线性代数教材讲解
零矩阵.
00 00 1 n
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
线性变换与矩阵之间关系:存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2
x2,
y n x n
称之为恒等变换.
y1 x1,
y2
x2,
y n x n
对应
1 0 0 1 0 0
6 2
2 i 2
是一个
33复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 31矩阵,
4
2359
4
是一个 14矩阵,
是一个 11矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
an1x1an2x2annxnbn
若常 b 1,b 2, 数 ,b n 不 项 全 ,则称为 此方程组零 为非 齐次线性方程组; 若常 b 1 ,b 2 , 数 ,b n 全 项 ,为 此时称方程组为齐次线性方程组.
a11x1 a12x2 a1nxn b1 2. 线性方程组 a21x1a22x2a2nxnb2
0
0
单位阵.
1
线性变换
xy11 scion sxxcsion syy,.
对应
cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P 1x1,y1
Px,y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
3
1
1
-1
1
1
-1
3
1
1
1
-1
1
1
3
1
1
1
1
-1
1
3
1
1
1
1
-1
1
3
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1
A
1
1
3
1
1
1
1 1 1 3 1 1
1 1
1 1 1 3 1 1 1 1
1 3
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n
三、特殊矩阵及与矩阵有关的概念
(1)行数与列数都等于 n的矩阵 A，称为 n阶 方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2 i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：
方阵和方阵的行列式是不同的含义.
(2）只有一行的矩阵
A a 1 ,a 2 , ,a n ,
3. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 ,
如图所示表示了四城市间的 A 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与B.
B
C D
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
到站
A
B
C
D
A
发站 B C
D
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
改成1,空白地方填上
0
0
0
0.
0 0 0 0
对于 n 阶方阵A A＝O
|A| = 0
|A| = 0
A＝O
若 |A| = 0, 称 A 为奇异矩阵；
若 |A| = 0, 称 A 为非奇异矩阵；
(6) 设A = ( aij )为 n 阶方阵, 对任意 i, j, 如果aij = aji 都成立, 则称A为对称矩阵; 如果aij = –aji 都成立, 则称 A为反对称矩阵;
an1x1 an2x2 annxn bn
的解取决于
系数 a iji,j 1 ,2 , ,n ,
常数项 b ii 1 ,2 , ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a12 a1n b1 对线性方程组的 a21 a22 a2n b2 研究可转化为对 这张表的研究. an1 an2 ann bn
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am 2 amn
称为 m n 矩阵.简称 m n矩阵. 记作
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am1 amn
矩阵 A的
A
B
C
D
A B
C D
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
4. 田忌赛马
田忌
1
2
3
4
5
6
的策略 上
上
中
中
下
下
齐王 的策略
中
下
上
下
中
上
下
中
下
上
上
中
1上 中 下 2上 下 中 3中 上 下 4中 下 上 5下 中 上 6下 上 中
3
1
1
1
1
-1
1
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a 1
B
a2
,
a n
称为列矩阵(或列向量).
（3）
不全为0
1 0
形如 0 2
0
O
0
0
O0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作
A d 1 i ,2 , a ,n . g
y1 a11x1 a12x2 a1nxn,
y2 a21x1 a22x2 a2nxn,
ym am1x1 am2x2 amnxn.
a11
A
a21
am1
a12 a22 am1
a1n a2n 系数矩阵 amn
例如:
A
1 2 3
2 5 4
643
B3202 0ຫໍສະໝຸດ 4043A为对称矩阵, B为反对称矩阵.
(7) 同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
a11
A
a21
am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
方阵 mn;
a 1
(2) 特殊矩阵
行矩阵与列矩阵;
单位矩阵; 11 00
对角矩阵;
A 0102 a B 1 , a 2 0000, aa n2.,,a n ,
第二章 矩阵及其运算
矩阵的概念 矩阵的运算 逆矩阵 矩阵分块法
第一节 线性方程组和矩阵
矩阵概念的引入（线性方程组） 矩阵的定义 小结、思考题
一、矩阵概念的引入－线性方程组
1、非齐次与齐次线性方程组的概念
a11x1a12x2a1nxnb1
设线性方程组 a 21x1 a 2 2x2 a2n xn b2
m , n 元
简记为 A A m n a im j n a i. j
这 m n 个数 A 的 称 ,元 简 为 素 称 . 为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 24实矩阵,
13 2
(4)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
全为1
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n零
矩阵记作 omn 或 o.
注意 例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
间的关系式
y1 a11x1 a12x2 a1nxn,
y2
a21x1 a22x2 a2nxn,
ym am1x1 am2x2 amnxn.
表示x 1 ,一 x 2 , ,x n 到 个y 1 变 ,从 y 2 , ,y m 的 量 变 线性变换. 其中aij为常数 .
2.两个矩阵 A a ij 与 B b ij 为同型矩阵,并
且对应元素相等,即
a i j b i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵 A与B相等,记作 AB.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n 个 x 1 , x 2 , 变 , x n 与 m 个 量 y 1 , y 2 , 变 , y m 之
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
线性代数（同济教材,第六版）知识点的细分目录
线性代数（同济教材，第六版）知识点的细分目录第一章行列式0101 排列与逆序数0102 行列式定义0103 几个特殊行列式0104 行列式性质0105 行列式按行（列）展开0106 单元小结0107 单元测试第二章矩阵及其运算0201 矩阵的引入0202 矩阵的运算0203 矩阵的转置与对称矩阵0204 逆矩阵0205 伴随矩阵与克拉默法则0206 分块矩阵0207 单元小结0208 单元测试第三章矩阵的初等变换与线性方程组0301 矩阵的初等变换030101 用消元法求解线性方程组030102 矩阵的初等变换及其相关定理030103 矩阵之间的等价关系0302 初等矩阵030201 初等矩阵的定义030202 有关初等矩阵的定理030203 用初等变换求逆矩阵030204 用初等变换解矩阵方程0303 矩阵的秩030301 k阶子式的概念030302 矩阵秩的概念和基本性质030303 矩阵秩的计算030304 矩阵秩的性质续（放在辅导难点部分）0304 线性方程组的解030401 线性方程组解的判定030402 线性方程组的解法030403 两个推广（放在辅导难点部分）0305 单元小结0306 单元测试第四章向量组的线性相关性0401 向量组及其线性组合040101 n维向量空间的概念040102 向量组的线性组合040103 向量组之间的线性表示0402 向量组的线性相关性040201 线性相关、线性无关的概念040202 线性相关性的判定040203 线性相关、线性无关的性质0403 向量组的秩040301 最大线性无关组与向量组的秩040302 矩阵的秩与向量组的秩的关系040303 向量组之间的线性表示和秩的关系0404 线性方程组的解的结构040401 齐次线性方程组040402 非齐次线性方程组0405 向量空间040501 向量空间的概念040502 子空间040503 基、维数与坐标040504 过渡矩阵和坐标变换0406 单元小结0407 单元测试第五章相似矩阵及二次型0501向量的内积、长度及正交性050101向量的内积及长度050102向量的正交性050103施密特正交化方法050104正交矩阵及正交变换0502方阵的特征值与特征向量050201特征值与特征向量的概念050202特征值与特征向量的性质0503相似矩阵050301相似矩阵的概念及性质050302矩阵的相似对角化0504对称矩阵的对角化050401实对称矩阵050402实对称矩阵的正交对角化0505二次型及其标准型050501二次型及其标准形050502用正交变换化二次型为标准形0506用配方法化二次型为标准形0507正定二次型050701正定二次型的概念及惯性定理050702正定二次型的判定0508 单元小结0509 单元测试。
线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
线性代数 第六版
线性代数第六版简介线性代数是一门研究向量空间及其上的线性变换的学科。
在数学领域中，它是一门重要而基础的学科，被广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等等。
本文将介绍《线性代数第六版》这本书的内容和特点。
作者本书的作者是Gilbert Strang。
Gilbert Strang是美国的一位著名数学家，现任麻省理工学院应用数学系教授。
他的主要研究领域是应用数学和数值分析，特别是在线性代数的教学和应用领域有着丰富的经验。
内容概述本书是一本线性代数的教材，共分为十二个章节。
以下是每个章节的简略概述：1.第一章介绍了向量和矩阵的基本概念，包括向量的几何解释、矩阵运算和矩阵的性质。
2.第二章讨论了线性方程组和矩阵的消元法，以及矩阵的秩和求解线性方程组的方法。
3.第三章介绍了矩阵的逆和逆矩阵的性质，以及逆矩阵的求解方法。
4.第四章讨论了线性变换和坐标变换，以及线性变换对于矩阵的表示。
5.第五章介绍了特征值和特征向量的概念，以及对角化和相似矩阵的性质。
6.第六章讨论了正交向量和正交矩阵，以及正交矩阵的特性和应用。
7.第七章介绍了复向量空间和复数域上的线性代数，包括复数的运算和复向量的性质。
8.第八章讨论了对称矩阵和二次型，以及对称矩阵的对角化和奇异值分解。
9.第九章介绍了线性相关性和线性无关性，并讨论了向量空间的基与维数。
10.第十章讨论了正交补空间和投影运算，以及最小二乘问题的求解方法。
11.第十一章介绍了复数域上的正交矩阵和正交变换，以及复数域上的最小二乘问题。
12.第十二章讨论了内积空间和希尔伯特空间，包括内积、范数和正交性的概念。
特点《线性代数第六版》有以下几个特点：•简洁明了的叙述风格，易于理解和学习。
•丰富的例子和练习，帮助读者掌握概念和方法。
•强调线性代数与实际问题的联系，注重应用层面的讲解。
•提供了大量的实际应用案例，帮助读者将理论知识应用到实际中。
•给出了详细的解题步骤和解答，方便读者自学和复习。
注电考试最新版教材-第23讲 数学：线性代数(一)
线性代数一、n 阶行列式 （一）n 阶行列式的定义设有n 2个数a ij （ i = 1 , 2 ， … ，n ；j ＝ 1 , 2 ,… ，n ），记号称为n 阶行列式。
行列式（ 1-8-1 ）也简记作 D n 或△（a ij ） 把ij a 所在的第i 行和第j 列划去，剩下一个n-1阶行列式M ij 称为 D n 的对应于元素 a ij 的余子式。
令A ij 称为 D n 的对应于元素 a ij 的代数余子式。
每个n 阶行列式都对应一个数，这个数称为该行列式的值。
记号（ 1-8-1 ）既表示行列式，又表示行列式的值。
行列式的值用数学归纳法定义为按此定义．即有 1 阶行列式2 阶行列式3 阶行列式计算 2 阶和 3 阶行列式的值时，有“对角线法则” : 2 阶行列式时，即把 a 11 － a 22的连线称主对角线， a 12 － a 21 的连线称次对角线。
主对角线上各元素的乘积冠， “ + ”号，次对角线上各元素的乘积冠“－”号，然后作代数和，所得结果即为 2 阶行列式的值。
3 阶行列式时，主对角线上各元素的乘积冠， “ + ”号，次对角线上各元素的乘积冠“－”号，然后作代数和，所得结果即为3阶行列式的值。
（二）行列式的性质2. 互换行列式中的两行（列），则行列式的值变号。
3.行列式中任一行（列）的元素与它对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。
式（ 1-82 ）称为行列式按第 i 行展开公式和按第 j 列展开公式。
4.把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
例如以数 k 乘第 i 行加到第 j 行上，有5.行列式中如果有两行（列）的元素相同，则行列式的值为 0。
6.行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0。
即7.以数 k 乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 k 乘这个行列式。
8.行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为 0。
线性代数教材
线性代数教材线性代数教材线性代数的教学内容包括行列式、矩阵和向量等。
它有助于学生深入理解抽象的数学概念，而且又与专业紧密联系。
我认为：线性代数的重要意义在于它是大学一年级各专业学习的必修课程，学好了这门课程可以使我们更清楚地认识自己的专业，可以看出你对所学专业的掌握情况如何。
线性代数的主要内容是矩阵，其基本运算（乘法、除法、行列式、矩阵）是后续课程学习的基础。
要想学好线性代数首先就要熟悉其内容，知道矩阵的表示方法。
掌握矩阵的秩与逆矩阵的求法是基础，进而还需要弄清什么时候用秩来计算，什么时候用逆矩阵求逆矩阵。
2。
加强计算机技能的训练。
学会熟练地运用计算机。
在学习的过程中可以进行许多必要的数据处理工作，并学会利用计算机进行辅助学习，使用相应的软件进行模拟实验，掌握线性代数的一些基本方法。
例如，在研究行列式的性质时，如果让同学们用计算机进行计算，很快便能得到行列式的定理。
在平常的学习中，也经常可以见到许多优秀学生用计算机来解决线性代数问题。
3。
扩展知识面。
当今社会是一个信息社会，我们已经无法避免与之接触，因此扩展知识面十分重要。
线性代数是一门涉及领域非常广泛的课程，特别是在经济领域里，将来的社会生活越来越离不开线性代数。
所以说线性代数的教学具有非常重要的现实意义。
线性代数作为高校经济类、管理类等相关专业的基础课程，对于学生后续课程的学习具有十分重要的作用。
而且通过对该课程的学习，不仅能够让学生获得基本的线性代数知识，而且还能培养学生科学研究的初步能力。
我们只有将线性代数的教学落到实处，才能提高学生对线性代数的学习兴趣，并培养出符合社会发展需要的高素质人才。
4。
线性代数课程的实践性较强，要求教师在讲授每一节内容前，都要给学生留有思考和讨论的空间，做到教学相长。
这样，教师可以总结出每一章节的重点和难点[gPARAGRAPH3]关键，指导学生去看书学习；在教学中有目的的引导学生观察和讨论，并将课堂的讨论贯穿于整个教学过程中，使学生积极参与教学活动，教学效果就能得到较大的提高。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
本科高等数学线性代数教材
本科高等数学线性代数教材高等数学是大多数理工科专业必修的一门课程，线性代数则是高等数学的一个重要组成部分。
本科高等数学线性代数教材的编写旨在帮助学生掌握线性代数的基本概念、理论和实际应用，并培养学生的数学建模和问题解决能力。
本教材以系统性、科学性和教育性为原则，将线性代数的内容分为以下几个模块：第一模块：向量的基本概念和运算本模块介绍了向量的基本概念及其在几何和物理问题中的应用。
包括向量的表示方法、向量的线性运算、向量的数量积和向量的向量积等内容。
通过丰富的几何示例和物理问题，帮助学生理解向量的概念和运算法则。
第二模块：矩阵的基本性质和运算本模块介绍了矩阵的基本性质和运算，矩阵与线性方程组的关系以及矩阵的初等变换。
包括矩阵的定义、矩阵的运算法则、矩阵的秩和逆等内容。
通过大量的例题和应用问题，培养学生解决矩阵计算和线性方程组的能力。
第三模块：线性方程组和线性方程组的解法本模块介绍了线性方程组的基本概念和解法，包括线性方程组的消元法、矩阵法和向量法等。
通过详细的步骤和实例，帮助学生理解解线性方程组的基本思路和方法。
第四模块：特征值与特征向量本模块介绍了特征值与特征向量的定义和性质，以及矩阵的对角化和相似矩阵的概念。
通过丰富的实例和应用问题，帮助学生理解特征值与特征向量在线性代数中的重要作用。
第五模块：线性映射和线性变换本模块介绍了线性映射和线性变换的基本概念、性质和表示方法，以及线性变换的矩阵表示和特征向量的应用。
通过具体的实例和应用问题，帮助学生理解线性映射和线性变换的概念和特点。
第六模块：内积空间和正交向量组本模块介绍了内积空间和正交向量组的概念、性质和应用。
包括内积的定义、内积空间的性质、正交向量组和正交矩阵等内容。
通过改进的施密特正交化方法和应用问题，培养学生解决内积空间和正交向量组相关问题的能力。
每个模块都采用辅以详细的数学推导和丰富的实例分析，旨在帮助学生理解数学概念和方法，提高解题和证明的能力。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义【实用版】目录1.刘金峰线代讲义简介2.线性代数概念及应用3.刘金峰线代讲义的特点4.刘金峰线代讲义的使用方法5.总结正文一、刘金峰线代讲义简介《刘金峰线代讲义》是一本关于线性代数课程的辅导教材，作者是刘金峰教授。
线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性方程组、矩阵、行列式等概念，具有广泛的应用价值。
刘金峰教授凭借多年的教学经验，为学生编写了这本实用性强的讲义，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的相关知识。
二、线性代数概念及应用1.向量空间：向量空间是线性代数的基本概念之一，主要研究向量的加法、数乘等运算。
向量空间可分为有限维和无限维两种，常见的向量空间有欧几里得空间、希尔伯特空间等。
2.线性方程组：线性方程组是线性代数的另一个重要概念，主要研究如何求解线性方程组。
常用的求解方法有高斯消元法、矩阵分解法等。
3.矩阵：矩阵是一种特殊的向量，用于表示线性方程组、线性变换等。
矩阵具有行、列、元素等概念，可以进行加法、数乘、乘法等运算。
4.行列式：行列式是一种衡量矩阵大小的量，具有重要的几何意义。
行列式可以用来求解线性方程组、判断矩阵的正定性等。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念，用于研究线性变换的性质。
特征值与特征向量可以应用于求解线性方程组、矩阵对角化等问题。
三、刘金峰线代讲义的特点1.体系完整：刘金峰线代讲义按照线性代数的知识体系进行编排，从基础到进阶，体系完整，便于学生系统学习。
2.内容详尽：讲义对每个知识点都进行了详细的讲解，举例丰富，便于学生理解。
3.难点突出：讲义对线性代数的难点知识进行了深入剖析，帮助学生突破难点。
4.习题丰富：讲义配备了丰富的课后习题，有利于学生巩固所学知识。
四、刘金峰线代讲义的使用方法1.结合教材使用：学生可以在学习教材的过程中，参考刘金峰线代讲义，以获得更全面的知识体系。
2.系统学习：学生可以按照讲义的知识体系进行系统学习，从基础到进阶，逐步掌握线性代数的相关知识。