高中数学培优班专题资料(含答案)
高一年级段数学培优教材---平面向量(word文档有答案)
高一年段数学培优教材--平面向量（1）一、 基础知识： 1．向量的运算：①加法运算：;AB BC AC +=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y +=++ ②减法运算：;AB AC CB -=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y -=-- ③实数与向量的积运算： 向量a λ与a 的关系；设(,),a x y =则(,)()a x y R λλλλ=∈ 22||,||||||a x y a a λλ=+=⋅ 22||a a a a =⋅= ④向量的数量积运算： ||||cos (a b a b θθ⋅=⋅⋅是a 与b 的夹角）； 设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212a b x x y y ⋅=+2．向量的关系：①不等关系： ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ||||||a b a b ⋅≤⋅ （注意等号的条件） ②设1122(,),(,),0a x y b x y b ==≠ 则a b ⇔,a b λ=12210a b x y x y ⇔-=12120;0a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⊥⇔+=3．平面向量的基本定理：如果12,e e 是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a ，有且只有一对实数,λμ，使12a e e λμ=+。
相关结论：如果12,e e 是同一平面内的不共线向量，且120e e λμ+=，则0λμ== 点O 、A 、B 、C 在同一平面内，A 、B 、C 共线的充要条件是：(1)OA xOB yOC x y =++=4．常用公式： 22222()2()()a b a a b b a b a b a b±=±⋅++⋅-=- ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心， 则10;();02AB BC CA AM AB AC GA GB GC ++==+++=二、综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。
高二数学培优辅导资料
高二数学培优辅导资料 函数（二）一，选择题 1.函数)2,(21-∞-+=在x ax y 上为增函数,则实数a 的取值范围是（） A.21->a B.21>a C.21<a D.21-<a2.已知函数0)(,)1,1(213)(00=--+=x f x a ax x f 使得上存在在,则a 的取值范围是（） A.511<<-aB.51>a C.1-<a 或51>a D.1-<a3.设21,,x x R k ∈是方程01222=-+-k kx x 的两根,则2221x x +的最小值为（ ）A.－2B.0C.1D.24、设函数2()21f x ax ax =+-对于满足13x <<的一切()0f x <，则a 的取值范围 是（ ） A 、10,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B 、(],0-∞ C 、()1,00,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D 、1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 5. 已知函数224)(2-+-=x x x f ，则它是（）A ．偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 6．函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大与最小值分别为M, N ， 则( ) A 、4=-N M B 、4=+N M C 、2=-N M D 、2=+N M7. 对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a -+->>恒成立，则实数a 应满足（） A. 01a << B. 01a <≤ C. 1a > D. 1a ≥ 8设2(0)()(1)(0)x a x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若()f x x =有且仅有两个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．(],1-∞ 9．设函数,0x ,10x ,1)x (f ⎩⎨⎧<>-= 则)b a (2)b a (f )b a ()b a (≠-⋅--+ 的值为 （ ） A ．aB ．bC ．a, b 中较小的数D ．a, b 中较大的数10.如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（）A. 01x <<B. 813x << C. 1x <<+∞ D. 83x <<+∞ 11.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于( )A.y 轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y 轴对称且关于直线x=1对称 12.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>1 13．如果100,0,log log 3x y x y y x >>+=， 144xy =，那么x y +的值是（ ）ABCD 14. 设函数)10()(||≠>=-a a a x f x 且，f （－2）＝9，则 （ ） A. f （－2）＞f （－1） B. f （－1）＞f （－2） C. f （1）＞f （2） D. f （－2）＞f （2） 152007=的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．1组 B. 2 组 C. 4组 D. 8组16．.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥03030y x y x y ,则x 2+y 2的最大值是17. 若2|1||1|2x ax -≤+--≤对x ∈R 恒成立，则实数a 的个数为 （） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数个 解: 只有1a =±时，原不等式恒成立. 选C. 18．函数4218y x x =--+的部分图象是（）ABC D 19、设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如14321)123(222=++=f ，记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝（ ） A.20 B. 4 C. 42 D. 145 二，填空题20．对于任意实数t ，不等式212sin 212()2t t x -+≥恒成立，则x 的取值范围是__________。
高一培优资料第一次(函数及性质)
高一K1409班数学培训资料一1．已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________. 解析 由已知得b a ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 014＋b 2 014＝1. 答案 12．(2014·金华第二次统练)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若∁I (M ∩N )＝∁I N ，则M ∪N ＝________.解析 由Venn 图可知N ⊆M ，∴M ∪N ＝M .答案 M3．函数y ＝x －3x ＋1的值域为________． y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，因为4x ＋1≠0， 所以1－4x ＋1≠1.即函数的值域是{y |y ≠1}． 4．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.答案 －x (x ＋1)26．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( )．A ．3B ．－3C ．3或－3D ．5或－3解析 f (f (x ))＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0， 所以⎩⎨⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3. 答案 B7．．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________． 解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， 所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2， 从而f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x 2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x 1＋x 2(x ≠－1) 8．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－16a ，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.9．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝－1x －2C ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝－1x ＋2解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)，∴f (x )＝－1x ＋2.答案 D10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3. 11．判断函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)在(0，＋∞)上的单调性．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x 2＝(x 1－x 2)＋k (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2. 当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－k x 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)在(0，k ]上为减函数；当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－k x 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 12．试讨论函数f (x )＝ax x 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 (定义法)任取－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1，∴x 1x 2＋1＞0，∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0， 因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数在(－1,1)为减函数；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数在(－1,1)为增函数．13．已知函数f (x )＝ax －1x ＋1. (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围．(1)证明 任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). ∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)解 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x 1)－f (x 2)>0.由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0，∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)．14． (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )． A ．{－3} B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)(2)(2014·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎨⎧ a －3＜0，a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.15．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0.又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x＞0恒成立， 则⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎨⎧ a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3.∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．16． 对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎨⎧ x 1，x 1≥x 2，x 2，x 1＜x 2，若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．解析 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，当x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2≥0时，x ≥1或x ≤－2；当－2＜x ＜1时，x 2＋x －2＜0，即f (x )＜g (x )，所以max(f (x )，g (x ))＝⎩⎨⎧－x ，－2＜x ＜1，x 2－2，x ≥1或x ≤－2，作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值在A 处取得，所以最小值为f (1)＝－1.答案 －117．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A处取到，联立⎩⎨⎧ y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6. 答案 C18．(2014·黄冈中学适应性考试)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是________．解析 f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．由f (x )在[－1,0]上是增函数，得f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．答案 ①②⑤19．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，(a －1)2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).20．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1) 解析 f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.答案 C21．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎨⎧ |1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 22．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ∈[－1，0)，x ，x ∈[0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].。
高中数学选择性必修二 5 3 1函数的单调性(含答案)同步培优专练
专题5.3.1 函数的单调性知识储备1.函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，(1)若f ′(x )>0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递增函数； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递减函数； (3)若恒有f ′(x )＝0，则f (x )在区间(a ，b )内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()f x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>．故选：C ．2．（2020·全国高二专题练习）设奇函数()f x 在R 上存在导函数()'f x ，且在(0,)+∞上2()f x x '<，若331(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】331(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦， 即3311(1)(1)()33f m m f m m ≥----，构造函数31()()3g x f x x =-，由题意知：在(0,)+∞上，2()()0g x f x x '=-<'， 故()g x 在(0,)+∞上单调递减，()f x 为奇函数，()()()3311()33g x f x x f x x g x ∴-=-+=-+=-，即()g x 为奇函数， 故()g x 在R 上单调递减，因此原不等式可化为：()()1g m g m -≥，即1m m -≤，解得12m ≥.故选：D ．3．（2020·全国高二课时练习）函数()sin 2,()3f x x xf f x π''⎛⎫=+⎪⎝⎭为()f x 的导函数，令31,log 22a b ==，则下列关系正确的是（ ）A ．()()f a f b <B ．()()f a f b >C ．()()f a f b =D ．()()f a f b ≤【答案】B【解析】由题意得，()cos 23f x x f π''⎛⎫=+⎪⎝⎭，cos 2333f f πππ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得132f π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，所以()sin f x x x =-． 所以()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 为减函数．因为331log 2log 2b a =>==，所以()()f a f b >，故选：B ． 4．（2020·全国高二课时练习）若函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设导函数()y f x '=的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为123,,x x x ，其中1320,0x x x <>>，故()y f x =在()1,x -∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()23,x x 上单调递减，在()3,x +∞单调递增．故选：D ．5．（2020·全国高二课时练习）若函数()()3230,f x ax x x b a b =+++>∈R 恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()0,33,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(]0,3 D ．()0,3【答案】D【解析】由题意得()()23610f x ax x a '=++>，函数()f x 恰好有三个不同的单调区间，()f x '∴有两个不同的零点，所以，361200a a ∆=->⎧⎨>⎩，解得0<<3a .因此，实数a 的取值范围是()0,3.故选：D.6．（2020·全国高二课时练习）函数2()ln f x x x =的单调递减区间为（ ）A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．)+∞D ．0,e ⎛ ⎝⎭【答案】D【解析】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x=⋅+⋅=+=+'．令()0f x '<，得2ln 10x ，解得0x <<，故函数2()ln f x x x =的单调递减区间为0,e ⎛ ⎝⎭．故选：D 7．（2020·江苏南通市·高三期中）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02020f =，则不等式()20191x f x e ->+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()(),00,-∞⋃+∞ B ．()(),02019,-∞+∞C ．()0,∞+D ．()2019,+∞【答案】C【解析】因为()f x 满足()()1f x f x '+>，， 令()()1xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10xg x e f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上是增函数， 又()02020f =，则()02019g =，不等式()20191xf x e ->+可化为()12019x e f x ->⎡⎤⎣⎦，即()()0g x g >， 所以0x >，所不等式的解集是()0,∞+，故选：C8．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ23⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 【答案】A【解析】设()()cos f x g x x= ，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '> 所以()()cos f x g x x=在02π⎛⎫-⎪⎝⎭，上单调递增. 又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x=在02，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x=在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A二、多选题9．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()'f x 的图象如图所示，则对于任意()1212,x x x x ∈≠R ，下列结论正确的是（ ）A ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】AD【解析】由题中图象可知，导函数()'f x 的图象在x 轴下方，即()0f x '<，且其绝对值越来越小，因此过函数()f x 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得()f x 的大致图象如图所示．A 选项表示12x x -与()()12f x f x -异号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为负，故A 正确；B 选项表示12x x -与()()12f x f x -同号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为正，故B 不正确；122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭表示122x x +对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，()()122f x f x +表示当1x x =和2x x =时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 不正确，D 正确．故选:AD ．10．（2020·全国高二课时练习）（多选）如图是函数()y f x =的导函数()'f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．()f x 在(3,1)-上是增函数B ．()f x 在(1,3)上是减函数C ．()f x 在(1,2)上是增函数D ．当4x =时，()f x 取得极小值【答案】CD【解析】()'f x 的图象在(3,1)-上先小于0，后大于0，故()f x 在(3,1)-上先减后增，因此A 错误；()'f x 的图象在(1,3)上先大于0，后小于0，故()f x 在(1,3)上先增后减，因此B 错误；由图可知，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(1,2)上单调递增，因此C 正确；当(2,4)x ∈时，()0f x '<，当(4,5)x ∈时，()0f x '>，所以当4x =时，()f x 取得极小值，因此D 正确．故选：CD ．11．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知函数2()(ln )f x x x a a =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>B ．0,0,()0a x f x ∃>∃>C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>D ．0,0,()0a x f x ∀>∃>【答案】ABD 【解析】当12a =时，211()ln 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数的定义域为(0,)+∞，211()2ln 2ln 2ln 2f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-+⋅=-+= ⎪⎝'⎭，令()0f x '=，得1x =，当1x >时，()0f x '>，此时函数单调递增， 当01x <<时，()0f x '<，此时函数单调递减，故当1x =时，函数()f x 取得极小值，也是最小值，11(1)022f =-+=， 则0,()(1)0x f x f ∀>=，故选项A 正确； 当5a =时，2()(ln 5)5f x x x =-+， 则22()(ln 5)5450f e e e e =-+=-+<，故0,0,()0a x f x ∃>∃>，故选项B 正确，选项C 错误；因为2(1)1(ln1)0f a a a a =-+=-+=，所以0,10a x ∀>∃=>，使()0f x 成立，因此选项D正确.故选：ABD.12．（2020·广东揭阳市·高三期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()2x f x = B ．()sin f x x x =- C ．()x x f x e e -=- D ．()||f x x x =-【答案】BCD【解析】对于A ，()2x f x =既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A 错误；对于B ，()f x 的定义域为R ，且()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+=--=-，()f x ∴是奇函数，又()cos 10f x x '=-≤恒成立，故()f x 是减函数，故B 正确； 对于C ，()f x 的定义域为R ，且()()xxf x e f x e--=-=-，()f x ∴是奇函数，)0(x x f x e e -'--<=，故()f x 是减函数，故C 正确；对于D ，()f x 的定义域为R ，且()()||||f x x x x x f x -=-==-，()f x ∴是奇函数，又22,0(),0x x f x x x x x ⎧<=-=⎨-≥⎩是减函数，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．（2020·全国高二课时练习）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的单调递减区间为___________．【答案】()0,1、()4,+∞【解析】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞.14．（2020·山西高三期中（理））已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为______． 【答案】[]5,5- 【解析】()f x 在()1,1-单调递减，∴2()60f x x mx '=+-≤在()1,1-恒成立，又2()6f x x mx '=+-是开口向上的二次函数，为使()0f x '≤在()1,1-恒成立，只需(1)0(1)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩，即160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，则[]5,5m ∈-.故答案为：[]5,5-.15．（2020·全国高二单元测试）设()'f x 是函数()f x 在R 的导函数，对x R ∀∈，2()()f x f x x -+=，且[0x ∀∈，)+∞，()f x x '>．若()()2f a f a --22a -，则实数a 的取值范围为__．【答案】(-∞，1] 【解析】2()()f x f x x -+=，2211()()022f x x f x x ∴-+--=，令21()()2g x f x x =-， 2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=， ∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()f x x '>．(0,)x ∴∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数， 故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数．()()2f a f a --22a -，等价于()()()2222a f a f a ---22a -，即()()2g a g a -，2a a ∴-，解得1a ．故答案为：(-∞，1]． 四、双空题16．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知函数()(0)bf x ax b x=+>的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，则a 与b 的关系为_______(用b 表示)，若函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增，则b 的最大值等于______. 【答案】2b + 23【解析】由题意，函数()(0)b f x ax b x=+>，可得2()b f x a x '=-，所以(1)f a b '=-， 即函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a b =-又由函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直， 所以()1()12a b -⨯-=-，可得2a b -=，即a 与b 的关系为2a b -=；又由函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增， 可得2()0b f x a x '=-≥在区间1[,)2+∞上恒成立， 即22b b x +≥在区间1[,)2+∞上恒成立，整理得22b x b ≤+在区间1[,)2+∞上恒成立， 又由2min 1()4x =，所以124b b ≤+，解得203b <≤， 所以b 的最大值等于23.故答案为：2a b -=，23.。
高中数学暑期培优讲义数列部分答案
负数.∴ 2 ,22,…,29中,25最大,故选 B.
12
9
5
例 4 [思路点拨] (1)根据题意,可得数列{an}的通项公式,这是一个类似于分段函数的通项公式,结合分段函数的单调性,建立不 等式组即可求解;(2)首先根据数列的通项公式求得 Sn,通过配方结合二次函数的图像确定出对称轴,由此可求得结果.
an=
3( 2(
= 1), ≥ 2).
【课堂考点探究】
例 1 [思路点拨] (1)把数列化为22,-34,48,-156,…,根据各项的特点写出它的一个通项公式;(2)观察可知,相邻项符号相反,分子为 1,
分母为 n(n+1),从而得数列的通项公式.
(1)A
(2)(-1)n
(
1 +1)
[解析] (1)数列 1,-34,12,-156,…可以化为22,-34,48,-156,…,
4.-1 [解析] 因为 a1=2,an+1= -1=1- 1 ,所以 a2=1-12=12,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,…,所以数列{an}是周期数列,周期为 3,所以
a2019=a673×3=a3=-1.
5.6 [解析] 由 2+8=232,得 n=6 或 n=43(舍),故232是该数列的第 6 项.
≥ 2,故选 D.
(2)由
Sn=2n2-3n+1,得
Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)+1(n≥2),两式相减,得
an=Sn-Sn-1=4n-5,当 n=1 时,a1=0,不满足上式,∴an=
0, 4
= -5,
1, ≥
2.
例3
[思路点拨] (1)将数列{an}的通项公式分离参数,结合单调性即可得出;(2)利用一般方法可求得数列
高一年级段数学培优教材---二次函数(word文档有答案)
高一年级数学培优教材---二次函数一、基础知识：1．二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- （4）三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a --，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。
（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。
（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数；若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。
（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a-，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2bf m f n f a -中选取； 当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。
常依对称轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。
3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。
二、 综合应用：例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。
高中数学培优讲义 例题解答
例题解答第一讲例1.解：，，，因此，例2解：表明.①若，则.②若，则.①和②的范围并在一起得到的范围为（，）.例3.解：例4. 解：（1）证明：显然B中任意元素均为奇数，因此.任取中一个元素，设，若为偶数，则；若n为奇数，则.因此，所以. （2）证明：中必然都是偶数，故又任取中一个元素，设，.故因此所以.例5. 解：，最小元素为，所以，或.，因此是完全平方数，结合知，故，，因为或注意的元素和等于A的元素和加B的元素和减去的元素和.即.若，则，无自然数满足它，矛盾.若则又因为，又，所以.所以，，，，. 例6. 解：（1），，不具有，因为和都不属于该集合.，，，具有.直接验证即可.（2）证明：考虑，由于所以故当时，，即对，，，均成立，且因此，，，，，，.所以即例7.解：我们把奇子集以外的子集叫做偶子集。
含1的奇子集数目和不含1的偶子集数目相等。
不含1的奇子集和含1的偶子集数目相等。
因此奇子集和偶子集数目相等，各占总子集数的一半，即256.例8.解：我们把这100个数中，存在3倍关系的数依次排成一条链。
例如1-3-9-27-81.则每个数都恰好出现在某条链中。
每条链中相邻的数不可取，不同链上的数互不影响。
长度为5的链仅有一条，可取3数。
长度为4的链仅有一条，可取2数。
长度为3的链有6条，可取6x2=12个数长度为2的链有14条，可取14个数长度为1的链有45条，可取45个数总共可取3+2+12+14+45=76个数例9解：单元素集显然符合要求.当时，设，则有又所以①时，，若，矛盾若，则矛盾②时，.所以，故，，代入得. 综上，符合要求的有，，和任意单元正整数集例10解：（1）当k不为完全平方数时，共有个，当或2时，有，，，，，，，，共个.所以P中元素个数为个.（2）先说明时不能办到.，，.表明1只能和6分在一起，3和10分在一起.这时15不论分在那边都矛盾：1，.时可以划分.只需要考虑中有理元素的划分.将分为和；将，，划分为，，，和，，；将，，，，，，，，，划分为，，，和，，，，. 将上述划分集各取1个组成并集A,则和它的补集符合要求例11.证明：可举例整数集.①若和存在包含关系，不妨设，由于是的真子集，故必存在，且，这时②若、不存在包含关系，设，，，，考虑.若则，矛盾若，则，矛盾.所以满足.第二讲例1.解：由，得，.解不等式，得定义域为：（，）（，）例2解：由得解不等式得的定义域为：例3 解：符合要求.例4 解设令，有，即.令，有，即.令，有，即.得出，，，因此.例5解：，用代替有，继续用代替有；三式联立，解出例 6.解：设，则.故.设，则，.例7.解：（1），故值域为，，；（2）所以，故值域为，，，；（3），令，则，且.故值域为（，；（4），令，.值域为，（，）；（5）这表示x轴上一点，到点，和，的距离之和做对称即可知故值域为，；（6）其几何意义是数轴上的一点到，，三点距离之和，所以，值域为，）；（7），，故值域为，第三讲例 1.解：令，则，（），且当，是递减，，时递增.即，时，，为递减区间，，为递增区间，最小值为.此题也可用导函数解出.例2.证明：由条件，，有和成立.于是.所以是周期函数.例3.解：，考虑函数，于是有，又是R上的增函数，故.例4.解：为了使在时的表达式有意义，则在上恒大于0.又是奇函数，值域要是R，只需在上能取到。
高中数学选择性必修二 专题4 1 数列的概念与简单表示法(含答案)同步培优专练
专题4.1 数列的概念与简单表示法知识储备知识点一数列及其有关概念思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？【答案】不是.顺序不一样.思考2根据你对于数列的定义的理解，看看能不能回答下面的问题：(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.思考3数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？【答案】数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.知识点二通项公式思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？【答案】100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100.思考2上例中的a n＝n当序号n取不同的值，就可得到不同的项，所以可以把a n＝n当作数列1,2,3,4，…的项的通用公式，这个公式就叫通项公式.你能把通项公式推广到一般数列吗？【答案】如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.思考3数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？【答案】如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.知识点三数列的分类(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按项的增减趋势分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 知识点四 递推公式思考1 (1)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，则a 4＝________. (2) 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，且有a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，则a 4＝________. 【答案】(1)53 (2)3思考2 上例是一种给出数列的方法，叫递推公式.你能概括一下什么叫递推公式吗？【答案】如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.思考3 我们已经知道通项公式和递推公式都能给出数列.那么通项公式和递推公式有什么不同？ 【答案】通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项. 知识点五 数列的表示方法思考1 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 【答案】(1)解析法、列表法、图象法.数列可以用通项公式、图象、列表等方法来表示. (2)对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示： ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.③列表法：④图象法：思考2 归纳一下数列的表示方法.【答案】数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列 D ．数列()11nn ⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列． 2．已知数列12，23，34，…，1n n +，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项【答案】C 【解析】由1nn +＝0.96，解得n ＝24. 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】C【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．231log 3log 325+【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是() A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]【答案】C【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第6项C．第5项D．第5项和第6项【答案】D【解析】a n＝－n2＋11n＝－2112n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，a n取最大值．故选D.7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝()A．n2B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【解析】由题意得a k＝nk.k≥2时，a k－1a k＝2211(1)1nnk k k k⎛⎫=-⎪--⎝⎭.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝n21111112231n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝n211n⎛⎫-⎪⎝⎭＝n(n－1)．故选C.8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a n}，数列{b n}满足b1＝2，当n≥2时，b n＝a b n－1，则b6的值是()A．9 B．17C．33 D．65【答案】C【解析】∵b n＝a b n－1，∴b2＝a b1＝a2＝3，b3＝a b2＝a3＝5，b4＝a b3＝a5＝9，b5＝a b4＝a9＝17，b6＝a b5＝a17＝33.二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝nB ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 【答案】AD【解析】对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n ＝n 3－6n 2－12n ＋6，则a 1＝－11，不符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－12n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝26611n n -+，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选A 、D. 10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A ．S 5＝F 7－1 B ．S 5＝S 6－1 C ．S 2 019＝F 2 021－1 D ．S 2 019＝F 2 020－1【答案】AC【解析】根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1，S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1，S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…，所以S 2 019＝F 2 021－1.故选A 、C.11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+【答案】BD【解析】因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（ ）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=【答案】BCD【解析】根据数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，则奇数项为：2112-，2312-，2512-，2712-，2912-，，偶数项为：222，242，262，282，2102，，所以通项公式为221,(2,(2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），对于A ， 22020020==2a ，故A 错误；对于B ，35720211111a a a a ++++22222222=++++31517120211----1111224466820202022⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111*********20202505100222202211⎛⎫=⨯-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，()()2313232422S a a a a a a =++++++222212323122+++-=，由()()22221211236n n n n +++++=，所以()()2323231461112215626S ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，24648a a a a ++++()222221242922421224=⨯+⨯+⨯++⨯=++()()242412241298006+⨯+=⋅=，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 【答案】9【解析】由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9.14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 【答案】3n n + 【解析】a n ·a n ＋1·a n ＋2＝1n n +·12n n ++·23n n ++＝3n n +. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________． 【答案】-1【解析】∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1.16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.【解析】因为OA 1＝1，OA 2，OA 3…，OA n ，…，所以a 1＝1，a 2，a 3…，a n . 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．【解析】（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，()()()22132132111n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+----+⎣⎦332n =-；所以：32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）因为()22321321n S n n n n =-+=--+()216257n =--+；所以前16项的和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 由于*n ∈N ，所以最大项为213a = 19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；（3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 【答案】(1)见解析（2）121n a n =-（3）50【解析】（1）由已知可得11a =，213a =，315a =，417a =，519a =.（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为121n a n =-. （3）令119921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项.20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．【解析】(1)设a n ＝f (n )＝2299291n n n -+-＝(31)(32)(31)(31)n n n n ---+＝3231n n -+.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3231n n -+＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3231n n -+＝1－331n +， 且n ∈N *，∴0<1－331n +<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3231n n -+<23， ∴3196,9662,n n n n +<-⎧⎨-<+⎩∴7,68,3n n ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 21．已知函数f (x )＝x －1x.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式． 【解析】∵f (x )＝x －1x，∴f (a n )＝a n －1n a ，∵f (a n )＝－2n .∴a n －1na ＝－2n ，即2n a ＋2na n －1＝0. ∴a n ＝－n.∵a n >0，∴a n－n .22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．【解析】存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝2332＝98，a 4＝2442＝1，a 5＝2552＝2532，….∵当n≥3时，221122(1)2(1)22nnnna n na n n++++=⨯=＝1211n⎛⎫+⎪⎝⎭2<1，∴a n＋1<a n，即n≥3时，{a n}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴a n≤a3＝9 8 .∴当n＝3时，a3＝98为这个数列的最大项．。
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空间几何体的表面积和体积培优班专题资料考点一 几何体的表面积(1)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q＝( ) A.8πB.6πC.π6D.π8解析 由题意可以得到n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6m 24πp 2＝32π×4＝6π，故选B. 答案 B(2)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．58C ．60D ．63解析 由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S 表＝6×32＋2×1×3＝60. 答案 C(3)(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D(4)(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 答案 B(5)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C. 答案 C(6)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋52×4＋3×5＝60.选B.答案 B(7)(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S ＝3×5＋2×12×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm 2)．答案 D (8)(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析 设球的半径为R ，由题意可得(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以该球的表面积为4πR 2＝81π4.故选A.(9)(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋3C ．21D ．18解析 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－12×1×1)＋2×34×(2)2＝6×72＋3＝21＋ 3.故选A.答案 A(10)(2012·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S＝2×12×(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋42＋（5－2）2]×4＝92.答案 92考点二 几何体的体积(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( ) A ．2 B.92 C.32D ．3解析 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V ＝13×1＋22×2x ＝3⇒x ＝3. 故选D. 答案 D(2)(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析 如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.答案 C(3)(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.答案 A(4)(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为111111A A B D B C D ABCDV V --＝1111111111A AB D A BCD ABCD A A B D V V V ----＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.答案 D(5)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析 由三视图可知，该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，则根据体积公式可得几何体的体积为30π，故选C.答案 C(6)(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3解析 如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC ＝2，∴对角面ACC 1A 1为正方形，∴外接球直径2R ＝A 1C ＝2，∴R ＝1，∴V 球＝4π3，故选D.答案 D(7)(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113解析 圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝L 2h 12π，由题意得12π≈752，π近似取为258，故选B.答案 B(8)(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)．而毛坯的体积V＝π×32×6＝54π(cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.答案 C (9)(2012·新课标全国，11)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， △ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22解析 如图，H 为△ABC 的外接圆圆心，则∠BHC ＝120°，设△ABC 的外接圆半径为r ，则1＝BC 2＝HC 2＋HB 2－2HC ·HB ·cos 120°＝3r 2， ∴r ＝33. 连接OH ，根据球的截面性质知，OH ⊥平面ABC ，∴OH ＝OC 2－CH 2＝1－13＝63. ∵O 为SC 的中点，∴S 到平面ABC 的距离为2OH ＝263，∴V S ABC ＝13S △ABC ×263＝13×34×263＝26.答案 A(10)(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案7(11)(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析 设圆柱甲的底面半径为r 1，高为h 1，圆柱乙的底面半径为r 2，高为h 2.由题意得S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32.又∵S 甲侧＝S 乙侧，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝r 2r 1＝23， 故V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝94×23＝32.答案 32(12)(2013·江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析 由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4. 因此V 1∶V 2＝13AF ·S △AED 2AF ·S △ABC＝1∶24.答案 1∶24。