(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(包含答案解析)(3)
一、选择题
1．现有以下结论： ①函数1
y x x
=+
的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则
2b a
a b
+≥；
③
y =2；
④函数()4
230y x x x
=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．
14
B ．
12
C ．1
D ．2
3．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)-- B ．11,,62????-∞+∞ ? ?????
C ．11,26-
-??
???
D ．11,,26????
-∞-
-+∞ ? ?????
4．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A ．2
2
2a b ab +>
B ．a b +≥
C ．11
a b +>D ．
2b a
a b
+≥ 5．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ）
A ．a v <<
B ．v <
C 2
a b
v +<<
D ．2ab
v a b
=
+ 6．对于实数x ，规定[]
x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2
463450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．[
)1,15
B ．[]2,8
C ．[)2,8
D ．[
)2,15 7．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ）
A ．11x y x y
->- B ．cos cos 0x y -< C ．
110x y
-> D ．ln x +ln y >0
8．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则
m
n
的最大值为（ ）
A ．
22
B ．1
C ．2
D ．2
9．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．4ab
a b a b
+<
+ B 2ab
ab a b
<
+ C 22222a b ab + ()2 2 4210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范 围是（ ） A ．62,5 ??-??? ? B ．62,5??-???? C ．6,25?? - ??? D ．(][),22,-∞+∞ 12．已知不等式1()?? ++ ??? a x y x y ≥4对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题 13．已知函数2 ()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1 ()2 f x ≥-恒成立，则+a b 的最大值为________. 14．设函数()()2 ,f x x ax b a b R =++∈，若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-+的解集为 []{}2,36?，则b a -=__________． 15．已知实数,a b 满足01,01a b <<<<，若1a b +=，则1 1(1)(1)a b ++的最小值为__________． 16．已知命题2:"[2,3],10"p x x ax ?∈-+<是假命题，则实数a 的取值范围是_______. 17．已知实数0a >，0b >是2a 与2b 的等比中项，则 13 a b +的最小值是______. 18．已知函数2 ()f x x ax b =++，对任意的[0,4]x ∈，都有()2f x ，则 =a b +________. 19．ABC 中，点M ，N 在线段AB 上，且满足AM BM =，2BN AN =，若 6 C π =，||4CA CB ?=∣∣，则CM NC ?的最大值为________. 20．已知实数x ，y ，z 满足：222 3 36 x y z x y z ++=?? ++=?，则x y z ++的最大值为_________. 三、解答题 21．设函数2()(2)3f x ax b x =+-+. （1）若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值； （2）若()10f =，且存在x ∈R ，使()4f x >成立，求实数a 的取值范围. 22．已知a 、b 都是正实数，且.b b a a =- （1）求证:a >1； （2）求b 的最小值. 23．已知关于x 的不等式2120x mx +-<的解集为(6,)n -. （1）求实数m ，n 的值； （2）正实数a ，b 满足22na mb +=. ①求 11 a b +的最小值； ②若2160a b t +-≥恒成立，求实数t 的取值范围. 24．已知命题:p 实数x 满足28200x x --≤，命题:q 实数x 满足 222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 25．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设km AB y =，并在公路同侧建造边长为km x 的正方形无顶中转站 CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ， AC ，已知1AB AC =+，且60ABC ∠=?． （1）求y 关于x 的函数； （2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低为多少？ 26．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ?? < ，求不等式22510ax x a -+->的解集． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】 对于①，当0x <时，1 0y x x =+ <，①错误； 对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明 0b a >，0a b >，则22b a b a a b a b +≥?=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确； 对于③，222 2 132 323 3 y x x x x = +≥+? =++， 2 2 33 x x +=+231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正 确，③错误； 对于④，因为0x >，所以4 343x x + ≥ 函数()4 230y x x x =-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．B 解析：B 【分析】 设两个正方形的边长分别为x 、y ，可得1x y +=，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和2 2x y +的最小值. 【详解】 设两个正方形的边长分别为x 、y ，则0x >，0y >且1x y +=， 由基本不等式可得22 2x y xy +≥，所以，( )()2 22 2 2221x y x y xy x y +≥++=+=， 所以，22 12 x y +≥ ，当且仅当1 2x y ==时，等号成立， 因此，两个正方形的面积之和2 2x y +的最小值为 1 2 . 故选：B. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．D 解析：D 【分析】 利用函数图象与x 的交点，可知()2 200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或 26x =，再利用根与系数的关系，转化为4b a =-，12c a =-，最后代入不等式220cx bx a +-<，求解集. 【详解】 由条件可知()2 200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =， 则226b a +=- ，26c a ?=-，得4b a =-，12c a =-， 22201280cx bx a ax ax a ∴+- 整理为：()()2 1281021610x x x x ++>?++>， 解得：16x >- 或12 x <-， 所以不等式的解集是11,,26? ??? -∞--+∞ ? ?? ??? . 故选：D 【点睛】 思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-，12c a =-，再代入不等式 220cx bx a +-<化简后就容易求解. 4．D 解析：D 【分析】 利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】 对于A ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，故A 错误； 对于B 、C ，虽然0ab >，只能说明,a b 同号，若,a b 都小于0时，则不等式不成立，故B ，C 错误； 对于D ，0ab >，,0b a a b ∴>，2b a a b ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立，故D 正 确； 故选：D. 【点睛】 易错点睛：本题考查基本不等式的相关性质，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 5．C 解析：C 【分析】 根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】 设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为 s s a b +， 22s ab v s s a b a b ∴= = ++，故D 正确； 0b a >> 2 a b +< ， 2ab v a b ∴= <=+C 错误； 又2 2222a b ab a b v a b a b +??? ?+??=<=< ++B 正确； 222 20ab ab a a a v a a a b a b a b ---=-=>=+++， v a ∴> ，则a v < 故选：C 【点睛】 关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤ +等式比较大小，属中档题. 6．A 解析：A 【分析】 先由不等式[][]2 463450x x -+<得出[]x 的取值范围，再由[] x 的定义得出x 的取值范围. 【详解】 不等式[][]2 463450x x -+<即为[]( )[]() 43 150x x --<，解得[]3 154 x <<， 则[]{}1,2,3,,14x ∈，因此，115x ≤<，故选A. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出[] x 的取值，考查计算能力，属于中等题. 7．A 解析：A 【分析】 结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】 结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->， 110y x x y xy --=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y = ，则3 cos cos cos 2cos 1002 x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y x x y xy --= <，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】 本题考查了不等式的性质，属于基础题. 8．B 解析：B 【分析】 根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得1 2m n +=，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】 因为11 22AO AB AD = +，又AB ＝m AM ，AN ＝n AD ， 故可得 1 22m AO AM AN n =+，又,,O M N 三点共线， 故可得 1122m n +=，即12m n +=. 故2 11114m m m n n n ?? =?≤+= ??? ，当且仅当1m n ==时取得最大值. 故选：B . 【点睛】 本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题. 9．C 解析：C 【分析】 由1x >，得10x ->，则44 1111 x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】 由题意，因为1x >，则10x ->， 所以44111511x x x x + =-++≥=--， 当且仅当411 x x -=-时，即3x =时取等号， 所以4 1 x x + -的最小值为5，故选C ． 【点睛】 本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．D 解析：D 【分析】 本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()2 2224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A 2211ab a b a b > = ++，所以排除选项B ；接着根据基本 > =，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得 到选项D 正确. 【详解】 解：对于选项A ：因为01a <<，1b >， 所以()2 2224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误； 对于选项B 2211ab a b a b > = ++，故选项B 错误； 对于选项 C > =C 错误； 对于选项D ：()2 2222222a b a ab b a b +>++= +， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】 本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题. 11．C 解析：C 【分析】 由题意得出关于x 的不等式() ()2 2 4210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出 2 40a -=或2400 a ?- ? 由题意知，关于x 的不等式() ()2 2 4210a x a x -+--<的解集为R . （1）当240a -=，即2a =±． 当2a =时，不等式() ()2 2 4210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意； 当2a =-时，不等式() ()2 2 4210a x a x -+--<化为410x --<，即1 4 x >- ，其解集不为R ，不合乎题意； （2）当240a -≠，即2a ≠±时． 关于x 的不等式() ()2 2 4210a x a x -+--<的解集为R . 2400 a ?-<∴?? 综上可得，实数a 的取值范围是6,25?? - ??? ．故选C ． 【点睛】 本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 12．A 解析：A 【分析】 ()()11a y ax x y a x y x y ??++=+++ ??? ,然后利用基本不等式求最小值，即可得到a 的取值范 围. 【详解】 ()()11a y ax x y a x y x y ??++=+++ ??? ,0,0,0a x y >>> ()) 2 1111y ax a a a x y ∴+++≥++=++= 根据题意可知 ) 2 14≥ ，解得1a ≥， a ∴的最小值是1 故选：A 【点睛】 本题考查了基本不等式求最小值，属于中档题，意在考查转化与化归的能力，以及计算求解能力. 二、填空题 13．2【分析】由时恒成立转化为恒成立根据中ab 系数相等令求解【详解】因为时恒成立所以恒成立令则或当时即当时即要使时的等号成立则即解得函数图象开口向上对称轴为所以则的最大值为2故答案为：2【点睛】关键点点 解析：2 【分析】 由[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥- 恒成立，转化为211222x a x b ??-+≥- ?? ?恒成立，根据+a b 中，a ，b 系数相等，令2 122 x x -=求解. 【详解】 因为[1,1]x ∈-时，1 ()2 f x ≥-恒成立， 所以2 211()22222b a x f x ax x a x b ? ?=+-=-+≥- ?? ?恒成立， 令2 122 x x - =，则1 2x =-或1x =， 当1x =时，()21 122 a b f =+≥- ，即1a b +≥-， 当1 2x =-时，112442a b f ??-=--≥- ??? ，即2a b +≤， 要使1 2x =-时，1()2 f x ≥-的等号成立， 则min 11()22f x f ??=-=- ???，即142 11114 422b a a b a ?-=-????--=-??， 解得234 3a b ? =????=?? ，203a =>，函数图象开口向上，对称轴为12x =-， 所以则+a b 的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】 关键点点睛：由+a b 中，a ，b 系数相等，令2 122 x x - =是本题求解的关键.. 14．【分析】根据不等式的解集可得为对应方程的根分析两个不等式对应方程的根即可得解【详解】由于满足即可得所以所以方程的两根分别为而可化为即所以方程的两根分别为且不等式的解集为所以解得则因此故答案为：【点睛 解析：27 【分析】 根据不等式的解集可得2、3、6为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解. 【详解】 由于6x =满足()060f ≤≤，即()63660f a b =++=，可得636b a =--， 所以，()()()2 63666f x x ax a x x a =+--=-++， 所以，方程()0f x =的两根分别为6、6a --， 而()6f x x ≤-+可化为()()2 1670x a x a ++-+≤，即()()670x x a -++≤， 所以，方程()6f x x =-+的两根分别为6、7a --， 76a a --<--，且不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36?， 所以，6372a a --=??--=? ，解得9a =-，则18b =，因此，27b a -=. 故答案为：27. 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解2、3、6分别为方程()()660x x a -++=、 ()()670x x a -++=的根，而两方程含有公共根6，进而可得出关于实数a 的等式，即 可求解. 15．9【分析】应用基本不等式求得最小值【详解】∵若∴当且仅当时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）二 解析：9 【分析】 应用基本不等式求得最小值． 【详解】 ∵01,01a b <<<<，若1a b +=， ∴2 11111122(1)(1)111192a b a b b a ab ab ab ab a b +++=+++=++=+≥+=+?? ??? ．当且仅当1 2 a b ==时等号成立． 故答案为：9． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 16．【分析】根据命题的定义把问题转化然后利用参变分离法进行求解即可【详解】命题为假命题则为真命题令该对勾函数在上单调递增所以的范围为而恒成立等价于而所以为真命题时；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键 解析：52 a ≤ 【分析】 根据命题的定义，把问题转化，然后，利用参变分离法进行求解即可 【详解】 命题2 :"[2,3],10"p x x ax ?∈-+<为假命题，则“2 [2,3],10x x ax ?∈-+≥”为真命题， 1 a x x ≤+ ，令1()g x x x =+，该对勾函数在[)1,x ∈+∞上单调递增，所以，()g x 的范围 为[]()(2),(3)g x g g ∈，而[2,3]x ?∈，1 a x x ≤+ 恒成立，等价于[2,3]x ?∈，[]min ()a g x ≤， 而[]min 5()(2)2 g x g ==，所以，“2 [2,3],10x x ax ?∈-+≥”为真命题时，52a ≤； 故答案为：5 2 a ≤ 【点睛】 关键点睛：解题的关键在于，转化问题，利用参变分离法得到[2,3]x ?∈，1 a x x ≤+ 恒成立，进而可以把问题转化为[2,3]x ?∈，[]min ()a g x ≤，进而求解，难度属于中档题 17．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公 解析：4+【分析】 2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简 13133()()4b a a b a b a b a b +=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，实数0a >，0b >2a 与2b 的等比中项，可得2222a b a b +=?=，得1a b +=， 所以 13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 当且仅当3b a a b =时，即1322 a b ==，时，等号成立， 所以 13 a b +的最小值是4+. 故答案为：4+ 【点睛】 本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题. 18．；【分析】的最大值为由题意可得且且运用绝对值的解法和不等式的性质结合两边夹法则可得然后求出【详解】解：函数可得的最大值为而对任意的都有可得且且由可得可得则即有①由可得解得②由①②可得则即有又可得则故 解析：2-； 【分析】 ()f x 的最大值为()()0,4,()2a max f f f ? ?-??? ?，由题意可得||2b ，且|164|2a b ++，且 2|4|8a b -，运用绝对值的解法和不等式的性质，结合两边夹法则可得4a =-，2b =，然后求出+a b ． 【详解】 解：函数2()||f x x ax b =++，[0x ∈，4]， 可得()f x 的最大值为()()0,4,()2a max f f f ? ?-??? ?， 而(0)||f b =， ()4|164|f a b =++，2 ()||24 a a f b -=-， 对任意的[0x ∈，4]，都有()2f x ， 可得||2b ，且|164|2a b ++，且2|4|8a b -， 由284818414a b a b ?--?-+-?可得2848 7216456 a b a b ?--?-+-?， 可得2801648a a -+-，则216(8)16a -+， 即有124a --，① 由2 848848b a b -??--?可得21616a -，解得44a -，② 由①②可得4a =-， 则|164|8b -，即有26b ， 又22b -，可得2b =， 则2a b +=-， 故答案为：2-． 【点睛】 本题考查含绝对值的函数的最值求法，以及函数恒成立问题解法，注意运用对称轴与区间的关系，以及绝对值的解法和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 19．；【分析】由平面向量数量积的运算可知再根据平面向量的线性运算可分别得到故由基本不等式的性质可知将所得结论均代入的表达式即可得解【详解】解：根据题意作出如下图形由基本不等式的性质可知的最大值为故答案为 解析：42 3--； 【分析】 由平面向量数量积的运算可知23CA CB =，再根据平面向量的线性运算可分别得到 1()2 CM CA CB =+，1(2)3NC CA CB =-+，故221 (23)6CM NC CA CB CA CB =-++，由 基本不等式的性质可知，22 222||||CA CB CA CB +，将所得结论均代入CM NC 的表达 式即可得解． 【详解】 解：根据题意，作出如下图形， 6 C π = ，||||4CA CB =，∴4cos 236 CA CB π =?= AM BM =，∴1 ()2 CM CA CB =+， 2BN AN =，∴111 ()(2)333 NC AC AN AC AB CA CB CA CA CB =-=-=---=-+， ∴22 1 11()[(2)](23)236 CM NC CA CB CA CB CA CB CA CB =+-+=-++， 由基本不等式的性质可知，2 2 2222||||22||||82CA CB CA CB CA CB +=+=， ∴142(82323)36 CM NC -??= ∴CM NC 的最大值为423- 故答案为：42 3- 【点睛】 本题考查平面向量的线性运算和数量积运算、基本不等式的性质，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能 力，属于中档题． 20．【分析】按的正负分类讨论由得至少有一个正数然后分全正一负二负然后利用基本不等式可得结论【详解】首先至少有一个正数（1）如果则由得不成立；（2）若中只有一个负数不妨设则又∴即当且仅当时等号成立；（3） 解析：1+【分析】 按,,x y z 的正负分类讨论，由3x y z ++=得,,x y z 至少有一个正数，然后分全正，一负，二负，然后利用基本不等式可得结论． 【详解】 首先,,x y z 至少有一个正数， （1）如果0,0,0x y z ≥≥≥，则由3x y z ++=得,,[0,3]x y z ∈， 2222736x y z ++<<，不成立； （2）若,,x y z 中只有一个负数，不妨设0,0,0x y z ≥≥<， 则3z x y -=+-，2 2 ()6()9z x y x y =+-++，又2 222 ()36()362 x y z x y +=-+≤-， ∴2 ()6()9x y x y +-++2()362 x y +≤-，即2 ()4()180x y x y +-+-≤， 2x y +≤ 2231x y z x y z x y ++=+-=+-≤+12 x y ==+， 1z =时等号成立； （3）若,,x y z 中有两个负数，不妨设0,0,0x y z ≥<<， 则3y z x --=-，2 2 2 2 ()362 y z y z x ++=-≥， ∴2 2 (3) 362 x x --≥，整理得22210x x --≤，01x ≤≤+ 231x y z x y z x ++=--=-≤+1x =+12 y z ==- 时等号成立； 综上所述，x y z ++的最大值是1+ 故答案为：1+【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后利用基本不等式． 三、解答题 21．（1）3 2 a b =-??=?；（2）() (),91,-∞--+∞. 【分析】 （1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得,a b ； （2）由()10f =得1b a =--，问题可转化为存在x ∈R ，使得()2 310ax a x -+->成 立.，0a ≥不等式可以成立，0a <时由二次不等式有解可得a 的范围． 【详解】 解：（1）由题意可知：方程()2 230ax b x +-+=的两根是1-，1 所以21103(1)11b a a -?-=-+=????=-?=-?? 解得32a b =-??=? （2）由()10f =得1b a =-- 存在x ∈R ，()4f x >成立，即使()2 210ax b x +-->成立， 又因为1b a =--，代入上式可得()2 310ax a x -+->成立. 当0a ≥时，显然存在x ∈R 使得上式成立； 当0a <时，需使方程()2 310ax a x -+-=有两个不相等的实根 所以()2 340a a ?=++> 即21090a a ++> 解得9a <-或10a -<< 综上可知a 的取值范围是()(),91,-∞--+∞． 【点睛】 关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与x 轴交点横坐标． 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无 方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用） 题型一：方程、不等式的直接应用 典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知： 在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．． 每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份． （2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内． 典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资 为b 元． （1）求a ，b 的值； （2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？ 配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元 买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运 会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五 月份的工资情况信息： （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 题型二：方案设计 典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。 19.2.3 一次函数与方程、不等式 一．选择题（共8小题） 1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（） A．x=﹣1 B．x=2 C．x=0 D．x=3 3．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0） 4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（） A．B．C．D． 5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 6．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b ＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C． D． 7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 8．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＞1 二．填空题（共10小题） 9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________． 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函 数解读式为4． 1 / 7 ②当k 一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（） 上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 知识点睛 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接 得到方程3kx b +=的解是x =______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例4】 已知一次函数25y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当3 2 x = 时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值围是（ ） A ．5x > B ．1 2 x < C ．6x <- D ．6x >- 【例7】 已知一次函数23y x =-+ 例题精讲 很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上，他们之间的联系非常紧密。如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。 ★函数与方程之间的关系。 先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。举例说明如下： 例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3 (,0)2 ，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。接下来推广到二次函数： 例如函数2 252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程2 2520x x -+=的解。 如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。 在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。有时候只需要作出大致图像即可。 既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢 函数2 252y x x =-+对应的方程是2 2520x x -+=，先求出这个方程的两个解。很容 易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为 1 2 和2。这样，根据函数 一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2 8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4 一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60， ，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 知识点睛 中考要求 例题精讲 【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例3】 已知一次函数25y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当3 2 x =时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例4】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在： （1）x 轴下方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 【巩固】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 2011年中考复习二轮材料 函数、方程、不等式综合应用专题 一、专题诠释 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。 这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。 二、解题策略和解法精讲 函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。 利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解： （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2． （3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。 三、考点精讲 考点一：函数与方程（组）综合应用 例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______ 【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。 求一次函数解析式专项练习 1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上． （1）求a的值； （2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积． 2．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标． 3．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象． （1）求k、b的值； （2）当x=2时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 4．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求： （1）y与x的函数关系式； （2）其图象与坐标轴的交点坐标． 5．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？ 6．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式 mx+n＜0的解集． 7．已知，直线AB 经过A （﹣3，1），B （0，﹣2），将该直线沿y 轴向下平移3个单位得到直线MN ． （1）求直线AB 和直线MN 的函数解析式； （2）求直线MN 与两坐标轴围成的三角形面积． 8．已知：关于x 的一次函数y=（2m ﹣1）x+m ﹣2若这个函数的图象与y 轴负半轴相交，且不经过第二象限，且m 为正整数． （1）求这个函数的解析式． （2）求直线y=﹣x 和（1）中函数的图象与x 轴围成的三角形面积． 一次函数与方程不等式关系 1、直线l 1∶y ＝k 1x ＋b 与直线l 2∶y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图， 则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞－2 D ．x ＜－2 2、如图,已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P(-1,1),则关于x 的不等式x+m>kx-1的解集在数轴 上表示正确的 是( ) 3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作 出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元 一次方程 组是 （ ） 中考数学复习：函数与方程、不等式的关系 1．函数与方程的关系 （1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值； （2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解?抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值． 2．函数与不等式的关系 （1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值； （2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值； （3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值； （4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值． 例题讲解 例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式． 解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称． 所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方． 又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1． 当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2． 例2已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围． 解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1， 所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax2－x－a，对称轴为x＝1 2a ． ①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝1 2a ＜0， 一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（） A． x＜B．x＜3 C． x＞ D．x＞3 3．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 5．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2 6．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2 7．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 8．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣9 9．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 10．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________． 11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________． 12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________． 13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________． 一次函数与方程（或不等式）结合的问题 一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低 析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点 （2，0），（0，30），所以，解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 （3）由题意得，解得。 ； 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制 一次函数与方程、不等式之间的关系 人教版九年制义务教育八年级数学下册 宁都县赖村中学谢新华 教学重点、难点： 一次函数与方程、不等式之间的关系 教学目标： 1.让学生理解一次函数与方程、不等式之间的关系，从而解答有关的函数坐标、函数值等问题 2.通过探索一次函数与方程、不等式之间的关系，经历具体到抽象再到具体，到抽象，最后具体的学习过程，体会探索的严谨性，科学性，掌握循序渐进的学习方法，树立数形结合的学习函数的思想方法 3.经历了探索一次函数与方程、不等式之间的关系过程，掌握了学法，树立起了学好函数的信心，体会到成功的喜悦 教学策略： 运用多媒体技术，讲练结合与小组讨论法 教学教学过程 谭金林说：可是这两个点怎么画呢?当函数值大于某值时，x怎 样取值？ 这下难住了他们，为此他们举出一个例子已知一次函数y=2x+8，请你帮他们画出两点，作出直线？当y>4时，x取何值？ 设计意图：通过举自己身边的两位同学的例子引入课题，从而让问题变得那么的贴近自身实际，提高学习的兴趣 板书：一次函数与方程、不等式之间的关系学习目标 1.能理解感悟一次函数与方程、不等式之间的数形关系，并能运用这种关系解决有关一次函数的问题 2.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间关系的过程，体验知识产生、发展、形成的过程，感悟数形结合思想 3.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间的数形关系，掌握了学习函数的方法 设计意图：明确学习目标，使学习更具针对性 一、动动手，填一填 (1)当x 取___值时，函数值等于3. (2)当x 取___值时，函数值等于0. (3)当x 取___值时，函数值等于-1 2.已知一次函数y=2x+3的图像（如右上图）及图像上的一 ? a及函数的图 像图像 与x 轴相 交的 情况 对应 方程 的实 数根 对应不等式的解集 图像上的最 高（低）点单调区间及单调性极（最）值 0 >? > a 与x 轴有 两个 交点 有两 个不 相等 的实 数根 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 2< + +c bx ax的解集是). , ( 2 1 x x x∈ 顶点是函数 图像上的最 低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减 函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最） 小值 a b ac 4 42 -0 < a 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( 2 1 x x x∈0 2< + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 顶点是函数 图像上的最 高点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为增 函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为减函数 a b x 2 - =时，函数有极（最） 大值 a b ac 4 42 - 0 =? > a 与x 轴有 一个 交点 有两 个相 等的 实数 根 2> + +c bx ax的解集是 . , 2 1 x x x x≠ ≠ 顶点是函数 图像上的最 低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减 函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最） 小值0 0a 与x 轴没有交点 没有实数根 02>++c bx ax 的解集是 .R x ∈02<++c bx ax 的解集是空集. 顶点是函数图像上的最低点 )2,(a b x - -∞∈时为减函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为增函数 a b x 2- =时，函数有极（最）小值a b a c 442 - 0++c bx ax 的解集是空集. 02<++c bx ax 的解集是.R x ∈ 顶点是函数图像上的最高点 )2,(a b x - -∞∈时为增函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为减函数 a b x 2- =时，函数有极（最）大值a b a c 442 - 不等式、方程与函数 1．若不等式组1+x a 2x 40>??-≤? 有解，则a 的取值围是（ ） A ．a≤3 B．a ＜3 C ．a ＜2 D ．a≤2 2．若关于x 的分式方程2m x 21x 3x +-=-无解，则m 的值为（ ） A ．一l.5 B ．1 C ．一l.5或2 D ．一0.5或一l.5 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A ．图象关于直线x=1对称 B ．函数ax 2+bx+c （a≠0）的最小值是﹣4 C ．﹣1和3是方程ax 2+bx+c （a≠0）的两个根 D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大 4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －3＝ 0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根 5．函数()a y 1x <0x =-的图象如图，那么关于x 的分式方程a 12x -=-的解是（ ） A ．x=-1 B ．x=-2 C ．x=-3 D ．x=-4 6．如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式； (2)求△AOB 的面积； (3)则方程0=-+x m b kx 的解是 ；（请直接写出答案） (4)则不等式0<- +x m b kx 的解集是 .（请直接写出答案） 7．已知二次函数2y a x b x c =++图象的顶点横坐标是4，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan tan CA BO 2O C ∠-∠=。 （1）求证： b 8a 0+=； （2）求a 、b 的值； （3）若二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点时，求二次函数的最值。 8．已知：y 关于x 的函数()2y kx 2k 1x k 3=-+++的图象与x 轴有交点。 （1）求k 的取值围； （2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足()21212kx 2k 1x k 34x x ++++=． ①求k 的值；②当k 1x k 3+≤≤+时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值。 方程、函数与不等式(含答案) 不等式、方程与函数 1．若不等式组1+x a 2x 40 >?? -≤? 有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤3 B ．a ＜3 C ．a ＜2 D ．a≤2 2．若关于x 的分式方程2m x 2 1x 3x +-=-无解，则m 的值为（ ） A ．一l.5 B ．1 C ．一l.5或 2 D ．一0.5或一l.5 3．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A ．图象关于直线x=1对称 B ．函数ax 2+bx+c （a≠0）的最小值是﹣4 C ．﹣1和3是方程ax 2 +bx+c （a≠0）的两个根 D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大 4．函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c －3＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根 5．函数()a y 1x <0x =-的图象如图，那么关于x 的分式方程a 12x -=-的解是（ ） A ．x=-1 B ．x=-2 C ．x=-3 D ．x=-4 6．如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式； (2)求△AOB 的面积； (3)则方程0=-+x m b kx 的解是 ；（请直接写出答案） (4)则不等式0<- +x m b kx 的解集 是 .（请直接写出答案） 一次函数与方程、不等式（1） 知识技能目标 1.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，并能通过图象法来求二元一次方程组的解； 2.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数学思想，培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力． 过程性目标 1.使学生体会到实际问题中数量之间的相互关系，学会用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律； 2.通过图象获取函数相关信息，运用图象来解释实际问题中相关量的涵义； 3.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解． 教学过程 一、创设情境 问题学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示． 根据图象回答： (1)乙复印社的每月承包费是多少？ (2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？ (3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？ 二、探究归纳 问“乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？ 答“乙复印社的每月承包费”指当x＝0时，y的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元． 问“收费相同”在图象上怎样反映出来？ 答“收费相同”是指当x取相同的值时，y相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解． 问如何在图象上看出函数值的大小？ 答作一条x轴的垂线，如下图，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较 ◆知识讲解 1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ b a ，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解． 2．坐标轴的函数表达式 函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；?函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系． 4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组11 22 y k x b y k x b =+??=+?有唯一的解?直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ?k 1≠k 2． （2）二元一次方程组11 22 y k x b y k x b =+??=+?无解?直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ?k 1=k 2， b 1≠b 2． （3）二元一次方程组11 22 y k x b y k x b =+?? =+?有无数多个解?直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合 ?k 1=k 2，b 1=b 2． ◆例题解析 例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A?村有柑橘200t ，?B?村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，?已知C?仓库可储存240t ，?D?仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与一元一次方程的关系： 一般的一元一次方程0kx b +=的解就是一次函数y kx b =+的图象与x 轴交点的横坐标。 直线与坐标轴的交点坐标的求法： （1）直线y kx b =+与y 轴交点的横坐标是0，当x=0时，一次函数y kx b =+的函数值 y b =，b 就是交点的纵坐标，即直线y kx b =+与y 轴的交点为（0,b ）； （2）直线y kx b =+与x 轴交点的纵坐标是0，故令y=0，得到方程0kx b +=，解方程得 b x k =-，b k -就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标，即直线y kx b =+与x 轴的交点 为(,0)b k -. 一次函数与一元一次不等式的关系： （1）一般的，一元一次不等式0(0)kx b kx b +>+<或的解集，就是使一次函数y=kx+b 的函数值大于0（或小于0）时自变量x 的取值范围。 （2）从图象上看，一元一次不等式0kx b +>的解集是直线y=kx+b 位于x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围；一元一次不等式0kx b +<的解集是直线y=kx+b 位于x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围； 一次函数与二元一次方程的关系： （1）一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx y b -=-的一组解； （2）以二元一次方程kx y b -=-的解为坐标的点都在一次函数y kx b =+的图象上 （3）对于同一个数学模型()y=kx+b k 0≠，若将其中的x 、y 看做变量，则它表示一个一次函数；若将x 、y 看做未知数，则它就是一个二元一次方程，二者本质相同 一次函数与二元一次方程组的关系： 两条直线1l ：11y k x b =+ ()10k ≠，2l ：22y k x b =+()20k ≠的交点坐标就是关于x 、y 的方程组11 22 y k x b y k x b =+??=+?的解 用图象法解方程组： 画出二元一次方程组中的两个一次函数的图象，找出他们的交点，该交点坐标就是二元一次方程组的解。方程不等式与一次函数专题(实际应用)
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