集合的运算 补集
集合的三种基本运算
集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。
（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。
（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。
补集及集合的运算综合
1.3 集合的运算
1.3.2 补集及集合的运算综合
1.全集：如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究
过程中，可以将这个集合叫作全集，一般用U来表示.
2.补集：如果集合A是全集U的子集，那么，由U中不属于A的所有元素
组成的集合叫作A在全集U中的补集，记作∁UA（读作：A在U中的补集），即
{xȁ < 0或 > 1} .
2.设全集U＝{0，2，a}，集合A＝{2}，∁UA＝{0，a2}，则实数a＝
1 .
二、解答题
1.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x≤2}，求∁UA.
解：∁ UA＝{xȁ ≤ −1或 > 2}
2.设全集U＝R，集合A＝{x｜x＞2}，集合B＝{x｜－1＜x＜4}，
求：（1）A∩（∁UB），
解：∁ UB＝{0，1}
∴A∩（∁ UB）＝{0，2}∩{0，1}＝{0}
（2）（∁UA）∪（∁UB）.
解：∁ UA＝{1，3，4}
∴（∁ UA）∪（∁ UB）＝{1，3，4}∪{0，1}＝{0，1，3，4}
一、填空题
1.设全集U＝R，集合A＝{xȁ0 ≤ ≤ 1}，则∁UA＝
{2，6，7，8} ，∁UB＝
{1，2，4，6} .
2.设全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，4，7}，集合B＝
{0，2，5}，则∁UA＝
8} .
{0，2，3，5，6，8} ，∁UB＝
{1，3，4，6，7，
二、选择题
1.设全集U＝R，集合A＝{x｜x＞5}，则∁UA＝（
A.{x｜x＞5}
∁UA＝{x｜x∈U且x∉A}.
3.∁UA的图形表示：
1.1.3集合的基本运算-补集
1.1.3集合的基本运算补集（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。
（2）补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：∁U A即：∁U A ＝{x|x ∈U ，且x ∉A}.（3）补集的Venn 图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制1、求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
2、集合基本运算的一些结论：A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅，A ∩B=B ∩AA ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A ，A ∪B=B ∪A （∁U A ）∪A=U ，（∁U A ）∩A=∅若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求ð.解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ； （2）()A A C B C .解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ .（1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------ . ∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------. A B B A-1 3 59 x【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A = ，求实数m 的取值范围. 解：由A B A = ，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B = ，则(){6,7,9}U C A B = .由{5,8}A B = ，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，则()(){6,7,9}U U C A C B = ，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B = .由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B = ，()()()U U U C A C B C A B = .点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B = 与()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.【自主尝试】1.设全集{}|110,U x x x N =≤≤∈且,集合{}{}3,5,6,8,4,5,7,8A B ==,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋃.2.设全集{}{}{}|25,|12,|13U x x A x x B x x =-<<=-<<=≤<集合,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋂.3.设全集{}{}{}22|26,|450,|1U x x x Z A x x x B x x =-<<∈=--===且, 求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋃.-2 4 m x B A【典型例题】1.已知全集{}|U x x =是不大于30的素数,A,B 是U 的两个子集,且满足{}{}()5,13,23,()11,19,29U U A C B B C A ⋂=⋂=,{}()()3,7U U C A C B ⋂=,求集合A,B.２.设集合{}{}22|320,|220A x x x B x x ax =-+==-+=,若A B A ⋃=,求实数a 的取值集合.３. 已知{}{}|24,|A x x B x x a =-≤≤=<① 若A B φ⋂=,求实数a 的取值范围；② 若A B A ⋂≠,求实数a 的取值范围；③ 若A B A B A φ⋂≠⋂≠且,求实数a 的取值范围.4.已知全集{}22,3,23,U a a =+-若{}{},2,5U A b C A ==,求实数a b 和的值.【练习】１.已知全集{}{}{}0,1,2,4,6,8,10,2,4,6,1U A B ===,则()U C A B ⋃=( )Ａ {}0,1,8,10 Ｂ {}1,2,4,6 Ｃ {}0,8,10 Ｄ Φ２.集合{}{}21,4,,,1A x B x A B B ==⋂=且,则满足条件的实数x 的值为 ( ) Ａ １或０ Ｂ １,０,或２ Ｃ ０,２或－２ Ｄ １或２3.若{}{}{}0,1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===⋂⋃⋂则(A B)(B C)＝ ( )Ａ {}1,2,3 Ｂ {}2,3 Ｃ {}2,3,4 Ｄ {}1,2,44.设集合{}{}|91,|32A x x B x x A B =-<<=-<<⋂=则 ( )Ａ{}|31x x -<< Ｂ{}|12x x << Ｃ{}|92x x -<< Ｄ{}|1x x <【达标检测】一、选择题1.设集合{}{}|2,,|21,M x x n n Z N x x n n N ==∈==-∈则M N ⋂是 ( )A ΦB MC ZD {}0２.下列关系中完全正确的是 ( )Ａ {},a a b ⊂ Ｂ {}{},,a b a c a ⋂=Ｃ{}{},,b a a b ⊆ Ｄ {}{}{},,0b a a c ⋂=３.已知集合{}{}1,1,2,2,|,M N y y x x M =--==∈,则M N ⋂是 ( )Ａ M Ｂ {}1,4 Ｃ {}1 Ｄ Φ４.若集合Ａ,Ｂ,Ｃ满足,A B A B C C ⋂=⋃=,则Ａ与Ｃ之间的关系一定是( )Ａ A C Ｂ C A Ｃ A C ⊆ Ｄ C A ⊆５.设全集{}{}|4,,2,1,3U x x x Z S =<∈=-,若u C P S ⊆,则这样的集合Ｐ共有( )Ａ ５个 Ｂ ６个 Ｃ ７个 Ｄ８个二、填空题６.满足条件{}{}1,2,31,2,3,4,5A ⋃=的所有集合Ａ的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.７.若集合{}{}|2,|A x x B x x a =≤=≥,满足{}2A B ⋂=则实数a ＝＿＿＿＿＿＿＿.８.集合{}{}{}0,2,4,6,1,3,1,3,1,0,2U U A C A C B ==--=-,则集合Ｂ＝＿＿＿＿＿.９.已知{}{}1,2,3,4,5,1,3,5U A ==,则U C U =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10.对于集合Ａ,Ｂ,定义{}|A B x x A -=∈∉且B ,Ａ⊙Ｂ=()()A B B A -⋃-, 设集合{}{}1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,10M N ==,则Ｍ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.三、解答题11.已知全集{}|16U x N x =∈≤≤,集合{}2|680,A x x x =-+={}3,4,5,6B = (1)求,A B A B ⋃⋂,(2)写出集合()U C A B ⋂的所有子集.12.已知全集Ｕ＝Ｒ,集合{}{}|,|12A x x a B x x =<=<<,且()U A C B R ⋃=,求实数a 的取值范围13.设集合{}{}22|350,|3100A x x px B x x x q =+-==++=,且13A B ⎧⎫⋂=-⎨⎬⎩⎭求A B ⋃.。
集合运算 补集
解答
跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A，B是非空集 合 ， 定 义 A*B 表 示 阴 影 部 分 的 集 合 . 若 A ＝ {x|0≤x≤2} ， B ＝ {y|y ＞ 1} ， 则 A*B ＝ {x_|_0_≤__x_≤_1_或__x_＞__2_}__.
解析 A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}， 由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}.
∴A∩(∁UB)＝{3}.
解析 答案
(2) 已 知 集 合 A ＝ {x|x≤a} ， B ＝ {x|1≤x≤2} ， 且 A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是__{_a_|a_≥__2_}. 解析 ∵∁RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁RB)＝R， ∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
解析 答
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x， y)|xy>0}，则∁UA＝_{_(_x，__y_)_|x_y_≤__0_}__.
类型二 补集性质的应用
命题角度1 补集性质在集合运算中的应用 例2 已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B. 解 ∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}， ∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}. 而∁UB＝{－1,0,2}， ∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}.
符号语 言
∁UA＝_{_x_|_x∈__U__，__且__x_∉_A_}_
图形语 言
(2)运算性质 A∪∁UA＝ U ； A∩∁UA＝ ∅ ； ∁U(∁UA)＝ A .
[思考辨析 判断正误]
1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.( √ )
集合的补集与差集
集合的补集与差集集合是数学中一个重要的概念，它由一组不重复的元素组成。
在集合的运算中，我们常常遇到补集与差集的概念。
本文将详细介绍集合的补集与差集，并探讨其在实际问题中的应用。
一、集合的补集1.1 补集的定义给定一个集合A，其全集为U，那么相对于全集U而言，A的补集定义为全集U中不属于A的元素的集合，记作A'或complement of A。
1.2 补集的性质（1）对于任意集合A而言，其补集A'中的元素都不属于集合A。
（2）对于全集U而言，U的补集为一个空集，即U' = {}。
（3）对于一个空集∅而言，其补集为全集U，即∅' = U。
1.3 补集的示例假设全集U为整数集，集合A = {1, 2, 3}，那么A的补集A' = {x | x∈U, x∉A} = {x | x∈U, x≠1, x≠2, x≠3} = {..., -3, -2, -1, 0, 4, 5, 6, ...}。
二、集合的差集2.1 差集的定义给定两个集合A和B，那么集合A相对于集合B的差集定义为属于集合A但不属于集合B的元素的集合，记作A-B。
2.2 差集的性质（1）对于任意集合A和B而言，其差集A-B中的元素属于集合A 但不属于集合B。
（2）若集合A和B没有任何交集，即A∩B = ∅，那么差集A-B即为集合A本身。
2.3 差集的示例假设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，那么A相对于B的差集A-B = {x | x∈A, x∉B} = {1}。
三、补集与差集的应用3.1 补集的应用（1）在概率论与统计学中，可以通过计算补集的概率来得到事件的概率，例如事件A的概率P(A) = 1 - P(A')。
（2）在布尔代数中，补集运算可以用来实现逻辑电路的设计与优化。
3.2 差集的应用（1）在集合论与逻辑学中，差集运算可以用来表示排除某些元素后的集合。
（2）在数据库中，差集运算可以用来实现两个数据表之间的差异比较与筛选。
集合的基本运算互补集
集合的基本运算互补集集合的基本运算：互补集在集合论中，集合的基本运算包括并集、交集和补集。
其中，互补集是补集的一种特殊形式，它在集合论中扮演着重要的角色。
本文将重点探讨集合的互补集以及相应的性质和应用。
一、互补集的定义互补集是指在给定的全集中，与某个集合A不相交的所有元素所构成的集合。
具体地说，设U为全集，A为U的子集，则A的互补集记为A'或者U-A。
二、互补集的性质互补集具有以下性质：1. 对于任何集合A，有A ∪ A' = U，即A与它的互补集的并集等于全集U。
2. 对于任何集合A，有A ∩ A' = ∅，即A与它的互补集的交集为空集。
3. 对于任何集合A，有(A')' = A，即互补集的互补集等于原集合。
三、互补集的应用互补集在实际问题中有着广泛的应用。
下面以几个例子来说明：1. 布尔代数互补集在布尔代数中具有重要作用。
在布尔代数中，集合的互补运算对应逻辑电路中的非门。
通过对集合进行补集运算，可以得到与原集合互斥的元素。
在逻辑电路中，非门将输入信号取反，与集合的互补运算的概念是一致的。
2. 集合运算互补集在集合运算中也起到重要的作用。
通过对集合的互补集进行运算，可以得到补集与原集合的运算结果。
例如，(A ∪ B)' = A' ∩ B'，即两个集合的并集的互补集等于两个集合的互补集的交集。
3. 概率论互补集在概率论中也有着重要的应用。
在概率论中，事件的互补事件指的是不发生该事件的事件。
通过对事件的互补事件进行分析，可以得到事件的概率与互补事件概率的关系。
例如，事件A与其互补事件A'的概率之和等于1，即P(A) + P(A') = 1。
四、总结互补集是集合论中的重要概念，它在布尔代数、集合运算和概率论等领域都有着广泛的应用。
互补集的定义简洁明了，与其他集合的基本运算相互联系，具有一系列重要的性质。
通过对互补集的运算和分析，可以帮助我们更好地理解集合论，并在实际问题中应用集合的基本运算。
1.3集合的基本运算——补集课件(人教版)
2．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x< －1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)，
(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)．
解：在数轴上将各集合标出，如图．
典例剖析
题型一 补集的运算 【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝
{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7} 解法二：借助Venn图，如图所示，
2．怎样理解全集与补集的概念？符号∁UA的含 义是什么？
答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研 究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的
全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同 的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号∁UA包含三层意思： ①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地 求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时， 可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数 轴，利用数轴分析法求解．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－ 3<x≤2}． (1)求∁UA，∁UB；
(2)判断∁UA与∁UB的关系．
解：(1)∵A＝{x|x≥－3}，
∴∁UA＝∁RA＝{x|x<－3}． 又∵B＝{x|－3<x≤2}，
关于补集的公式
关于补集的公式关于补集的公式1. 定义补集是集合的一个基本操作，指的是给定一个集合A，由A中不属于另一个集合B的元素所组成的新集合。
通常用符号A’来表示A的补集。
2. 公式补集操作有以下公式：交换律两个集合的补集交换律指的是：A与B的补集交集等于B与A的补集交集。
公式表达式：A’ ∩ B’ = B’ ∩ A’举例说明：假设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A’ = {4}，B’ = {1}。
A’ ∩ B’ = {4} ∩ {1} = {}，表示A和B的补集没有共同的元素。
B’ ∩ A’ = {1} ∩ {4} = {}，与上式相等。
德摩根定律德摩根定律是指补集间的一种关系，它有两个定理：定理1定理1指的是两个集合的补集并集等于它们的交集的补集。
公式表达式：(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’举例说明：假设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A’ = {4}，B’ = {1}。
A ∩B = {2, 3}，其补集为 {1, 4}。
(A ∩ B)’ = {1, 4}，而A’ ∪ B’ = {1, 4}，两者相等。
定理2定理2指的是两个集合的补集交集等于它们的并集的补集。
公式表达式：(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’举例说明：假设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A’ = {4}，B’ = {1}。
A ∪B = {1, 2, 3, 4}，其补集为 {}。
(A ∪ B)’ = {}，而A’ ∩ B’ = {}，两者相等。
补集的公式在集合论中具有重要的意义，能够帮助我们推导和解决集合运算中的问题。
通过以上列举的公式，可以更好地理解补集的性质和运算规律。
3. 互补集互补集是指两个集合的补集互相包含的关系。
如果集合A的补集等于集合B，同时集合B的补集也等于集合A，则称A和B是互补集。
公式互补集的公式如下：A’ = BB’ = A举例说明：假设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {4, 5}，则A’ = {4, 5}，B’ = {1, 2, 3}。
三个集合运算公式大全
三个集合运算公式大全
1、交集：A∩B= {x | x∈A 且x∈B}
2、并集：A∪B= {x | x∈A 或x∈B}
3、补集：A’= {x | x不属于A}
4、相反集：Aˉ = {x | x∈A 且x∈B’}
5、差集：A-B = {x | x∈A 且x∈B’}
6、排序集：A-B = {x | x∈A 且x∈B’}
7、对称差集：A⊕B = (A-B)∪(B-A)
8、真子集：A是B的真子集当且仅当 A⊆B
9、超集：A是B的超集当且仅当 A⊇B
10、空集：空集表示一个空的集合，符号用∅表示
11、向量空间：向量空间就是集合中的元素都是向量，要满足加法及数乘的结合律
12、非排序集：非排序集是指集合中的元素不需要按照某种特定的序列进行排序
13、复合空间：复合空间就是由两个或多个空间的组合而成的新的空间
14、等价类：等价类是指将在一个集合中相同的元素放到一个类里面的操作
15、带有条件的集合：带有条件的集合就是指要求集合中的元素必须满足某种特定的条件才能进行操作
16、连接集：连接集是指通过将两个或多个集合的元素进行连接而成的新的集合
17、图：图是集合中的一种特殊的操作，其概念是指将集合中的元素结构化，形成一个表示集合关系的网状图
18、全集：全集就是指一个集合中包含了其他所有可能的元素。
集合的补集与差集运算
集合的补集与差集运算集合是数学中的一个重要概念，它由一组互不相同的元素组成。
在集合运算中，补集与差集是常见的操作。
本文将详细介绍集合的补集与差集运算，并探讨其相关性质与应用。
一、集合的补集运算集合的补集运算是指给定一个全集，求与某一集合中所有元素不相同的元素的运算。
补集运算用符号“~”表示。
假设给定的全集为U，集合A是U的一个子集，则A的补集记作A'或~A。
补集运算的性质如下：1. 若A是U的一个子集，则A与A'构成U的一个划分。
即A与A'互为补集。
2. 任意集合的补集运算是对称的，即(A')' = A，即对于A的补集再取补集，得到的是A本身。
3. 对于全集U，U的补集为空集，即U' = ∅。
4. 对于空集∅，其补集为全集U，即∅' = U。
示例：假设全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A = {1, 2, 3}，则A的补集记作A'或~A。
A' = {4, 5, 6}二、集合的差集运算集合的差集运算是指在给定的集合A中，去除与另一集合B中相同的元素得到的结果。
差集运算用符号“-”表示。
假设给定的集合A和B，则A与B的差集记作A-B。
差集运算的性质如下：1. 差集运算满足结合律，即(A-B)-C = A-(B∪C)。
2. 差集运算不满足交换律，即A-B ≠ B-A。
示例：假设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，则A与B的差集记作A-B。
A-B = {1, 2}三、补集与差集的关系1. 补集与差集的关系可以通过下面的等式表示：A - B = A ∩ B'，即A与B的差集等于A与B的补集的交集。
2. 补集运算与差集运算满足德摩根定律：(A∪B)' = A'∩B'，(A∩B)'= A'∪B'，即两个集合的并的补集等于两个集合的补集的交集，两个集合的交的补集等于两个集合的补集的并集。
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(2)由数轴可知： 显然，∁UA⊆∁UB.
灵璧县第二中学 Lingbi No.2
题型二 交集、并集、补集的综合运算 【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝ {x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.
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典例剖析
题型一 补集的运算 【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， ∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7} 解 法 二 ：借助Venn图，如图所示，
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这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即 已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 ∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
补集作为一种思想方法，给我们研究问题开 辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在 顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花 明”，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究 对象的功能，这是转化思想的又一体现．
所涉及的所有 元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作 U .
2．补集
(1)定义：对于一个集合A，由全集U中 _ _不_ _属_ _于_ _A的 所 有 元 素 组 成 的 集 合 称 作 集 合 A 相 对 于全集U的补集，记作∁UA .
(2)集合表示：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
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3．补集思想 对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论 之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题， 在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求 已知和未知的关系，化难为易，化隐为显，从而 将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也 是处理问题的间接化原则的体现．
D．{x|x≤2}
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3．若A＝{x∈Z|0<x<10}，B＝{1,3,4}，C＝ {3,5,6,7}，则∁ AB＝________，∁AC＝________.
解析：∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}， C＝{3,5,6,7}，
∴∁AB＝{2,5,6,7,8,9}，∁AC＝{1,2,4,8,9}． 答案：{2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝ {x|－3<x≤2}．
(1)求∁UA，∁UB； (2)判断∁UA与∁UB的关系．
解：(1)∵A＝{x|x≥－3}， ∴∁UA＝∁RA＝{x|x<－3}． 又∵B＝{x|－3<x≤2}， ∴∁UB＝{x|x≤－3或x>2}．
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要点阐释
1．全集的相对性 (1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集 合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它 仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整 数，Z就是全集，研究方程的实数解，则R就是全 集．因此，全集因研究问题而异．
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由图可知B＝{2,3,5,7}． 点 评 ： 根 据 补 集 定 义 ， 借 助 Ve n n 图 ， 可 直 观
地求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少 时，可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可 借助数轴，利用数轴分析法求解．
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预习测评
1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于 ()
A．{0}
B．{1}
C．∅
D．{0,1}
解析：∵∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}． 答案：D
2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁UA等于 ()
A．{x|x>2}
B．{x|x<2}
C．{x|x≥2}
灵璧县第二中学
Lingbi No.2 school
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1．理解在给定集合中一个子集的补集的含 义，会求给定子集的补集．
2．能运用Venn图及补集知识解决有关问 题．
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自学导引
1．全集的定义
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中 ____________
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4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝ {3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝ ________.
解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}， ∴(A∪B)∩(∁UC) ＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 答案：{2,5}
(3)Venn图表示：
∅∁U∅＝ ，∁U(∁UA) ＝.
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自主探究
1．全集一定包含任何一个元素吗？一定是 实数集R吗？
答：(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元 素．
(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数范围内研究问题时， 则Z为全集；而当问题扩展到实数时，则R为全集，故并非全集都是实 数集R.
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2．怎样理解全集与补集的概念？符号∁UA的 含义是什么？
答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所 研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相 应的全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不 同的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号∁UA包含三层意思： ①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集 合．
(2)对于一个给定的集合，全集选择不同，则 补集不同．
2．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可 能借助Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象 问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结 合的思想方法使问题灵活直观地获解．
数形结合的思想是数学重要的思想方法之一， 数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵 活性、深刻性、并跨越各科的界线，有较强的综 合性．