小值为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值点为最高点，最大值为c-b²/4a。
三、二次函数的零点1. 零点定义：二次函数的零点是函数曲线与x轴的交点，即求解方程ax² + bx + c = 0。
2. 判别式：二次函数零点的判别式Δ = b²-4ac，当Δ>0时，有两个不同的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实数根。
3. 求根公式：根据判别式Δ的值，可以使用求根公式x = (-b±√Δ)/2a 求得二次函数的零点。
四、二次函数的图像与系数的关系1. a的取值：当a>0时，二次函数图像开口朝上，a的绝对值越大，图像越扁平；当a<0时，二次函数图像开口朝下，a的绝对值越大，图像越陡峭。
2. b的取值：b的正负决定了二次函数对称轴与y轴的位置关系，当b>0时，对称轴在y轴右侧；当b<0时，对称轴在y轴左侧。
3. c的取值：c的值决定了二次函数图像与y轴的位置关系，当c>0时，图像在y轴上方；当c<0时，图像在y轴下方。
五、二次函数的应用1. 最值问题：通过求二次函数的最值点，可以解决最值问题，如最大值、最小值的求解。
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九年级上册知识点二次函数
九年级上册知识点：二次函数
一、引言
在九年级上册的数学课本中，我们将学习到许多重要的数学知
识点，其中包括二次函数。
二次函数是代数学中的重要概念，它
在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对九年级上册的二次函数
进行详细的介绍和解析。
二、二次函数的定义和特点
二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它是一个二次多项式，其中的x^2项是最高次项，而x和常数项分别是一次和零次项。
二次函数的图像形状为抛物线，如果a>0，则抛物线开口向上，称为顶点向上；如果a<0，则抛物线开口向下，称为顶点向下。
顶点坐标可以通过求解二次函数的极值点来获得。
三、二次函数图像的性质
1. 对称性
二次函数的图像具有对称性。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，对于任意的x值，f(x) = f(-x)，即抛物线关于y轴对称。
2. 峰值与最小值
如果二次函数的开口向上，顶点为最小值点；如果二次函数的开口向下，顶点为最大值点。
3. 零点
二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点。
我们可以通过求解f(x) = 0来确定二次函数的零点。
4. 增减性
如果二次函数的导数大于零，说明函数增加；如果二次函数的导数小于零，说明函数减少。
四、二次函数的应用
二次函数在现实生活中有许多应用，下面我们来介绍其中两个典型的应用场景。
1. 抛物线的运动模拟
我们知道，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来模拟。
当一个物体被斜抛时，它的运动轨迹形状呈抛物线。
通过建立合适的二次函数模型，我们可以计算出抛物线的参数，从而预测物体的落点或者反向求解初始速度等。
2. 最优化问题
二次函数在最优化问题中也有广泛的应用。
例如，我们希望以最小的成本建造一座桥梁，可以通过建立一个二次函数模型来求解最佳的桥梁设计方案。
同样，我们也可以利用二次函数来解决最大化收益或最小化风险的问题。
五、二次函数的解法与技巧
在解题过程中，我们有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地理解和解决二次函数相关的问题。
下面列举几个常见的解题技巧：
1. 求解顶点坐标
通过求解二次函数的极值点，我们可以获得抛物线的顶点坐标。
这对于确定图像的特征和性质非常重要。
2. 求解零点
通过解二次方程f(x) = 0，我们可以确定二次函数的零点。
这对于求解函数图像与x轴的交点非常有帮助。
3. 利用对称性
由于二次函数具有对称性，我们可以根据对称性质简化问题的
解答过程。
例如，如果我们已知一个零点x1，那么函数图像对应
的另一个零点为-x1。
四、总结
二次函数是数学中的重要概念，我们在九年级上册将学习到关
于二次函数的定义、性质、应用以及解题技巧。
通过深入理解和
掌握这些知识，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，并
为未来的学习打下坚实的基础。
希望通过本文的介绍，同学们能
够对二次函数有更深入的理解和认识。