利用补集概念解题
交集、并集、补集、全集
交集、并集、补集、全集一、学习内容：1.理解交集、并集、全集与补集的概念。
2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算二、例题第一阶梯例1、什么叫集合A、B的交集？并集？答案：交集：A∩B={x | x∈A , 且x∈B}并集：A∪B={x | x∈A , 或x∈B}说明：上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或"的准确意义，在交集中用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论：例2、什么叫全集？补集？答案：在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得问题中的所有集合都是I的子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。
补集：。
说明：全集和补集都是相对的概念。
全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选取全集，而补集又相对于全集而言。
如果全集改设了，那么补集也随之而改变。
为了简化问题可以巧设全集或改设全集，"选取全集"成为解题的巧妙方法。
补运算有下列推论：①；②；③。
例3、(1)求证：，。
(2)画出下列集合图（用阴影表示）：①；②；③；④。
提示：(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成：第一步证明"由x∈M T x ∈P"；第二步证明"由x∈PTx∈M "。
(2)利用（1）的结果画③、④。
答案：说明：(1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以应用它。
这个证明较难，通常不作要求。
但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。
(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。
图(1)叫做"左月牙"，图2叫做"右月牙"。
画图3、图4时要利用集合的两个运算律来画。
第二阶梯例1、已知A={x | 2x4＋5x3－3x2=0}，B={x | x2＋2|x|－15=0}，求A∩B，A∪B。
子集全集补集教案
子集补集全集教案教案章节：一、子集与补集的概念教学目标：1. 理解子集的概念，能够判断一个集合是否为另一个集合的子集。
2. 理解补集的概念，能够求出一个集合的补集。
教学内容：1. 子集的定义：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，这个集合就是另一个集合的子集。
2. 补集的定义：如果一个元素不属于某个集合，它属于这个集合的补集。
教学步骤：1. 引入子集的概念，通过举例让学生理解子集的定义。
3. 引入补集的概念，通过举例让学生理解补集的定义。
教学评价：1. 通过练习题，检查学生对子集概念的理解程度。
2. 通过练习题，检查学生对补集概念的理解程度。
教案章节：二、子集与补集的性质教学目标：1. 掌握子集与补集的性质，能够运用性质解决问题。
2. 能够判断一个集合是否为另一个集合的真子集。
教学内容：1. 子集的性质：a. 任何集合都是它自己的子集。
b. 空集是任何集合的子集。
c. 如果A是B的子集，A的任意子集也是B的子集。
2. 补集的性质：a. 一个集合的补集与它本身是互斥的。
b. 任何集合的补集都是它超集的子集。
教学步骤：1. 通过举例和引导学生思考，让学生理解子集与补集的性质。
教学评价：1. 通过练习题，检查学生对子集与补集性质的理解程度。
2. 通过练习题，检查学生对判断真子集的方法的理解程度。
教案章节：三、子集与补集的应用教学目标：1. 能够运用子集与补集的概念和性质解决实际问题。
教学内容：1. 子集与补集在实际问题中的应用，如集合的包含关系、集合的交集和并集等。
教学步骤：1. 通过举例和引导学生思考，让学生理解子集与补集在实际问题中的应用。
2. 引导学生运用子集与补集的概念和性质解决实际问题。
教学评价：1. 通过练习题，检查学生对子集与补集在实际问题中的应用的理解程度。
教案章节：四、子集与补集的综合应用教学目标：1. 能够综合运用子集与补集的概念和性质解决复杂问题。
教学内容：1. 子集与补集的综合应用，如解决集合的包含关系、集合的交集和并集等问题。
集合的运算补集教案
集合的运算补集教案一、教学目标1. 理解补集的概念，掌握补集的运算规则。
2. 能够运用补集解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容1. 补集的概念：补集是指在全集范围内，不属于某个集合的元素构成的集合。
2. 补集的运算规则：(1) 补集的交集：两个集合的补集的交集等于它们的并集的补集。
(2) 补集的并集：两个集合的补集的并集等于它们的交集的补集。
(3) 补集的补集：一个集合的补集的补集等于它本身。
三、教学重点与难点1. 教学重点：补集的概念，补集的运算规则。
2. 教学难点：补集的运算规则的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解补集的概念和运算规则。
2. 通过举例和练习题，让学生运用补集解决实际问题，巩固所学知识。
3. 采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学过程1. 导入：通过引入实际情况，如考试不合格的学生，让学生思考和讨论不合格学生的补集，引出补集的概念。
2. 新课导入：介绍补集的定义和运算规则，引导学生理解和掌握。
3. 实例解析：通过具体的例子，解释补集的运算规则的应用，让学生学会运用补集解决实际问题。
4. 练习与讨论：布置一些练习题，让学生独立完成，进行小组讨论，分享解题思路和经验。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生明确补集的概念和运算规则，并思考如何更好地运用补集解决实际问题。
教学评价：通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评价学生对补集的概念和运算规则的理解程度，以及运用补集解决实际问题的能力。
六、教学拓展1. 引导学生思考补集在现实生活中的应用，如统计数据、调查问卷等。
2. 介绍补集在其他数学领域的应用，如图论、概率论等。
3. 引导学生探索补集的运算规则在更广泛情境下的适用性。
七、课堂练习1. 设计一些具有代表性的练习题，让学生独立完成。
2. 针对练习题，进行讲解和解析，帮助学生巩固知识点。
集合的概念与运算例题及答案
集合的概念与运算例题及答案1 集合的概念与运算（一）目标：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点：1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数，∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法何时用描述法},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗 }1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈，⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
高考数学二级结论快速解题：专题01 子集、交集、并集、补集之间的关系式(解析版)
专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式一、结论1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：I I A B A B A A B B A C B C A B I ∩ ∩ (其中I 为全集)（1）当A B 时，显然成立（2）当A B时，venn 图如图所示，结论正确.2、子集个数问题：若一个集合A 含有n （n N ）个元素，则集合A 的子集有2n 个，非空子集有21n 个.真子集有21n 个，非空真子集有22n 个.理解：A 的子集有2n 个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n 个元素共有2n 种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.二、典型例题（高考真题+高考模拟）1．（2012·湖北·高考（文））已知集合 2|320,,|05,A x x x x R B x x x N ，则满足条件A C B 的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】求解一元二次方程，得2|320,|120,A x x x x x x x x R R 1,2 ，易知 |05,1,2,3,4B x x x N .因为A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合 3,4的子集个数，即有224 个，故选D.【反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，由于集合元素个数少，也可采用列举法，列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.2．（2021·全国·模拟预测）已知集合 24A x x ，2211B x x a ，若A B B ∩，则实数a 的取值范围是（）A ． 1,3B ．2,3C ．1,3D ．2,3【答案】B【解析】解不等式2211x a ，得1a x a ，所以 1B x a x a .由A B B ∩，得B A ，画出数轴：242∴214a a，解得23a ﹒故选：B【反思】在利用数轴求B A 包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵循两步法原则：①先确定大方向：由B A ，结合数轴242可以得到：214a a注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定a 与2的大小，1a 与4的大小；②再确定个别点：经过上述步骤再确定214a a 不等式组中等号是否可以取到等号；假设2a ；则由数轴可以观察出几何 24A x x 中左端是开区间；而集合1B x a x a 左端是闭区间，结合数轴假设2a 不成立；同理假设14a ，也不成立；故本题最后得到的关系式为214a a .三、针对训练举一反三1．（2013·福建·高考真题（文））若集合 =1,2,3=1,3,4A B A B ∩，，则的子集个数为A ．2B ．3C ．4D ．16【答案】C1,3A B 其子集个数为224 个.2．（2011·安徽·高考真题（理））设集合 1,2,3,4,5,6,A 4,5,6,7,B 则满足S A 且S B ∩的集合S 的个数为A ．57B ．56C ．49D ．8【答案】B集合A 的非空子集的个数为62163 个，集合 1,2,3的非空子集的个数为3217 ，所以集合S 的个数为63756 ．3．（2022·安徽黄山·一模（文））已知集合 21,S s s n n Z ，3T x x ，则S T ∩的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】∵ 21,S s s n n Z , 33T x x ,∴ 1,1S T ∩,∴S T ∩的真子集个数为2213 ，故选：C .4．（2022·全国·模拟预测）已知22,1,0,1,3,41{2}|,x A B x ，则 R A B ∩ð的子集的个数为（）A ．3B ．4C ．15D ．16【答案】D 【详解】由221x ，得：2x ，∴2,{|}2,1,0,1{}R R B x A B x 痧，∴其子集个数为4216 个.故选：D.5．（2022·重庆实验外国语学校一模）已知集合86A x NN x，则集合A 的所有非空子集的个数为（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】C 【详解】由题设，86N x，即8可被6x 整除且60x ，x N ，∴{2,4,5}A ，故集合A 的所有非空子集的个数为3217 .故选：C6．（2021·全国·模拟预测）已知集合2210M x x x ，2,N m m ，若M N M ，则m （）A ．－1B ．－1或0C ．±1D ．0或±1【答案】A 【详解】依题意，22101,0,1M x x x ．由M N M ，可知：N M ，又2m m ，则1m .故选：A ．7．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））已知集合2340A x x x ，集合2120B x x a x a ，且A B A ，则实数a 的取值集合为（）A ． 3,2B ． 3,0,2C ． 3a aD ．32a a a 或【答案】A 【详解】由题意知集合2340=4,1A x x x ，对于方程 2120x a x a ，解得12x a ，21x .因为A B A ，则B A .①当21a 时，即3a 时，B A 成立；②当21a 时，即当3a 时，因为B A ，则24a ，解得2a .综上所述，a 的取值集合为 3,2 .故选：A.8．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合2270,Q x x x x N ，且P Q ，则满足条件的集合P 的个数是（）A ．8B ．9C ．15D ．16【答案】D 【详解】解：27270,0,2Q x x x x N x x x N，所以 0,1,2,3Q ，又P Q ，则满足题意的集合P 的个数为24=16，故选：D .9.（2021·辽宁实验中学二模）已知非空集合A 、B 、C 满足：A B C ∩，A C B ∩．则（）．A ．B CB ．A B CC ． B C AD ．A B A C【答案】C 【详解】解：因为非空集合A 、B 、C 满足：A B C ∩，A C B ，作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图，如图所示，所以A B A C ．故选：D ．10．（2021·湖南·雅礼中学高一期中）定义,,xA B z z xy x A y B y ，设集合0,2A ， 1,2B ， 1C ，则集合 A B C 的所有子集中的所有元素之和为_________．【答案】72【详解】因为 0,2A ， 1,2B ，所以 0,4,5A B ，又因为 1C ，所以 0,8,10A B C ，A B C 的所有子集为： ， 0， 8， 10， 0,8， 0,10， 8,10， 0,8,10，所有子集元素之和为81081081081072 .故答案为：7211．（2022·全国·高三专题练习）集合 0,1,2,3,4,5S ，A 是S 的一个子集，当x A 时，若有1x A 且1x A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________．【答案】6个【详解】由孤立元素的定义可得：{0S ，1，2，3，4，5}中不含“孤立元素”的集合4个元素有：{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是6个．故答案为6个．12．（2022·天津西青·高三期末）若集合20,1,2,3,1A B y y x x A ，，则集合B 的所有子集的个数是_________.【答案】16-【详解】由题20,1,2,3,1A B y y x x A ，,逐个代入可得集合B 中21=1,0,3,8y x ,故集合 =1,0,3,8B ,一共有4个元素,故集合B 的所有子集的个数为4216 .故答案为16.13．（2021·江西·模拟预测）设全集U R ，集合 22940A x x x ， 2B x a x a .(1)当2a 时，求 U C A B ；(2)若A B A ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1) ,04, (2) 4, (1)解：当2a 时， 02B x x ，212940421042A x x x x x x x x所以 0,4A B 又全集U R所以 ,04,U C A B (2)解：由（1）知，142A x x， 2B x a x a 由A B A ∩可得：A B ，则21224a a a a，解得：4a 所以实数a 的取值范围为：4,a 14．（2021·江西·模拟预测）设全集U R ，集合 21A x a x a ，14644xB x.(1)当1a 时，求()U A B ð；(2)若A B A ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|0x x 或3}x (2)1(,)2(1)当1a 时，可得： 20A x x ，又14644xB x={x |-1＜x ＜3}，所以U B ð={|1x x 或3}x ，所以()U A B ð={|0x x 或3}x ．(2)由A B A ∩，则A ⊆B ，当A = 时，则有21a a ，解得1a ，当A 时，由A ⊆B 可得12131aa a，解得112a .综上，实数a 的取值范围1(,)2.15．（2021·陕西·高新一中高一期中）已知集合2230,{1A x x x B y y ∣∣或3},{21}y C x x m ∣，其中3m ．(1)求A B ∩；(2)若 ∩A B C C ，求实数m 的取值范围．【答案】(1){|31}A B x x ∩；(2)(3 ，0]．(1)解：∵集合2{|230}{|31}A x x x x x ，{|1B y y 或3}y ，{|31}A B x x ∩.(2)解：{|1A B x x 或3}x ，{|21}C x x m ，其中3m ．因为()A B C C ∩，()C A B ，3m ∵，C \蛊，11m ，解得0m ，实数m 的取值范围是(3 ，0]．16．（2021·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合 25,|1|21A x x B x m x m .(1)当 |25A x Z x 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A B A ，求实数m 的取值范围；(3)若A B ∩，求实数m 的取值范围.【答案】(1){m|m≤3}(2)254(3){m|m<2或m>4}(1)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得21112215m mmm，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.（3）当B＝∅时，由（1）知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211212m mm或21115m mm解得m>4.综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.。
专题 子集、全集、补集-重难点题型精讲(举一反三)(苏教版09必修第一册)(解析版)
专题1.3 子集、全集、补集-重难点题型精讲1．子集(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；2．真子集(1)对于集合A ，B ，C ，若A ⫋B 且B ⫋C ，则A ⫋C ；3．全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.4．补集(1)A⊆S，∁A⊆S；(2)∁(∁A)＝A；(3)∁S＝∅，∁∅＝S【题型1 子集、真子集的概念】【例1】（2020秋•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（）A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A．{2，4，5}B．{1，2，5}C．{1，6}D．{1，3}【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可．【解答】解：由图可知B⊆A，而{1，3}⊆{1，2，3}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键．【变式1-2】（2020秋•东湖区校级期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（）A．②B．①②C．①②③D．①③④【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．【变式1-3】[多选题]下列命题中，正确的有（）A．空集是任何集合的真子集；B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断．【解答】解：空集是不是空集的真子集，A 错； 真子集具有传递性，B 对； 空集没有真子集，C 错；如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B ，D 对， 故选：BD ．【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题． 【题型2 集合的相等与空集】【例2】（2020秋•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（ ） A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2（n +1），n ∈Z } B ．P ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N +}C ．P ＝{x |x 2﹣x ＝0}，Q ＝{x |x =1+(−1)n2，n ∈Z }D ．P ＝{x |y ＝x +1}，Q ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可． 【解答】解：选项A ：因为集合P ，Q 表示的都是所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ； 选项B ：集合P 中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q 是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q ，所以P ≠Q ；选项C ：集合P ＝{0，1}，集合Q 中：当n 为奇数时，x ＝0，当n 为偶数时，x ＝1，所以Q ＝{0，1}，则P ＝Q ；选项D ：集合P 表示的是数集，集合Q 表示的是点集，所以P ≠Q ； 综上，选项AC 表示的集合相等， 故选：AC ．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．【变式2-1】（2020秋•五华区校级期中）已知集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a 2，a ，ab }，若A ＝B ，则a 2021+b 2020＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a 的方程组{1=ab b =a 2或{1=a 2b =ab，通过解方程组求得a 、b 的值，则易求a 2021+b 2020的值．【解答】解：由题意得①组{1=ab b =a 2或②{1=a 2b =ab， 由②得a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{1，1，b }，不符合，舍去； 当a ＝﹣1时，b ＝0，A ＝{1，﹣1，0}，B ＝{﹣1，1，0}，符合题意． 由①得a ＝1，舍去， 所以a ＝﹣1，b ＝0． ∴a 2021+b 2020＝﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查了集合相等的应用，注意要验证集合中元素的互异性，属于基础题． 【变式2-2】（2020秋•武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{x |x +3＝3} B ．{（x ，y ）|y 2＝﹣x 2，x ，y ∈R } C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2﹣x +1＝0，x ∈R }【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0； 对于选项B ，（0，0）是集合中的元素； 对于选项C ，由于x ＝0成立； 对于选项D ，方程无解． 故选：D ．【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题．【变式2-3】（2020春•保定期中）如果A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0＜a ＜4B ．0≤a ＜4C ．0＜a ≤4D ．0≤a ≤4【分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【解答】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立． 当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4． 故选：D ．【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键．【题型3 集合间关系的判断】【例3】（2021春•江油市校级期末）在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（）A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，又A＝{1﹣2，0，2}，所以A⊋B．故选：C．【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题．【变式3-1】（2021•市中区校级模拟）设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（）A．M＝P B．P∈M C．M⫋P D．P⫋M【分析】由函数得：P＝{y|y≥1}，M＝R，即P⫋M，得解【解答】解：因为y＝x2+1≥1，即P＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2+1}＝R，所以P⫋M，故选：D．【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|≤3}，集合C=≤0}，则集合A，B，C的关系为（）{x|x−4x+5A．B⊆A B．A＝B C．C⊆B D．A⊆C【分析】解出不等式，从而得出集合A，B，C，再根据子集的定义判断A，B，C的关系．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，∴﹣1≤x ≤3，则A ＝[﹣1，3]， 又|x ﹣1|≤3，即﹣3≤x ﹣1≤3， ∴﹣2≤x ≤4，则B ＝[﹣2，4]， ∵x−4x+5≤0⇔{(x −4)(x +5)≤0x +5≠0， ∴﹣5＜x ≤4，则C ＝（﹣5，4]， ∴A ⊆C ，B ⊆C ， 故选：D ．【点评】本题主要考查集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题．【变式3-3】（2020秋•湖北期中）[多选题]集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ） A ．S ⊆PB ．S ⊆MC ．M ⊆SD ．P ⊆S【分析】根据题意判断集合M ，P ，S 表示的意义，进行判断． 【解答】解：M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }表示被2整除余1的数的集合； P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }表示被3整除余1的数的集合；S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }＝{z |z ＝3×（2m ）+1，m ∈Z }＝{z |z ＝2×（3m ）+1，m ∈Z }，表示被6整除余1的集合；故S ⫋P ，S ⫋M ．故S ⊆P ，S ⊆M ，正确，即AB 正确． 故选：AB ．【点评】本题考查了集合的交集、补集问题，属于基础题． 【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【例4】（2020秋•南昌县校级月考）已知集合M ＝{2，4，8}，N ＝{1，2}，P ＝{x |x =ab ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的子集个数为（ ） A ．4B ．6C ．16D ．63【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，∴P＝{1，2，4，8}，∴集合P的子集个数为：24＝16．故选：C．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式4-1】（2020秋•南沙区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．8C．7D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-2】（2020秋•临猗县校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．7C．8D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-3】（2020秋•海曙区校级期中）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝．【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a的值．【解答】解：∵集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，且A的子集个数为2个，∴（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，解得x=2 3，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，解得a=−1 8．∴实数a的值为1或−1 8．故答案为：1或−1 8．【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【题型5 补集的运算】【例5】（2020秋•湖北期末）设集合U＝{x|x＜5，x∈N*}，M＝{x|x2﹣5x+4＝0}，则∁U M＝（）A．{2，3}B．{1，5}C．{1，4}D．{2，3，5}【分析】可求出集合U，M，然后进行补集的运算即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4}，M＝{1，4}，∴∁U M＝{2，3}．故选：A．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-1】（2020春•烟台期末）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}【分析】可知阴影部分表示的集合为∁B（A∩B），从而进行交集和补集的运算即可．【解答】解：A∩B＝{1}，∴∁B（A∩B）＝{0，2}，∴阴影部分表示的集合为{0，2}．故选：C．【点评】本题考查了V enn图表示集合的方法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-2】（2020秋•海淀区校级月考）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若∁U M＝{1，4}，则p的值为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．6【分析】由题意推出M中方程的解，然后求出p的值．【解答】解：因为集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若∁U M＝{1，4}，所以M＝{2，3}即2，3是方程的两个根，22﹣5×2+p＝0，所以p＝6．故选：D．【点评】本题考查集合的补集的运算，考查计算能力．【变式5-3】（2020秋•张家口月考）设全集U＝{2，4，6，8，a，10}，集合A＝{2，|a﹣6|，10}，{6，8}⊆∁U A，则实数a的值是（）A．3B．10C．2D．2或10或3【分析】由集合补集的定义得到6∉A，8∉A，则有|a﹣6|＝4或|a﹣6|＝a，求解即可得到答案．【解答】解：因为全集U＝{2，4，6，8，a，10}，集合A＝{2，|a﹣6|，10}，{6，8}⊆∁U A，所以6∉A，8∉A，则|a ﹣6|＝4或|a ﹣6|＝a ，解得a ＝2（舍）或a ＝10（舍）或a ＝3，所以实数a 的值是3．故选：A ．【点评】本题考查了集合补集的理解和应用，解题时要注意集合元素互异性，考查了逻辑推理能力，属于基础题．【题型6 利用集合间的关系求参数】【例6】（2020秋•南开区校级月考）设集合A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，若A ⊇B ，则m的取值范围是 ．【分析】B ⊆A ，则说明B 是A 的子集，然后分m ≤﹣2和m ＞﹣2两种情况求出m 的取值范围．【解答】解：∵A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}＝{x |﹣2≤x ≤5}，当m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时，B ＝∅满足B ⊆A ．当m ﹣1＜2m +1，即m ＞﹣2时，要使B ⊆A 成立，需 {m −1≥−22m +1≤5，可得﹣1≤m ≤2，即﹣1≤m ≤2， 综上，m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2时有B ⊆A ．故答案为：{m |m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．【变式6-1】（2020秋•武汉期中）已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0（m ∈R ）的解集为M ．（1）[1，2]⊆M ，求实数m 的取值范围；（2）当M 不为空集，且M ⊆[1，4]时，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定实数m 的取值范围即可；（2）由题意分类讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意[1，2]⊆M 可知，令 f （x ）＝x 2﹣2mx +m +2，则{f(1)≤0f(2)≤0△＞0，解得：m ≥3．（2）∵M 不为空集，且M ⊆[1，4]，当△＞0 时，则{ f(1)≥0f(4)≥0△＞01≤m ≤4，解得：2≤m ≤187， 当△＝0 时，m ＝2也符合题目要求：综上：2≤m ≤187． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【变式6-2】（2020秋•南阳期中）集合A ＝{x |﹣3≤x ≤7}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}．（1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据B ⊆A 可讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1；B ≠∅时，{m +1≤2m −1m +1≥−32m −1≤7，解出m 的范围即可；（2）根据题意可知A ∩B ＝∅，讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m ＜2；B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，然后解出m 的范围即可．【解答】解：（1）∵B ⊆A ，∴①B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1≥−32m −1≤7，解得2≤m ≤4，综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，4]；（2）由题意知，A ∩B ＝∅，①B ＝∅时，m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，解得m ＞6， ∴实数m 的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）．【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．【变式6-3】（2020秋•浙江期中）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1≤x ≤3}．（1）求∁U A ；（2）若集合B ＝{x |2x ﹣a ＞0}，且B ⊆（∁U A ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）由全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1≤x ≤3}．利用补集定义能求出∁U A ．（2）由集合B ＝{x |2x ﹣a ＞0}＝{x |x ＞a 2}，且B ⊆（∁U A ），得到a 2≥3，由此能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1≤x ≤3}．∴∁U A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}．（2）集合B ＝{x |2x ﹣a ＞0}＝{x |x ＞a 2}，且B ⊆（∁U A ），∴a 2≥3，解得a ≥6． ∴实数a 的取值范围是[6，+∞）．【点评】本题考查补集、实数的取值范围的求法，考查补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
不等式的交并补的解题思路
不等式的交并补的解题思路1. 引言在数学中，不等式是一个含有不等号（大于或小于）的数学表达式。
求解不等式的交并补是解决不等式问题中常用的方法之一。
通过求解不等式的交、并、补集，可以得到不等式的解集。
本文将介绍如何通过求解不等式的交集、并集和补集来解题。
同时，将详细讨论这些集合的概念和性质。
2. 不等式的交集不等式的交集即满足多个不等式条件的公共解集。
求解不等式的交集时，需要找到满足所有不等式条件的解。
以一个简单的例子来说明：假设有两个不等式 2x + 3 > 5 和 x - 2 > 0，我们需要求解这两个不等式的交集。
首先分别求解这两个不等式： - 对于 2x + 3 > 5，得到 x > 1； - 对于 x - 2 > 0，得到 x > 2。
然后求解交集，即找到同时满足 x > 1 和 x > 2 的值。
由于 x 需要同时满足这两个条件，因此可以确定交集的解为 x > 2。
因此，不等式 2x + 3 > 5 和 x - 2 > 0 的交集解为 x > 2。
3. 不等式的并集不等式的并集即满足多个不等式条件的合并解集。
求解不等式的并集时，需要找到至少满足其中一个不等式条件的解。
继续以上面的例子为例，我们需要求解不等式 2x + 3 > 5 和 x - 2 > 0 的并集。
首先分别求解这两个不等式： - 对于 2x + 3 > 5，得到 x > 1； - 对于 x - 2 > 0，得到 x > 2。
然后求解并集，即找到至少满足 x > 1 或 x > 2 条件的值。
由于 x 只需要满足其中一个条件，因此可以确定并集的解为 x > 1。
因此，不等式 2x + 3 > 5 和 x - 2 > 0 的并集解为 x > 1。
4. 不等式的补集不等式的补集即不满足不等式条件的解集。
《全集补集》教学设计
《全集补集》教学设计一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学必修一第五章“集合”的补集概念。
具体包括：集合的表示方法，集合之间的关系，集合的运算，以及补集的定义和性质。
二、教学目标1. 理解补集的概念，掌握补集的运算方法。
2. 能够运用补集解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点1. 重点：补集的概念，补集的运算方法。
2. 难点：补集在实际问题中的应用，理解集合之间的相互关系。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板，粉笔，多媒体设备。
2. 学具：教材，笔记本，彩色笔。
五、教学过程1. 情景引入：通过一个实际问题，引导学生思考集合之间的相互关系，引出补集的概念。
2. 知识讲解：讲解补集的定义，通过示例让学生理解补集的概念，并介绍补集的运算方法。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解补集在实际问题中的应用，让学生加深对补集的理解。
4. 随堂练习：让学生独立完成随堂练习，巩固所学知识，并及时给予反馈和解答。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，共同解决一个与补集相关的问题，培养学生的团队协作能力。
六、板书设计1. 补集的定义2. 补集的运算方法3. 补集在实际问题中的应用七、作业设计1. 题目：已知集合A={1,2,3,4,5}，求补集A的补集。
答案：A的补集的补集={1,2,3,4,5}。
2. 题目：已知集合A={x|x<3}，集合B={x|x>4}，求A与B的补集的交集。
答案：A与B的补集的交集={x|x≤3或x≥4}。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实际问题引入补集的概念，让学生理解补集的定义和运算方法，并通过例题和随堂练习巩固所学知识。
在教学过程中，要注意引导学生主动思考，提高解决问题的能力。
2. 拓展延伸：思考补集在其他数学领域的应用，如概率论、图论等。
尝试解决更复杂的问题，提高学生的综合运用能力。
重点和难点解析一、教学内容中的补集概念1. 集合的表示方法：如何用大括号{}表示一个集合，以及如何用描述法表示集合。
运用正难则反的补集思想解题
运用正难则反的补集思想解题例1 已知A={x|x2+(k+2)x+1=0，x∈R}，若A∩R+= ，求k的取值范围。
解析：若从正面直接求k的范围，则有三种情况，分别求出较繁，而通过补集来求解则极为简捷。
因为方程x2+(k+2)x+1=0的根不可能为零，且两根必定同号，故A∩R+≠的条件是⊿=(k+2)2-4≥0，x1+x2=-(k+2)>0，解得k≤-4。
所以，当A∩R+= 时，k的取值范围是k>-4。
例2.若关于方程a x2-4x+a+1=0至多有一个非负实数根，求实数a的取值范围。
解析：(1)先求问题的反面，再求其补集。
(i)a=0时,方程-4x+1=0,x=1/4,符合题意.(ii)a不=0时,判别式=16 -4a(a+1)>=0,得-1/2-根号17 /2<=a<=-1/ 2+根号17 /2即全集U={a|-1/2-根号17 /2<=a<=-1/2+根号17 /2,a不=0} 如果二个根都是非负根,则有:x1+x2=4/a>=0,得a>0x1x2=(a+1)/a>=0,得a>0或a=<-1即:a>0,设为A={a|a>0}故:至多有一个非负实数根,a的取值范围是:A在U中的补集={a|-1/2-根号17/2<=a<0}综合(i)(ii)得:-1/2-根号17/2<=a<=0“否命题”与“命题的否定形式”区别格式：原命题是“若p则q”否命题是“若非p，则非q”，命题的否定形式是“若p则非q”。
区别：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
注意：对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样，不是“不一定”，而是“一定不”例1. 原命题：（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）面积相等的三角形是全等三角形。
巧用补集思想与函数思想解题
系 数 由
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二次 函 数
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( 1 + 矗) f + 2 对 于 任
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…
9
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对任 意
成 立 对 二 次 函 数 厂( ￡) 进 行 研 究 求 解
丕 更 简捷 的解 法 有
：
∈ R 恒 成立，ຫໍສະໝຸດ 求实数的取 值 范 围
，
( 【 析】 欲证 ， 分
z
) 为奇 函 数 即要 证 对 任 意
一
1) < O
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在[
一
2
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z
，
2 ] 上 恒 成立
。
一
律 函 数 的 思 想 方 法 就 是 提取 问题 的数学 特 征 用
联 系 的变化 的观 点 提 出数 学 对 象 抽 象其 数 学 特