小五数学第11讲：神奇的数字9(学生版)
神奇的9(优秀)
k 个9 k 个9
为 2007 9=18063 ． 【例 3】 如果 A 3 33 333 ... 33...3 ，那么 A 的各位数字之和是多少。
2010个3
【解析】 10 A 30 330 3330 ... 33...30
2010个3
,
所
以 ，
9 A 33...30 3 3 ... 3= 33...327300
2 个 0 次 2010 1 个 0 3
2
A 33...327300 9 370370...370369700 ，数字和为 668 10 25=6705
2006个3 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8个370
【例 4】 检验下面的加法算式是否正确： 2638457＋3521983＋6745785＝12907225。 【解析】若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果 不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数为 0；和的九余数为 1。因为 0≠1，所以这个算式不正确
55...5 33...3 乘积的各位数字之和是多少？
2007 个5 2007 个3
55...5
【解析】 55...5 33...3=
2007 个5 2007 个3 2007 个5
3
则可知乘积的各位数字之和 99...9 =N 99...9 ,N 为整数，
第六讲 神奇的9
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 的形式：
品 升 2 ï ï þ 1 而 思}余？ 2 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：、 品 格ü ï ï ï 兴 趣ï ý余？ ï ï +2 升 3 ï ï þ 2 而 思}余？ 1、 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：
3 25 45
225 15 1
5 9 75
【第三单元 4】有写有 1~9 的九张牌，A 和 B 各抽 3 张，A 看了自己的三张牌后，对 B 说：你的 三个数之和不可能是 15. 请问 A 是如何知道的？他抽到的可能是哪三张牌？ 【答案】 （4,5,6）或（2,5,8） 【分析】从 1～9 的三阶幻方辅助分析：
【第一单元 2】将 1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以 9 的余数. 【答案】3 【分析】这个多位数与 1 + 2 + 3 + + 2013 对 9 同余（数码相同） ； 1 + 2 + 3 + + 2013 = 2013´1007 6 ´ 8 = 48 º 3(mod 9) 【点评】此题孩子容易把数拆成 1 + 2 + 3 + 4 + + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + + 2 + 0 + 1 + 3 ，确实是 拆成了各个数位数字和，但此式根本无法计算. 并不是全拆开一定最好，而是拆到容易计算最好. 反正无论怎么拆，数字从未变过，故除以 9 的余数不会变. 【第一单元 4】已知 2 的 29 次方由 9 个不同数字组成，那么缺少哪个数字？ 【答案】4 【分析】乘方数太大，不要死算，找余数的周期规律. 由于 26 = 64 º 1(mod 9) ，则 229 º 25 º 5(mod 9) ； 而 0 + 1 + 2 + 3 + + 9 = 45 是 9 的倍数；因此缺的数字是 9 - 5 = 4 . 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2
部编版数学六年级上册第5讲.神奇的九
2.
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□ 32 □是 9 的倍数. 请随便填出一种，
并检查自己填的是否正确.
【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □3 2 □是 9 的倍数，
而 4 3 2 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为
将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的
数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为
，这些“好数”的最大公因数是
．
【分析】一个数与其各位数字之和模 9 同余，显然这个数除以 9 余 6，这是一个同余类，其内部的
数 从 小 到 大 排 成 一 个 等 差 数 列 ， 公 差 为 9 首 项 为 6 ， 末 项 为 2004 ， 其 个 数 为
n个6
(n-1)个 2 (n-1)个7
法 2：原式 9999999 2222222 (10000000 1) 2222222
22222220000000 2222222
22222217777778 所以，各位数字之和为 7 9 63 法 3：原式 9999999 2222222
(10000000 1) 2222222
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是 错误的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式两端一定 满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的数字谜问题。
例5
（2010 年第 15 届华杯赛决赛第 5 题）
第 １１ 级下 超常体系 教师版 ５
数字9真奇妙
数字９真奇妙李明亮在十进制记数法中，９是最大的数字，也是最大的一位数。
９有许多奇妙的性质和用途。
一、能被９整除的数的特征：如果一个多位数的各位数字之和能被９整除，那么，这个多位数就能能被９整除。
二、如果一个多位数的各位数字之和被９除余几，那么，这个多位数被９除也一定余几。
由此可以得出以下结论：把一个多位数的各位数字相加，若其和不是一位数，就再把这个和的各位数字相加，直到得出一位数为止。
若最后得到的一位数是９，则这个多位数就能被９整除；若最后得到的一位数不是９，则这个一位数就是这个多位数被９除的余数。
例如：（１）４＋４＋８＋７＋３＋１＝２７，２＋７＝９，所以４４８７３１能被９整除；（２）３＋６＋８＋８＋２＋１＝２８，２＋８＝１０，１＋０＝１，所以３６８８２１被９除余１。
常用的弃九验算法用的就是９的这个性质。
99、999、……也有类似的性质。
例如：64+48+86=198，1+98=99，所以644886能被99整除。
30+380+685=1095，1+95=96，所以30380685被999除余96。
三、任何一个多位数，把它的数字打乱，重新排列后得到的多位数与原多位数相减，其差必定是9的倍数。
如，85—58＝２７，８６２２—２２６８＝６３５４，27和6354都是９的倍数。
四、用三个不完全相同的数字排成一个最大的三位数，并把它倒转成最小的三位数，再把两个三位数相减，然后用其差的三个数字重复上述运算。
最多五次，就可得到４９５。
例如，３２１—１２３＝１９８，９８１—１８９＝７９２，９７２—２７９＝６９３， ９63—369＝５９４，９５４—４５９＝４９５。
７００—００７＝６９３，９６３—３６９＝５９４，９５４—４５９＝４９５。
用四个不完全相同的数字，按上述方法进行计算，最后将会得到6174。
用五个、六个不完全相同的数字，按上述方法进行运算，也会有类似的现象发生，但不是出现一个固定不变的数，而是几个数循环出现。
小学奥数：神奇的9
（1）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1+1）÷9……2
（2）2010─2000+1=11（个） 2×11+1+2+3+┈+9+1=68 68÷9……5
（1）（7+6+5+9+4）÷9……4 （2）1+2+3+┈+9+1=46
46÷9……1
数字9的灵活使用
17+8=25 加数的数字和为：1+7+8=16 和的数字和为：2+5=7
=（1 ─ 0.1）+（1 ─ 0.01）+（1 ─ 0.001）+（1 ─ 0.0001）+（1 ─ 0.00001） =1 +1+1 +1 +1─ 0.1 ─ 0.01 ─ 0.001 ─ 0.0001 ─ 0.00001 =5─ 0.11111 =4.88889
=(20 ─ 1)+(200 ─ 1)+(2000─ 1)+(20000 ─ 1) =20 +200 +2000+20000 ─ 1─ 1─ 1─ 1 =22220 ─ 4 =22216
进了一次位，和的数字和 比加数的数字和少一个9
假设A─B=C，借了5次位 则B+C=A，需要进5次位 100+5×9─50=95
20+40─3×9=33
和的数字和：3+1+2=6 加数的数字和：6+9×n 选出9个数字和最大：1+2+3…+9=45 选出9个数字和最小：0+1+2+3…+8=36 6+9×4=42 45─42=3 答：其中未被选中的数字是3。
中班数学教案数字九
中班数学教案数字九数字是幼儿数学学习的重要内容之一，通过数字的学习，幼儿能够发展数学思维和观察力。
本教案旨在帮助中班幼儿掌握数字九的概念和基本技能，培养他们对数字九的认知和兴趣，同时引导幼儿体验数字九在日常生活中的应用。
教学目标：1. 认识数字九。
2. 能够正确书写数字九。
3. 能够用手指或物体表示数字九。
4. 能够通过各种游戏和活动巩固数字九的概念。
教学准备：1. 数字九的卡片或海报。
2. 许多关于数字九的图片、玩具或实物。
教学活动：一、认知数字九（10分钟）1. 教师出示数字九的卡片或海报，引导幼儿观察数字九的形状，并大声朗读数字九。
2. 让幼儿观察教室中的物品，找出与数字九相关的物体，例如九个椅子、九张桌子等。
3. 带领幼儿一起数数，从1数到9，重点强调数字九，让幼儿感受数字九的独特性。
二、书写数字九（15分钟）1. 教师在黑板或大幅纸上示范书写数字九的形状，然后引导幼儿用手指在空中画出数字九的形状。
2. 每个幼儿用指头在纸上画出数字九的形状，教师可以逐个指导纠正。
3. 给幼儿分发练习册，让他们在练习册上书写数字九，可以使用彩笔或彩纸增加趣味性。
三、数数九（20分钟）1. 教师带领幼儿进行数数游戏，把桌上的小球一个一个地放入一个透明容器中，数到第九个小球时停止。
2. 让每个幼儿分别拿出九个手指，数数并触摸自己的手指，强调手指按顺序排列，有九个手指。
四、九个的表达和应用（20分钟）1. 教师出示九个玩具汽车，让幼儿分成九个小组，每个小组检查和数数属于自己组的玩具汽车。
2. 引导幼儿观察九个小人站成的长队，让他们体会九的概念，并引导他们分别在两边加上4个小人，让幼儿计数。
五、游戏巩固数字九（30分钟）1. 数字九找一找：将教室中乱放的数字卡片挂在墙上，让幼儿分组上前找出数字九的卡片，看哪个组先找到。
2. 九宝箱：教师事先准备一个盒子，里面放有一些与数字九相关的物品，让幼儿轮流摸索物品，当有人摸到九个物品时，按键盖上盒子，并宣布“九宝箱”。
神奇的数字九
神奇的数字九
神奇的数字九#未解之谜 #奇闻
你知道九这个数字有多，神奇吗？别着急划走，看完后你会觉得数字九是一个看似简单，却连接着所有多边形以及数字的奥秘，甚至可能是解开宇宙万物的一把钥匙圆有三百六十度，我们将这度数相加，就是三加六等于九儿。
此时，江源均匀分割就是一百八十度，而一加八等于九在分割就是九十度相加，还是九在分割四十五度依然还是九再对半看就是二十二点五度。
那么此时出现了小数点二加二加五是不是神奇的还是就这就像是无限循环。
一样，无论你再往下将二十二点五度一直对半分出现的情况都是等于九这就是九打开了原的分割。
奥秘。
而在多边形的内角合上再一次证明了九的强大三角形的内角和一百八十度，那么这时候香加一加八等于九四边形的内角和三百六十度还是九五边形的内角和五百四十度依然还是九六边形的内角和七百二十度相加数字还是等于九，再往下无限循环。
出七边形八边形答案都是一样，全部给数字九统治了甚至在自然数中，你会发现这么奇怪的规律，从一加到吧？答案就是三十六在将三和六相加，还是九由此可见，九在数字中是非常强大，统领着数字间的奥秘。
神奇的9
神奇的“9”“9”是颇具神秘的数字，在中国有“九九归一”、“九九长寿”等吉利的传说，在国外，有人说它隐藏在每个著名人物的生日里，以华盛顿的生日为例，他生于1732年02月22日，把这八个数字1、7、3、2、0、2、2、2进行排列，可得到许多不同的数，如73202221，32022217，20222173，…，如果从中任取两个数，用较大的减去较小的，将所得的差中的各位数字相加，若这时和大于10，再将它的各位数字相加，直到它的和为一位数为止，则这个数必为“9”。
例如：73202221－32022217=41180004＞10则4＋1＋1＋8＋0＋0＋0＋4=18＞10则1＋8=9又如20222173－02221732=18000441＞101＋8＋0＋0＋0＋4＋4＋1=18＞101＋8=9其实，除了1111年11月11日出生的人，能得到这吉祥的“9”外，其余每个人的生日数字都会得到这个吉利的“9”。
这到底是为什么？事实上，答案很简单，只要把一个人的生日中的年用4位数字表示，月和日用2位数字表示。
再把该人的生日中8个数字随意排列，按前面介绍的方法去操作，就会得到神秘的“9”。
在解释为何凡夫俗子也能和伟人的生日一样，占有神秘的“9”之前，先看两个性质：性质1 一个数被9整除的充要条件是该数的各位数字之和能被9整除。
证明：设这个数为a1a2…a n（a i∈N, i=1,2,…,n且a1≠0）则a1a2…a n=a1×10n－1＋a2×10n－2＋…＋a n－1×101＋a n=a1（10n－1－1）＋a2（10n－2－1）＋…＋a n－1（101－1）＋（a1＋a2＋…＋a n）显然9∣（10i－1）（i∈N）所以9∣[a1（10n－1－1）＋a2（10n－2－1）＋…＋a n－1（101－1）]故9∣a1a2…a n 的充要条件是9∣（a1＋a2＋…＋a n）。
性质2一个数若能被9整除，则这个数的各位数字之和如果为一位数，那必是9；若它的各位数字之和大于9，把和的各位数字之和再求和，进行有限次这样的运算，直到结果为一位数为止，最后结果一定是9。
神奇的九宫格(六年级数学小论文)
神奇的九宫格(六年级数学小论文)神奇的九宫格一、前言上学期，我们学校开展了丰富多彩的“数学节”活动，每个年级都开展了数学游戏，同学们被这些数学游戏中所包含的奥秘所吸引，一下课就叫上一群人，一起去玩自己喜欢的数学游戏。
有的同学喜欢玩24点游戏，有的同学喜欢玩数学七巧板游戏，还有的同学喜欢玩九宫格游戏和数独游戏。
我被九宫格游戏所吸引：在九个小小的格子中填入九个数字，竟可以做到每一条线上的三个数字之和都相等，真是太神奇了！其中有什么奥秘呢？我决定一探究竟。
二、九宫格的初探我选取了一道九宫格题，题目是这样的：把 11/24、1/6、3/8、1/3、5/12、1/4、1/2、5/24、7/24这九个分数填入下面的空格里，使横行、竖行、斜行上的三个数之和都相等。
初看这题，着实让人无从下手，带着对此题的疑惑开始了我的探索之路，步入了我的研究之行。
1、初试牛刀，困难重重看到这样的题目后，第一步当然是：先将所有的分数通分Array掉。
通分后，这些分数的分母都变成了24，分子变成了4到12这几个数字。
于是，我便试着将这些分数的分子逐个填进九宫格。
可是，我都只是瞎蒙，试了半天都没试出来。
之后，我又是着用另一种方法来求得答案。
我把所有的数字都加了起来，得到的和是72，我再用72除以3（因为横、竖都只有3排），得到的商是24.由此，我知道了每一排的三个数字的和是24。
可是，我还是得不出答案。
2、求索之路，豁然开朗困惑之中的我便带着问题去向我的数学老师请教。
只见数学老师用了一种方法，很快就得出了答案。
老师的第一步也是像和我的方法一样，先把分数通分掉，再把通分后分数的分子逐个填进九宫格。
通分后几个步骤的算式4+5+6+7+8+9+10+11+12=72,72÷3=24,24×4=96,96-72=24,24÷（4-1）=8，由此，老师得出中间应该填数字8，而每一排三个数字之和是24。
知道了8应该填在中间后，我们便发现，除去8，剩下来的几对数字之和都是16，它们分别为4和12，5和11，6和10以及7和9。
部编版数学五年级上册第6讲.神奇的9.超常体系
k个9
k个0
的数字之和+9k=9k
4 第 9 级下 超常体系 教师版
第6讲
（
5）111...11
1989个1
111...11
1989个1
999...99
1989个9
111918.9.个.11119
999...99 N
1989个9
，其中
N＜ 999...99
1989个9
所以111...11 111...11 的各个位数字之和为：9×1989=17901
第 9 级下 超常体系 教师版 5
个数直接划去. 99 可以分成 11 组连续 9 个数. 因此余数为 0. （3）等差数列中 9 个连续的也可以直接划去. 1 到 99 中的奇数共 50 个. 50÷9 余数为 5， 最终剩下 5 个数，设剩下前 5 个，而 13579÷9 余 7，因此余数为 7. （4）实际是求除以 9 的余数. 2013÷9 余 6，剩下前 6 个数. 而 123456÷9 余 3，因此最后 剩下的一位数为 3.
n个3
n个6
(n-1)个 2 (n-1)个7
法 2：原式 9999999 2222222 (10000000 1) 2222222
22222220000000 2222222
22222217777778
所以，各位数字之和为 7 9 63 法 3：原式 9999999 2222222
(10000000 1) 2222222
（1）57，359，687，2457，35698，123456789 （2）12345678910…99 （3）135791113…99 （4）12345678910…20122013 的数字之和为 A，A 的数字之和为 B，……，直到某个数字 之和为一位数为止，则这个一位数是______. （学案对应：超常 2，带号 3） 【分析】（1）除以 9 的余数可以在数中将和 为 9 的数直接划去，再用剩下的数计算余数. 结果分 别为：3，8，0，0，4，0 （2）任意连续 9 个自然数之和必定是 9 的倍数，因此在连续数求除以 9 的余数时，可以 9
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十一讲神奇的数字9
1、最大的1位数字是，9是完全平方数
2、9是帝王之数，帝王的尊严为，代表公权的礼器为，“普天之下，莫非王土”的土地称为。
3、9是阳之极，9是的倍数，三为阳数，因而9就成了阳数的极限，谓之“重阳”，这就是
九九重阳的由来。
4、将任意一个三位自然数的各位数字打乱重排得到一个新的自然数，新数与旧数的差全是倍数
5、将一个数字中的各个位数相加，所得的若能被9整除，则该数也能被9整除。
6、将一个数字中的各个位数相加（和若为多位数，再将和的各个位数相加，直至得到一个
一位数），所得数即为该数除以9后的。
7、将一个数中的各位数相加所得的和，与原数相减，其差为（即被9 整除）。
8、将一个数字反向后与原数，所得差为9的倍数。
9、将两数的9余数，若与答案的9余数，则计算正确。
10、将两数的9余数，若与答案的9余数，则计算正确。
11、将两数的9余数，若与答案的9余数，则计算正确。
12、一个数a 与它的b 除以9 的余数相同
13、加法数字谜的一个规律：竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和
一、数字9的整除性
二、数字9的余数求法
三、数字9的灵活使用
例1：下列数字能被9整除的是（）
A．19 B.118 c.117 d.236
例2：下列自然数除以9的余数最大的是（）
A．186 B.423 C.118 D.234
例3把0.4747…化成分数
例4某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它的百位数字与个位数字之和是
例5等式386A5961=（3*（2066+A））（3*（2066+A）），其中字母“A”代表1到9中的一个数字，求A代表的是哪个数字？
例6：观察9=（101-1） 99=（102-1） 999=（103-1）
（104-1）÷10000÷9
A
1、求7123021 除以9 的余数为（）
A、1
B、3
C、5
D、7
2、求1234567除以9的余数为（）
A、1
B、3
C、5
D、7
3、下列各式余数为3的是（）
A、1234÷9
B、2345÷9
C、4567÷9
D、6789÷9
4、计算9×11
5、请直接写出下列各式的余数
（1）91919111÷9（2）1238765÷9
（3）8763451÷9 （4） 87623419÷9 （5）7826012÷9 （6） 79124231÷9
B
1、把0.33…化成分数为
2、下列各式的余数分别为
（1）23478÷9 （2）82378÷9
（3）829876÷9 （4）938167÷9
3、验证下列各式的差除以9的余数与0的关系
（1）54321-12345 （2）62351-15326
（3）92751-15729 （4）74924-42947
（5）32-23 （6）83279-97238
4、判断下列各式计算是否正确
（1）123+789＝912（2）342+167=508
5、快速计算
（1）9×8×10（2）26×27×28
（3）3×8+26（4）2+8+64
C
1、求7813×1768除以9 的余数为
2、求100100除以9 的余数为
3、将1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以9 的余数.
4、检验此式是否正确：135987984＋981252341＝1117241325
5、将数字1~ 9 填入下面竖式，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字．若“H”= 4，那么四位数GHIH等于．
A B C
＋D E F
＝G H I H
1、111118932初以9的余数为（）
A、1
B、6
C、3
D、0
2、判断下列各式计算是否正确
（1）183726+2936=186661 （2）9178367+102683=9281050
3、请直接写出下列各式的余数
（1）8763451÷9 （2） 87623419÷9
4、下列除式余数最大的是（）
A、２３÷３
B、５４４３÷９
C、３３６÷３
D、２２４５÷２
5、把0.325656…化成分数为
6、判断正误
（1）789÷9余5 （）
（2）19267+8916的和除以9余4 （）
（3）888+222能被9整除（）
（4）431+28910余3 （）
1、把0.4777…化成分数为
A、42/91
B、43/90
C、43/89
D、41/90
2、请直接写出下列各式的余数
（1）7826012÷9 （2） 79124231÷9
3、快速判断下列各式计算是否正确
（1）34987+10467=45454 （2）8167234+23012=8200246
4、快速判断下列各式计算是否正确
（1）89-123＝666
（2）123×456＝56088
（3）54756÷235＝233 (1)
5、计算
（1）456+789 （2）123+456
（3）258+369
回答两加数的数字和和与和的数字和差多少，并找出规律
6、把0.52323……化成分数
7、神奇的数字“1”和“9”．（不计算，写出各题的积）
（1）1×9=______．
（2）11×99=______．
（3）111×999=______．
（4）1111×9999=______．
（5）11111×99999=______．
（6）111111×999999=______．
8、快速计算314159×9＝。