三、集合的基本运算
第三节 集合的基本运算(必修1第一章)
第三节集合的基本运算知识清单1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集．记作：B A ，读作：“A 并B ”，即}{B x A x x B A ∈∈=，或 ．2.交集一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集．记作：B A ，读作：“A 交B ”，即}{B x A x x B A ∈∈=，且 ．3.补集一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及到的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．对于一个集合A ，由全集U 中所有不属于A 的元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作A C U ，即}{A x U x x A C U ∉∈=，且．4.图示表达交集并集补集AC U }{B x A x x B A ∈∈=，且 }{B x A x x B A ∈∈=，或 }{A x U x x A C U ∉∈=，且5.一些常见结论（1）A B A = 或B B A = B A ⊆⇒（2）B B A = 或A B A = A B ⊆⇒（3）BA B A =BA =⇒（4）BC A C B A C U U U =)(BC A C B A C U U U =)(题型训练题型一集合的并集、交集运算1．已知集合}0)2({}11{≤-=<<-=x x x B x x A ，，则B A 等于（）A ．}21{≤<-x x B ．}10{<≤x x C ．}10{<<x x D ．}20{≤≤x x 2．已知集合}311{，，-=A ，}23{N x x x B ∈≤<-=，，则集合B A 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知集合}2){(=+=y x y x M ，，}2){(=-=y x y x N ，，则集合=N M （）A ．}02{，B ．)02(，C ．)}02{(，D ．}02{==y x ，4．已知集合}32012{，，，，--=A ，}1{2A x x y y B ∈-==，，则B A 中元素的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知}054{}42{}621{2≤--===x x x C B A ，，，，，，则=C B A )(6．已知集合}1{-==x y x A ，}1{-==x y y B ，则=B A 题型二集合的补集、综合运算7．已知全集}32{<-∈=x z x U ，}32{2<-∈=*x x N x A ，则=A C U （）A ．}21{，B ．}43{，C ．}210{，，D ．}430{，，8．已知全集}10{R x x x U ∈≤=，，}33{≤≤-=a a M ，}5{-≤=b b N ，则=)(N M C U （）A ．}10335{<<-<<-x x x 或B ．}335{>-<<-x x x 或C ．}10335{≤<-<<-x x x 或D ．}10335{<<-≤≤-x x x 或9．已知全集}43210{，，，，=U ，集合}3210{，，，=A ，}432{，，=B ，则=B C A C U U 10．已知全集R U =，集合}04{2≤-=x x M ，则=M C U 11．设全集}42{}54321{，，，，，，===N C M N M U U ，则=N 12．已知全集R U =，集合}032{}43{2>--=≤≤-=x x x B x x A ，．（1）求B A ，B A ；（2）求B A C U )(，)(B A C U ．题型三Venn 图的运用13．设全集I 是实数集R ．}22{-<>=x x x M 或与}31{<<=x x N 都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A ．}2{<x xB ．}12{<≤-x xC ．}21{≤<x xD ．}22{≤≤-x x 14．如图，U 是全集，S P M 、、是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．S P M )(B ．SP M )(C ．S C P M U )(D ．SC P M U )(15．如图，I 为全集，S P M 、、是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．SP M )(B ．S C P M I )(C ．S C P M I )(D ．SC P M I )(16．设P M ，是两个非空集合，定义M 与P 的差集为}{P x M x x P M ∉∈=-，且，则)(P M M --等于（）A ．PB ．PM C ．PM D ．M17．经调查，我班70名学生中，有37名喜欢语文，49名喜欢数学，两门都喜欢的有20名，则两门都不喜欢的学生有名．18．某班50人在一次考试中对C B A ，，三道题的作答情况如下：答错A 者17人，答错B 者15人，答错C 者11人，答错B A ，者5人，答错C A ，者3人，答错C B ，者4人，C B A ，，都答错的有1人，则C B A ，，都答对的有人．题型四由集合运算求参数19．已知集合}1{}20{2a B a A ，，，，==，若}164210{，，，，=B A ，则=a 20．已知集合}91{}412{2，，，，，+=+=x x B x x A ，若}9{=B A ，则=B A 21．已知集合}42{≤≤-=x x A ，}{a x x B ≤=，若A B A = ，则a 的取值范围是，若A B A ≠ ，则a 的取值范围是22．已知集合}11{+<<-=a x a x A ，}045{2≥+-=x x x B ，若∅=B A ，则a 的取值范围是，若∅≠B A ，则a 的取值范围是23．已知集合}02{}31{2=+-==b ax x x B A ，，，若∅)(B A 且A B A = ，求b a ，．24．已知集合}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x x C ，若∅≠B A 且∅=C A ，求a 的值．25．已知集合}05)1(2{}023{222=-+++==+-=a x a x x B x x x A ，．（1）若}2{=B A ，求a 的值；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.26．已知集合}121{},43{+≤≤-=≤≤-=m x m x B x x A .（1）若B B A = ，求m 的取值范围；（2）若∅=B A ，求m 的取值范围.综合训练1．已知全集Z U =，集合}102{Z x x x A ∈≤≤-=，，}82{N x x x B ∈≤≤-=，，则集合B C A U 中的元素个数为（）A ．7B ．6C ．5D ．42．已知全集}4321{，，，=U ，集合}034|{2=+-=x x x M ，集合}065|{2=+-=x x x N ，则集合=)(N M C U （）A ．}4{B ．}21{，C ．}421{，，D ．}431{，，3．定义差集}{B x A x x B A ∉∈=-，且，现有三个集合C B A 、、分别用圆表示，则集合)(B A C --可表示下列图中阴影部分的为（）A ．B ．C ．D ．4．设集合}20{}31{}24{≥≤=<≤-=<≤-=x x C x B x x A 或，，，则=B C A )(5．定义}2{B y A x y x z z B A ∈∈+==*，，，若}21{}321{，，，，==B A ，则=*B A 6．已知}15{的正奇数不大于=U ，集合}155{，=N M ，J 集合}133{)()(，=N C M C U U ，集合}71{)(，=N C M U ，则集合=M ，=N 7．设B A ，是非空集合，定义)}()({B A x B A x x B A ∉∈=⊗且．已知集合}20{<<=x x A ，}0{≥=y y B ，则=⊗B A 8．设集合}87654{}654321{，，，，，，，，，，==B A ，集合S 满足A S ⊆且∅≠B S ，则这样的集合S 的个数是9．已知集合}61{≤≤-=x x A ，集合}121{+≤≤-=m x m x B ．（1）当2=m 时，求)(B C A B A R ，；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围，10．已知集合}52)({2++==x x y y x M ，，}1)({+==ax y y x N ，．（1）若N M 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若N M 中仅有一个元素，求实数a 的取值范围．11．已知集合}034|{2=+-=x x x A ，}01|{2=-+-=m mx x x B ，}0122|{2=+-=ax x x C ，且A C A B B A == ，，求实数m 的值及实数a 的取值范围．12．对于正整数集合)3(}{21≥∈⋅⋅⋅=n N n a a a A n ，，，，，如果去掉其中任意一个元素i a （=i 1，2，…，n ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合}54321{，，，，是否是“和谐集”（不必写过程）；（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；（3）当n ＝5时，集合}{54321a a a a a A ，，，，=，求证：集合A 不是“和谐集”．第三节集合的基本运算参考答案题型一集合的并集、交集运算1-4B ，C ，C ，B5．}421{，，6．}0{≥x x 题型二集合的补集、综合运算7-8D ，A9．}410{，，10．}22{><x x x ，或11．}531{，，12．（1）}4313{≤<-<≤-=x x x B A ，或 ，RB A = （2）}43{)(>-<=x x x B AC U ，或 ，}4313{)(>≤≤--<=x x x x B A C U ，或，或 题型三Venn 图的运用13-18C ，C ，C ，B17．418．18题型四由集合运算求参数19．4=a 20．}94235{，，，，---21．44<≥a a 、22．3232><≤≤a a a 或、23．11==b a ，或93==b a ，或32==b a ，24．2-=a 25．（1）31-=-=a a 或（2）3-≤a 26．（1）23≤m （2）52>-<m m 或综合训练1-3D ，C ，A4．}34{<≤-x x 5．}76543{，，，，6．}151195{}15751{，，，、，，，==N M 7．}20{≥=x x x 或8．569．（1）}51{≤≤=x x B A ，}6511{)(≤<<≤-=x x x B C A R ，或 （2）2502≤≤-<m m 或10．（1）62>-<a a 或（2）26-==a a 或11．42==m m 或，22<<-a 12．（1）不是（2）}131197531{，，，，，，（3）证明略。
集合的三种基本运算
集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。
（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。
（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。
集合的基本运算
交集的运算性质：
（1） ∩ = ，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（2） ∩ ∅ = ∅，即任何集合与空集的交集等于空集.
若A B，则A B A.
若A B A，则A B.
探究三：补集
思考3：求方程 ሺ − 2)ሺ 2 − 3) = 0 在有理数范围内的解集，在
2 ，，，，
3 4 5 6 ，A {1，，
2 3}，B 5 ，，，
6 7 8 ，则
B
U
A 中元素的个数为( B )
A.4
B.5
解析：
为 5.故选 B.
U
A {4 ，，
5 6} ，B
C.6
U
A {4 ，，
5 6，
7，
8} ，所以 B
D.7
U
A 中元素的个数
4. 已知集合 A 1，
试用集合的运算表示 1 ， 2 的位置关系.
解：平面内直线 1 ， 2 可能有三种位置关系，即相交于一点、平
行或重合.
（1）直线 1 ， 2 相交于一点 P 可表示为 1 ∩ 2 = { 点 ሽ；
（2）直线 1 ， 2 平行可表示为 1 ∩ 2 = ∅；
（3）直线 1 ， 2 重合可表示为 1 ∩ 2 = 1 = 2 .
2. 已知集合 M {x | x 2} ，N {x | 1 x 1 1} ，则( D )
A. M N
B. M
NN
C. M
N R
解析：由题知，集合 N x | 0 x 2 ，所以 M
D. M
NN
N {x | 0 x 2} .故选 D.
3. 已知集合 U 1，
（CU A） B {x | 3 x 4} .
3、集合的基本运算—并集与交集
∴a＝5，b＝－6 返回
18．设集合A={-4，2m-1，m2}，B={9，m-5，1-m}，
又A∩B={9}，求实数m的值。 解：∵A∩B={9}，A={-4，2m-1，m2}，B={9，m-5，1-m} ∴ 2m-1=9 或 m2=9， 解得 m=5 或 m=3 或 m=-3。 若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A∩B={9}矛盾； 若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾； 若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A∩B={9} 综上可知，m=-3。
返回
14．已知A＝{x|－2＜x＜a＋1}，B＝{x|x≤－a或x≥2－a}，
A∪B＝R，则实数a的取值范围是 求A∩B。
。
15．已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，
{（ 1 ， 2 ） }
16．已知集合A＝{(x，y)|ax＋y－3＝}，B＝{(x，y)|x－y－b
由两个集合中的“公 共元素”组成（或两 个集合的公共部分）
A
A∩B
B
如：｛1，2，3，6｝∩｛1，2，5，10｝= ｛1，2｝ 又如：Ａ＝｛a，b，c，d，e｝，B={c，d，e，f}， 则A∩B= {c，d，e} 返回
例2 根据下面给出的两集合A、B，求A∩B。 （1）设A={x|x＞ -1}，B={x|x＜ 1}， （2）设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形。 （3）设A＝｛(x，y)|y＝－4x＋6｝，B＝｛(x，y)| y＝5x－3｝ 解：（1）A∩B={x|x ＞-1}∩{x|x ＜1}= {x|-1＜ x＜1}
D
)
D．{－2,0,2}
数学教案 人教a版必修第一册 同步备课第3小节集合的基本运算
1.3 集合的基本运算最新课程标准：(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．(2)在具体情境中，了解全集的含义．(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(4)能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．第1课时并集与交集知识点一并集自然语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}(读作“A并B”)图形语言知识点二交集自然语言一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言状元随笔 1.两个集合的并集、交集还是一个集合．2．对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．3．A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．[教材解难]1．教材P10观察类比实数的加法运算，集合有类似的并集运算．(1)(2)中集合C都是由所有属于集合A和所有属于集合B的元素组成的，即集合A的所有元素和集合B的所有元素共同组成了集合C.2．教材P11思考两个关系式成立．3．教材P11思考(1)(2)中集合C由所有属于集合A又属于集合B的元素组成．4．教材P12思考两个关系式成立．[基础自测]1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．答案：B2．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析：本题主要考查集合的基本运算．∵A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选A.答案：A3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )A．1 B．3C．4 D．8解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C.答案：C4．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝________.解析：∵A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<5}．答案：{x|3≤x<5}题型一并集的运算[教材P10例1、2]例1 (1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B.(2)设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，求A∪B.【解析】(1)A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．如图还可以利用数轴直观表示(2)中求并集A∪B的过程．状元随笔(1)由并集定义A∪B是由A、B中所有元素组成的．(2)利用数轴求并集更直观.教材反思(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次，如元素5,8.(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪训练 1 (1)已知集合A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________．(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}解析：(1)∵A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，∴B＝{3,7,9,15}，∴A∪B＝{1,3,4,7,9,15}．∴集合A∪B中元素的个数为6.(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．答案：(1)6 (2)A状元随笔(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B，求元素个数．(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.题型二交集的运算[经典例题]例2 (1)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( )A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}(2)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}【解析】(1)本题主要考查集合的运算．由题意得A∩B＝{3,5}，故选C.找出A、B的公共元素求A∩B.(2)本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.先求A，再求A∩B.【答案】(1)C (2)C方法归纳求交集的基本思路首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( )A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x>3}，则A∩B＝________.解析：(1)本题主要考查集合的运算．化简A＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0,1}，故选A.先求A再求A∩B.(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．由交集的定义可得A∩B＝{x|－5≤x≤－2或3<x≤5}．利用数轴求A∩B.答案：(1)A (2){x|－5≤x≤－2或3<x≤5}题型三交集、并集性质的运用[经典例题]例3 已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2,3}，C＝{－4,2}．因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，不符合A∩C＝∅.综上知，a＝－2.状元随笔审结论(明解题方向)审条件(挖解题信息)求a的值，需建立关于a的方程(1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C.(2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程．建关系——找解题突破口∅(A∩B)，A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性.方法归纳(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．(2)利用A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A可实现交、并运算与集合间关系的转化．注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚．(2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用．跟踪训练3 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．解析：①当B ＝∅时，只需2a>a ＋3，即a>3； ②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，2a>4，解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 由A∩B＝B 得B ⊆A ，B 分2类，B ＝∅，B≠∅，再利用数轴求．课时作业 3一、选择题1．已知集合M ＝{x|－3<x<1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝( ) A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 解析：运用集合的运算求解． M∩N＝{－2，－1,0}，故选C. 答案：C2．已知集合A ＝{x|x≥－3}，B ＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝( ) A ．{x|x≥－5} B ．{x|x≤2} C ．{x|－3<x≤2} D．{x|－5≤x≤2} 解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}． 答案A3．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( ) A ．{－1,1} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{2,3,4} 解析：本题主要考查集合的运算．由题意得A∪B＝{1,2,3,4，－1,0}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,3,4，－1，0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C.答案：C4．设集合A ＝{x|－1≤x<2}，B ＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．a<2 B ．a>－2 C ．a>－1 D ．－1<a≤2解析：在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a>－1.答案：C 二、填空题5．定义A －B ＝{x|x∈A，且x ∉B}，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M ＝________. 解析：关键是理解A －B 运算的法则，N －M ＝{x|x∈N，且x ∉M}，所以N －M ＝{6}． 答案：{6}6．设集合A ＝{1,2，a}，B ＝{1，a 2}，若A∩B＝B ，则实数a 允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B 知B ⊆A ，所以a 2＝2，a ＝±2， 或a 2＝a ，a ＝0或a ＝1(舍去)，所以a ＝±2，0，共3个．答案：37．已知集合A ＝{x|x≤1}，B ＝{x|x≥a}，且A∪B＝R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：由A∪B＝R ，得A 与B 的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a 必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1. 答案：(－∞，1] 三、解答题8．设A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|1<x<3}，求A ∪B，A∩B. 解析：如图所示：A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}． A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．9．已知A ＝{x|a<x≤a＋8}，B ＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R ，求a 的取值范围． 解析：在数轴上标出集合A ，B ，如图．要使A∪B＝R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a<－1，解得－3≤a<－1.综上可知，a 的取值范围为－3≤a<－1. [尖子生题库]10．集合A ＝{x|－1≤x<3}，B ＝{x|2x －4≥x－2}．第2课时补集及综合应用知识点补集1．全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.2．补集状元随笔全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A ⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．[教材解难]理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是相互依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．[基础自测]1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁U P等于( )A．{x|x<－2或x≥3} B．{x|x<－2或x>3}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3}解析：由P＝{x|－2≤x<3}得∁U P＝{x|x<－2或x≥3}．答案：A2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁U B)＝( )A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}解析：∵∁U B＝{1,5,6}，∴A∩(∁U B)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}．答案：B3．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.答案：D4．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.解析：先计算∁U A，再计算(∁U A)∩B.∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}题型一补集的运算[教材P13例5]例1 设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁U A，∁U B.【解析】根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}.列举法，先求出全集，再利用补集的定义求∁U A，∁U B.教材反思求补集的原则和方法(1)一个基本原则．求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．(2)两种求解方法：①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．跟踪训练1 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( )A ．∅B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}(2)设全集为R ，集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A.{x|0<x≤1}B ．{x|0<x<1}C ．{x|1≤x<2}D ．{x|0<x<2}解析：(1)本小题考查集合的运算．∵U＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，∴∁U A ＝{2,4,5}．利用补集定义直接求．(2)本题主要考查集合的基本运算．由B ＝{x|x≥1}，得∁R B ＝{x|x<1}，借助于数轴，可得A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.利用数轴表示集合A 、B ，结合数轴求出结果．答案：(1)C (2)B题型二 集合交、并、补的综合运算[经典例题]例2 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x|－4≤x<2}，B ＝{x|－1<x≤3}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≤0或x ≥52，求A∩B，(∁U B)∪P，(A∩B)∩(∁U P)．【解析】 (1)因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，所以∁U B ＝{2,5,8}．又A ＝{2,3,5,6}， 所以A∩(∁U B)＝{2,5}．先求∁U B ，再求A∩∁U B.(2)将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为A ＝{x|－4≤x<2}，B ＝{x|－1<x ≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁U B ＝{x|x≤－1或x>3}．又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≤0或x ≥52， 所以(∁U B)∪P＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≤0或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x<52，所以(A∩B)∩(∁U P)＝{x|－1<x<2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x<52＝{x|0<x<2}． 根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．【答案】 (1)A (2)见解析方法归纳求集合交、并、补运算的方法跟踪训练2 已知全集U ＝{x|x≤4}，集合A ＝{x|－2<x<3}，B ＝{x|－3<x≤3}．求∁U A ，A∩B，∁U (A∩B)，(∁U A)∩B.解析：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如下：由图可知，∁U A ＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U (A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x ＝3}．借助数轴求出∁U A ，∁U B 再运算．题型三 补集思想的应用[经典例题]例3 已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m 的取值范围．【解析】 先求A∩B＝∅时m 的取值范围．(1)当A ＝∅时，①方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)＜0，解得m ＞－1.(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的根为非负实根．②设方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)≥0，x 1＋x 2＝4≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0，③ 即⎩⎪⎨⎪⎧ m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1，综上，当A∩B＝∅时，m 的取值范围是{m|m≥－3}．又因为U ＝R ，④所以当A∩B≠∅时，m 的取值范围是∁R {m|m≥－3}＝{m|m<－3}．所以，A∩B≠∅时，m 的取值范围是{m|m<－3}．状元随笔 ①A∩B＝∅，对于集合A 而言，分A ＝∅与A≠∅两种情况. A ＝∅表示方程无实根． ②B＝{x|x<0}，而A∩B＝∅，故A {x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x 1＋x 2≥0与x 1x 2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为⎩⎪⎨⎪⎧ (x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，而不是⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>2，x 1x 2>1.④由于A∩B≠∅，故方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U ＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U 的补集也是{m|m<－3}，结果相同.方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③将反面问题对应参数的范围取补集．(2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．跟踪训练3 设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m|,6}，∁U A ＝{5}，求实数m.解析：因为∁U A＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁U A＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m＝3.根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验．课时作业 4一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3,9}．答案：D3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁U M)，又∵∁U M＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁U M)＝{x|1<x≤2}．答案：C4．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁R M)⊇(∁R N)，则k的取值范围是( ) A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2解析：由(∁R M)⊇(∁R N)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.答案：D二、填空题5．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁U B)＝{2,4}，则B＝________.解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A∩(∁U B)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁U B，∴B＝{5,6,7,8,9}．答案：{5,6,7,8,9}6．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁U N＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁U N＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}7．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.解析：因为A∪(∁U A)＝R，A∩(∁U A)＝∅，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.答案：12三、解答题8．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁U B)．解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．(3)A∩(∁U B)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x≤0}＝{x|－1<x≤0}．9．已知全集U ＝{不大于20的素数}，M ，N 为U 的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M ，N.解析：方法一 U ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，∴M＝{3,5,11,13}，N ＝{7,11,13,19}．方法二 ∵M∩(∁U N)＝{3,5}，∴3∈M,5∈M 且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N 且7∉M,19∉M.又∵(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，∴∁U (M∪N)＝{2,17}，∴M＝{3,5,11,13}，N ＝{7,11,13,19}． [尖子生题库]10．已知A ＝{x|－1<x≤3}，B ＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m ＝1时，求A∪B；(2)若B ⊆(∁R A)，求实数m 的取值范围．解析：(1)m ＝1时，B ＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1<x<4}．(2)∁R A ＝{x|x≤－1或x>3}．当B ＝∅，即m≥1＋3m 时，得m≤－12，满足B ⊆(∁R A)， 当B≠∅时，要使B ⊆(∁R A)成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m<1＋3m ，1＋3m≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m<1＋3m ，m>3，解之得m>3.综上可知，实数m 的取值范围是m>3或m≤－12.。
集合的基本运算
教材内容全解要点一：要点二：要点三：要点四：要点五：要点六：※考点分类讲解：考点一：数集的交、并、补运算例1 已知全集{}A=xxB且，∈x|<=不大于10的非负偶数U，{}6,4,2,0=A，{}4求C U A及A∩(C U B),A∪(C U B).例2 {}{}4Bx=xxxRAU，求A∪B,A∩B,A∩(C U B),B∩(C U A)<1|,3=,≤2|≤=<例3 设S={}{}{}，xx|A|=x=|B，x是平行四边形是菱形，x是平行四边形或梯形x {}=，求A∩B，B∩C,C A B,C S A.C|是矩形xx考点二：根据集合的基本运算结果求集合例4 设集合{}A x N x U ,10|*≤∈= B,B U,且{}5,4=⋂B A ,(CU B)∩A={}3,2,1,(C U A)∩(C U B)={}8,7,6，求集合A 和B.考点三：已知集合的运算结果求参数值例5 已知集合A={}{}R B C A x x B a x x A R =⋃<<=<=)(,21|,|且,则实数a 的取值范围是（ ）A. a ≤1B.a<1C. a ≥2D. a>2例6 若集合{}{}{}x B A x B x A ,3,1,,1,,3,12=⋃== ，则满足条件的实数x 有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点四：集合的运算与关系的转换例7 设{}(){}0112|,04|222=-+++==+=a x a x x B x x x A（1）若A ∩B=B,求a 的值；（2）若A ∪B=B ，求a 的值.考点五：用Venn 图求集合中元素的个数例8 某班有50人,参加学校举行的甲、乙、丙三科竞赛，选甲的有38人，选乙的有35人,选丙的有31人,兼选甲乙两门的有29人,兼选甲丙的有28人,兼选乙丙的有26人,甲乙丙三门均选的有24人,问此班三门均未选的人有多少？例9 某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜欢乒乓球运动,8人对着两项运动都不喜欢,则喜爱篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为________.考点六：补集思想的应用例10 已知三条抛物线22,12,344222+++=+--=+-+=a x x y a x x y a x x y 中至少有一条与x 轴相交,试求a 的取值范围.考点七：创新应用题已知集合A 、B 与集合A*B 的对应关系如下表 A{1, 2, 3, 4, 5} {-1, 0, 1} {-4, 8} B{2, 4 ,6 ,8} {-2, -1, 0 ,1} {-4, -2, 0 ,2} A*B {1, 3, 6, 5, 8 } {-2} {-2, 0, 2, 8} 若A={-20011, 0 ,2012},B={-2012,0,2012},试根据表中规律写出 A*B。
集合间的基本运算(交集,并集,补集)非常全面的题型分类
集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。
3集合的基本运算
3.1 交集与并集 3.2 全集与补集
ＡＡ∪用ＢＢVenＡn∪A图∩ＢB表Ｂ示两Ａ个ＡＡ＝∪∩集（ＢＢＢ合） 的ＡＡＡ关∪∩ＢＢ系
Ｂ
由属于A且 属于B的元素 组成的集合, 叫A与B的交 集.记 作:
由属于A或 属于B的元 素组成集 合,A与B的 并集.记 作:
设ＵU是全集A U.由U
⑴（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ与Ａ∩（Ｂ∩Ｃ） ⑵（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ与Ａ∪（Ｂ∪Ｃ） ⑶（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）与Ａ∪（Ｂ∩Ｃ） ⑷（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）与Ａ∩（Ｂ∪Ｃ） ⑸Ａ（Ａ∪Ｂ）与Ａ∪（Ａ∩Ｂ）
答案：是相等 请把这些相等的式子写在笔记本中
这些等式依次为（归纳）：
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)＝A∩B∩C
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)＝
中所有不 属于A的元
素C组ｕ成Ａ的集合Ａ叫U中
子集A的补集.记 作:
A∩ B =
{x|x∈A且x∈B}
ＣuＡ=
{x|x∈ U且∈A}
很显然
A B A A B; A B B A B
若A B A则A B；若A B A则B A.反之亦真。
填写两张表
第一张
第二张
∩ φ Α Β Cu ∪ φ Α Β Cu
A∪B∪C
（结合律）
A∩(A∪B)＝A∪(A∩B)＝A（吸收律）
应用二：p13例4题略.解略.
归纳 (反演律、狄·摩根定理De Morgan）
略
图形验证
Ｕ
Ａ
Ｂ
Ｕ
Ａ
Ｂ
可以用维恩图验证其他定律（课外完成）
应用三 Ｐ16Ｂ组２ 题略
文字语言 图形语言 符号语言
９
Ａ Ａ∩Ｂ Ｂ
１５ １５ １１
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三、集合的基本运算
（一）概念
1、并集：一般地，由所有属于集合Ａ或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作B A （读作“A 并B ”）即
{}B x A x x B A ∈∈=或,
2、交集：一般地，由属于集合Ａ且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作B A （读作“A 交B ”）即
{}B x A x x B A ∈∈=且,
3、全集与补集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ；
对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作A C U ，即
{}A x U x x A C U ∉∈=且,
（二）性质
1、 =A A ；=φ A ；B A A B ；⇒=A B A ；
2、 =A A ；=φ A ；B A A B ；⇒=A B A ；
3、B A A B A ；B A B B A ；
4、=U C U ；=φU C ；()=A C C U U ；
()()()()()()B C A C B A C B C A C B A C R R R R R R == ;
（三）资料连接
1、观察下列各组集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？
（1）A ={1，3，5}，B ={2，4，6}，C ={1，2，3，4，5，6}
（2）{}{}{}是实数是无理数
，是有理数x x C x x B x x A ===, 2、（1）设集合A ＝{4，5，6，8}，集合B ＝{3，5，7，8，9}，求A ∪B.
（2）设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x | 1＜x ＜3}，求A ∪B ．
3、已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x | m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，求m 的取值范围.
4、观察下列各组集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？
（1） A ＝{4，3，5}；B ＝{2，4，6}；C ＝{4}.
（2）{}{}{}学月在校的高一年级女同年是咸祥中学月在校的高一年级同学
年是咸祥中学，月在校的女同学
年是咸祥中学92008,9200892008x x C x x B x x A ===
5、⑴ A ＝{2，4，6，8，10}， B ＝{3，5，8，12}， C ＝{6，8}，求①A ∩B ②A ∩(B ∩C ) ; ⑵ A ＝{x |x 是某班参加百米赛的同学}， B ＝{x |x 是某班参加跳高的同学}，求A ∩B .
6、设集合A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}， B ＝{(x , y )|y ＝x ＋2，x ∈R}，则A ∩B ＝( )
A.{(－1, 1)，(2, 4)}
B. {(－1, 1)} C {(2, 4)} D. ∅
7、（1）设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}， B ＝{x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若A ∩B ＝B ，求a 的值.
（2）已知集合{}{}01,0652=+==+-=ax x B x x x A ，如果A ∩B ＝B ，求实数a 的值。
（3）集合{}{}1,,3,1,12,322+-=+--=x x B x x x A ，若{}3=B A ，求实数x 的值。
8、已知集合{}{}a x x B x x A >=≤≤-=,42
（1）若φ=B A ，求实数a 的取值范围；
（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围；
（3）φ≠B A 且A B A ≠ ，求实数a 的取值范围。
9、集合{}{}
{}{}3,4,3,,0,01222-=-=≠=++==--=B A B A B A r qx x x B px x x A ，求实数r q p ,,的值。
10、集合A 有10个元素，集合B 有9个元素，集合B A 中有17个元素，问集合B A 有多少个元素？
11、观察下列两个集合，思考有什么区别？ ()(){}()(){}032 03222=--∈==--∈=x x R x B x x Q x A
12、已知集合{}{},102,73<<=<≤=x x B x x A
求()()()()()()()()B C A B A C B C A C B C A C B A C B A C R R R R R R R R ,,,,,。
13、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。
两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？。