高中数学1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用

的 交集运算 性 Venn图
合 应
概念.
用
质
补集运算
只要时刻保持一份自信、一颗不息的奋 斗雄心，生命的硕果就会如影相随。
解析：A B x 1 x 2; A B x 1 x 3 U A x x 1或x 2; U B x x 1或x 3; U (A B) x x 1或x 3; ( U A) ( U B) x x 1或x 3 .
回顾本节课你有什么收获？
补 并集运算
全集
集
数轴
综
补
和补
集
集的
∁UA= {x|x≤－2或x≥1}
思考交流 补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合
在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个 全集中的补集也不同．
另外全集是一个相对概念．如果全集换成其他集 合时，在记号∁UA中的U要相应变换．
从而我们会注意到补集应该有许多运算性质，下 面我们逐一探求.
探究点3 补集的运算性质（1） 若全集为U，AU，则:
都是U的子集，若 A ( U B) 5,13, 23 ，
A ( U B) 2,3,5,7,13,17, 23, ( U A) ( U B) 3,7,
你能求出集合A，B吗？
解：A 2,5,13,17,23, B 2,11,17,19，29
A
5,13,23
U
2， B
17 11,19，29
Venn图 的灵活 运用
(2)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，
集合A其实是给定的条件.
(√)
例1 (1) 设U={x|x是小于9的正整数},A={1，2，3}，
B={3，4，5，6}，求 U A, U B. （2）设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，
B={x|x是钝角三角形}，求 A B, U (A B) .
(complementary set)，简称为集合A的补集，记
作 UA ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ即 UA {x | x U, 且x A}
U
可用Venn图表示为
A
UA
思考交流
表示全集和补集的三种数学语言互译.
设集合U是一个集合，A是U的一个子集（A U），
由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中
子集A的补集.
N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝ （ C ）
A．{5,7}
B．{2,4}
C．{2,4,8}
D．{1,3,5,6,7}
【解析】借助于Venn图，如图所示
∵M∪N＝{1,3,5,6,7}，∴∁U(M∪N)＝{2,4,8}．
3. 已知集合A，B,全集U={1，2，3，4}，且∁U（A∪B） ={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（ A ） A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅ 【解析】因为全集U={1，2，3，4}，且∁U（A∪B）={4 所以A∪B={1，2，3}， B={1，2}，所以∁UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或 {3，2}或{1，2，3}． 所以A∩∁UB={3}．
3．要使用好数轴这个工具，特别是关于数集的交、并、 补运算，利用数轴可以直观地写出解集．
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 UM =( C ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
【解析】U中的元素去掉1,2,4得 UM，故选C.
2、若全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，
探究点1 全集 思考1:方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解 是什么？在实数范围内的解是什么？
{2}
{2, 3, 3}
思考2:不等式0<x-1≤3在实数范围内的解集是
什么？在整数范围内的解集是什么？
{x | 1 x 4} {2，3，4}
思考3：在不同范围内研究同一个问题，可能有 不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围 所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等.那么全集 的含义如何呢？
探究点2 补集 观察下列三个集合：
如何在全集S中研究相关 集合间的关系呢？
S＝{高一年级的同学}
A＝{高一年级参加军训的同学}
B＝{高一年级没有参加军训的同学} 这三个集合之间有何关系？
显然，由所有属于集合S但不属于集合A的元素
组成的集合就是集合B．
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所
有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集
4.设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，
B ∁UA，求实数a的取值范围．
解：如图所示，B＝{x|x<－a}，
∵∁UA＝{x|x≤1}，要使B ∁UA，
∴－a≤1，即a≥－1.
5.设 U R, A x 1 x 2, B x 1 x 3 ,求 A B ,
A B, U A, U B, U ( A B), ( U A) ( U B).
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 （universe set），通常记作U.
特别提醒：全集是相对于所研究问题而言的一个 相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合 的全部元素.因此全集因问题而异. 思考交流 想一想：全集一定包含任何元素吗？ 【提示】全集仅包含我们研究问题所涉及的集合 的全部元素，而非任何元素.
解：（1）根据题意可知，U 1, 2,3, 4,5,6,7,8,
所以 U A 4,5,6,7,8, U B 1,2,7,8.
（2）根据三角形的分类可知 A B , A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U (A B) ｛x∣x是直角三角形｝.
【变式练习】
已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1， 3，5，7}，N={5，6，7}， 求 U（ M∪N）. 【解析】因为M={1，3，5，7}，N={5，6， 7}， 所以M∪N={1，3，5，6，7}， 因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以 U（M∪N）={2，4，8}.
例2 已知全集U=R，集合 A {x | x 3} ， B {x | 2 x 4} , 求 ( U A) B .
解： U A x x 3,
( U A) B x 3 x 4.
【变式练习】 设全集U＝R，在数轴上表示出集合A＝{x|－2<x<1} 的补集∁UA. 解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
文字语言
CU A {x | x U ,且x A}.
U
A
符号语言
CUA
图形语言
补集符号∁∪A有三层含义：
（1）A是U的一个子集，即A U；
（2）∁∪A表示一个集合，且∁∪A U；
（3）∁∪A是U中所有不属于A的元素构成的集合.
判断:(1)补集既是集合间的一种关系，同时也是集
合间的一种运算.
( √)
第2课时 补集及综合应用
思考1 如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选 出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五、……一一确 定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻 烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名 同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的 解决方法，它可是这节内容补集的现实基础．
思考2 想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,如 何用描述法表示呢？
（ {x | x S且x A}）像这样的集合也正是我
们这节课所要研究的——全集与补集.
1. 理解全集和补集的概念.（重点） 2. 能使用Venn图表示集合的关系和运算. 3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关
系的研究．（难点）
3,7
【变式练习】
设全集U { x | x 7, x N }，已知
（ U A) B {1, 6}, A ( U B) {2,3}，
U ( A B) {0, 5}，求集合A,B.
解：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.
U
0，5
2，3 4 , 7 1，6
A
B
【总结提升】 1. 要准确理解和把握它们的定义，直接通过定义的理 解来解决． 2．要使用好韦恩(Venn)图，特别是进行有限集合的这 种运算的时候，如对集合A、B而言，有下图．
(1) UU (2) U U
(3) U ( U A) A
(4) A ( U A) U (5) A ( U A)
补集的运算性质（2） (1) U ( A B) ( U A) ( U B)
(2) U ( A B) ( U A) ( U B)
U
例3 已知全集U={所有不大于30的质数}，A，B